Spațiu local convex

În matematică , un spațiu convex local este un spațiu vector topologic care generalizează conceptul de spațiu normat .

Topologia local convexă pe un spațiu vector topologic (real sau complex) este o topologie formată dintr-o bază de seturi convexe astfel încât operațiile liniare pe spațiu să fie continue . Aceasta nu este neapărat o topologie Hausdorff .

Din punct de vedere analitic, un spațiu local convex poate fi caracterizat prin luarea în considerare a unui spațiu vector topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în care este definită o familie $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de semi - normale . Spaţiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ local convex se spune dacă:

\cap _{p\in P}\{x\in X|p(x)=0\}=\{0_{X}\}

{\ displaystyle \ cap _ {p \ in P} \ {x \ in X | p (x) = 0 \} = \ {0_ {X} \}}

{\ displaystyle \ cap _ {p \ in P} \ {x \ in X | p (x) = 0 \} = \ {0_ {X} \}}

Topologia naturală care caracterizează un spațiu convex local este, prin urmare, cea mai slabă topologie, astfel încât seminormele familiei sunt funcții continue, iar operația de adunare este continuă.

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , ce poate fi $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Noțiunea de spațiu convex local poate fi definită fie prin utilizarea unor seturi convexe, fie prin medierea unei familii de seminorme .

Seturi convexe

Un subset $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ar putea fi:

Un set convex dacă $tx+(1-t)y$ ${\ displaystyle tx + (1-t) y}$ ${\ displaystyle tx + (1-t) y}$ aparține lui $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ pentru toți $x,y\in C$ ${\ displaystyle x, y \ în C}$ ${\ displaystyle x, y \ în C}$ si pentru $0\leq t\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$ . Cu alte cuvinte, $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ conține toate segmentele care îi conectează punctele.
Un set circular dacă $\lambda x\in C$ ${\ displaystyle \ lambda x \ în C}$ ${\ displaystyle \ lambda x \ în C}$ pentru toți $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ cand $|\lambda |=1$ ${\ displaystyle | \ lambda | = 1}$ $| \ lambda | = 1$ . De sine $K=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ $K = \ R$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este egal cu reflectarea sa față de origine. De sine $K=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ , apoi pentru toți $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ întregul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ conține cercul centrat la origine și care trece prin $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în sub-spațiul unidimensional (complex) generat de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .
Un con dacă $\lambda x\in C$ ${\ displaystyle \ lambda x \ în C}$ ${\ displaystyle \ lambda x \ în C}$ pentru toți $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ cand $0\leq \lambda \leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda \ leq 1}$ .
Un întreg echilibrat dacă $\lambda x\in C$ ${\ displaystyle \ lambda x \ în C}$ ${\ displaystyle \ lambda x \ în C}$ pentru toți $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ cand $|\lambda |\leq 1$ ${\ displaystyle | \ lambda | \ leq 1}$ ${\ displaystyle | \ lambda | \ leq 1}$ . De sine $K=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ , apoi pentru toți $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ întregul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ conține discul centrat la origine și a cărui limită include $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în sub-spațiul unidimensional (complex) generat de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Cu alte cuvinte, este un con circular. De sine $K=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ $K = \ R$ Și $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ , asa de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ conține segmentul de îmbinare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ .
Un set absorbant dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este uniunea mulțimilor $t C.$ ${\ displaystyle tC}$ ${\ displaystyle tC}$ pentru $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ ${\ displaystyle t> 0}$ . În mod echivalent, pentru fiecare $x\in V$ ${\ displaystyle x \ în V}$ ${\ displaystyle x \ în V}$ avem asta $tx\in C$ ${\ displaystyle tx \ în C}$ ${\ displaystyle tx \ în C}$ pentru unii $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ ${\ displaystyle t> 0}$ .
Un set absolut convex dacă este echilibrat și convex.

Un spațiu vector topologic convex local este un spațiu vector topologic care admite o bază de vecinătăți de origine care sunt seturi absorbante absolut convexe.

Deoarece traducerea este o hartă continuă (prin definiția unui spațiu vector topologic), toate traducerile sunt homeomorfisme și, prin urmare, orice bază locală poate fi tradusă în vecinătatea oricărui alt vector, în afară de origine.

