Formulare slabă

Ca parte a ecuației diferențiale , în special a ecuațiilor diferențiale parțiale , este de o mare importanță pentru studiul formulării slabe a problemelor diferențiale clasice, care sunt, de asemenea, solicitate pentru probleme de dualitate sub forma puternică sau clasică. Rezolvarea unei probleme într-o formă slabă înseamnă găsirea unei soluții, numită o soluție slabă , ale cărei derivate ar putea să nu existe, dar care este în orice caz o soluție la ecuație într-un mod foarte precis. Foarte des acestea sunt singurele soluții care pot fi găsite.

Conceptul de soluție slabă este legat de cel de derivată slabă : este vorba de definirea noțiunii de derivată și pentru funcții integrabile, dar nu neapărat diferențiate .

Introducere

Se spune că o problemă legată de o ecuație diferențială este bine pusă dacă are o soluție, dacă această soluție este unică și dacă depinde continuu de datele furnizate de problemă. ^[1] O problemă bine pusă conține toate caracteristicile ideale pentru a studia solvabilitatea acesteia. Soluția unei ecuații diferențiale parțiale de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ definim soluția informal clasică sau soluția puternică dacă este o funcție diferențiată până la comandă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -th ^[1] și toate derivatele există și sunt continue: pentru a rezolva un PDE în sens clasic trebuie, prin urmare, să căutăm o funcție lină sau cel puțin de clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ . Majoritatea ecuațiilor diferențiale parțiale nu admit soluții clasice, cum ar fi ecuațiile de continuitate . Dacă admitem o funcție nediferențiată ca soluție a unei probleme bine puse, această soluție este o soluție slabă, numită și „soluție generalizată” sau „soluție integrală”. ^[2] Formularea slabă a unei probleme derivă din cea puternică, iar o soluție a problemei puternice este, de asemenea, o soluție a problemei slabe.

Descriere generala

Ideea de bază a formulărilor slabe este cea care a dus și la introducerea în matematică a distribuțiilor , sau „funcții generalizate”: sunt funcționale liniare definite pe spațiul funcțiilor constituite de funcțiile numite funcții de testare . Spațiul de distribuție este spațiul dual al spațiului funcției de testare. Acestea sunt funcții într-un sens mai general: unele distribuții, dacă sunt văzute ca funcții , pot chiar să nu aibă echivalent în analiza tradițională (a se vedea, de exemplu, delta Dirac ). Intuitiv, dacă acest spațiu „de testare” este suficient de mare și dacă are anumite proprietăți, este rezonabil să ne gândim să reconstituim funcția (generalizată) știind cum afectează fiecare funcție de testare a spațiului.

Luând o ecuație, pentru a găsi o soluție slabă, procedăm în general prin înmulțirea ambilor termeni cu o funcție de testare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , și apoi să integreze ambii membri pe întregul domeniu de interes. Apoi derivatele sunt „descărcate” (integrându-se pe părți) din funcție $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ pe funcția de testare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ suficient pentru a putea solicita cât mai puțină regularitate este un $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ că a $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . Pentru a putea face integrările este necesar să fie $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ acea $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ sunt cel puțin în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ (altfel integralul nu are sens); mai mult, pentru a integra produsele printre derivate, acestea trebuie să fie și în spațiul Sobolev $H^{k}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ , unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ indică ordinea maximă de derivare care apare după descărcarea derivatelor din $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ pe $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . Prin urmare, considerați un operator diferențial liniar într-un set deschis $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ :

P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x)

{\ displaystyle P (x, \ partial) u (x) = \ sum a _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n}} (x) \ partial ^ {\ alpha _ {1}} \ partial ^ {\ alpha _ {2}} \ cdots \ partial ^ {\ alpha _ {n}} u (x)}

{\ displaystyle P (x, \ partial) u (x) = \ sum a _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n}} (x) \ partial ^ {\ alpha _ {1}} \ partial ^ {\ alpha _ {2}} \ cdots \ partial ^ {\ alpha _ {n}} u (x)}

unde multi-indexul $(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ variază într-un subgrup finit de $\mathbb {N} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {n}}$ iar coeficienții $a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ ${\ displaystyle a _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n}}}$ ${\ displaystyle a _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n}}}$ sunt funcții suficient de netede ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Ecuația $P(x,\partial )u(x)=0$ ${\ displaystyle P (x, \ partial) u (x) = 0}$ ${\ displaystyle P (x, \ partial) u (x) = 0}$ , după ce a fost înmulțit cu o funcție de testare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ netedă și cu un suport compact $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , poate fi integrat prin piese $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ dots + \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ dots + \ alpha _ {n}}$ ori, astfel încât să ajungă să fie scris ca:

\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0

{\ displaystyle \ int _ {W} u (x) Q (x, \ partial) \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

{\ displaystyle \ int _ {W} u (x) Q (x, \ partial) \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

unde operatorul diferențial $Q(x,\partial )$ ${\ displaystyle Q (x, \ partial)}$ ${\ displaystyle Q (x, \ partial)}$ este dat de:

Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right]

{\ displaystyle Q (x, \ partial) \ varphi (x) = \ sum (-1) ^ {| \ alpha |} \ partial ^ {\ alpha _ {1}} \ partial ^ {\ alpha _ {2} } \ cdots \ partial ^ {\ alpha _ {n}} \ left [a _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n}} (x) \ varphi ( x) \ dreapta]}

{\ displaystyle Q (x, \ partial) \ varphi (x) = \ sum (-1) ^ {| \ alpha |} \ partial ^ {\ alpha _ {1}} \ partial ^ {\ alpha _ {2} } \ cdots \ partial ^ {\ alpha _ {n}} \ left [a _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n}} (x) \ varphi ( x) \ dreapta]}

Numarul:

(-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}

{\ displaystyle (-1) ^ {| \ alpha |} = (- 1) ^ {\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}}}

{\ displaystyle (-1) ^ {| \ alpha |} = (- 1) ^ {\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}}}

apare deoarece fiecare integrare pe părți produce o multiplicare cu -1. Operatorul $Q(x,\partial )$ ${\ displaystyle Q (x, \ partial)}$ ${\ displaystyle Q (x, \ partial)}$ este operatorul adjunct al $P(x,\partial )$ ${\ displaystyle P (x, \ partial)}$ ${\ displaystyle P (x, \ partial)}$ .

Se vede astfel că dacă formularea originală (formulare puternică) necesită găsirea unei funcții $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ (soluție puternică) definită pe $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , diferențiat | α | -timi și astfel încât:

P(x,\partial )u(x)=0\qquad \forall x\in W

{\ displaystyle P (x, \ partial) u (x) = 0 \ qquad \ forall x \ in W}

{\ displaystyle P (x, \ partial) u (x) = 0 \ qquad \ forall x \ in W}

apoi o funcție integrabilă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este o soluție slabă dacă:

\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0

{\ displaystyle \ int _ {W} u (x) Q (x, \ partial) \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

{\ displaystyle \ int _ {W} u (x) Q (x, \ partial) \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x = 0}

pentru fiecare funcție lină cu suport compact $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ .

Pe domenii limitate, o soluție puternică este, de asemenea, o soluție slabă, deoarece procedurile de integrare pentru piese sunt legitime. Dacă apare problema inversă, adică dacă este o soluție $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ problema slabă satisface și problema puternică, vedem că $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ nu poate fi o soluție puternică dacă derivatele sunt interpretate în sens clasic din două motive:

Functia $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ aparține lui $H^{1}$ ${\ displaystyle H ^ {1}}$ ${\ displaystyle H ^ {1}}$ și, prin urmare, nu poate avea o a doua derivată continuă în general (altfel ar fi și în $H^{2}$ ${\ displaystyle H ^ {2}}$ ${\ displaystyle H ^ {2}}$ ), așa cum este cerut de soluția puternică.
În formularea slabă nici măcar nu se cere acest lucru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este definit peste tot. Pentru ca fiecare integrantă Lebesgue să aibă sens, $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ poate asuma valori arbitrare și într-o infinitate de puncte numărabile a domeniului (mai precis într-un set cu măsură Lebesgue zero sau aproape peste tot ).

Apoi explică motivul de luat în considerare $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ nu mai mult ca funcție, ci ca distribuție. Presupunând acest lucru și interpretând derivatele în sensul distribuțiilor, putem spune că $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ satisface problema puternică (în sensul distribuțiilor). Chiar și presupunerea datelor la margine este problematică: pentru ceea ce s-a spus mai sus, având în vedere că marginea domeniului a măsurat întotdeauna zero, vorbim despre valoarea $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ pe margine nu are sens clasic. Soluția la această problemă este luând în considerare datele limită ca o limită (în sensul $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ ) a funcțiilor clasei $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ suport compact care aproximativ $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în ideea de $H^{1}$ ${\ displaystyle H ^ {1}}$ ${\ displaystyle H ^ {1}}$ .

Exemplu

Pentru a ilustra conceptul, luați în considerare ecuația undei :

{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

in care $u(t,x)$ ${\ displaystyle u (t, x)}$ ${\ displaystyle u (t, x)}$ poate fi diferențiat continuu pe $R^{2}$ ${\ displaystyle R ^ {2}}$ $R ^ {2}$ . Înmulțirea ecuației cu o funcție lină și compatibilă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ și, prin integrare, obținem:

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ partial u (t, x)} {\ partial t}} \ varphi (t, x) \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac { \ partial u (t, x)} {\ partial x}} \ varphi (t, x) \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x = 0}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ partial u (t, x)} {\ partial t}} \ varphi (t, x) \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac { \ partial u (t, x)} {\ partial x}} \ varphi (t, x) \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x = 0}

Datorită teoremei lui Fubini este posibilă schimbarea ordinii de integrare, astfel încât integrarea prin părți în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ primul termen și în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Al doilea:

-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0

{\ displaystyle - \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t, x) {\ frac {\ partial \ varphi (t, x)} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x- \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t , x) {\ frac {\ partial \ varphi (t, x)} {\ partial x}} \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x = 0}

{\ displaystyle - \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t, x) {\ frac {\ partial \ varphi (t, x)} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x- \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t , x) {\ frac {\ partial \ varphi (t, x)} {\ partial x}} \, \ mathrm {d} t \ mathrm {d} x = 0}

Observăm că integralele variază de la −∞ la ∞, dar ele sunt practic evaluate pe un domeniu închis în acest domeniu $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ are suport compact. Prin urmare, există o funcție $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , care nu poate fi diferențiat, ceea ce satisface ultima ecuație pentru fiecare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ dar că nu este o soluție a ecuației undei: este o soluție slabă.

De exemplu:

u(t,x)=|t-x|\qquad \forall t,x

{\ displaystyle u (t, x) = | tx | \ qquad \ forall t, x}

{\ displaystyle u (t, x) = | t-x | \ qquad \ forall t, x}

este o soluție slabă, așa cum se arată prin integrarea pe părți a părților laterale ale liniei $x=t$ ${\ displaystyle x = t}$ ${\ displaystyle x = t}$ .

Lema Lax-Milgram

Același subiect în detaliu: lema Lax-Milgram și teorema Babuška-Lax-Milgram .

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu Banach . Vrei să găsești o soluție $u\in V$ ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle u \ in V}$ ecuaţie:

Au=f

{\ displaystyle Au = f}

Au = f

unde este $A:V\to V'$ ${\ displaystyle A: V \ to V '}$ ${\ displaystyle A: V \ to V '}$ Și $f\in V'$ ${\ displaystyle f \ in V '}$ ${\ displaystyle f \ in V '}$ , cu ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ spațiul dual al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Calculul variațiilor arată cum acest lucru este echivalent cu găsirea $u\in V$ ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle u \ in V}$ astfel încât pentru toți $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ ${\ displaystyle v \ in V}$ este valabil:

[Au](v)=f(v)

{\ displaystyle [Au] (v) = f (v)}

{\ displaystyle [Au] (v) = f (v)}

Îl puteți lua în considerare $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ un vector sau o funcție de testare.

Formularea slabă a problemei înseamnă găsirea $u\in V$ ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle u \ in V}$ astfel încât:

a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V

{\ displaystyle a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle a (u, v) = f (v) \ quad \ forall v \ in V}

definind forma biliniară :

a(u,v):=[Au](v)

