Moment mecanic

Momentul mecanic , indicat cu $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ mathbf {M}}$ sau, în contextul anglo-saxon, cu ${\boldsymbol {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$ $\ boldsymbol {\ tau}$ (din cuplul englezesc), exprimă atitudinea unei forțe de a transmite o rotație unui corp rigid în jurul unei axe atunci când aceasta nu este aplicată centrului său de masă , altfel ar exista mișcare de translație . Prin urmare, constituie momentul forței .

Momentul mecanic este un pseudovector , nu un scalar precum energia sau munca . Din acest motiv, unitatea SI a momentului mecanic este N m ( newton pe metru ), nu joul , chiar dacă cele două unități au aceleași dimensiuni fizice. ^[1]

Analiza momentelor mecanice determină starea de echilibru a corpurilor extinse și servește pentru studiul mișcărilor de rotație, de fapt acestea apar în a doua ecuație a lui Euler .

Definiție

Momentul mecanic M față de polul O

Momentul mecanic ^[2] în raport cu un punct dat $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , numit pol sau centru de rotație , este definit în mecanica newtoniană ca produsul vectorial între poziția vectorului , în raport cu polul însuși, și forța: ^[3] ^[4]

\mathbf {\vec {M_{O}}} :=\mathbf {\vec {r}} \times \mathbf {\vec {F}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}: = \ mathbf {\ vec {r}} \ times \ mathbf {\ vec {F}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}: = \ mathbf {\ vec {r}} \ times \ mathbf {\ vec {F}}}

Forma de $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ este deci definit de

|\mathbf {M} _{O}|=|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {F} |\sin \vartheta =\mathbf {F} \cdot \mathbf {b}

{\ displaystyle | \ mathbf {M} _ {O} | = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}}

{\ displaystyle | \ mathbf {M} _ {O} | = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}}

Vectorul $\mathbf {\vec {M_{O}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}}$ este perpendicular pe planul definit de $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ și din $\mathbf {\vec {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {r}}}$ iar versul, așa cum este exprimat prin regula mâinii drepte , este cel al unui observator care vede rotire $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ în sens invers acelor de ceasornic. Măreția $\mathbf {r} \sin \vartheta$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ sin \ vartheta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ sin \ vartheta}$ , distanța axei de rotație față de linia dreaptă pe care se află $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ , se numește braț $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ de forță $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ .

De sine $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ Și $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ sunt ortogonale între ele brațul este exact egal cu modulul de $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ iar modulul momentului este maxim (vezi pârghia ). Momentul poate fi nul dacă forța sau brațul sunt nule sau dacă $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ este paralel cu $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ .

Dacă sistemul este compus din mai multe componente asemănătoare punctelor, momentul mecanic total este suma momentelor mecanice individuale, fiecare datorită forței asupra componentei unice și a brațului său:

\mathbf {M} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times {\hat {\mathbf {n} }}_{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {i} = \ sum _ { i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {i} = \ sum _ { i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}

În sistemele continue, definiția este extinsă în mod natural prin introducerea densității $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ și câmpul de accelerație $\mathbf {a} (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} (\ mathbf {r})}$ :

\mathbf {M} =\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \times \mathbf {a} (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ int \ rho (\ mathbf {r}) \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ int \ rho (\ mathbf {r}) \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} V}

Moment mecanic axial

Momentul mecanic axial al unei forțe față de o axă este definit ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ trecând printr-un punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ componenta ortogonală a momentului polar pe o anumită axă ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , numită axă centrală:

\mathbf {M} _{\hat {z}}:=[(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )\cdot {\hat {\mathbf {z} }}]{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

unde este ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ este un vector unitar , vector de lungime unitară, care identifică axa. Modulul va fi:

M_{\hat {n}}=|\mathbf {M} _{O}|\cdot \cos \varphi =|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {F} |\sin \vartheta \cos \varphi =(\mathbf {F} \cdot \mathbf {b} )\cos \varphi

{\ displaystyle M _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {M} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

{\ displaystyle M _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {M} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este unghiul format de vectorul momentului polar $\mathbf {M} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ cu axa ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . În practică este proiecția ortogonală a momentului polar pe axă ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . Pentru aceasta, momentul axial este zero dacă unghiul $\varphi =\pi /2$ ${\ displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ ${\ displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ și maxim atunci când axa ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ coincide cu axa lui $\mathbf {M} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ ; în acest caz, de fapt: $\varphi =0$ ${\ displaystyle \ varphi = 0}$ ${\ displaystyle \ varphi = 0}$ .

Teorema lui Varignon

Același subiect în detaliu: teorema lui Varignon .

Teorema lui Varignon afirmă că momentul rezultat din suma momentelor mecanice aplicate în același punct, sau echivalent suma momentelor axiale plasate la aceeași distanță de o axă de referință, corespunde momentului mecanic al rezultatului :

\mathbf {M} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {M} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{i})=\mathbf {r} \times \sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} _ {i}) = \ mathbf {r} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} _ {i}) = \ mathbf {r} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}

Acest lucru este deosebit de util în ecuațiile lui Euler .

Legătură cu impulsul unghiular

Același subiect în detaliu: Ecuațiile cardinale ale dinamicii § A doua ecuație cardinală .

Derivarea impulsului unghiular în raport cu timpul $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ comparativ cu un stâlp $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a unui sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ se obțin puncte materiale:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{O})\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} { \ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} + (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm { d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} { \ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} + (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm { d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}}}

unde este $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ este impulsul și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este viteza punctului de aplicare, dar pentru că:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {v} _{i}\times m\mathbf {v} _{i}=0\quad \forall i

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {v} _ { i} \ times m \ mathbf {v} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {v} _ { i} \ times m \ mathbf {v} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

rezultă că:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{O})\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

În caz de polo $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este nemișcat, momentul mecanic este egal cu variația momentului unghiular în jurul aceluiași centru sau axă a primului:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M}}

Legătură cu mișcarea rotativă

Același subiect în detaliu: tensorul de inerție .

Luând relația demonstrată în paragraful anterior, în cazul unui corp rigid rotativ, se poate observa că $\mathbf {v} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ reprezintă viteza tangențială a corpului care se rotește, de aceea avem că:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

în acest caz impulsul unghiular este corelat cu mișcarea rotativă. De fapt, impulsul unghiular este proporțional cu viteza unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ prin tensorul de inerție ${\underline {\underline {\mathbf {I} }}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ :

\mathbf {L} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Înlocuind obținem:

{\frac {\mathrm {d} \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\iff \mathbf {M} ={\cancel {\frac {\mathrm {d} {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}}{\mathrm {d} t}}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+{\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right ) \ iff \ mathbf {M} = {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot { \ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t }} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = {\ underline {\ subliniere {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right ) \ iff \ mathbf {M} = {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot { \ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t }} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = {\ underline {\ subliniere {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

unde este ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ este accelerația unghiulară . Momentul unghiular este, de asemenea, proporțional cu viteza areolară ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ prin masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ :

\mathbf {L} =2m{\dot {\mathbf {A} }}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

Înlocuind obținem:

{\frac {\mathrm {d} \left(2m{\dot {\mathbf {A} }}\right)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \left(2m{\dot {\mathbf {A} }}\right)\iff \mathbf {M} =2{\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}{\dot {\mathbf {A} }}+2m{\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times 2m{\dot {\mathbf {A} }}=2m({\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {A} }})

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right) \ iff \ mathbf {M} = 2 {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {A}}})}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right) \ iff \ mathbf {M} = 2 {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {A}}})}

unde este ${\ddot {\mathbf {A} }}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ este accelerația areolară .

Ecuația care leagă momentul mecanic de viteza unghiulară poate fi rescrisă prin relația Poisson ; de fapt, vectorul triplului produs poate fi transformat într-un produs obișnuit folosind matricea antisimetrică a vitezei unghiulare, în analogie de exemplu cu definiția tensorului Kong , definit de exemplu într-un spațiu tridimensional ca:

{\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \ end {bmatrix}}}

Prin urmare, se pare că:

\mathbf {M} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}\cdot {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}} } \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}} } \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Observăm apoi că momentul mecanic are în general două componente, una cu viteză unghiulară zero, cealaltă cu accelerație unghiulară zero:

\left.{\begin{aligned}&\mathbf {M} |_{\omega =0}={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\&\mathbf {M} |_{\alpha =0}={\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}\cdot {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\\\end{aligned}}\right\}\implies \mathbf {M} =\mathbf {M} |_{\omega =0}+\mathbf {M} |_{\alpha =0}

{\ displaystyle \ left. {\ begin {align} & \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }} \\ & \ mathbf {M} | _ {\ alpha = 0} = {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}} }} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \\\ end {align}} \ right \} \ implica \ mathbf {M} = \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} + \ mathbf {M } | _ {\ alpha = 0}}

