Diferența în martingală

În teoria probabilității , o diferență de martingală (în engleză: Martingale Difference Sequence (MDS)) este un proces stocastic caracterizat prin condiția zero așteptată .

În simboluri, un proces stochastic $\varepsilon =\{\varepsilon _{t}\}_{t\in T}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ {\ varepsilon _ {t} \} _ {t \ in T}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ {\ varepsilon _ {t} \} _ {t \ in T}}$ este o diferență de martingală dacă se îndeplinește următoarea condiție:

E(\varepsilon _{t}\ |\varepsilon _{t-1},\varepsilon _{t-2},\ldots )=0\ \ \forall t\in T

{\ displaystyle E (\ varepsilon _ {t} \ | \ varepsilon _ {t-1}, \ varepsilon _ {t-2}, \ ldots) = 0 \ \ \ forall t \ in T}

{\ displaystyle E (\ varepsilon _ {t} \ | \ varepsilon _ {t-1}, \ varepsilon _ {t-2}, \ ldots) = 0 \ \ \ forall t \ in T}

În cazul în care așteptarea condiționată nu depinde sau nu depinde doar de istoricul trecut al variabilei, ci de un alt set de informații X, vom spune că procesul este o diferență de martingală condiționat de X.

Numele secvenței provine din faptul că acest proces stocastic particular este generat de diferența dinaintea unei martingale .

Trebuie remarcat faptul că absența autocorelației seriei derivă din ipoteza unei valori condiționale nule. De fapt, avem:

E(\varepsilon _{t}\varepsilon _{t-k})=E(E(\varepsilon _{t}\varepsilon _{t-k}\ |\varepsilon _{t-1},\varepsilon _{t-2},\ldots ))=E(\varepsilon _{t-k}\cdot E(\varepsilon _{t}\ |\varepsilon _{t-1},\varepsilon _{t-2},\ldots ))=E(\varepsilon _{t-k}\cdot 0)=0

{\ displaystyle E (\ varepsilon _ {t} \ varepsilon _ {tk}) = E (E (\ varepsilon _ {t} \ varepsilon _ {tk} \ | \ varepsilon _ {t-1}, \ varepsilon _ { t-2}, \ ldots)) = E (\ varepsilon _ {tk} \ cdot E (\ varepsilon _ {t} \ | \ varepsilon _ {t-1}, \ varepsilon _ {t-2}, \ ldots )) = E (\ varepsilon _ {tk} \ cdot 0) = 0}

{\ displaystyle E (\ varepsilon _ {t} \ varepsilon _ {tk}) = E (E (\ varepsilon _ {t} \ varepsilon _ {tk} \ | \ varepsilon _ {t-1}, \ varepsilon _ { t-2}, \ ldots)) = E (\ varepsilon _ {tk} \ cdot E (\ varepsilon _ {t} \ | \ varepsilon _ {t-1}, \ varepsilon _ {t-2}, \ ldots )) = E (\ varepsilon _ {tk} \ cdot 0) = 0}

in care $k\neq 0$ ${\ displaystyle k \ neq 0}$ ${\ displaystyle k \ neq 0}$ iar a doua egalitate este o aplicare a legii așteptărilor iterate .

De asemenea, trebuie remarcat faptul că, în ciuda similitudinilor, o diferență de martingală nu este implicată și nu implică un zgomot alb .

De fapt, dacă, pe de o parte, un zgomot alb nu are neapărat o medie condițională nulă, pe de altă parte, o diferență martingală nu necesită existența unei secunde finite (sau varianță ).

Bibliografie

Gardini, Cavaliere, Costa, Fanelli, Paruolo (2000), Volumul Econometrics First , Franco Angeli;
Hamilton, JD (1994), Analiza seriilor de timp , Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6 ;

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică