Elasticitate

În fizică , „elasticitatea este proprietatea care permite unui corp să se deformeze sub acțiunea unei forțe externe de a dobândi și, în cazul în care deformările nu sunt excesive, forma sa originală datorită absenței stresului. Dacă corpul, stresul a încetat, rezumă exact configurația inițială se numește perfect elastic ^[1] .

Elasticitatea privește atât corpurile solide, cât și fluidele . Primele le posedă pe ambele formând elasticitatea volumului , adică reacționează elastic la solicitările care tind să deformeze volumul corpului și să-i schimbe colțurile; fluidele au în schimb doar elasticitate de volum, deoarece reacționează elastic la o compresie sau expansiune, dar nu se opun rezistenței la schimbarea formei, care depinde de recipient ^[2] .

Descriere

Testul de tracțiune: curba tensiune-deformare. De la punctul 1 la punctul 3 există un comportament elastic. Legea lui Hooke (comportamentul liniar) este valabilă de la punctul 1 la punctul 2. Dincolo de punctul 3, numit limită elastică, există un comportament plastic al materialului

Stresul maxim care asigură comportamentul elastic al materialului se numește limită elastică și, în cazul în care a fost depășit, introduceți regiunea de comportament plastic a piesei, care constă în eșec sau în fluxul de material , în funcție de fragilitate sau respectiv ductil ^[3] . Limita de elasticitate este o presiune este măsurată în Pascal , sau o forță pe unitate de suprafață:

${\ce {Pa}}={\frac {{\ce {N}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg.m}}}{{\ce {s^2}}}}\times {\frac {{\ce {1}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg}}}{{\ce {s^2.m}}}}$ ${\ displaystyle {\ ce {Pa}} = {\ frac {{\ ce {N}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg.m}}} {{\ ce {s ^ 2}}}} \ times {\ frac {{\ ce {1}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg}} } {{\ ce {s ^ 2.m}}}}}$ ${\ displaystyle {\ ce {Pa}} = {\ frac {{\ ce {N}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg.m}}} {{\ ce {s ^ 2}}}} \ times {\ frac {{\ ce {1}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg}} } {{\ ce {s ^ 2.m}}}}}$

Dacă materialul este ductil , adică permite plasticizarea , limita elastică este stresul de producție , în timp ce în cazul materialelor fragile , care sunt lipsite de domeniul plastic, limita elastică este ruperea materialului ^[1] .

Modelul matematic reprezentare mai simplă a comportamentului elastic este liniar al legii lui Hooke (și legea generalizată a lui Hooke în cazul stărilor de tensiune pluriassiali), care în cazul stării de tensiune uniaxială, tipică testelor de tracțiune , este: $\sigma =E\epsilon$ ${\ displaystyle \ sigma = E \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ sigma = E \ epsilon}$ unde este $\sigma ={\frac {F}{A_{0}}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {F} {A_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {F} {A_ {0}}}}$ este tensiunea care acționează în specimenul prezentat în figura cu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ forță aplicată la capetele sale și $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ suprafața secțiunii transversale inițiale, $\epsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}$ deformarea specimenului sau alungirea sa relativă, cu $\Delta L=L_{f}-L_{0}$ ${\ displaystyle \ Delta L = L_ {f} -L_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta L = L_ {f} -L_ {0}}$ alungirea absolută a specimenului, adică diferența dintre lungimea finală $L_{f}$ ${\ displaystyle L_ {f}}$ ${\ displaystyle L_ {f}}$ iar cea inițială $L_{0}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ modulul Young (sau elastic), care este constanta de proporționalitate între solicitări și încordări din gama elastică.

Acest model are un aspect fundamental atât în teorie , posibilitatea de a ajunge la un studiu matematic cuprinzător al problemelor formulate, atât în inginerie , pentru efectul pe care îl are în modelarea și rezolvarea problemelor tehnice, cât și a interesului științific. Alte modele matematice mai complexe de elasticitate neliniare , importante pentru reprezentarea comportamentului anvelopei, se referă la modelul materialului hiperelastic , în timp ce modelul mediului poros este declinat în poroelasticitate .

Studiul corpurilor solide elastice este obiectul teoriei elasticității , o ramură a mecanicii solidelor .

Originea atomică a comportamentului elastic

Comportamentul elastic al diferitelor materiale are origini microscopice care se disting în funcție de tipul particular de material. De fapt, putem vorbi de „elasticitate entalpică” și „elasticitate entropică”.

Materiale cristaline

Elasticitatea entalpiei este caracteristică materialelor cristaline și derivă dintr-un fenomen care are loc la nivel atomic. Proprietățile elastice ale acestor materiale sunt derivate din tipul de interacțiune care se stabilește între constituenții lor atomi , atunci când sunt supuși unei sarcini externe. Dacă aceste interacțiuni determină o deplasare conținută a atomilor, aceștia, odată ce sarcina a fost îndepărtată, sunt capabili să reocupe poziția lor inițială și materialul este numit elastic; periculos dacă deplasarea este suficient de mică, se garantează proporționalitatea directă între deformare și sarcină și, prin urmare, este valabilă legea lui Hooke ^[4] .

Rețeaua cristalină densă a acestor materiale permite doar mici deformări și mișcări locale, de la care limita înaltă de elasticitate și modulul elastic rezultat. Aceasta implică necesitatea exercitării unor tensiuni ridicate pentru a obține deformări relevante. În cazul în care rămâne sub rezistența la randament a materialului, relația dintre stres și deformare este egală cu modulul elastic constant sau modulul lui Young , care reprezintă proporționalitatea dintre tensiune și deformare în domeniul liniar al materialului, descris de legea Hooke și determină panta porțiunii drepte în diagrama tensiune-deformare a testului uniaxial reprezentat în figura ^[5] ^[6] .

Prin urmare, elasticitatea depinde de structura microscopică a materialului și de forțele de interacțiune care acționează între atomii care îl compun. În special, trebuie luată în considerare energia potențială existentă între fiecare pereche de atomi, care poate fi exprimată în funcție de distanța lor. La o anumită distanță d ₀ i doi atomi sunt în echilibru, adică rezultatul forțelor de interacțiune dintre cei doi este zero. Variația acestor forțe (datorită stresului extern) determină o schimbare a distanței reciproce între particule (producând un nivel macroscopic deformarea corpului : în cazul tracțiunii, de exemplu, are o „întindere” a legăturilor ). Pentru niveluri relativ scăzute de solicitări, lucrul mecanic necesar se acumulează ca energie elastică în interiorul materialului și este returnat în întregime atunci când cauza stresului dispare pe măsură ce particulele revin la poziția inițială (corpul își recapătă forma și dimensiunea originare). Energia stocată în material poate fi cuantificată prin următoarea relație: $L=\int _{0}^{\epsilon _{f}}\sigma (\epsilon )d\epsilon$ ${\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {\ epsilon _ {f}} \ sigma (\ epsilon) d \ epsilon}$ ${\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {\ epsilon _ {f}} \ sigma (\ epsilon) d \ epsilon}$ care este reprezentată grafic de zona de sub curba tensiune-deformare reprezentată în figură, unde $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este munca de deformare realizată, stocată în material ca energie elastică, $\sigma (\epsilon )$ ${\ displaystyle \ sigma (\ epsilon)}$ ${\ displaystyle \ sigma (\ epsilon)}$ este tendința stresului în funcție de deformare $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ , și $\epsilon _{f}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {f}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {f}}$ este deformarea finală care poate fi atinsă prin aplicarea sarcinii externe ^[7] .

Acest mecanism stă la baza comportamentului elastic macroscopic al diferitelor materiale, dar pentru a varia tipul de material și, astfel, structura microscopică, sunt delimitate comportamentul elastic diferit ^[5] .

Materiale necristaline

Elasticitatea entropică este caracteristică materialelor polimerice constituite la nivel molecular prin lanțuri; această elasticitate apare dintr-o mișcare a lanțurilor de la o stare de entropie ridicată (cea mai probabilă stare, în care lanțurile sunt încurcate) la o stare de entropie scăzută (o stare mai puțin probabilă, mai ordonată, în care lanțurile sunt aliniate), care apare în timpul întinderii materialului.

Materialele polimerice precum cauciucul , fiind constituite la nivel microscopic de molecule de lanț, permit fluxuri și deformări mari și, prin urmare, se caracterizează prin limite reduse de elasticitate și un mic modul de elasticitate . Aceasta înseamnă că tensiunile și tensiunile relativ mici corespund deja unor deformări apreciabile macroscopic, precum și cu randamente foarte mici sau puncte de eșec. Aceste materiale se numesc elastomeri , comportament cu așa-numita „elasticitate ridicată” în raport cu „adevărata elasticitate” ^[5] a cristalului. Mai mult, datorită întinderii premature a lanțurilor, cauzată de o alungire suplimentară atunci când acestea au fost deja aliniate, elastomerii au un comportament elastic neliniar. ^[5]

Materiale celulare

Materialele celulare, cum ar fi lemnul , reacționează diferit la compresiune și tracțiune . Datorită prezenței cavităților în material, compresia prezintă rigiditate completă până când pereții acestor cavități nu sunt supuși deformării elastice, ceea ce permite o deformare semnificativă fără o creștere mare a efortului. Mai mult, aceste deformări sunt în mare măsură recuperabile, dar odată ce au avut loc, readuc corpul la o stare de rigiditate, anulând cavitățile. Pe de altă parte, acestea nu au aceeași influență asupra tracțiunii, ceea ce nu permite îndoirea elastică a pereților în același mod ^[5] .

Elasticitatea liniară a continuumului

Deformări

Pentru a-și studia comportamentul atunci când sunt supuși stresului, materialele pot fi modelate ca având nicio structură internă și alcătuite dintr-un continuu solid. Reprezentând corpul într-un sistem de referință cartezian , puteți indica poziția fiecărui punct prin intermediul locației purtătorului : $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ și deplasarea lor cu vectorul $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$ . Vectorul de deplasare descrie modul în care corpul se deformează sub sarcină, de fapt: $dl={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}$ ${\ displaystyle dl = {\ sqrt {dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle dl = {\ sqrt {dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}}$ este distanța carteziană între două puncte ale corpului și $dl'={\sqrt {(dx_{1}+du_{1})^{2}+(dx_{2}+du_{2})^{2}+(dx_{3}+du_{3})^{2}}}$ ${\ displaystyle dl '= {\ sqrt {(dx_ {1} + du_ {1}) ^ {2} + (dx_ {2} + du_ {2}) ^ {2} + (dx_ {3} + du_ { 3}) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle dl '= {\ sqrt {(dx_ {1} + du_ {1}) ^ {2} + (dx_ {2} + du_ {2}) ^ {2} + (dx_ {3} + du_ { 3}) ^ {2}}}}$ este aceeași distanță după ce corpul s-a deformat și este în mod clar o funcție de $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ ^[8] . Se introduce măreția $\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$ a spus deformarea , că variația de $i,j=1,2,3$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ formează un tensor de rangul 2, respectivul tensor de deformare: ${\begin{pmatrix}\epsilon _{11}&\epsilon _{12}&\epsilon _{13}\\\epsilon _{21}&\epsilon _{22}&\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}&\epsilon _{32}&\epsilon _{33}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} & \ epsilon _ {12} & \ epsilon _ {13} \\\ epsilon _ {21} & \ epsilon _ {22} & \ epsilon _ {23 } \\\ epsilon _ {31} & \ epsilon _ {32} & \ epsilon _ {33} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} & \ epsilon _ {12} & \ epsilon _ {13} \\\ epsilon _ {21} & \ epsilon _ {22} & \ epsilon _ {23 } \\\ epsilon _ {31} & \ epsilon _ {32} & \ epsilon _ {33} \ end {pmatrix}}}$ unde termenii diagonali $\epsilon _{ii}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ii}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ii}}$ cu $i=1,2,3$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ $i = 1,2,3$ se numesc deformări normale și descriu alungirile sau contracțiile, restul $\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ cu $i\neq j$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ Se numesc diapozitive și descriu variația de formă, apoi unghiurile, în raport cu referința carteziană ^[8] .

Tetraedrul lui Cauchy

Eforturi

Starea de stres este în general și, în majoritatea cazurilor, tridimensională ^[9] . Pentru a o studia, exploatează Teorema lui Cauchy, plasând o sternă carteziană în acest punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ în studiu și prin tăierea corpului cu un plan înclinat al normalului ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ la o distanță infinitesimală $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ din $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , Care se identifică împreună cu cele trei planuri de referință ale unui tetraedru , a spus Cauchy, reprezentat în figură. Chipul normalului ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ are o suprafață egală cu $d LA$ ${\ displaystyle dA}$ $din$ , în timp ce celelalte, de normal $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , au suprafața respectiv egală cu $n_{x}dA=dA_{1}$ ${\ displaystyle n_ {x} dA = dA_ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {x} dA = dA_ {1}}$ , $n_{y}dA=dA_{2}$ ${\ displaystyle n_ {y} dA = dA_ {2}}$ ${\ displaystyle n_ {y} dA = dA_ {2}}$ Și $n_{z}dA=dA_{3}$ ${\ displaystyle n_ {z} dA = dA_ {3}}$ ${\ displaystyle n_ {z} dA = dA_ {3}}$ unde este $n_{x}$ ${\ displaystyle n_ {x}}$ ${\ displaystyle n_ {x}}$ , $n_{y}$ ${\ displaystyle n_ {y}}$ ${\ displaystyle n_ {y}}$ Și $n_{z}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ sunt cosinusul director al ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ . Efortul generic care acționează în planul normalului ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ Și $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ , iar pe celelalte fețe $\mathbf {T^{(e_{1})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ , $\mathbf {T^{(e_{2})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ Și $\mathbf {T^{(e_{3})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ , Care, prin convenție, sunt considerați pozitivi dacă sunt primiți și, prin urmare, mai puțin este să indice că sunt ieșiți din volumul infinitesimal . Pentru a studia starea generică de efort $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ a unui punct aparținând corpului impune doar „ echilibrul static în tetraedru (I ecuația cardinală a staticului ):

$\mathbf {T^{(n)}} dA-\mathbf {T^{(e_{1})}} dA_{1}-\mathbf {T^{(e_{2})}} dA_{2}-\mathbf {T^{(e_{3})}} dA_{3}=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} dA- \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} dA_ {1} - \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} dA_ {2} - \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} dA_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} dA- \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} dA_ {1} - \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} dA_ {2} - \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} dA_ {3} = 0}$

că în cazul în care sunt cunoscuți cei trei vectori $\mathbf {T^{(e_{1})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ , $\mathbf {T^{(e_{2})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ Și $\mathbf {T^{(e_{3})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ efortul poate fi determinat $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ oriunde pe corp.

Acum toți cei trei vectori pot fi proiectați $\mathbf {T^{(e_{1})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ , $\mathbf {T^{(e_{2})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ Și $\mathbf {T^{(e_{3})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ în cele trei direcții $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x _ {{1}}$ , $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ Și $x_{3}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$ și vectorul $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ în direcția normală și tangențială a planului normal ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ , obținând:

$\mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {n} =\sigma _{n}\quad \mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {t} =\tau _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {n} = \ sigma _ {n} \ quad \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {t} = \ tau _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {n} = \ sigma _ {n} \ quad \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {t} = \ tau _ {n}}$

$\mathbf {T^{(e_{1})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{2})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{3})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {pmatrix}}}$

unde două dintre cele trei componente vor fi tangențiale faței de aplicare a stresului, iar restul va fi normal față. În cele din urmă, este compus tensorul de solicitare, care descrie starea generică de efort:

$\sigma _{ij}={\begin{pmatrix}{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2} )}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33 } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2} )}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33 } \ end {pmatrix}}}$

Densitatea energiei de deformare

Densitatea energiei de deformare este „ energia elastică stocată de material pe unitate de volum și se menține următoarea relație: $\operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ adică creșterea densității energiei de deformare $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Este egal cu munca depusă de eforturi $\sigma _{ij}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ $\ sigma_ {ij}$ pentru a modifica deformările $\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ . Se deduce apoi că: $\sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ ^[8] .

Relația $\operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ poate fi extins în serie cu Taylor în jur $U_{0}=0$ ${\ displaystyle U_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle U_ {0} = 0}$ în cazul unui solid liniar și al unei stări inițiale descărcate și nedeformate sau cu $\epsilon _{ij,0}=\sigma _{ij,0}=0$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij, 0} = \ sigma _ {ij, 0} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij, 0} = \ sigma _ {ij, 0} = 0}$ , obținând:

$U={\frac {1}{2}}\sum _{ijkl}c_{ijkl}\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}$ ${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ijkl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {ij} \ epsilon _ {kl}}$ ${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ijkl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {ij} \ epsilon _ {kl}}$ la care dacă ne aplicăm $\sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ obținem legea generalizată a lui Hooke: $\sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\epsilon _{kl}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sum _ {kl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {kl}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sum _ {kl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {kl}}$ că în cazul materialului izotrop devine ^[8] :

${\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}={\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{pmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&1-2\nu &0&0\\0&0&0&0&1-2\nu &0\\0&0&0&0&0&1-2\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}\\\epsilon _{12}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} \\\ sigma _ {12} \ end {pmatrix}} = {\ frac {E} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} {\ begin {pmatrix} 1- \ nu & \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & 1- \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & \ nu & 1- \ nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu \ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} \\\ epsilon _ {22} \\\ epsilon _ {33} \\\ epsilon _ {23} \\\ epsilon _ {31} \\ \ epsilon _ {12 } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} \\\ sigma _ {12} \ end {pmatrix}} = {\ frac {E} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} {\ begin {pmatrix} 1- \ nu & \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & 1- \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & \ nu & 1- \ nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu \ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} \\\ epsilon _ {22} \\\ epsilon _ {33} \\\ epsilon _ {23} \\\ epsilon _ {31} \\ \ epsilon _ {12 } \ end {pmatrix}}}$

unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Este modulul elastic și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este coeficientul Poisson .

Notă

^ ^To ^b Encyclopaedia Britannica, Elasticity , pe britannica.com. Adus pe 14/05/2019.
^ Elasticity Encyclopaedia Treccani , pe treccani.it. Adus pe 17/05/2019.
^ William L. Hosch, Elastic limit , pe britannica.com. Adus pe 14/05/2019.
^ A. Cottrell, Enciclopedia materialelor: știință și tehnologie, Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526 . accesso necesită url ( ajutor )
^ ^a ^b ^c ^d ^e Wayne Hayden, William G. Moffatt și John Wulff, Structura și proprietățile materialelor - Vol. III Comportament mecanic , traducere de Dr. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Comportament mecanic, John Wiley și Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.
^ Alberto Taliercio, Introducere în mecanica solidelor , 15 iulie 2014, pp. 90-91, DOI : 10.15651 / 978-88-748-8778-1 . Adus pe 14 mai 2019 .
^ William D. Callister și David G. Rethwisch, Știința și ingineria materialelor, ediția a VIII-a, John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241 .
^ ^A ^b ^c ^d AM Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects, Elsevier Science Ltd. în 2001.
^ Inginerie mecanică, McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080 .

Bibliografie

A. Cottrell, Enciclopedia materialelor: știință și tehnologie, Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526 . accesso necesită url ( ajutor )
William D. Callister și David G. Rethwisch, Știința și ingineria materialelor, ediția a VIII-a, John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241 .
Wayne Hayden, William G. Moffatt și John Wulff, Structura și proprietățile materialelor - Comportament mecanic Vol.III, tradus de Dott. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Comportament mecanic, John Wiley și Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.
Inginerie mecanică, McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080 .
Encyclopaedia Britannica, Elasticity , pe britannica.com. Adus pe 14.05.2019.
William L. Hosch, Limita elastică pe britannica.com. Adus pe 14.05.2019.
Alberto Taliercio, Introducere în mecanica solidelor , 15 iulie 2014, pp. 90-91, DOI : 10.15651 / 978-88-748-8778-1 .
AM Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects, Elsevier Science Ltd. în 2001.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține intrarea în dicționar „ elasticitate ”
Wikiversitatea conține resurse de elasticitate
Wikimedia Commons conține imagini sau alte elasticități ale fișierelor

linkuri externe

Elasticitate , pe Treccani.it - enciclopedii online, Institutul Enciclopediei Italiene .
(EN) Elasticity on Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tesauro BNCF 19727 · LCCN (EN) sh85041516 · GND (DE) 4014159-7 · BNF (FR) cb11931958h (dată) · NDL (EN, JA) 00.561.255

Portal de inginerie

Portal mecanic

[:2-1] To ^b Encyclopaedia Britannica, Elasticity , pe britannica.com. Adus pe 14/05/2019.

[2] Elasticity Encyclopaedia Treccani , pe treccani.it. Adus pe 17/05/2019.

[3] William L. Hosch, Elastic limit , pe britannica.com. Adus pe 14/05/2019.

[4] A. Cottrell, Enciclopedia materialelor: știință și tehnologie, Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526 . accesso necesită url ( ajutor )

[:0-5] Wayne Hayden, William G. Moffatt și John Wulff, Structura și proprietățile materialelor - Vol. III Comportament mecanic , traducere de Dr. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Comportament mecanic, John Wiley și Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.

[6] Alberto Taliercio, Introducere în mecanica solidelor , 15 iulie 2014, pp. 90-91, DOI : 10.15651 / 978-88-748-8778-1 . Adus pe 14 mai 2019 .

[7] William D. Callister și David G. Rethwisch, Știința și ingineria materialelor, ediția a VIII-a, John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241 .

[:1-8] A ^b ^c ^d AM Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects, Elsevier Science Ltd. în 2001.

[9] Inginerie mecanică, McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

V · D · M Mecanica clasică și mecanica continuumului
Cantități intensive	Densitate · Viteză macroscopică · Câmp mediu · Tensiune internă · Temperatură · Deformare · Densitate termică
Cantități mari	Masă · Debit · Moment · Forță externă · Energie internă · Căldură · Disipare · Lucrare termodinamică
Bilanțe contabile	Conservarea masei · Echilibrul impulsului · Echilibrul energiei interne
Aproximări	Ecuații Euler · Ecuații Navier-Stokes · Ecuații Burnett
Citit	Legea lui Pascal · Legea lui Newton · Legea Fourier · Stokes Legea · Legea lui Hooke
Mecanica solidelor	Solid · Teoria elasticității · Teoria plasticității · Reologie · Viscoelasticitate
Mecanica fluidelor	Fluid · statice ale fluidelor · Fluid · Vâscozitate · Fluid newtonian · Fluid non-newtonian