Set de Caccioppoli

În matematică , un set Caccioppoli este un set a cărui graniță este măsurabilă și are (cel puțin local) o măsură finită. Un sinonim este un set finit (local) de perimetru . Practic, un set este un set Caccioppoli dacă funcția sa caracteristică este o funcție cu variație limitată .

Istorie

Conceptul de bază al unui set Caccioppoli a fost introdus pentru prima dată de matematicianul italian Renato Caccioppoli în 1927: având în vedere un set de planuri sau o suprafață definită pe un set deschis în plan , Caccioppoli le-a caracterizat măsura sau aria ca o variație totală în sensul lui Tonelli de funcțiile lor definitorii, adică ecuațiile lor parametrice , cu condiția ca această cantitate să fie limitată . Măsura graniței unui set a fost definită pentru prima dată ca o funcție funcțională , precis o setare: în plus, fiind definită pe seturi deschise , poate fi definită pe toate seturile Borel și valoarea sa poate fi aproximată prin valori care presupune o rețea în creștere de subseturi . O altă proprietate clar dată (și demonstrată) a acestei funcționale a fost semi-continuitatea sa mai mică .

În 1928, Caccioppoli specifică utilizarea unei rețele triunghiulare ca rețea în creștere care aproximează domeniul deschis, definind variații pozitive și negative a căror sumă este variația totală, adică zona funcțională. Punctul său de vedere inspirator, așa cum a recunoscut în mod explicit, a fost cel al lui Giuseppe Peano , exprimat prin măsura Peano-Iordania : să asocieze fiecare porțiune a unei suprafețe cu o zonă plană orientată într-un mod similar cu modul în care se asociază o coardă aproximativă cu o curba. Mai mult, o altă temă găsită în această teorie a fost extinderea unei funcționale dintr-un subspatiu la întregul spațiu vectorial : utilizarea teoremelor care generalizează teorema Hahn-Banach este frecvent întâlnită în cercetările lui Caccioppoli. Cu toate acestea, sensul restrâns al variației totale în sensul lui Tonelli a adăugat numeroase complicații la dezvoltarea formală a teoriei, iar utilizarea unei descrieri parametrice a seturilor a limitat limitele sale de aplicare.

Lamberto Cesàri a introdus generalizarea „corectă” a funcțiilor de variație limitată în cazul mai multor variabile numai în 1936: poate acesta a fost unul dintre motivele care l-au determinat pe Caccioppoli să prezinte o versiune îmbunătățită a teoriei sale abia aproape 24 de ani mai târziu, în discursul său la al IV-lea Congres UMI din octombrie 1951, urmat de cinci note publicate în Proceedings of the National Academy of Lincei . Aceste note au fost aspru criticate de Laurence Chisholm Young în Mathematical Reviews . ^[1]

În 1952 Ennio de Giorgi și-a prezentat primele rezultate, dezvoltând ideile lui Caccioppoli, cu privire la definirea măsurii granițelor mulțimilor la Congresul de la Salzburg al Societății Matematice austriece: a obținut aceste rezultate folosind un operator de netezire, similar cu un balsam , construit prin funcția Gaussian , dovedind independent unele dintre rezultatele lui Caccioppoli. Probabil a fost indus să studieze această teorie de către profesorul și prietenul său Mauro Picone , care fusese și profesorul lui Caccioppoli și, de asemenea, prietenul său. De Giorgi l-a întâlnit pentru prima dată pe Caccioppoli în 1953: în timpul întâlnirii lor, Caccioppoli și-a exprimat o profundă apreciere pentru munca sa, începând prietenia lor de-a lungul vieții. ^[2] În același an a publicat primul său articol pe această temă: totuși, acest articol și cel care urmează nu au atras prea mult interes din partea comunității matematice. Abia cu un articol din 1954, revizuit de Laurence Chisholm Young în Mathematical Reviews, ^[3], abordarea sa asupra seturilor de perimetru finit a devenit pe scară largă cunoscută și apreciată: de asemenea, în recenzie, Young și-a revizuit criticile anterioare asupra operei lui Caccioppoli.

Ultimul articol al lui De Giorgi despre teoria perimetrelor a fost publicat în 1958: în 1959, după moartea lui Caccioppoli, a început să numească seturile de perimetre terminate „seturi Caccioppoli”. Doi ani mai târziu, Herbert Federer și Wendell Fleming și-au publicat lucrarea în 1960, schimbând abordarea teoretică. Practic au introdus două noi tipuri de curenți, respectiv curenți normali și curenți integrali: într-o serie ulterioară de articole și în celebrul său tratat, Federer a demonstrat că seturile Caccioppoli sunt curenți normali de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în spațiile euclidiene $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Cu toate acestea, chiar dacă teoria mulțimilor lui Caccioppoli poate fi studiată în contextul teoriei actuale, este obișnuit să o studiem prin abordarea „tradițională” folosind funcții cu variație limitată , precum diferitele secțiuni prezente în multe monografii importante despre matematică și fizică matematică. depune mărturie. ^[4]

Definiție formală

Definiția Caccioppoli

Definiția 1 . Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un subset deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ și fie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ un set de Borel. Perimetrul $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este definit după cum urmează

P(E,\Omega )=V\left(\chi _{E},\Omega \right):=\sup \left\{\int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \|{\boldsymbol {\phi }}\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}

{\ displaystyle P (E, \ Omega) = V \ left (\ chi _ {E}, \ Omega \ right): = \ sup \ left \ {\ int _ {\ Omega} \ chi _ {E} (x ) \ mathrm {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x: {\ boldsymbol {\ phi}} \ în C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n}), \ \ | {\ boldsymbol {\ phi}} \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} \ leq 1 \ right \}}

{\ displaystyle P (E, \ Omega) = V \ left (\ chi _ {E}, \ Omega \ right): = \ sup \ left \ {\ int _ {\ Omega} \ chi _ {E} (x ) \ mathrm {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x: {\ boldsymbol {\ phi}} \ în C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n}), \ \ | {\ boldsymbol {\ phi}} \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} \ leq 1 \ right \}}

unde este $\chi _{E}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E}}$ este funcția caracteristică a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Adică perimetrul $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ într-un întreg deschis $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este definit ca variația totală a funcției sale caracteristice peste acel set deschis. De sine $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {n}}$ , asa de $P(E)=P(E,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle P (E) = P (E, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle P (E) = P (E, \ mathbb {R} ^ {n})}$ pentru perimetrul (global).

Definiția 2 . Setul Borel $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un set Caccioppoli dacă și numai dacă are perimetru finit în orice subset deschis limitat $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ,

P(E,\Omega )<+\infty

{\ displaystyle P (E, \ Omega) <+ \ infty}

{\ displaystyle P (E, \ Omega) <+ \ infty}

cand

\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}

este deschis și limitat.

Un set de Caccioppoli are deci o funcție caracteristică a cărei variație totală este limitată local. Din teoria funcțiilor de variație limitată se știe că acest lucru implică existența unei măsuri de radon cu valori vectoriale $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ astfel încât

\int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ chi _ {E} (x) \ mathrm {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {E} \ mathrm {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {\ Omega} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} ( x) \ rangle \ qquad \ forall {\ boldsymbol {\ phi}} \ in C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ chi _ {E} (x) \ mathrm {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {E} \ mathrm {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {\ Omega} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} ( x) \ rangle \ qquad \ forall {\ boldsymbol {\ phi}} \ in C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}

După cum sa menționat pentru cazul funcțiilor generale cu variație limitată , acest vector măsoară $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ este gradientul distributiv sau slab al $\chi _{E}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E}}$ . Măsura schimbării totale asociate cu $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ este indicat prin $|D\chi _{E}|$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ , adică pentru orice set deschis $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ tu o scrii $|D\chi _{E}|(\Omega )$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} | (\ Omega)}$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} | (\ Omega)}$ pentru $P(E,\Omega )=V(\chi _{E},\Omega )$ ${\ displaystyle P (E, \ Omega) = V (\ chi _ {E}, \ Omega)}$ ${\ displaystyle P (E, \ Omega) = V (\ chi _ {E}, \ Omega)}$ .

Definiția De Giorgi

Ennio de Giorgi în articolele sale din 1953 și 1954 introduce următorul operator de netezire, analog transformării Weierstrass în cazul unidimensional

W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g_{\lambda }(x-y)\chi _{E}(y)\mathrm {d} y=(\pi \lambda )^{-{\frac {n}{2}}}\int _{E}e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\lambda }}}\mathrm {d} y

{\ displaystyle W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g _ {\ lambda} (xy) \ chi _ {E} (y ) \ mathrm {d} y = (\ pi \ lambda) ^ {- {\ frac {n} {2}}} \ int _ {E} e ^ {- {\ frac {(xy) ^ {2}} {\ lambda}}} \ mathrm {d} y}

{\ displaystyle W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g _ {\ lambda} (xy) \ chi _ {E} (y ) \ mathrm {d} y = (\ pi \ lambda) ^ {- {\ frac {n} {2}}} \ int _ {E} e ^ {- {\ frac {(xy) ^ {2}} {\ lambda}}} \ mathrm {d} y}

După cum se poate arăta cu ușurință, $W_{\lambda }\chi (x)$ ${\ displaystyle W _ {\ lambda} \ chi (x)}$ ${\ displaystyle W _ {\ lambda} \ chi (x)}$ este o funcție lină pentru toată lumea $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ , astfel încât

\lim _{\lambda \to 0}W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\chi _{E}(x)

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to 0} W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = \ chi _ {E} (x)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to 0} W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = \ chi _ {E} (x)}

în plus, gradientul său este pretutindeni bine definit, la fel și valoarea sa absolută

\nabla W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\mathrm {grad} W_{\lambda }\chi _{E}(x)=DW_{\lambda }\chi _{E}(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{n}}}\\\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow \left|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)\right|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left|{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{k}}}\right|^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = \ mathrm {grad} W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = DW _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x)} {\ partial x_ {1}}} \\\ vdots \ \ {\ frac {\ partial W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x)} {\ partial x_ {n}}} \\\ end {pmatrix}} \ Longleftrightarrow \ left | DW _ {\ lambda } \ chi _ {E} (x) \ right | = {\ sqrt {\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | {\ frac {\ partial W _ {\ lambda} \ chi _ {E } (x)} {\ partial x_ {k}}} \ right | ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ nabla W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = \ mathrm {grad} W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = DW _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x)} {\ partial x_ {1}}} \\\ vdots \ \ {\ frac {\ partial W _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x)} {\ partial x_ {n}}} \\\ end {pmatrix}} \ Longleftrightarrow \ left | DW _ {\ lambda } \ chi _ {E} (x) \ right | = {\ sqrt {\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | {\ frac {\ partial W _ {\ lambda} \ chi _ {E } (x)} {\ partial x_ {k}}} \ right | ^ {2}}}}

După ce a definit această funcție, De Giorgi dă următoarea definiție a perimetrului :

Definiție 3 . Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un subset deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și fie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ un set de Borel. Perimetrul $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ in EU $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este valoarea

P(E,\Omega )=\lim _{\lambda \to 0}\int _{\Omega }|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)|\mathrm {d} x

{\ displaystyle P (E, \ Omega) = \ lim _ {\ lambda \ to 0} \ int _ {\ Omega} | DW _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) | \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle P (E, \ Omega) = \ lim _ {\ lambda \ to 0} \ int _ {\ Omega} | DW _ {\ lambda} \ chi _ {E} (x) | \ mathrm {d} x}

În realitate, De Giorgi a luat în considerare cazul $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {n}}$ : totuși, extinderea la cazul general nu este dificilă. Se poate dovedi că cele două definiții sunt exact echivalente: pentru o demonstrație vezi articolele menționate mai sus de De Giorgi. După definirea a ceea ce este un perimetru, De Giorgi dă aceeași definiție 2 a ceea ce este un set (local) finit de perimetru.

Proprietăți de bază

Următoarele proprietăți sunt proprietățile obișnuite pe care se presupune că le are noțiunea generală de perimetru :

De sine $\Omega \subseteq \Omega _{1}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ Omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ Omega _ {1}}$ asa de $P(E,\Omega )\leq P(E,\Omega _{1})$ ${\ displaystyle P (E, \ Omega) \ leq P (E, \ Omega _ {1})}$ ${\ displaystyle P (E, \ Omega) \ leq P (E, \ Omega _ {1})}$ , cu etanseitate egala daca si numai daca inchiderea $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un subset compact de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .
Pentru oricare două seturi de Cacciopoli $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ Și $E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ , relația $P(E_{1}\cup E_{2},\Omega )\leq P(E_{1},\Omega )+P(E_{2},\Omega _{1})$ ${\ displaystyle P (E_ {1} \ cup E_ {2}, \ Omega) \ leq P (E_ {1}, \ Omega) + P (E_ {2}, \ Omega _ {1})}$ ${\ displaystyle P (E_ {1} \ cup E_ {2}, \ Omega) \ leq P (E_ {1}, \ Omega) + P (E_ {2}, \ Omega _ {1})}$ deține, cu egalitate, dacă și numai dacă $d(E_{1},E_{2})>0$ ${\ displaystyle d (E_ {1}, E_ {2})> 0}$ ${\ displaystyle d (E_ {1}, E_ {2})> 0}$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este distanța dintre mulțimi în spațiul euclidian .
Dacă măsura Lebesgue a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ asa de $P(E)=0$ ${\ displaystyle P (E) = 0}$ ${\ displaystyle P (E) = 0}$ : aceasta implică faptul că dacă diferența este simetrică $E_{1}\triangle E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {1} \ triangle E_ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {1} \ triangle E_ {2}}$ din două seturi are o măsură Lebesgue de zero, cele două seturi au același perimetru adică $P(E_{1})=P(E_{2})$ ${\ displaystyle P (E_ {1}) = P (E_ {2})}$ ${\ displaystyle P (E_ {1}) = P (E_ {2})}$ .

Descrieți noțiunile

Pentru fiecare set de Caccioppoli dat $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ există două mărimi analitice asociate în mod natural: măsurarea Radonului la valori vectoriale $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ și măsura variației sale totale $|D\chi _{E}|$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ . De cand

P(E,\Omega )=\int _{\Omega }|D\chi _{E}|

{\ displaystyle P (E, \ Omega) = \ int _ {\ Omega} | D \ chi _ {E} |}

{\ displaystyle P (E, \ Omega) = \ int _ {\ Omega} | D \ chi _ {E} |}

este perimetrul din orice set deschis $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , e de asteptat $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ singur ar trebui cumva să explice perimetrul $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Conturul topologic

Este firesc să încerci să înțelegi relația dintre obiecte $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ , $|D\chi _{E}|$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ iar limita topologică $\partial E$ ${\ displaystyle \ partial E}$ ${\ displaystyle \ partial E}$ . Există o lemă elementară care garantează că sprijinul (în sensul distribuțiilor ) al $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ și, prin urmare, de asemenea $|D\chi _{E}|$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ , este întotdeauna conținut în $\partial E$ ${\ displaystyle \ partial E}$ ${\ displaystyle \ partial E}$ :

Lemă . Suport pentru măsurarea radonului la valori vectoriale $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ este un subset al limitei topologice $\partial E$ ${\ displaystyle \ partial E}$ ${\ displaystyle \ partial E}$ din $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Încearcă . Pentru a demonstra lema pe care o alegem $x_{0}\notin \partial E$ ${\ displaystyle x_ {0} \ notin \ partial E}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ notin \ partial E}$ : asa de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ aparține setului deschis $\mathbb {R} ^{n}\setminus \partial E$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ partial E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ partial E}$ iar acest lucru implică faptul că aparține unui cartier deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cuprinsă în interior $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ sau în interior $\mathbb {R} ^{n}\setminus E$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus E}$ . Să fie acum $\phi \in C_{c}^{1}(A;\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle \ phi \ în C_ {c} ^ {1} (A; \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle \ phi \ în C_ {c} ^ {1} (A; \ mathbb {R} ^ {n})}$ . De sine $A\subseteq (\mathbb {R} ^{n}\setminus E)^{\circ }=\mathbb {R} ^{n}\setminus E^{-}$ ${\ displaystyle A \ subseteq (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus E) ^ {\ circ} = \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus E ^ {-}}$ ${\ displaystyle A \ subseteq (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus E) ^ {\ circ} = \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus E ^ {-}}$ unde este $E^{-}$ ${\ displaystyle E ^ {-}}$ ${\ displaystyle E ^ {-}}$ este închiderea $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , asa de $\chi _{E}(x)=0$ ${\ displaystyle \ chi _ {E} (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E} (x) = 0}$ pentru $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ Și

\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\chi _{E}(x)\,\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} (x) \ rangle = - \ int _ {A} \ chi _ {E} (x) \, \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} (x) \ rangle = - \ int _ {A} \ chi _ {E} (x) \, \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

La fel, dacă $A\subseteq E^{\circ }$ ${\ displaystyle A \ subseteq E ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle A \ subseteq E ^ {\ circ}}$ asa de $\chi _{E}(x)=1$ ${\ displaystyle \ chi _ {E} (x) = 1}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E} (x) = 1}$ pentru $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ asa

\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} (x) \ rangle = - \ int _ {A} \ operatorname {div} {\ boldsymbol { \ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} (x) \ rangle = - \ int _ {A} \ operatorname {div} {\ boldsymbol { \ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

Cu $\phi \in C_{c}^{1}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle \ phi \ în C_ {c} ^ {1} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle \ phi \ în C_ {c} ^ {1} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ arbitrar rezultă că $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este în afara suportului $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ .

Schița redusă

Conturul topologic $\partial E$ ${\ displaystyle \ partial E}$ ${\ displaystyle \ partial E}$ se dovedește a fi prea brut pentru seturile Caccioppoli deoarece măsurarea lui Hausdorff compensează excesiv perimetrul $P(E)$ ${\ displaystyle P (E)}$ $P (E)$ definit mai sus. Într-adevăr, întregul Caccioppoli

E=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}\cup \{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\subset \mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle E = \ {(x, y): 0 \ leq x, y \ leq 1 \} \ cup \ {(x, 0): - 1 \ leq x \ leq 1 \} \ subset \ mathbb {R } ^ {2}}

{\ displaystyle E = \ {(x, y): 0 \ leq x, y \ leq 1 \} \ cup \ {(x, 0): - 1 \ leq x \ leq 1 \} \ subset \ mathbb {R } ^ {2}}

reprezentând un pătrat împreună cu un segment de linie care iese în stânga are perimetru $P(E)=4$ ${\ displaystyle P (E) = 4}$ ${\ displaystyle P (E) = 4}$ , adică segmentul de linie străin este ignorat, în timp ce limita sa topologică

\partial E=\{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\cup \{(x,1):0\leq x\leq 1\}\cup \{(x,y):x\in \{0,1\},0\leq y\leq 1\}

{\ displaystyle \ partial E = \ {(x, 0): - 1 \ leq x \ leq 1 \} \ cup \ {(x, 1): 0 \ leq x \ leq 1 \} \ cup \ {(x , y): x \ in \ {0,1 \}, 0 \ leq y \ leq 1 \}}

{\ displaystyle \ partial E = \ {(x, 0): - 1 \ leq x \ leq 1 \} \ cup \ {(x, 1): 0 \ leq x \ leq 1 \} \ cup \ {(x , y): x \ in \ {0,1 \}, 0 \ leq y \ leq 1 \}}

are măsură unidimensională Hausdorff ${\mathcal {H}}^{1}(\partial E)=5$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {1} (\ partial E) = 5}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {1} (\ partial E) = 5}$ .

Prin urmare, conturul „corect” ar trebui să fie un subset de $\partial E$ ${\ displaystyle \ partial E}$ ${\ displaystyle \ partial E}$ .