{\ displaystyle \ left. {\ begin {align} & \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }} \\ & \ mathbf {M} | _ {\ alpha = 0} = {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}} }} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \\\ end {align}} \ right \} \ implica \ mathbf {M} = \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} + \ mathbf {M } | _ {\ alpha = 0}}

Ca exemplu notabil, considerați că un corp este constrâns la o axă fixă barentrică într-o referință unde este înclinat ca axă ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , cum ar fi o manivelă :

{\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}0\\0\\\omega \end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}}}

$\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ rezultă în general:

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&I_{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\{\dot {\omega }}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-\omega &0\\\omega &0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&I_{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\\omega \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-I_{xz}{\dot {\omega }}+I_{yz}\omega ^{2}\\-I_{yz}{\dot {\omega }}-I_{xz}\omega ^{2}\\I_{zz}{\dot {\omega }}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \ \ -I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} } + {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega & 0 \\\ omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \ \ -I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \\ - I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix }} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -I_ {xz} {\ dot {\ omega}} + I_ {yz} \ omega ^ {2} \\ - I_ {yz} {\ dot {\ omega}} - I_ {xz} \ omega ^ {2} \\ I_ {zz} {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} }}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \ \ -I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} } + {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega & 0 \\\ omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \ \ -I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \\ - I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix }} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -I_ {xz} {\ dot {\ omega}} + I_ {yz} \ omega ^ {2} \\ - I_ {yz} {\ dot {\ omega}} - I_ {xz} \ omega ^ {2} \\ I_ {zz} {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} }}

Moment de tensiune

În mecanica solidelor, un moment mecanic se traduce printr-o tensiune în funcție de îndoire , adică orientată paralel cu secțiunea sau răsucire , dacă este orientată perpendicular pe secțiune.

Într-o structură plană asupra căreia acționează doar forțe coplanare, există doar momente de încovoiere .

Muncă și energie potențială de rotație

Munca de rotație

Lucrul de rotație efectuat de momentul mecanic este:

W=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf {F} \cdot (\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} )=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mathbf {M} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }},

{\ displaystyle W = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ int _ {r_ {1}} ^ { r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot (\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}) = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ mathbf {M} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}},}

{\ displaystyle W = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ int _ {r_ {1}} ^ { r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot (\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}) = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ mathbf {M} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}},}

Ca și în cazul translațional, este deci posibil pentru un moment să efectueze și o muncă negativă, dacă se opune deplasării unghiulare reale sau zero, dacă este normală la deplasarea unghiulară reală. Aici observăm analogiile cu munca translațională, care permit unificarea lagrangiană a forței generalizate . ^{[ neclar ]}

Energia potențială de rotație

Un moment mecanic, similar cu o forță, poate fi conservator și, prin urmare, admite o energie potențială în conformitate cu lema lui Poincaré :

\nabla _{\theta }\times \mathbf {M} =0\implies \mathbf {M} =\nabla _{\theta }U,

{\ displaystyle \ nabla _ {\ theta} \ times \ mathbf {M} = 0 \ implicies \ mathbf {M} = \ nabla _ {\ theta} U,}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ theta} \ times \ mathbf {M} = 0 \ implicies \ mathbf {M} = \ nabla _ {\ theta} U,}

unde este

\nabla _{\theta }=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \phi }},{\frac {\partial }{\partial \psi }}\right)

{\ displaystyle \ nabla _ {\ theta} = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}, {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}}, {\ frac {\ partial } {\ partial \ psi}} \ right)}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ theta} = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}, {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}}, {\ frac {\ partial } {\ partial \ psi}} \ right)}

În acest caz, rezultă un sistem cu un grad unghiular de libertate :

U(\theta )=-\int _{\theta _{0}}^{\theta }M(\alpha )\,\mathrm {d} \alpha +U(\theta _{0}),

{\ displaystyle U (\ theta) = - \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} M (\ alpha) \, \ mathrm {d} \ alpha + U (\ theta _ {0}) ,}

{\ displaystyle U (\ theta) = - \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} M (\ alpha) \, \ mathrm {d} \ alpha + U (\ theta _ {0}) ,}

Valoarea energiei potențiale în $\theta _{0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ este definit în mod arbitrar din punct de vedere matematic; este de obicei impusă o condiție de graniță Dirichlet , la care condiția de localizare nu este aplicabilă deoarece, în general, energia potențială de rotație este întotdeauna periodică în variabilele sale unghiulare cu perioadă maximă $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

În cele din urmă, în cazul mai general cu cele trei grade de rotație ale libertății:

U(\theta ,\phi ,\psi )=-\int _{0}^{\theta }\mathbf {M} (\tau ,0,0)\cdot \mathbf {e} _{1}\,\mathrm {d} \tau -\int _{0}^{\phi }\mathbf {M} (\theta ,\tau ,0)\cdot \mathbf {e} _{2}\,\mathrm {d} \tau -\int _{0}^{\psi }\mathbf {M} (\theta ,\phi ,\tau )\cdot \mathbf {e} _{3}\,\mathrm {d} \tau +C

{\ displaystyle U (\ theta, \ phi, \ psi) = - \ int _ {0} ^ {\ theta} \ mathbf {M} (\ tau, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1 } \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ phi} \ mathbf {M} (\ theta, \ tau, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ psi} \ mathbf {M} (\ theta, \ phi, \ tau) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \, \ mathrm {d } \ tau + C}

{\ displaystyle U (\ theta, \ phi, \ psi) = - \ int _ {0} ^ {\ theta} \ mathbf {M} (\ tau, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1 } \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ phi} \ mathbf {M} (\ theta, \ tau, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ psi} \ mathbf {M} (\ theta, \ phi, \ tau) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \, \ mathrm {d } \ tau + C}

Puterea de rotație

În caz de polo $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ puterea de rotație posedată de momentul mecanic este imobilă se dovedește a fi:

P={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {dt} }}=\mathbf {M} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {dt} }}=\mathbf {M} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle P = {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

unde este ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ este viteza unghiulară a punctului.

Pereche de forțe

Momentul mecanic pur cauzat de perechea de forțe

\mathbf {F} _{g}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {g}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {g}}

Și

-\mathbf {F} _{g}

{\ displaystyle - \ mathbf {F} _ {g}}

{\ displaystyle - \ mathbf {F} _ {g}}

provoacă o modificare a impulsului unghiular

\mathbf {L}

{\ displaystyle \ mathbf {L}}

{\ mathbf L}

în direcția 55. Aceasta induce o precesiune în partea de sus.

O problemă foarte frecventă este măsurarea forței exercitate de ceva care se întoarce. Cel mai natural mod este de a fixa o bară pe rotor și de a măsura forța pe care o exercită ortogonal la o anumită distanță de punctul de sprijin. În acest moment, prin convenție, „forța unui rotor” ar putea fi definită ca cea măsurată la distanță, de exemplu, la un metru de punctul de sprijin. În acest fel ar fi posibil să se compare forțele diferiților rotori.

Conform legilor care guvernează pârghiile, modulul produsului vectorial dintre forță și distanța de la punctul de sprijin, numit brațul forței , este o constantă. Dacă forța exercitată ortogonal barului este măsurată la o distanță de jumătate de metru, se constată că este dublă față de cea măsurată la un metru; la 10 cm este de zece ori mai mare; doi metri este jumătate și așa mai departe. Prin urmare, pe scurt, numai produsul: braț × forță este relevant pentru un corp rigid și nu pentru valorile unice ale celor două componente.

Cuplul este adesea utilizat în industria mecanică pentru a cuantifica puterea generată de un motor conform formulei:

P=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle P = \ mathbf {T} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle P = \ mathbf {T} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

unde este:

$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este puterea motorului exprimată în W (wați) la numărul de rotații dorit
$\mathbf {T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ este cuplul generat exprimat în N m (newton × metri)
${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ este viteza unghiulară exprimată în radiani pe secundă la care se referă puterea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , unde este $\omega =2\pi f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ , cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ frecvența de rotație , măsurată în rotații pe secundă

Pentru măsurarea cuplului se folosește un manometru cu punte completă .

Notă

^ CUPLU ȘI PUTERE , pe spazioomotori.it . Adus la 31 ianuarie 2013 .
^ numit și moment mecanic polar .
^(RO) IUPAC Gold Book, „momentul unei forțe”
^ Momentul unei forțe (cuplu) , pe www.youmath.it . Adus la 22 mai 2020 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre moment mecanic

linkuri externe

( EN ) Moment mecanic , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85136134 · GND (DE) 4012932-9

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] CUPLU ȘI PUTERE , pe spazioomotori.it . Adus la 31 ianuarie 2013 .

[2] umit și moment mecanic polar .

[3] (RO) IUPAC Gold Book, „momentul unei forțe”

[4] Momentul unei forțe (cuplu) , pe www.youmath.it . Adus la 22 mai 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]