{\ displaystyle a (u, v): = [Au] (v)}

{\ displaystyle a (u, v): = [Au] (v)}

Afirmație

Lema Lax-Milgram poate fi aplicată formelor biliniare , deși nu este cea mai generală versiune a acesteia. Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu Hilbert e $a(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle a (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle a (\ cdot, \ cdot)}$ o formă biliniară pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ care este limitat:

|a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|

{\ displaystyle | a (u, v) | \ leq C \ | u \ | \ | v \ |}

{\ displaystyle | a (u, v) | \ leq C \ | u \ | \ | v \ |}

și coercitiv :

|a(u,u)|\geq c\|u\|^{2}

{\ displaystyle | a (u, u) | \ geq c \ | u \ | ^ {2}}

{\ displaystyle | a (u, u) | \ geq c \ | u \ | ^ {2}}

Deci, pentru fiecare $f\in V'$ ${\ displaystyle f \ in V '}$ ${\ displaystyle f \ in V '}$ există o singură soluție $u\in V$ ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle u \ in V}$ pentru ecuație:

a(u,v)=f(v)

{\ displaystyle a (u, v) = f (v)}

{\ displaystyle a (u, v) = f (v)}

și avem:

\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ | _ {V '}}

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ | _ {V '}}

Sistem de ecuații liniare

De exemplu, în cazul unui sistem de ecuații liniare, avem $V=\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ , Și $A:V\to V$ ${\ displaystyle A: V \ to V}$ ${\ displaystyle A: V \ to V}$ este o transformare liniară . Formularea slabă a ecuației:

Au=f

{\ displaystyle Au = f}

Au = f

constă în găsirea $u\in V$ ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle u \ in V}$ astfel încât pentru fiecare $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ ${\ displaystyle v \ in V}$ ecuația este valabilă:

\langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle

{\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle = \ langle f, v \ rangle}

{\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle = \ langle f, v \ rangle}

unde este $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ denotă produsul intern .

De cand $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o hartă liniară doar încercați vectorii de bază $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ :

\langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle \ langle Au, e_ {i} \ rangle = \ langle f, e_ {i} \ rangle \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle \ langle Au, e_ {i} \ rangle = \ langle f, e_ {i} \ rangle \ quad i = 1, \ ldots, n}

Utilizarea expansiunii ca o combinație liniară a vectorilor de bază:

u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}

{\ displaystyle u = \ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}

{\ displaystyle u = \ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}

obținem forma matricială a ecuației:

\mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {u} = \ mathbf {f}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {u} = \ mathbf {f}}

unde este $a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle$ ${\ displaystyle a_ {ij} = \ langle Ae_ {j}, e_ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle a_ {ij} = \ langle Ae_ {j}, e_ {i} \ rangle}$ Și $f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle$ ${\ displaystyle f_ {i} = \ langle f, e_ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle f_ {i} = \ langle f, e_ {i} \ rangle}$ .

Forma biliniară asociată cu această formulare slabă este:

a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u}

{\ displaystyle a (u, v) = \ mathbf {v} ^ {T} \ mathbf {A} \ mathbf {u}}

{\ displaystyle a (u, v) = \ mathbf {v} ^ {T} \ mathbf {A} \ mathbf {u}}

Se observă că toate formele biliniare de pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ sunt limitate și în special:

|a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|

{\ displaystyle | a (u, v) | \ leq \ | A \ | \, \ | u \ | \, \ | v \ |}

{\ displaystyle | a (u, v) | \ leq \ | A \ | \, \ | u \ | \, \ | v \ |}

În ceea ce privește coercitivitatea, înseamnă că partea reală a valorilor proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu trebuie să fie mai mic decât $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Acest lucru implică faptul că nicio valoare proprie nu poate fi nulă și, prin urmare, sistemul este rezolvabil. Mai mult, se poate estima:

\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |}

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este cea mai mică parte reală preluată de valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Exemplu unidimensional

Luați în considerare următoarea problemă Poisson cu condiții omogene de graniță mixtă:

-u''(x)=f\,\qquad x\in (-1,1)

{\ displaystyle -u '' (x) = f \, \ qquad x \ in (-1,1)}

{\ displaystyle -u '' (x) = f \, \ qquad x \ in (-1,1)}

u(-1)=0\qquad u'(1)=0

{\ displaystyle u (-1) = 0 \ qquad u '(1) = 0}

{\ displaystyle u (-1) = 0 \ qquad u '(1) = 0}

Înmulțirea stânga și dreapta cu o funcție de testare $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , pentru moment, fără a specifica cărui spațiu îi aparține și integrarea pe părți între $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ avem:

\int \limits _{-1}^{1}u'v'-[u'v]_{-1}^{1}=\int \limits _{-1}^{1}fv

{\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} u'v '- [u'v] _ {- 1} ^ {1} = \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} fv }

{\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} u'v '- [u'v] _ {- 1} ^ {1} = \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} fv }

Profitând astfel de condițiile de la margine pentru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ poti sa scrii:

\int \limits _{-1}^{1}u'v'+u'(-1)v(-1)=\int \limits _{-1}^{1}fv

{\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} u'v '+ u' (- 1) v (-1) = \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} fv}

{\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} u'v '+ u' (- 1) v (-1) = \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} fv}

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ acea $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ trebuie să rămână înăuntru $H^{1}(-1,1)$ ${\ displaystyle H ^ {1} (- 1,1)}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (- 1,1)}$ pentru ca integralele să aibă sens. Adesea, mai ales în analiza numerică, se preferă schimbarea necunoscutului prin setarea:

u={\tilde {u}}+Rg

{\ displaystyle u = {\ tilde {u}} + Rg}

{\ displaystyle u = {\ tilde {u}} + Rg}

unde este $R. g$ ${\ displaystyle Rg}$ ${\ displaystyle Rg}$ se numește „detectare” a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ pe margine. Functia $R. g$ ${\ displaystyle Rg}$ ${\ displaystyle Rg}$ , de fapt, își asumă aceleași valori la limită ca și $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , astfel încât ${\tilde {u}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}}}$ ${\ tilde {u}}$ nu este nimic la margine. În plus $R. g$ ${\ displaystyle Rg}$ ${\ displaystyle Rg}$ trebuie să aparțină și lui $H^{1}$ ${\ displaystyle H ^ {1}}$ ${\ displaystyle H ^ {1}}$ , astfel încât înlocuirea ${\tilde {u}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}}}$ ${\ tilde {u}}$ în ecuație obținem:

\int \limits _{-1}^{1}{\tilde {u}}'v'=\int \limits _{-1}^{1}fv-\int \limits _{-1}^{1}Rg'v'-(u'-Rg')(-1)v(-1)

{\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} {\ tilde {u}} 'v' = \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} fv- \ int \ limits _ {- 1 } ^ {1} Rg'v '- (u'-Rg') (- 1) v (-1)}

{\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} {\ tilde {u}} 'v' = \ int \ limits _ {- 1} ^ {1} fv- \ int \ limits _ {- 1 } ^ {1} Rg'v '- (u'-Rg') (- 1) v (-1)}

Dacă alegeți acum spațiul ca spațiu pentru funcția de testare:

V=\left\{v\ {\mbox{di}}\ H^{1}(-1,1):v(-1)=0\right\}

{\ displaystyle V = \ left \ {v \ {\ mbox {di}} \ H ^ {1} (- 1,1): v (-1) = 0 \ right \}}

{\ displaystyle V = \ left \ {v \ {\ mbox {di}} \ H ^ {1} (- 1,1): v (-1) = 0 \ right \}}

asa de ${\tilde {u}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}}}$ ${\ tilde {u}}$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt în același spațiu. Acest lucru este foarte util, deoarece este posibil să se aplice lema Lax-Milgram pentru a verifica dacă problema este bine pusă, adică dacă admite o singură soluție și dacă aceasta depinde continuu de date.

Formulare pentru ecuații eliptice de ordinul doi

O ecuație diferențială liniară eliptică de ordinul doi în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile independente $\mathbf {z} =\left(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\right)^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} = \ left (z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {n} \ right) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} = \ left (z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {n} \ right) ^ {T}}$ definit pe un set deschis $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ poate fi scris într-un mod general ca:

-\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\cdot \left(a_{ij}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(b_{i}u\right)+c_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right)+a_{0}u=f

{\ displaystyle - \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ cdot \ left (a_ {ij} {\ frac {\ partial u } {\ partial x_ {j}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left (b_ { i} u \ right) + c_ {i} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} \ right) + a_ {0} u = f}

{\ displaystyle - \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ cdot \ left (a_ {ij} {\ frac {\ partial u } {\ partial x_ {j}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left (b_ { i} u \ right) + c_ {i} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} \ right) + a_ {0} u = f}

unde variabilele sunt toate funcții ale $\mathbf {z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$ .

De asemenea, este posibil să scrieți această ecuație sub forma:

-\nabla \cdot \left(a_{1}\nabla u\right)+a_{0}u=f

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) + a_ {0} u = f}

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) + a_ {0} u = f}

preluând $a_{ij}\left(\mathbf {x} \right)=a_{1}\left(\mathbf {x} \right)\delta _{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij} \ left (\ mathbf {x} \ right) = a_ {1} \ left (\ mathbf {x} \ right) \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle a_ {ij} \ left (\ mathbf {x} \ right) = a_ {1} \ left (\ mathbf {x} \ right) \ delta _ {ij}}$ Și $\mathbf {b} \left(\mathbf {x} \right)=\mathbf {c} \left(\mathbf {x} \right)=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} \ left (\ mathbf {x} \ right) = \ mathbf {c} \ left (\ mathbf {x} \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} \ left (\ mathbf {x} \ right) = \ mathbf {c} \ left (\ mathbf {x} \ right) = 0}$ în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Soluția clasică a acestei probleme constă în determinarea unei funcții $u\in C^{2}\left(\Omega \right)$ ${\ displaystyle u \ în C ^ {2} \ left (\ Omega \ right)}$ ${\ displaystyle u \ în C ^ {2} \ left (\ Omega \ right)}$ care satisface ecuația în forma sa generală pentru toți vectorii $\mathbf {x} \in \Omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în \ Omega}$ și care îndeplinește, de asemenea, condițiile de graniță pentru toți vectorii $\mathbf {x} \in \partial \Omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ partial \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ partial \ Omega}$ . Această problemă nu poate fi rezolvată în general și din acest motiv este introdusă formularea slabă a problemei.

Derivarea sa constă din patru pași:

Înmulțirea pe ambele părți cu o funcție de testare $v\in C^{+\infty }\left(\Omega \right)$ ${\ displaystyle v \ în C ^ {+ \ infty} \ left (\ Omega \ right)}$ ${\ displaystyle v \ în C ^ {+ \ infty} \ left (\ Omega \ right)}$ :

-\nabla \cdot \left(a_{1}\nabla u\right)\cdot v+a_{0}u\cdot v=f\cdot v

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot v + a_ {0} u \ cdot v = f \ cdot v}

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot v + a_ {0} u \ cdot v = f \ cdot v}

Integrare activată $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ :

-\int _{\Omega }\nabla \cdot \left(a_{1}\nabla u\right)\cdot vd\mathbf {x} +\int _{\Omega }a_{0}u\cdot vd\mathbf {x} =\int _{\Omega }f\cdot vd\mathbf {x}

{\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot vd \ mathbf {x} + \ int _ {\ Omega} a_ {0} u \ cdot vd \ mathbf {x} = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x}}

{\ displaystyle - \ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot vd \ mathbf {x} + \ int _ {\ Omega} a_ {0} u \ cdot vd \ mathbf {x} = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x}}

Utilizarea lemei Green pentru reducerea gradului maxim de derivați:

\int _{\Omega }\left(a_{1}\nabla u\right)\cdot \nabla vd\mathbf {x} +\int _{\Omega }a_{0}u\cdot vd\mathbf {x} =\int _{\Omega }f\cdot vd\mathbf {x} +\oint _{\partial \Omega }v\cdot a_{1}\cdot {\frac {\partial u}{\partial n}}d\mathbf {x}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot \ nabla vd \ mathbf {x} + \ int _ {\ Omega} a_ {0} u \ cdot vd \ mathbf {x} = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ partial \ Omega} v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ parțial n}} d \ mathbf {x}}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot \ nabla vd \ mathbf {x} + \ int _ {\ Omega} a_ {0} u \ cdot vd \ mathbf {x} = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ partial \ Omega} v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ parțial n}} d \ mathbf {x}}

cu

n

{\ displaystyle n}

n

normal la hotarul

\Omega

{\ displaystyle \ Omega}

\Omega

. De asemenea, este posibil să împărțiți frontiera în funcție de condițiile prevăzute pentru aceasta. Asumând

\partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}

{\ displaystyle \ partial \ Omega = \ Gamma _ {D} \ cup \ Gamma _ {N}}

{\ displaystyle \ partial \ Omega = \ Gamma _ {D} \ cup \ Gamma _ {N}}

, unde este

\Gamma _{D}

{\ displaystyle \ Gamma _ {D}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {D}}

indică punctele limită unde sunt date condițiile Dirichlet și

\Gamma _{N}

{\ displaystyle \ Gamma _ {N}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {N}}

punctele limită în care sunt date condițiile Neumann. Prin urmare, ecuația anterioară poate fi dezvoltată ca:

{\begin{aligned}\int _{\Omega }\left(a_{1}\nabla u\right)\cdot \nabla vd\mathbf {x} +\int _{\Omega }a_{0}u\cdot vd\mathbf {x} &=\int _{\Omega }f\cdot vd\mathbf {x} +\oint _{\partial \Omega }v\cdot a_{1}\cdot {\frac {\partial u}{\partial n}}d\mathbf {x} \\&=\int _{\Omega }f\cdot vd\mathbf {x} +\oint _{\Gamma _{N}}v\cdot a_{1}\cdot {\frac {\partial u}{\partial n}}d\mathbf {x} +\oint _{\Gamma _{D}}v\cdot a_{1}\cdot {\frac {\partial u}{\partial n}}d\mathbf {x} \\&=\int _{\Omega }f\cdot vd\mathbf {x} +\oint _{\Gamma _{N}}v\cdot a_{1}\cdot {\frac {\partial u}{\partial n}}d\mathbf {x} \\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ Omega} \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot \ nabla vd \ mathbf {x} + \ int _ {\ Omega} a_ {0 } u \ cdot vd \ mathbf {x} & = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ partial \ Omega} v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} \\ & = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ Gamma _ {N}} v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} + \ oint _ {\ Gamma _ {D}} v \ cdot a_ {1} \ cdot { \ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} \\ & = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ Gamma _ {N} } v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ Omega} \ left (a_ {1} \ nabla u \ right) \ cdot \ nabla vd \ mathbf {x} + \ int _ {\ Omega} a_ {0 } u \ cdot vd \ mathbf {x} & = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ partial \ Omega} v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} \\ & = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ Gamma _ {N}} v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} + \ oint _ {\ Gamma _ {D}} v \ cdot a_ {1} \ cdot { \ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} \\ & = \ int _ {\ Omega} f \ cdot vd \ mathbf {x} + \ oint _ {\ Gamma _ {N} } v \ cdot a_ {1} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} d \ mathbf {x} \\\ end {align}}}

Determinarea celor mai largi spații funcționale astfel pentru care $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt funcții cu integrală finită:

\left\{{\begin{array}{l}u,v\in H_{0}^{1}\left(\Omega \right)\\f\in L^{2}\left(\Omega \right)\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} u, v \ in H_ {0} ^ {1} \ left (\ Omega \ right) \\ f \ in L ^ {2} \ left ( \ Omega \ right) \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} u, v \ in H_ {0} ^ {1} \ left (\ Omega \ right) \\ f \ in L ^ {2} \ left ( \ Omega \ right) \ end {array}} \ right.}

cu

H.

{\ displaystyle H}

H.

indicând spațiul Sobolev .

Prin urmare, formularea slabă necesită determinarea funcției în acest moment $u\in H_{0}^{1}\left(\Omega \right)$ ${\ displaystyle u \ in H_ {0} ^ {1} \ left (\ Omega \ right)}$ ${\ displaystyle u \ in H_ {0} ^ {1} \ left (\ Omega \ right)}$ care verifică ecuația la ultimul punct. În mod clar formularea clasică determină o funcție care satisface chiar și formularea slabă.

Notă

^ ^a ^b Evans , Pagina 7 .
^ Evans , pagina 8 .

Bibliografie

(RO) Lawrence C. Evans, parțial ecuații diferențiale, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
( EN ) Peter D. Lax și Arthur N. Milgram, Ecuații parabolice , în Contribuții la teoria ecuațiilor diferențiale parțiale , Annals of Mathematics Studies, nr. 33, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1954, pp. 167-190. MR 0067317
( EN ) PG Ciarlet (1978): Metoda elementelor finite pentru problemele eliptice , North-Holland, Amsterdam, 1978.
( EN ) PG Ciarlet (1991): "Estimări de eroare de bază pentru problemele eliptice" en Handbook of Numerical Analysis (Vol II) JL Lions y PG Ciarlet (ed.), North-Holland, Amsterdam, 1991, p. 17-351.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[sette-1] Evans , Pagina 7 .

[2] Evans , pagina 8 .

[1]

[2]