Operator autoadjunct

În matematică , în special în algebra liniară , un operator autoadjuncți este un operator liniar pe un spațiu Hilbert , care este egal cu ei adjuvant . În literatura de specialitate este folosit uneori pentru a apela un operator simetric un operator definit într - un subspațiu al unui spațiu vectorial, a cărui adjuvant nu este , în general simetrică, și un operator Hermitian a definit dens operator în acel spațiu. În cazul unui spațiu finit-dimensional, unii autori folosesc , de asemenea , operatorul simetric termenul pentru a desemna un operator autoadjunct în real , caz. ^[1]

Prin Hellinger-Toeplitz teorema unui operator simetric definit pretutindeni este , de asemenea , mărginită , iar dacă adjuvant sa este definit peste tot și este mărginită atunci operatorul este mărginit. În special, dacă un operator simetric mărginit nu este definit pe întreg spațiul, atunci acesta poate fi extins în mod unic la un operator definit peste tot.

Matricea care reprezintă un operator autoadjunct este un Hermitian și în finit dimensiuni teorema spectrală afirmă că fiecare operator autoadjunct unui spațiu vectorial real cu un produs scalar pozitiv definit are o bază ortonormală formată prin vectorii proprii . Echivalent, fiecare reală matrice simetrică este similară cu o matrice diagonală , printr - o matrice ortogonală a cărei coeficienți sunt reale.

Auto - Operatorii adjuncte sunt fundamentale în diverse domenii de matematică și fizică, cum ar fi geometria diferențială , analiza funcțională și mecanica cuantică .

Definiție

Este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ un spațiu vectorial topologic și ambele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator liniar definit pe un set $D(A)\subset E$ ${\ displaystyle D (A) \ subset E}$ ${\ displaystyle D (A) \ subset E}$ și la valori în continuă dualul topologic $E^{*}$ ${\ displaystyle E ^ {*}}$ $E ^ {*}$ din $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Operatorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este declarat a fi simetrice în cazul în care :

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle

{\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle}

{\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle}

pentru fiecare pereche de elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $D(A)$ ${\ displaystyle D (A)}$ ${\ displaystyle D (A)}$ .

Operatorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este numit Hermitian dacă este simetrică e $D(A)$ ${\ displaystyle D (A)}$ ${\ displaystyle D (A)}$ este dens în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Un operator autoadjunct este un operator hermitian astfel încât, a spus $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ operatorul adăugat de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , da $A^{*}=A$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A}$ și în special $D(A)=D(A^{*})$ ${\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*})}$ . Este un operator liniar închis .

Caz cu dimensiuni finite

Este $\,H$ ${\ displaystyle \, H}$ ${\ displaystyle \, H}$ un spațiu Hilbert ed $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator de delimitat definit pe acel set. Dat $\mathbf {w} \in H$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în H}$ ${\ mathbf w} \ în H$ , Cele funcționale liniare este definită:

L_{\mathbf {w} }:H\to \mathbf {C}

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}}: H \ to \ mathbf {C}}

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}}: H \ to \ mathbf {C}}

astfel încât:

L_{\mathbf {w} }(\mathbf {v} )=\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}} (\ mathbf {v}) = \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle,}

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}} (\ mathbf {v}) = \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle,}

pentru fiecare $\mathbf {v} \in H.$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în H.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în H.}$

Există doar un singur element pentru teorema de reprezentare a lui Riesz $\mathbf {w} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} '}$ astfel încât: ^[2]

\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

iar operatorul este definit ca unul $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ , A declarat operatorul adjunct al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , astfel încât: ^[3]

\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

sau:

\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle}

Un autoadjunct sau operatorul Hermitian este definit ca un operator , astfel încât $A=A^{*}$ ${\ displaystyle A = A ^ {*}}$ $A = A ^ {*}$ , Adică: ^[4]

\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A \ mathbf {w} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A \ mathbf {w} \ rangle}

Dacă un operator autoadjunct este exprimat în termeni de matrice care îl reprezintă, această matrice este egală cu transpunerea sa conjugată complexă. Acest lucru implică în special faptul că valorile proprii ale acestor operatori sunt reale.

Operatori nelimitați

Este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un spațiu Hilbert cu produsul hermitian $\langle ,\rangle$ ${\ displaystyle \ langle, \ rangle}$ $\ langle, \ rangle$ și fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un definit dens operator liniar pe un domeniu $D(A)$ ${\ displaystyle D (A)}$ ${\ displaystyle D (A)}$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

În cazul unui operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu trebuie luate în considerare domenii nelimitate. Domeniul operatorului adăugat $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și:

D(A^{*}):=\left\{\mathbf {v} \in H:\exists f\in H{\mbox{ : }}\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {w} ,f\rangle \quad \forall \mathbf {w} \in D(A)\right\}.

{\ displaystyle D (A ^ {*}): = \ left \ {\ mathbf {v} \ în H: \ există f \ în H {\ mbox {:}} \ langle A \ mathbf {w}, \ mathbf {v} \ rangle = \ langle \ mathbf {w}, f \ rangle \ quad \ forall \ mathbf {w} \ în D (A) \ right \}.}

{\ displaystyle D (A ^ {*}): = \ left \ {\ mathbf {v} \ în H: \ există f \ în H {\ mbox {:}} \ langle A \ mathbf {w}, \ mathbf {v} \ rangle = \ langle \ mathbf {w}, f \ rangle \ quad \ forall \ mathbf {w} \ în D (A) \ right \}.}

Pentru fiecare element $\mathbf {v} \in D(A^{*})$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în D (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în D (A ^ {*})}$ cere:

\,A^{*}\mathbf {v} =f

{\ displaystyle \, A ^ {*} \ mathbf {v} = f}

{\ displaystyle \, A ^ {*} \ mathbf {v} = f}

Prin urmare, se spune că un operator nerestricționat este autoadjunct dacă:

D(A)=D(A^{*})\qquad A\mathbf {v} =A^{*}\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in D(A).

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în D (A) .}

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în D (A) .}

Echivalent, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune simetric în cazul în care se adaugă $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ se extinde $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Sau în cazul în care : ^[5]

D(A)\subset D(A^{*})\qquad A\mathbf {v} =A^{*}\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in D(A)

{\ displaystyle D (A) \ subset D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in D (A )}}

{\ displaystyle D (A) \ subset D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in D (A )}}

și un operator autoadjunct este un operator simetric astfel încât:

D(A)=D(A^{*}).

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}).}

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}).}

Un operator simetric este întotdeauna poate fi închisă prin aceea că $D(A^{*})$ ${\ displaystyle D (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle D (A ^ {*})}$ este dens în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

În special:

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetric, $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ se extinde $A^{**}$ ${\ displaystyle A ^ {**}}$ ${\ displaystyle A ^ {**}}$ care la rândul său se extinde $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetric și închis, $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ se extinde $A^{**}=A$ ${\ displaystyle A ^ {**} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {**} = A}$ .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct $A^{*}=A^{**}=A$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A ^ {**} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A ^ {**} = A}$ .

Din aceasta rezultă că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetrică și închisă, este și autoadjunctă dacă și numai dacă $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ este simetric. ^[6]

De asemenea, un operator simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct dacă și numai dacă este închis și $\ker(A^{*}\pm i)=\{0\}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ . În mod echivalent, operatorul simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct dacă și numai dacă imaginea lui $(A\pm i)$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ este întregul spațiu $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . ^[7]

Autoadjunct esențial

Un operator simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ aceasta este , în esență , spune că este autoadjunct dacă sa de închidere ${\bar {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}}}$ ${\ bar A}$ este autoadjunct. Mai exact, extensia auto-adăugată ${\bar {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}}}$ ${\ bar A}$ a unui operator esențial autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este unic și îl ai ${\bar {A}}=A^{**}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}} = A ^ {**}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}} = A ^ {**}}$ . De asemenea, un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ simetric este în esență autoadjunct dacă și numai dacă $\ker(A^{*}\pm i)=\{0\}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ . Echivalent, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este în esență autoadjunct dacă și numai dacă rangul de $(A\pm i)$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ este dens în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . ^[7]

Limitarea relativă

Același subiect în detaliu: Operator limitat .

Un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune să fie limitată în raport cu operatorul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , sau $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ - limitată, în cazul în care :

D(B)\subset D(A)\qquad \|Au\|\leq a_{1}\|u\|+a_{2}\|Bu\|\quad u\in D(B).

{\ displaystyle D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | \ leq a_ {1} \ | u \ | + a_ {2} \ | Bu \ | \ quad u \ in D (B) .}

{\ displaystyle D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | \ leq a_ {1} \ | u \ | + a_ {2} \ | Bu \ | \ quad u \ in D (B) .}

Cea mai mare limită inferioară a setului de valori posibile pe care o poate lua $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ si a zis $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ -limit de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Dovedește că dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este autoadjunct și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetrică și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ - limitat cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ -limitați mai puțin de 1, apoi operatorul $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ este autoadjunct. De asemenea, dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ atunci este esențial autoadiacent $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ este în esență autoadjunct și avem:

{\overline {A+B}}={\bar {A}}+{\bar {B}},

{\ displaystyle {\ overline {A + B}} = {\ bar {A}} + {\ bar {B}},}

{\ displaystyle {\ overline {A + B}} = {\ bar {A}} + {\ bar {B}},}

unde este ${\bar {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}}}$ ${\ bar A}$ indică închiderea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietățile operatorilor autoadjuncti delimitați

Lasa-i sa fie $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ operatori autoadjuncti, e $\alpha ,\beta$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ $\ alfa, \ beta$ numere reale. Din liniaritatea produsului scalar obținem

\langle f,(\alpha A+\beta B)g\rangle =\langle f,\alpha Ag\rangle +\langle f,\beta Bg\rangle =\langle ({\alpha }A+{\beta }B)f,g\rangle

{\ displaystyle \ langle f, (\ alpha A + \ beta B) g \ rangle = \ langle f, \ alpha Ag \ rangle + \ langle f, \ beta Bg \ rangle = \ langle ({\ alpha} A + { \ beta} B) f, g \ rangle}

{\ displaystyle \ langle f, (\ alpha A + \ beta B) g \ rangle = \ langle f, \ alpha Ag \ rangle + \ langle f, \ beta Bg \ rangle = \ langle ({\ alpha} A + { \ beta} B) f, g \ rangle}

și , prin urmare , spațiul operatorilor autoadjunct este un spațiu liniar pe numere reale .

Din raport:

\,(AB)^{*}=B^{*}A^{*}=BA

{\ displaystyle \, (AB) ^ {*} = B ^ {*} A ^ {*} = BA}

{\ displaystyle \, (AB) ^ {*} = B ^ {*} A ^ {*} = BA}

obții asta $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ este un operator autoadjunct dacă și numai dacă $\,A$ ${\ displaystyle \, A}$ ${\ displaystyle \, A}$ Și $\,B$ ${\ displaystyle \, B}$ ${\ displaystyle \, B}$ comutator .

Setul de valori proprii ale unui operator autoadjunct se află pe axa reală. Pentru a vedea acest lucru, luați în considerare un vector propriu $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ a operatorului autoadjunct $\,A$ ${\ displaystyle \, A}$ ${\ displaystyle \, A}$ asociat cu valoarea proprie $\,\lambda$ ${\ displaystyle \, \ lambda}$ ${\ displaystyle \, \ lambda}$ . Apoi de la:

\lambda ^{*}\langle f,f\rangle =\langle Af,f\rangle =\langle f,Af\rangle =\lambda \langle f,f\rangle ,

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ langle f, f \ rangle = \ langle Af, f \ rangle = \ langle f, Af \ rangle = \ lambda \ langle f, f \ rangle,}

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ langle f, f \ rangle = \ langle Af, f \ rangle = \ langle f, Af \ rangle = \ lambda \ langle f, f \ rangle,}

rezultă că $\lambda =\lambda ^{*}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ lambda ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ lambda ^ {*}}$ sau $\langle f,f\rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle f, f \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ langle f, f \ rangle = 0}$ . Deoarece a doua posibilitate este exclusă ca $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ este un vector propriu, rezultă că $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ e real.

Spectru

Același subiect în detaliu: Spectrum (matematică) și eigenvector și valori proprii .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct pe un spațiu Hilbert , avem:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu are spectru rezidual.
Spectrul $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ este un subset de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , adică valorile proprii sunt reale.
Vectorii proprii în raport cu valorile proprii distincte sunt ortogonali.

Un operator autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a unei C * algebră se spune că este pozitiv dacă spectrul său $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ conține doar numere reale non-negative. De asemenea, este pozitiv dacă și numai dacă există un element $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ algebră astfel încât $A=B^{*}B$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B}$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B}$ . Un operator pozitiv într-un spațiu Hilbert (deci pe câmpul complex) este autoadjunct și, în special, normal . ^[8] Acest lucru nu este adevărat pe un spațiu vectorial real.

Calcul funcțional continuu

Dovedește că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator autoadjunct definit pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , atunci există o singură hartă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ definită pe spațiul funcțiilor Borel pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și la valorile din spațiul operatorilor mărginite pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ care are următoarele proprietăți: ^[9]

$\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un * -omomorfism algebric, adică:

\phi (fg)=\phi (f)\phi (g)\qquad \phi (\lambda f)=\lambda \phi (f)\qquad \phi (1)=I\qquad \phi ({\bar {f}})=\phi (f)^{*}

{\ displaystyle \ phi (fg) = \ phi (f) \ phi (g) \ qquad \ phi (\ lambda f) = \ lambda \ phi (f) \ qquad \ phi (1) = I \ qquad \ phi ( {\ bar {f}}) = \ phi (f) ^ {*}}

{\ displaystyle \ phi (fg) = \ phi (f) \ phi (g) \ qquad \ phi (\ lambda f) = \ lambda \ phi (f) \ qquad \ phi (1) = I \ qquad \ phi ( {\ bar {f}}) = \ phi (f) ^ {*}}

$\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este continuu, adică:

\|\phi (f)\|\leq \|f\|_{\infty }

{\ displaystyle \ | \ phi (f) \ | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}}

{\ displaystyle \ | \ phi (f) \ | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}}

De sine $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ asa de $\phi (f)=A$ ${\ displaystyle \ phi (f) = A}$ ${\ displaystyle \ phi (f) = A}$

De sine:

f_{n}(x)\to f(x)\quad \forall x

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x}

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x}

și norma

\|f_{n}\|_{\infty }

{\ displaystyle \ | f_ {n} \ | _ {\ infty}}

{\ displaystyle \ | f_ {n} \ | _ {\ infty}}

este limitat, atunci:

\phi (f_{n})\to \phi (f)

{\ displaystyle \ phi (f_ {n}) \ to \ phi (f)}

{\ displaystyle \ phi (f_ {n}) \ to \ phi (f)}

iar convergența este puternică.

Datorită proprietăților arătate prin calculul funcțional continuu, este posibil să se asocieze un operator autoadjunct cu o singură familie de proiecții ortogonale , care constituie o măsură cu valori proiector . Această familie de proiectoare permite, datorită teoremei spectrale , pentru a diagonalize un operator autoadjunct, așa cum se arată mai jos.

Teorema spectrală

Același subiect în detaliu: teorema spectrală .

Doi operatori $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ definit pe seturi $D_{A}$ ${\ displaystyle D_ {A}}$ $DIN}$ Și $D_{B}$ ${\ displaystyle D_ {B}}$ $D_ {B}$ într - un spațiu Hilbert acestea sunt unitar echivalente în cazul în care , având în vedere un operator de unitar $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , Are loc: ^[10]

U(D_{A})=D_{B},\qquad UAU^{-1}(x)=B(x),\qquad \forall x\in D_{B}.

{\ displaystyle U (D_ {A}) = D_ {B}, \ qquad UAU ^ {- 1} (x) = B (x), \ qquad \ forall x \ in D_ {B}.}

{\ displaystyle U (D_ {A}) = D_ {B}, \ qquad UAU ^ {- 1} (x) = B (x), \ qquad \ forall x \ in D_ {B}.}

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ acestea sunt limitate prima relație nu este necesară. Dacă și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator autoadjunct, așa este și el $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Este $(X,\Sigma ,\mu )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ un numerably aditiv de măsurare spațiu e $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ un prim-real , funcția pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Un operator $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a formei:

[T\psi ](x)=f(x)\psi (x),

{\ displaystyle [T \ psi] (x) = f (x) \ psi (x),}

{\ displaystyle [T \ psi] (x) = f (x) \ psi (x),}

al cărui domeniu este spațiul funcțional $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ pentru care se află membrul din dreapta al relației anterioare $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ este un operator de multiplicare.

Teorema spectrală afirmă că fiecare operator de multiplicare este un operator autoadjunct (dens definit) și fiecare operator autoadjunct este echivalent unitar cu un operator de multiplicare.

În cazul dimensiunii finite, să fie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un endomorfism pe un spațiu vectorial real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ca dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pe care un produs scalar pozitiv definit este definit . Atunci $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este autoadjunct dacă și numai dacă există o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ realizat din vectori proprii pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . ^[11] Endomorphism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este deci diagonalizabil . O versiune echivalentă a teoremei, afirmată cu matrici, afirmă că orice matrice simetrică este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice ortogonală . ^[12]

Ca o consecință a teoremei, pentru orice matrice simetrică $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ există o matrice ortogonală $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și o matrice diagonală $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât: ^[13]

D=M^{-1}SM=M^{T}SM\

{\ displaystyle D = M ^ {- 1} SM = M ^ {T} SM \}

D = M ^ {{- 1}} SM = M ^ {T} SM \

În special, valorile proprii ale unei matrici simetrice sunt reale.

Caz infinit-dimensional

Cazul infinit-dimensional constituie o generalizare a cazului anterior. În cazul operatorilor mărginite , spectral state teorema că un operator mărginit și autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un operator de multiplicare.

În mod echivalent, există o familie de măsuri $\{\mu _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mu _ {n} \}}$ $\ {\ mu _ {n} \}$ pe spectru $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și există un operator unitar :

U\colon H\to \bigoplus _{n=1}^{N}L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu _{n})

{\ displaystyle U \ colon H \ to \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n})}

{\ displaystyle U \ colon H \ to \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n})}

astfel încât: ^[14]

(UAU^{-1}\psi )_{n}(\lambda )=\lambda \psi _{n}(\lambda ),

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ psi) _ {n} (\ lambda) = \ lambda \ psi _ {n} (\ lambda),}

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ psi) _ {n} (\ lambda) = \ lambda \ psi _ {n} (\ lambda),}

cu:

\psi =\{\psi _{n}(\lambda )\}\in \bigoplus _{n=1}^{N}L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu _{n}).

{\ displaystyle \ psi = \ {\ psi _ {n} (\ lambda) \} \ in \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n}).}

{\ displaystyle \ psi = \ {\ psi _ {n} (\ lambda) \} \ in \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n}).}

O astfel de scriere a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește reprezentarea spectrală a operatorului.

Ca corolar, rezultă că există o măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe un spațiu de măsurare $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și există un operator unitar :

U\colon H\to L^{2}(M,d\mu )

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

astfel încât: ^[15]

(UAU^{-1}f)(x)=F(x)f(x),

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} f) (x) = F (x) f (x),}

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} f) (x) = F (x) f (x),}

pentru unele limitate, cu valori reale măsurabilă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

În cazul în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator nemărginită și autoadjunct pe un separabile spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ condominiu $D_{A}$ ${\ displaystyle D_ {A}}$ $DIN}$ , teorema afirmă că există un spațiu de măsurare $(M,\mu )$ ${\ displaystyle (M, \ mu)}$ ${\ displaystyle (M, \ mu)}$ , unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură finită, un operator unitar :

U\colon H\to L^{2}(M,d\mu )

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

și o funcție $f\colon M\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {R}}$ măsurabilă aproape peste tot astfel încât: ^[16]

$\psi \in D_{A}$ ${\ displaystyle \ psi \ în D_ {A}}$ ${\ displaystyle \ psi \ în D_ {A}}$ dacă și numai dacă $f\cdot U(\psi )\in L^{2}(M,d\mu ),$ ${\ displaystyle f \ cdot U (\ psi) \ în L ^ {2} (M, d \ mu),}$ ${\ displaystyle f \ cdot U (\ psi) \ în L ^ {2} (M, d \ mu),}$ unde este $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ este produsul dintre funcțiile induse de codomain $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .
De sine $\phi \in U(D_{A}),$ ${\ displaystyle \ phi \ în U (D_ {A}),}$ ${\ displaystyle \ phi \ în U (D_ {A}),}$ asa de $(UAU^{-1}\phi )(x)=f(x)\phi (x).$ ${\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ phi) (x) = f (x) \ phi (x).}$ ${\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ phi) (x) = f (x) \ phi (x).}$

Mulți operatori liniari importanți întâlniți în analiză , cum ar fi operatorii diferențiali , nu sunt delimitați. În special, fiecare operator diferențial cu coeficienți constanți este unitar echivalent cu un operator de multiplicare, iar operatorul unitar care implementează această echivalență este transformata Fourier .

Criteriul de auto-ajustabilitate

Problema determinării dacă un operator este autoadjunct nu este ușor de rezolvat, mai jos este o teoremă care caracterizează operatorii autoadjuncti.

Afirmație

Este $A\colon D_{A}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle A \ colon D_ {A} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle A \ colon D_ {A} \ to \ mathbb {R}}$ un simetric operator liniar definit pe $D_{A}$ ${\ displaystyle D_ {A}}$ $DIN}$ subset dens al spațiului Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Apoi, următoarele afirmații sunt echivalente:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct;
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este închis și $\ker(A^{*}\pm iI)=0;$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm iI) = 0;}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm iI) = 0;}$
$\mathrm {Im} (A\pm iI)=H;$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A \ pm iI) = H;}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A \ pm iI) = H;}$ ^[17]
există un număr complex $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ , cu o parte imaginară non-nulă, astfel încât $\mathrm {Im} (A-{\bar {z}}I)=\mathrm {Im} (A-zI)=H.$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A - {\ bar {z}} I) = \ mathrm {Im} (A-zI) = H.}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A - {\ bar {z}} I) = \ mathrm {Im} (A-zI) = H.}$

În plus față de această teoremă, pentru a dovedi că un operator este autoadjunct, se poate recurge la teorema Kato-Rellich .

Descompunerea spectrală

Același subiect în detaliu: Proiecția ortogonală .

Ca o consecință a teoremei spectrale, atât în cazul real, cât și în cazul complex, teorema descompunerii spectrale afirmă că spațiile egale ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sunt ortogonali și în sumă directă :

V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}.

{\ displaystyle V = V _ {\ lambda _ {1}} \ oplus \ ldots \ oplus V _ {\ lambda _ {k}}.}

{\ displaystyle V = V _ {\ lambda _ {1}} \ oplus \ ldots \ oplus V _ {\ lambda _ {k}}.}

În mod echivalent, dacă $P_{\lambda }$ ${\ displaystyle P _ {\ lambda}}$ $P _ {\ lambda}$ este proiecția ortogonală pe $V_{\lambda }$ ${\ displaystyle V _ {\ lambda}}$ $V _ {\ lambda}$ , avem:

A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{k}P_{\lambda _{k}},\qquad P_{\lambda }P_{\mu }=0,\quad \lambda \neq \mu .

{\ displaystyle A = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {k} P _ {\ lambda _ {k}}, \ qquad P _ {\ lambda} P _ {\ mu} = 0, \ quad \ lambda \ neq \ mu.}

{\ displaystyle A = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {k} P _ {\ lambda _ {k}}, \ qquad P _ {\ lambda} P _ {\ mu} = 0, \ quad \ lambda \ neq \ mu.}

Descompunerea spectrală este un caz special al descompunerii Schur . Este, de asemenea, un caz special de descompunere a valorii singulare .

Caz infinit-dimensional

Același subiect în detaliu: măsurarea valorii proiectorului .

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator autoadjunct limitat. O măsurătoare cu limitate valori proiector pot fi definite:

P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A)}

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A)}

definite pe spectru $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , in care $\chi _{\Omega }$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ Omega}}$ $\ chi _ {\ Omega}$ este funcția indicator . Această măsură poate fi asociată cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ În felul următor:

(\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H,

{\ displaystyle (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ în H,}

{\ displaystyle (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ în H,}

pentru fiecare funcție limitată măsurabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și, în acest caz, avem:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda ),\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}(\lambda ).

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda), \ qquad f (A) = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) dP ^ {A} (\ lambda).}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda), \ qquad f (A) = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) dP ^ {A} (\ lambda).}

Formula din stânga se numește diagonalizarea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . ^[18]

Deși este posibil să se definească în mod unic un operator autoadjunct (sau, mai general, un operator normal) $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pornind de la o măsurare cu valori ale proiectorului și de la cealaltă dacă este posibilă diagonalizarea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin intermediul unei măsurători limitate a valorii proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ asa de $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ este măsura cu valorile proiectorului asociate în mod unic cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Fiecare operator limitat autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin urmare, poate fi pus într-o corespondență unu-la-unu cu o măsurătoare cu valori limitate ale proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ .

Operatori nelimitați

Același subiect în detaliu: transformarea Cayley .

Luați în considerare un operator autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este limitat. Prin transformarea Cayley $U(A)$ ${\ displaystyle U (A)}$ $U (A)$ asociat cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

U(A)=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1},\qquad A=\mathbf {i} (I+U(A))(I-U(A))^{-1},

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1}, \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A) ) (IU (A)) ^ {- 1},}

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1}, \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A) ) (IU (A)) ^ {- 1},}

este posibil să se definească, pornind de la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , o măsurare la valorile proiectorului $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ în felul următor:

P^{A}(\Omega ):=P^{U(A)}(U(\Omega )),\qquad \Omega \subset \sigma (A).

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {U (A)} (U (\ Omega)), \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A).}

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {U (A)} (U (\ Omega)), \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A).}

Întregul $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un borelian cuprins în spectrul (real) $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Și $U(\Omega )$ ${\ displaystyle U (\ Omega)}$ $U (\ Omega)$ este rezultatul obținut prin aplicarea transformării Cayley pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Se arată că dacă funcția de identitate , definită pe $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ , este elegant $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ cu privire la măsură $(x,P^{A}(\Omega )x)$ ${\ displaystyle (x, P ^ {A} (\ Omega) x)}$ $(x, P ^ {A} (\ Omega) x)$ , asa de $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ definește o măsură la valorile proiectorului $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ .

În special, este posibil să scrieți:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda ).

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda).}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda).}

Chiar și în cazul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ corespondența nu limitată între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar o măsură cu valori ale proiectorului este unu-la-unu.

Notă

^ S. Lang , pagina 240.
^ S. Lang , p . 197 .
^ S. Lang , pagina 198.
^ S. Lang , P. 199.
^ Reed, Simon , pagina 255.
^ Reed, Simon , Page 256
^ ^A ^b Reed, Simon , pagina 257.
^ Reed, Simon , Pagina 195 .
^ Reed, Simon , Page 225
^ (EN) VI Sobolev, Operatori echivalenți unitar , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
^ S. Lang , pagina 245 .
^ S. Lang , p. 248 .
^ S. Lang , pagina 246 .
^ Reed, Simon , pagina 227 .
^ Reed, Simon , Pagina 221 .
^ Reed, Simon , pagina 261 .
^ Andrea Aurigemma, Operatorul Dirac în 1 + 1 dimensiune: de la linia dreaptă la grafice metrice , pe Physics.unina.it, 2019, p. 40.
^ Reed, Simon , p. 234 .

Bibliografie

Serge Lang , Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
(EN) Lazar A. Lyusternik și Vladimir I. Sobolev, Elemente de analiză funcțională, Wiley, 1974.
(RO) Naum I. Akhiezer și Israel M. Glazman, Teoria operatorilor liniari în spațiu Hilbert, Vols 1-2, Dover, 2003, ISBN 978-04-86-67748-4 .
(RO) Frigyes Riesz și Béla Szőkefalvi-Nagy, analiza funcțională, F. Ungar / Dover, 2003, ISBN 978-04-86-66289-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) VI Sobolev, operatorul Simetric , în Enciclopedia de Matematică , Springer și Societatea Europeană matematică, 2002.
( EN ) VI Sobolev, Hermitian operator , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) VI Sobolev, Self-adjoint operator , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh85119806

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] S. Lang , pagina 240.

[2] S. Lang , p . 197 .

[3] S. Lang , pagina 198.

[4] S. Lang , P. 199.

[nonlim-5] Reed, Simon , pagina 255.

[6] Reed, Simon , Page 256

[ess-7] A ^b Reed, Simon , pagina 257.

[8] Reed, Simon , Pagina 195 .

[9] Reed, Simon , Page 225

[10] (EN) VI Sobolev, Operatori echivalenți unitar , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.

[11] S. Lang , pagina 245 .

[12] S. Lang , p. 248 .

[13] S. Lang , pagina 246 .

[14] Reed, Simon , pagina 227 .

[15] Reed, Simon , Pagina 221 .

[16] Reed, Simon , pagina 261 .

[17] Andrea Aurigemma, Operatorul Dirac în 1 + 1 dimensiune: de la linia dreaptă la grafice metrice , pe Physics.unina.it, 2019, p. 40.

[18] Reed, Simon , p. 234 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]