Definiția 4 . Schița redusă a unui set de Caccioppoli $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ este indicat prin $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ și este definit ca egal cu colecția de puncte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la care limita:

\nu _{E}(x):=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ nu _ {E} (x): = \ lim _ {\ rho \ downarrow 0} {\ frac {D \ chi _ {E} (B _ {\ rho} (x))} {| D \ chi _ {E} | (B _ {\ rho} (x))}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ nu _ {E} (x): = \ lim _ {\ rho \ downarrow 0} {\ frac {D \ chi _ {E} (B _ {\ rho} (x))} {| D \ chi _ {E} | (B _ {\ rho} (x))}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

există și are o lungime egală cu una, adică $|\nu _{E}(x)|=1$ ${\ displaystyle | \ nu _ {E} (x) | = 1}$ ${\ displaystyle | \ nu _ {E} (x) | = 1}$ .

Se poate observa că, din teorema Radon-Nikodym , limita redusă $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ este neapărat conținut în sprijinul $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ , care la rândul său este conținut în limita topologică $\partial E$ ${\ displaystyle \ partial E}$ ${\ displaystyle \ partial E}$ după cum sa explicat în secțiunea anterioară. Aceasta este:

\partial ^{*}E\subseteq \operatorname {support} D\chi _{E}\subseteq \partial E

{\ displaystyle \ partial ^ {*} E \ subseteq \ operatorname {support} D \ chi _ {E} \ subseteq \ partial E}

{\ displaystyle \ partial ^ {*} E \ subseteq \ operatorname {support} D \ chi _ {E} \ subseteq \ partial E}

Incluziunile de mai sus nu sunt neapărat egalități așa cum arată exemplul anterior. În acest exemplu, $\partial E$ ${\ displaystyle \ partial E}$ ${\ displaystyle \ partial E}$ este pătratul cu segmentul care iese, $\operatorname {support} D\chi _{E}$ ${\ displaystyle \ operatorname {support} D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {support} D \ chi _ {E}}$ este pătratul și $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ este pătratul fără cele patru colțuri ale sale.

Teorema lui De Giorgi

Pentru comoditate, în această secțiune ne ocupăm doar de cazul în care $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {n}}$ , adică întregul $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ are (global) un perimetru finit. Teorema lui De Giorgi oferă o intuiție geometrică pentru noțiunea de limite reduse și confirmă că este definiția cea mai naturală pentru mulțimile Caccioppoli, arătând

P(E)\left(=\int |D\chi _{E}|\right)={\mathcal {H}}^{n-1}(\partial ^{*}E)

{\ displaystyle P (E) \ left (= \ int | D \ chi _ {E} | \ right) = {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (\ partial ^ {*} E)}

{\ displaystyle P (E) \ left (= \ int | D \ chi _ {E} | \ right) = {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (\ partial ^ {*} E)}

adică măsura lui Hausdorff este egală cu perimetrul mulțimii. Enunțul teoremei este destul de lung, deoarece raportează mai multe noțiuni geometrice simultan.

Teorema . Presupune $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ este un set de Caccioppoli. Apoi în fiecare moment $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a conturului redus $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ există un spațiu tangent aproximativ $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ din $|D\chi _{E}|$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ de multiplicitate unu, adică un subspatiu codimension-1 $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ astfel încât

\lim _{\lambda \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\lambda ^{-1}(z-x))|D\chi _{E}|(z)=\int _{T_{x}}f(y)\,d{\mathcal {H}}^{n-1}(y)

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ downarrow 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (\ lambda ^ {- 1} (zx)) | D \ chi _ {E} | ( z) = \ int _ {T_ {x}} f (y) \, d {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (y)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ downarrow 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (\ lambda ^ {- 1} (zx)) | D \ chi _ {E} | ( z) = \ int _ {T_ {x}} f (y) \, d {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (y)}

pentru fiecare $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ continuu, sprijinit compact. Într-adevăr, subspațiul $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ este subspațiul ortogonal al vectorului unitar

\nu _{E}(x)=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ nu _ {E} (x) = \ lim _ {\ rho \ downarrow 0} {\ frac {D \ chi _ {E} (B _ {\ rho} (x))} {| D \ chi _ {E} | (B _ {\ rho} (x))}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ nu _ {E} (x) = \ lim _ {\ rho \ downarrow 0} {\ frac {D \ chi _ {E} (B _ {\ rho} (x))} {| D \ chi _ {E} | (B _ {\ rho} (x))}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

definite anterior. Acest vector unitar îndeplinește, de asemenea

\lim _{\lambda \downarrow 0}\left\{\lambda ^{-1}(z-x):z\in E\right\}\to \left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot \nu _{E}(x)>0\right\}

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ downarrow 0} \ left \ {\ lambda ^ {- 1} (zx): z \ in E \ right \} \ to \ left \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: y \ cdot \ nu _ {E} (x)> 0 \ right \}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ downarrow 0} \ left \ {\ lambda ^ {- 1} (zx): z \ in E \ right \} \ to \ left \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: y \ cdot \ nu _ {E} (x)> 0 \ right \}}

local în $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ , prin urmare, este interpretat ca un vector normal de unitate de indicație în interiorul limitei reduse $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ . La sfarsit, $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ este (n-1) - rectificabilă și restricția măsurii Hausdorff (n-1) -dimensională ${\mathcal {H}}^{n-1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {n-1}}$ pentru $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ Și $|D\chi _{E}|$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ ${\ displaystyle | D \ chi _ {E} |}$ , acesta este

|D\chi _{E}|(A)={\mathcal {H}}^{n-1}(A\cap \partial ^{*}E)

{\ displaystyle | D \ chi _ {E} | (A) = {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (A \ cap \ partial ^ {*} E)}

{\ displaystyle | D \ chi _ {E} | (A) = {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (A \ cap \ partial ^ {*} E)}

pentru toate seturile Borel

A\subset \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}

A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}

.

Aplicații

Formula Gauss-Green

Din definiția vectorului de măsură al radonului $D\chi _{E}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle D \ chi _ {E}}$ și din proprietățile perimetrului se aplică următoarea formulă:

\int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial E}\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})

{\ displaystyle \ int _ {E} \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {\ partial E} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} (x) \ rangle \ qquad {\ boldsymbol {\ phi}} \ în C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n}) }

{\ displaystyle \ int _ {E} \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {\ partial E} \ langle {\ boldsymbol {\ phi}}, D \ chi _ {E} (x) \ rangle \ qquad {\ boldsymbol {\ phi}} \ în C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n}) }

Aceasta este o versiune a teoremei divergenței pentru domenii de graniță non-netede. Teorema lui De Giorgi poate fi utilizată pentru a formula aceeași identitate în termenii unei limite reduse $\partial ^{*}E$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {*} E}$ și vectorul normal aproximativ al unității orientate spre interior $\nu _{E}$ ${\ displaystyle \ nu _ {E}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {E}}$ . Exact, se menține următoarea egalitate

\int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial ^{*}E}{\boldsymbol {\phi }}(x)\cdot \nu _{E}(x)\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}(x)\qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})

{\ displaystyle \ int _ {E} \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {\ partial ^ {*} E} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \ cdot \ nu _ {E} (x) \, \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (x) \ qquad {\ boldsymbol {\ phi }} \ în C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}

{\ displaystyle \ int _ {E} \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {\ partial ^ {*} E} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \ cdot \ nu _ {E} (x) \, \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} ^ {n-1} (x) \ qquad {\ boldsymbol {\ phi }} \ în C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}

Notă

^ MR 56067
^ Aceasta a durat până în 1959, anul morții tragice a lui Caccioppoli.
^ MR 0062214 .
^ Vezi secțiunea „ Referințe ”.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Teoria măsurătorilor geometrice , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Perimeter , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
Funcție de variație limitată în Enciclopedia Matematicii

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] MR 56067

[2] Aceasta a durat până în 1959, anul morții tragice a lui Caccioppoli.

[3] MR 0062214 .

[4] Vezi secțiunea „ Referințe ”.

[1]

[2]

[3],

[4]