Semi-gol

Un spațiu local convex este un spațiu vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ cu o familie de jumătate $\{p_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ ${\ displaystyle \ {p _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în A}}$ ${\ displaystyle \ {p _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în A}}$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Spațiul are o topologie naturală, topologia inițială generată de familia (numărabilă) de semi-norme. Este anume topologia mai dură, astfel încât toate funcțiile:

{\begin{cases}p_{\alpha ,y}:V\to \mathbb {R} \\x\mapsto p_{\alpha }(x-y)&y\in V,\alpha \in A\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} p _ {\ alpha, y}: V \ to \ mathbb {R} \\ x \ mapsto p _ {\ alpha} (xy) & y \ in V, \ alpha \ in A \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} p _ {\ alpha, y}: V \ to \ mathbb {R} \\ x \ mapsto p _ {\ alpha} (xy) & y \ in V, \ alpha \ in A \ end {cases}}}

sunt continue . O bază de împrejurimi pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se obține definind pentru fiecare subset finit $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ :

U_{B,\varepsilon }(y)=\{x\in V:p_{\alpha }(x-y)<\varepsilon \ \forall \alpha \in B\}

{\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (y) = \ {x \ in V: p _ {\ alpha} (xy) <\ varepsilon \ \ forall \ alpha \ in B \}}

{\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (y) = \ {x \ in V: p _ {\ alpha} (x-y) <\ varepsilon \ \ forall \ alpha \ in B \}}

Am notat asta:

U_{B,\varepsilon }(y)=\bigcap _{\alpha \in B}(p_{\alpha ,y})^{-1}([0,\varepsilon ))

{\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (y) = \ bigcap _ {\ alpha \ in B} (p _ {\ alpha, y}) ^ {- 1} ([0, \ varepsilon))}

{\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (y) = \ bigcap _ {\ alpha \ in B} (p _ {\ alpha, y}) ^ {- 1} ([0, \ varepsilon))}

În ceea ce privește definiția „set”, spațiul vector topologic rezultat este local convex ca fiecare $U_{B,\varepsilon }(0)$ ${\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (0)}$ ${\ displaystyle U_ {B, \ varepsilon} (0)}$ este absolut convex și absorbant.

Echivalența definițiilor

Pentru un set absorbant $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât dacă $x\in C$ ${\ displaystyle x \ în C}$ ${\ displaystyle x \ în C}$ asa de $tx\in C$ ${\ displaystyle tx \ în C}$ ${\ displaystyle tx \ în C}$ pentru $1\leq t\leq 1$ ${\ displaystyle 1 \ leq t \ leq 1}$ ${\ displaystyle 1 \ leq t \ leq 1}$ , funcționalul Minkowski este definit ca:

\mu _{C}(x)=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda C\}

{\ displaystyle \ mu _ {C} (x) = \ inf \ {\ lambda> 0: x \ in \ lambda C \}}

{\ displaystyle \ mu _ {C} (x) = \ inf \ {\ lambda> 0: x \ in \ lambda C \}}

Din această definiție rezultă că $\mu _{C}$ ${\ displaystyle \ mu _ {C}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {C}}$ este un seminorm dacă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este echilibrat și convex. Dimpotrivă, având în vedere o familie de seminorme, seturile:

\left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon ,\cdots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon \right\}

{\ displaystyle \ left \ {x: p _ {\ alpha _ {1}} (x) <\ varepsilon, \ cdots, p _ {\ alpha _ {n}} (x) <\ varepsilon \ right \}}

{\ displaystyle \ left \ {x: p _ {\ alpha _ {1}} (x) <\ varepsilon, \ cdots, p _ {\ alpha _ {n}} (x) <\ varepsilon \ right \}}

formează o bază de ansambluri absorbante și echilibrate.

Exemple

Fiecare spațiu normat este un spațiu Hausdorff local convex și o parte a teoriei spațiilor convexe local generalizează rezultatele legate de spațiile normate. Fiecare spațiu Banach este un spațiu Hausdorff complet convex local și în special spațiile L ^p con $p\geq 1$ ${\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ ele sunt local convexe.

Mai general, fiecare spațiu Fréchet este un spațiu convex local. Un spațiu Fréchet poate fi de fapt definit ca un spațiu convex local echipat cu o familie separată de semi-viermi.

Spaţiu $R^{\omega }$ ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$ succesiuni cu valoare reală cu familia de semi-normale date de:

p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|\qquad i\in \mathbf {N}

{\ displaystyle p_ {i} \ left (\ left \ {x_ {n} \ right \} _ {n} \ right) = \ left | x_ {i} \ right | \ qquad i \ in \ mathbf {N} }

{\ displaystyle p_ {i} \ left (\ left \ {x_ {n} \ right \} _ {n} \ right) = \ left | x_ {i} \ right | \ qquad i \ in \ mathbf {N} }

este un spațiu al lui Fréchet (non-normabil) deoarece familia seminormelor este completă și separabilă.

Având în vedere un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și o colecție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ funcționale liniare definite pe acesta, $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ poate fi făcut un spațiu vectorial topologic convex local (nu normabil) echipându-l topologie mai slabă astfel încât familia funcțională să fie funcții continue. În special când $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu Banach real sau complex e $F=V^{*}$ ${\ displaystyle F = V ^ {*}}$ ${\ displaystyle F = V ^ {*}}$ este dualitatea sa, aceasta induce topologia slabă care, de fapt, face spațiul local convex.

Pe spațiul funcțiilor netede $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ astfel încât $\sup _{x}|x^{a}D^{b}f|<\infty$ ${\ displaystyle \ sup _ {x} | x ^ {a} D ^ {b} f | <\ infty}$ ${\ displaystyle \ sup _ {x} | x ^ {a} D ^ {b} f | <\ infty}$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt multiindici , putem defini familia seminormelor date de:

p_{a,b}=\sup _{x}|x^{a}D^{b}f(x)|

{\ displaystyle p_ {a, b} = \ sup _ {x} | x ^ {a} D ^ {b} f (x) |}

{\ displaystyle p_ {a, b} = \ sup _ {x} | x ^ {a} D ^ {b} f (x) |}

care este separat și numărabil. Deoarece spațiul este complet, acesta este un spațiu metrizabil care este un spațiu Fréchet și este cunoscut sub numele de spațiu Schwartz sau spațiu funcțional care scade rapid . Spațiul său dual este spațiul distribuțiilor temperate .

Având în vedere un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , spațiu $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ funcții continue (nu neapărat delimitate) pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se poate caracteriza cu topologia convergenței uniforme pe seturi compacte . Această topologie este dată de familia seminormelor:

\phi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}

{\ displaystyle \ phi _ {K} (f) = \ max \ {| f (x) |: x \ în K \}}

{\ displaystyle \ phi _ {K} (f) = \ max \ {| f (x) |: x \ în K \}}

unde este

V.

{\ displaystyle V}

V.

acoperă setul direct al tuturor subseturilor compacte ale

X

{\ displaystyle X}

X

. De sine

V.

{\ displaystyle V}

V.

este compact la nivel local (de exemplu, poate fi un open de

\mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

\ mathbb {R} ^ {n}

) atunci în cazul funcțiilor reale se aplicăteorema de aproximare Weierstrass : orice subalgebră a

C(X)

{\ displaystyle C (X)}

C (X)

care separă punctele și conține funcția constantă este un set dens .

Operatori lineari continui

Folosind semi-normele este posibil să se definească o condiție necesară și suficientă pentru continuitatea hărților definite între spații convexe la nivel local, operatorii lineari continui .

Având în vedere două spații convexe local $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ în care sunt definite respectiv două familii de seminorme $\{p_{\alpha }\}_{\alpha }$ ${\ displaystyle \ {p _ {\ alpha} \} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ {p _ {\ alpha} \} _ {\ alpha}}$ Și $\{q_{\beta }\}_{\beta }$ ${\ displaystyle \ {q _ {\ beta} \} _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ {q _ {\ beta} \} _ {\ beta}}$ , o hartă liniară $T:V\to W$ ${\ displaystyle T: V \ to W}$ ${\ displaystyle T: V \ to W}$ este continuu dacă a numai dacă pentru fiecare $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ exista $\alpha _{1},\dots \alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots \ alpha _ {n}}$ și există $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ astfel încât pentru toți transportatorii $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ în V$ apare:

q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right)

{\ displaystyle q _ {\ beta} (Tv) \ leq M \ left (p _ {\ alpha _ {1}} (v) + \ dotsb + p _ {\ alpha _ {n}} (v) \ right )}}

{\ displaystyle q _ {\ beta} (Tv) \ leq M \ left (p _ {\ alpha _ {1}} (v) + \ dotsb + p _ {\ alpha _ {n}} (v) \ right )}}

Cu alte cuvinte, fiecare seminormă a imaginii funcției este mărginită în partea de sus de o sumă finită de seminorme din domeniul funcției.

Bibliografie

(EN) John B. Conway, Un curs de analiză funcțională, ediția a II-a, Springer, 1997, ISBN 0-387-97245-5 .
(EN) Walter Rudin,Analiza funcțională , McGraw-Hill Science / Engineering / Math, ianuarie 1991, ISBN 0-07-054236-8 .
( EN ) N. Bourbaki, Elements of math. Spații vectoriale topologice , Addison-Wesley (1977) (Traducere din franceză)
( EN ) HH Schaefer, Spații vectoriale topologice , Macmillan (1966)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AI Shtern, Topologie convexă locală , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică