Modelul Black-Scholes-Merton

Economia financiară
Economia financiară Pretul bunului Factor de reducere stochastic Portofoliul de frontieră , CAPM și APT Modelul Black-Scholes-Merton Finanțe corporative / finanțe corporative Structura Capitala
Economie și finanțe
Glosar economic Categorie: Economie

Modelul Black-Scholes-Merton , adesea numit pur și simplu Black-Scholes , este un model al tendinței în timp a prețului instrumentelor financiare , în special a opțiunilor . Formula Black și Scholes este o formulă matematică pentru prețul non- arbitraj al unei opțiuni call sau put în stil european, care poate fi derivată din ipotezele modelului; același lucru se poate spune și pentru formula lui Black pentru evaluarea opțiunilor la termen .

Ecuația Black și Scholes care stă la baza formulei a fost inițial derivată din Fischer Black și Myron Scholes , într-o lucrare din 1973 , bazată pe cercetări anterioare ale lui Robert Merton și Paul Samuelson . Perspectiva fundamentală a modelului Black și Scholes este faptul că un derivat de securitate are un pret implicit în cazul în care activul suport este tranzacționat pe piață. Formula Black și Scholes este aplicată pe scară largă pe piețele financiare. Merton și Scholes au primit premiul Băncii Centrale a Suediei pentru științe economice în 1997 în memoria lui Alfred Nobel ( Premiul Nobel pentru economie ) pentru munca lor (Black a murit în 1995 ).

Ipoteza modelului

Pretul activului suport urmează o mișcare browniană geometrică (vezi mai jos);
Scurtă vânzare a activului suport este permisă, așa cum este instrumentul derivat ;
Nu sunt permise oportunități de arbitraj ;
Instrumentul suport și instrumentul derivat sunt tranzacționate pe piață în mod continuu;
Nu există costuri de tranzacționare , impozitare sau orice alt tip de frecare pe piață;
Toate activele financiare sunt perfect divizibile (este posibil să se schimbe fracțiuni arbitrare mici din fiecare titlu de pe piață);
Rata dobânzii fără risc $\ r$ ${\ displaystyle \ r}$ $\ r$ este constant și la fel pentru toate termenele.

Derivarea ecuației Black-Scholes

Sunt posibile mai multe derivări ale ecuației Black-Scholes. În lucrarea lor originală din 1973, Black și Scholes construiesc un portofoliu neutru din punct de vedere al riscului (abordare de acoperire , în care riscul portofoliului este zero); abordările alternative sunt derivarea pe baza unui portofoliu care reproduce valoarea titlului derivat, precum și derivarea utilizând abordarea standard a factorului de actualizare stocastică .

Odată ce ecuația Black-Scholes a fost derivată, definiția condițiilor alternative la graniță permite caracterizarea diferitelor instrumente derivate. Soluția ecuației este independentă de condițiile limită și poate fi obținută prin metoda de separare a variabilelor (folosită de Black și Scholes în lucrarea lor din 1973 ), sau prin exploatarea formulei Feynman-Kac , care permite exprimarea soluției ca o valoare așteptată , deschizând astfel calea către soluții numerice, obținute prin simularea Monte Carlo .

Portofoliu neutru din punct de vedere al riscului ( argument de acoperire )

Luați în considerare un derivat al cărui preț este notat cu $\ f(S_{t},t)$ ${\ displaystyle \ f (S_ {t}, t)}$ ${\ displaystyle \ f (S_ {t}, t)}$ , unde este $\ S_{t}$ ${\ displaystyle \ S_ {t}}$ $\ S _ {{t}}$ este prețul activului suport ; Scopul analizei este de a determina condițiile pe care trebuie să le îndeplinească $\ f(\cdot )$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ , în ipoteza absenței oportunităților de arbitraj . Se presupune că activul suport urmează un proces de mișcare browniană geometrică descrisă prin ecuația diferențială stocastică :

\ dS=\mu Sdt+\sigma SdW_{t}

{\ displaystyle \ dS = \ mu Sdt + \ sigma SdW_ {t}}

{\ displaystyle \ dS = \ mu Sdt + \ sigma SdW_ {t}}

unde este $\ W_{t}$ ${\ displaystyle \ W_ {t}}$ $\ W _ {{t}}$ este un proces Wiener sau mișcare browniană standard, e $\ \mu$ ${\ displaystyle \ \ mu}$ $\ \ mu$ ( deriva procentuală instantanee ) e $\ \sigma$ ${\ displaystyle \ \ sigma}$ ${\ displaystyle \ \ sigma}$ ( volatilitatea procentuală instantanee ) sunt constante reale. Ecuația constituie în mod corespunzător modelul Black-Scholes-Merton pentru prețul unui activ financiar.

Se construiește apoi un portofoliu fictiv:

\ \pi =f-{\frac {\partial f}{\partial S}}S

{\ displaystyle \ \ pi = f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S}

{\ displaystyle \ \ pi = f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S}

Rețineți că $\ \partial f/\partial S$ ${\ displaystyle \ \ partial f / \ partial S}$ ${\ displaystyle \ \ partial f / \ partial S}$ nu este altul decât Delta instrumentului derivat . Aplicând Lema Itō , determinăm ecuația diferențială stocastică care $\ \pi$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ trebuie să satisfacă:

\ d\pi =df-{\frac {\partial f}{\partial S}}dS=\left({\frac {\partial f}{\partial S}}\mu S+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\sigma SdW_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}\mu Sdt-{\frac {\partial f}{\partial S}}\sigma SdW_{t}

{\ displaystyle \ d \ pi = df - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} dS = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t} - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu Sdt - { \ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

{\ displaystyle \ d \ pi = df - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} dS = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t} - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu Sdt - { \ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

În acest moment, dictează că portofelul $\ \pi$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ ${\ displaystyle \ \ pi}$ nu prezintă riscuri pe un interval de timp infinitesimal; în ipoteza absenței oportunităților de arbitraj , acest lucru este echivalent cu impunerea:

\ d\pi =r\pi dt=r\left(f-{\frac {\partial f}{\partial S}}S\right)dt

{\ displaystyle \ d \ pi = r \ pi dt = r \ left (f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S \ right) dt}

{\ displaystyle \ d \ pi = r \ pi dt = r \ left (f - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S \ right) dt}

Prin echivalarea celor două relații astfel obținute, obținem ecuația Black-Scholes:

\ rS{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}-rf=0

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

Este o ecuație parabolică parțială ; relația de mai sus trebuie să fie satisfăcută, în absența oportunităților de arbitraj , de prețul oricărui instrument derivat .

Portofoliu de replicare

Această abordare se datorează lui Merton (1973). Luați în considerare un portofoliu de valoare $f(\cdot )$ ${\ displaystyle f (\ cdot)}$ ${\ displaystyle f (\ cdot)}$ care contine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ unitate de securitate riscantă, e $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ unitate a garanției fără risc (al cărei preț urmează $dB_{t}=rBdt$ ${\ displaystyle dB_ {t} = rBdt}$ ${\ displaystyle dB_ {t} = rBdt}$ , unde r este rata dobânzii fără risc). Se intenționează ca portofoliul în cauză să reproducă exact valoarea instrumentului derivat al cărui preț urmează să fie determinat. În fiecare moment, portofoliul de replicare realizează un câștig monetar egal cu:

\ dG(t)=a(t)dS(t)+b(t)dB(t)

{\ displaystyle \ dG (t) = a (t) dS (t) + b (t) dB (t)}

{\ displaystyle \ dG (t) = a (t) dS (t) + b (t) dB (t)}

Portofoliul trebuie să se autofinanțeze , adică, odată ce s-a stabilit cheltuiala inițială aferentă valorii sale, nu este necesar să se introducă sume suplimentare de bani pentru a reproduce valoarea instrumentului derivat - cu alte cuvinte, orice modificare în valoarea derivatului trebuie să fie însoțită de modificări corespunzătoare în $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ Și $b(t)$ ${\ displaystyle b (t)}$ ${\ displaystyle b (t)}$ astfel încât să asigure replicarea. Condiția autofinanțării este:

\ df(t)-dG(t)=0

{\ displaystyle \ df (t) -dG (t) = 0}

{\ displaystyle \ df (t) -dG (t) = 0}

Pentru lema Itō , se știe că:

df=\left({\frac {\partial f}{\partial S}}\mu S+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\sigma SdW_{t}

{\ displaystyle df = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

{\ displaystyle df = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ mu S + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ sigma SdW_ {t}}

Pentru a obtine $df-dG=0$ ${\ displaystyle df-dG = 0}$ ${\ displaystyle df-dG = 0}$ , termenii în sunt egali cu zero în primul rând $dW_{t}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ :

{\frac {\partial f}{\partial S_{t}}}\sigma S_{t}dW_{t}-a(t)\sigma S_{t}dW_{t}=0\quad \Rightarrow \quad a(t)={\frac {\partial f}{\partial S_{t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} \ sigma S_ {t} dW_ {t} -a (t) \ sigma S_ {t} dW_ {t} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad a (t) = {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} \ sigma S_ {t} dW_ {t} -a (t) \ sigma S_ {t} dW_ {t} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad a (t) = {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}}}

Atâta timp cât $f(t)=a(t)S(t)+b(t)B(t)$ ${\ displaystyle f (t) = a (t) S (t) + b (t) B (t)}$ ${\ displaystyle f (t) = a (t) S (t) + b (t) B (t)}$ , avem:

b(t)={\frac {f(t)-{\frac {\partial f}{\partial S_{t}}}S(t)}{B(t)}}

{\ displaystyle b (t) = {\ frac {f (t) - {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} S (t)} {B (t)}}}

{\ displaystyle b (t) = {\ frac {f (t) - {\ frac {\ partial f} {\ partial S_ {t}}} S (t)} {B (t)}}}

unde a înlocuit anunțul $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ expresia lui. Prin înlocuire $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ Și $b(t)$ ${\ displaystyle b (t)}$ ${\ displaystyle b (t)}$ în stare $df(t)-dG(t)=0$ ${\ displaystyle df (t) -dG (t) = 0}$ ${\ displaystyle df (t) -dG (t) = 0}$ , noi obținem:

\ rS{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}-rf=0

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

adică, încă o dată, ecuația Black-Scholes.

Derivarea prin factorul de reducere stocastică în timp continuu

Același subiect în detaliu: Factor de reducere stochastică .

O derivare alternativă poate fi obținută printr-un factor de reducere stocastic în timp continuu. Definiți un factor de reducere stocastică în timp continuu ca proces stocastic $\xi (t)$ ${\ displaystyle \ xi (t)}$ ${\ displaystyle \ xi (t)}$ , care satisface ecuația diferențială stocastică :

\ d\xi (t)=-r(t)\xi (t)dt-\lambda (t)\xi (t)dW_{t}

{\ displaystyle \ d \ xi (t) = - r (t) \ xi (t) dt- \ lambda (t) \ xi (t) dW_ {t}}

{\ displaystyle \ d \ xi (t) = - r (t) \ xi (t) dt- \ lambda (t) \ xi (t) dW_ {t}}

unde este $r(t)$ ${\ displaystyle r (t)}$ $r (t)$ denotă rata instantanee fără risc, e $\lambda (t)$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ $\ lambda (t)$ indică prima de risc (în limba engleză , prețul de risc al pieței ):

{\frac {\mu -r}{\sigma }}

{\ displaystyle {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}}}

Prin urmare, se impune condiția ca factorul de actualizare stocastic astfel definit să determine corect prețul unui titlu derivat $\ f(\cdot )$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ f (\ cdot)}$ , și anume că:

{\mbox{E}}\left[d\left(\xi f\right)\right]=0

{\ displaystyle {\ mbox {E}} \ left [d \ left (\ xi f \ right) \ right] = 0}

{\ displaystyle {\ mbox {E}} \ left [d \ left (\ xi f \ right) \ right] = 0}

Această condiție este cunoscută sub numele de condiție martingalitate (deoarece dictează că procesul $\{\xi (t)f(t)\}$ ${\ displaystyle \ {\ xi (t) f (t) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ xi (t) f (t) \}}$ este o martingală ). Se știe (și poate fi demonstrat imediat, recurgând la lema lui Itō ) că:

d\left(\xi f\right)=\xi df+fd\xi

{\ displaystyle d \ left (\ xi f \ right) = \ xi df + fd \ xi}

{\ displaystyle d \ left (\ xi f \ right) = \ xi df + fd \ xi}

Prin înlocuirea unui $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ , $d\xi$ ${\ displaystyle d \ xi}$ ${\ displaystyle d \ xi}$ expresiile lor ( $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ este determinată încă o dată prin lema Itō ) și observând că valoarea așteptată a termenilor din $dW_{t}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ este zero datorită proprietăților mișcării browniene , obținem, din condiția martingalității:

\ rS{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}-rf=0

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

{\ displaystyle \ rS {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2 } S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} - rf = 0}

adică, încă o dată, ecuația Black-Scholes.

Dispute

De-a lungul timpului, modelul a fost utilizat de comercianți nu numai ca o previziune, ci și o condiție prealabilă înainte de tranzacționare, creând efectiv realitatea pieței pe care modelul a descris-o, paradigmatică a eșecului fondului de acoperire a riscului pe termen lung ^[1] .

Notă

^ Luciano Gallino , Finanzcapitalismo. Civilizația banilor în criză , pagina 100, Einaudi, Torino, 2011. ISBN 978-88-06-20701-4

Bibliografie

Contribuții istorice

Black, F. și Scholes, M. ( 1973 ), Prețul opțiunilor și pasivelor corporative, Journal of Political Economy 81 (3), 637-654;
Merton, R. ( 1973 ), Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1), 141-183.

Manuale

Hull, JC ( 2000 ), Options, Futures and Other Derivatives , Prentice-Hall, ISBN 0-13-022444-8 ; textul introductiv la teoria derivatelor de referință, la nivel universitar pre-doctoral (în limba engleză );
Hull, JC ( 2003 ), Options, Futures and Other Derivatives , Il Sole 24Ore Libri, (ediția italiană a volumului).
Paul, W., Baschnagel, J., „Procese stochastice de la fizică la finanțe”, Springer.

Elemente conexe

linkuri externe

Black, Merton și Scholes: munca lor și consecințele sale , articol despre modelul Black and Scholes în limba engleză.

Home Economics : ajuta Wikipedia prin extinderea economiei

[1] Luciano Gallino , Finanzcapitalismo. Civilizația banilor în criză , pagina 100, Einaudi, Torino, 2011. ISBN 978-88-06-20701-4

[1]

V · D · M Derivate
Termeni	Preț grevă bază privitoare la instrumentul Volatilitatea deschis interes payoff de risc de rată a dobânzii de maturitate greci
Opțiuni	Sunați · Puneți · Mandate
Opțiuni exotice	Asiatic · Binar · Swaption · Lookback · Cliquet
Strategii	Straddle · Strangle · Fluture · Guler
Evaluarea opțiunilor	Moneyness Opțiune Valoare Put-call parity Model Black -Scholes Model negru Metoda binomială Montecarlo
Swap	Swap pe rata dobânzii · Swap pe profit total · Swap pe acțiuni · Swap pe scadență constantă · Swap de credit implicit
Alte derivate	Futures · Înainte
Piețe	IDEM · SeDeX · Over the Counter · Piețe derivate străine