Circumferinţă

O circumferință

Ilustrarea unui cerc: circumferința (C) este trasată în negru, diametrul (D) în cian, raza (R) în roșu și centrul (O) în magenta. Circumferință = π × diametru =
= 2 × π × rază = [metri / centimetri].

Raportul dintre lungimea circumferinței unei roți și diametrul acesteia este π

În geometrie, o circumferință este locusul geometric al punctelor de pe plan echidistant de la un punct fix numit centru . Distanța oricărui punct de pe circumferință de la centru se numește rază .

Generalitate

Cercurile sunt simple curbe închise care împart planul într-o suprafață internă și exterioară (infinită). Suprafața planului conținută într-o circumferință, împreună cu circumferința însăși, se numește cerc , deci:

circumferința este un perimetru (o linie curbată închisă, măsurată în centimetri sau metri ),
cercul este aria (măsurată în centimetri pătrați sau metri pătrați ).

Pentru celelalte suprafețe ale planului geometric , limba italiană nu distinge zona și perimetrul cu două cuvinte diferite. În limba engleză , pe lângă circumferința și cercul corespunzător, cuvântul disc indică o regiune a planului cu unele proprietăți importante, care poate fi închisă sau deschisă, dacă nu conține cercul pe care îl delimitează. Observați circumferința unui cerc, pentru orice suprafață (închisă) a planului geometric puteți desena o circumferință înscrisă și o circumferință circumscrisă .

Circumferința este cazul particular al unei elipse , în care cele două focare coincid în același punct , care este centrul circumferinței: elipsa are două centre (numite focare), circumferința are un singur centru. Prin urmare, se spune că circumferința are excentricitate zero.
La fel, formula de calcul pentru aria cercului este un caz special al formulei pentru aria unei elipse.

Calculând variațiile, se arată că circumferința este figura plană care delimitează aria maximă pe unitate de perimetru pătrat .

Un cerc este, de asemenea, un caz particular de simetrie centrală , deoarece toate punctele cercului sunt echidistante de centrul cercului.
Formula pentru a găsi lungimea circumferinței este:

\mathrm {Crf} =2\cdot \pi \cdot r

{\ displaystyle \ mathrm {Crf} = 2 \ cdot \ pi \ cdot r}

\ mathrm {Crf} = 2 \ cdot \ pi \ cdot r

sau:

\mathrm {Crf} =d\cdot \pi

{\ displaystyle \ mathrm {Crf} = d \ cdot \ pi}

\ mathrm {Crf} = d \ cdot \ pi

Unde este:

$\mathrm {Crf}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Crf}}$ $\ mathrm {Crf}$ înseamnă circumferință;
$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ înseamnă pi ( $\pi =3{,}141592653589793\ldots$ ${\ displaystyle \ pi = 3 {,} 141592653589793 \ ldots}$ ${\ displaystyle \ pi = 3 {,} 141592653589793 \ ldots}$ );
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ reprezintă raza cercului;
$d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ înseamnă diametrul cercului.

Circumferința în plan cartezian

În geometria analitică, o circumferință într-un plan poate fi util descrisă atât prin intermediul coordonatelor carteziene , cât și prin intermediul coordonatelor polare, precum și sub formă parametrică.

Ecuația cartesiană a circumferinței

Într-un sistem cartezian de referință $SAU X y$ ${\ displaystyle Oxy}$ $Oxy$ , circumferința centrului $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este locusul punctelor caracterizate prin ecuație :

(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=r^{2}

{\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}}

(x- \ alpha) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}

,

adică este mulțimea tuturor și numai punctele care sunt îndepărtate $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ .

Forma canonică este adesea dată ecuației mai generale:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + c = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + cu + c = 0

,

legat de precedent prin următoarele egalități:

a=-2\alpha

{\ displaystyle a = -2 \ alpha}

a = -2 \ alfa

, echivalentă cu:

\alpha =-{\frac {a}{2}}

{\ displaystyle \ alpha = - {\ frac {a} {2}}}

{\ displaystyle \ alpha = - {\ frac {a} {2}}}

b=-2\beta

{\ displaystyle b = -2 \ beta}

b = -2 \ beta

, echivalentă cu:

\beta =-{\frac {b}{2}}

{\ displaystyle \ beta = - {\ frac {b} {2}}}

{\ displaystyle \ beta = - {\ frac {b} {2}}}

c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-r^{2}

{\ displaystyle c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -r ^ {2}}

c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -r ^ {2}

, sau echivalent

r={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-c}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c}}}

.

Din aceasta rezultă că dacă $\alpha ^{2}+\beta ^{2}-c=0$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c = 0}$ $\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c = 0$ circumferința degenerează doar într-un singur punct, $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ , de sine $\alpha ^{2}+\beta ^{2}-c<0$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c <0}$ $\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} -c <0$ locul geometric (în plan cartezian real) descris de ecuație nu este o circumferință, ci mulțimea goală.

Dacă centrul circumferinței este originea $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0, 0)$ , ecuația devine:

x^{2}+y^{2}=r^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}

x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}

.

Dacă circumferința trece prin origine $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0, 0)$ , $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ iar ecuația devine:

x^{2}+y^{2}+ax+by=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by = 0

.

Dacă circumferința este centrată pe axa x, $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ iar ecuația devine:

x^{2}+y^{2}+ax+c=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + c = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + ax + c = 0

.

Dacă circumferința este centrată pe axa y, $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ iar ecuația devine:

x^{2}+y^{2}+by+c=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + de + c = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} + cu + c = 0

.

Ecuația în coordonate polare

În coordonate polare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ecuația circumferinței cu centrul la origine și rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este evident dat de ecuație:

\rho =r~.

{\ displaystyle \ rho = r ~.}

\ rho = r ~.

Ecuația parametrică

O circumferință $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ al cărui centru are coordonate $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ și raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este descris cu următoarea formă parametrică:

$C:\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+R\,\cos(t)&\\&t\in [0;2\pi ]\\y=y_{0}+R\ \sin(t)&\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle C: \ left \ {{\ begin {matrix} x = x_ {0} + R \, \ cos (t) & \\ & t \ in [0; 2 \ pi] \\ y = y_ { 0} + R \ \ sin (t) & \ end {matrix}} \ right.}$ $C: \ left \ {{\ begin {matrix} x = x_ {0} + R \, \ cos (t) & \\ & t \ in [0; 2 \ pi] \\ y = y_ {0} + R \ \ sin (t) & \ end {matrix}} \ right.$

Probleme clasice ale circumferinței în plan cartezian

Circumferință al cărei centru și rază sunt cunoscute

Folosește ecuația $(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=r^{2}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}}$ $(x- \ alpha) ^ {2} + (y- \ beta) ^ {2} = r ^ {2}$ . Următoarele pot fi, de asemenea, atribuite acestei probleme

se cunoaște un diametru al circumferinței: diametrul este de două ori mai mare decât raza și centrul este punctul mediu al diametrului
sunt cunoscute două puncte ale circumferinței și o linie dreaptă pe care se află centrul: axa unui coardă trece întotdeauna prin centrul circumferinței

Circumferința cu trei puncte

Metoda geometrică

Amintiți-vă doar că axa unui șir trece întotdeauna prin centrul circumferinței. Procedura soluției este următoarea:

se construiesc axele a două corzi;
sistemul se face între ecuațiile celor două axe;
soluția sistemului este centrul circumferinței;
în acest moment se poate calcula raza.

Metoda algebrică

Problema are trei necunoscute: coeficienții $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ a ecuației canonice a circumferinței $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + c = 0}$ $x ^ {2} + y ^ {2} + ax + cu + c = 0$ . Cerem trecerea prin cele trei puncte date de problemă și obținem un sistem liniar în trei ecuații și trei necunoscute $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ .

Liniile tangente conduse dintr-un punct extern

Metoda geometrică

Amintiți-vă doar că distanța liniei tangente de centru este egală cu raza circumferinței în sine. Procedura soluției este următoarea:

se construiește un pachet de linii drepte cu punctul extern în centru;
se impune ca distanța liniilor drepte ale fasciculului de la centrul circumferinței să fie egală cu raza.

Metoda algebrică

Amintiți-vă doar că într-un sistem de gradul doi (circumferința liniei) condiția de tangență apare atunci când sistemul admite două soluții reale și coincidente, adică atunci când ecuația de gradul doi asociată sistemului are $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$ .

Linie tangentă pe un punct al circumferinței

Această problemă este rezolvată reținând că linia tangentă la circumferință este perpendiculară pe rază în punctul său de tangență. Prin urmare, cu excepția cazurilor speciale în care tangenta este paralelă cu axa y, procedura soluției este următoarea:

calculați coeficientul unghiular al liniei drepte a razei care are ca extremă punctul tangent;
se calculează coeficientul unghiular al perpendicularului pe această rază;
și apoi se calculează ecuația liniei perpendiculare care trece prin punctul tangent.

Alternativ, este suficient să se utilizeze formula pentru dublarea circumferinței, deci ecuația liniei tangente la circumferință $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + c = 0}$ $x ^ {2} + y ^ {2} + ax + cu + c = 0$ în sens $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ este pur și simplu ecuația

xx_{0}+yy_{0}+a{\frac {x+x_{0}}{2}}+b{\frac {y+y_{0}}{2}}+c=0,

{\ displaystyle xx_ {0} + yy_ {0} + a {\ frac {x + x_ {0}} {2}} + b {\ frac {y + y_ {0}} {2}} + c = 0 ,}

{\ displaystyle xx_ {0} + yy_ {0} + a {\ frac {x + x_ {0}} {2}} + b {\ frac {y + y_ {0}} {2}} + c = 0 ,}

unde este $x_{0},y_{0},a,b,c$ ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}, a, b, c}$ $x_ {0}, y_ {0}, a, b, c$ sunt date.

Circumferința în planul complex

În planul complex o circumferință cu centrul originii și raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ poate fi exprimat prin ecuația parametrică

z(t)=Re^{it}

{\ displaystyle z (t) = Re ^ {it}}

z (t) = Re ^ {{it}}

pentru $t\in [0,2\pi ]$ ${\ displaystyle t \ in [0.2 \ pi]}$ $t \ in [0.2 \ pi]$ . Pentru a realiza că această formulă descrie un cerc este suficient să luați în considerare ecuațiile parametrice descrise mai sus și să le comparați cu formula lui Euler .

Circumferința în spațiu

Este posibil să se descrie un cerc în spațiu ca intersecția unei sfere S cu un plan $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Pentru a calcula raza unei circumferințe descrisă în felul următor, se poate utiliza teorema lui Pitagora :

se calculează distanța $d(\pi ,P)$ ${\ displaystyle d (\ pi, P)}$ $d (\ pi, P)$ a planului $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ din centrul sferei S
numit R raza sferei S , raza $r_{c}$ ${\ displaystyle r_ {c}}$ $r_ {c}$ a circumferinței este valabilă

$r_{c}={\sqrt {R^{2}-d^{2}(\pi ,P)}}$ ${\ displaystyle r_ {c} = {\ sqrt {R ^ {2} -d ^ {2} (\ pi, P)}}}$ $r_ {c} = {\ sqrt {R ^ {2} -d ^ {2} (\ pi, P)}}$ .

Exemplu

Circumferința

$C:\left\{{\begin{matrix}x+y+z=1\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\\\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle C: \ left \ {{\ begin {matrix} x + y + z = 1 \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 4 \\\ end {matrix} } \ dreapta.}$ $C: \ left \ {{\ begin {matrix} x + y + z = 1 \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 4 \\\ end {matrix}} \ right .$

este intersecția planului

\pi :x+y+z=1,

{\ displaystyle \ pi: x + y + z = 1,}

{\ displaystyle \ pi: x + y + z = 1,}

cu sfera S având originea și raza centrului 2. Distanța centrului sferei de la plan este validă ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$ ${\ frac {1} {{\ sqrt {3}}}}$ . Distanța dintre centrul sferei și planul este mai mică decât raza sferei. Deci planul $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ intersectează sfera S. În acest moment raza $r_{c}$ ${\ displaystyle r_ {c}}$ $r_ {c}$ circumferinței se calculează folosind teorema lui Pitagora :

r_{c}={\sqrt {4-{\frac {1}{3}}}}={\sqrt {\frac {11}{3}}}

{\ displaystyle r_ {c} = {\ sqrt {4 - {\ frac {1} {3}}}} = {\ sqrt {\ frac {11} {3}}}}

r_ {c} = {\ sqrt {4 - {\ frac {1} {3}}}} = {\ sqrt {{\ frac {11} {3}}}}

Componentele circumferinței și proprietățile acestora

Toate circumferințele sunt similare; în consecință, circumferința este proporțională cu raza:

Lungimea circumferinței =

2\pi r.

{\ displaystyle 2 \ pi r.}

{\ displaystyle 2 \ pi r.}

O linie care întâlnește un cerc în două puncte se numește secantă , în timp ce una care atinge cercul într-un singur punct, numit punct tangent, se numește tangentă . Raza care unește centrul circumferinței cu punctul de tangență este întotdeauna perpendiculară pe tangentă. Luate două puncte pe circumferință, acestea împart circumferința în două arce . Dacă cele două arce au aceeași lungime se numesc semicercuri. Segmentul care leagă două puncte de pe circumferință se numește coardă . Coarda de lungime maximă, care trece prin centru, se numește diametru și este egală cu dubla rază.

Cercuri infinite trec prin două puncte, iar locusul centrelor lor este axa segmentului care unește cele două puncte. Perpendicularul condus de centrul unei circumferințe la unul dintre acordurile sale îl împarte în jumătate. Două acorduri congruente au aceeași distanță de centru. Dacă dintr-un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , în afara unui cerc de centru $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ se trasează liniile $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ tangente la aceasta, segmentele tangente dintre $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ iar punctele de contact cu circumferința sunt congruente și segmentul $SAU P.$ ${\ displaystyle OP}$ $OP$ este bisectoarea unghiului $r s$ ${\ displaystyle rs}$ ${\ displaystyle rs}$ în vârf $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

O singură circumferință trece prin trei puncte neliniate, al căror centru coincide cu intersecția axelor segmentelor care leagă punctele. Ecuația cercului care trece prin puncte $(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ $(x_1, y_1)$ , $(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_2, y_2)$ , $(x_{3},y_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3})}$ $(x_ {3}, y_ {3})$ poate fi exprimat după cum urmează:

\det {\begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\\\end{bmatrix}}=0.

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} x & y & x ^ {2} + y ^ {2} & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ {3 } & x_ {3} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} & 1 \\\ end {bmatrix}} = 0.}

\ det {\ begin {bmatrix} x & y & x ^ {2} + y ^ {2} & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ {3} & x_ {3} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} & 1 \\\ end {bmatrix}} = 0.

unde expresia din stânga este determinantul matricei .

Axa radicală

Axa radicală, marcată cu roșu, cu circumferințele în diferitele poziții reciproce posibile.

Construcția axei rădăcinii în cazul circumferințelor externe ca un loc în care puterea punctului J este egală cu cele două circumferințe.

Având în vedere două cercuri care se intersectează, axa radicală ^[1] este definită ca linia dreaptă care trece prin cele două puncte comune ( puncte de bază ). Cu calcule simple, pornind de la ecuația canonică și indicând cu ghilimele coeficienții celui de-al doilea cerc, obținem că această linie are ecuație $(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0$ ${\ displaystyle (a-a ') x + (b-b') y + (c-c ') = 0}$ ${\ displaystyle (a-a ') x + (b-b') y + (c-c ') = 0}$ și este perpendiculară pe linia care unește centrele circumferințelor. Definiția se extinde cu ușurință în cazul cercurilor tangente, numind axa radicală linia tangentă la cele două cercuri din punctul comun. Pentru ao extinde și în cazul în care cercurile nu au puncte în comun, axa radicală este definită ca linia formată din punctele care au aceeași putere față de cele două cercuri. Acest concept poate fi generalizat în continuare luând în considerare pachetele de circumferințe . O abordare care, printre altele, permite ca cazurile menționate mai sus să fie tratate în comun ^[2] .

Topologie

Un cerc topologic se obține considerând un interval închis pe linia reală și dotându-l cu topologia coeficient obținută prin identificarea extremelor.

Circumferința este dotată cu o structură naturală de varietate diferențiată de dimensiunea 1, este un spațiu compact și conectat , dar nu pur și simplu conectat , de fapt grupul său fundamental este grupul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi .

Structura grupului

Circumferința este dotată în mod natural cu structura algebrică a grupului : putem identifica fiecare punct al circumferinței cu unghiul pe care îl formează în raport cu o rază predeterminată (în general axa abscisei într-un sistem de referință cartesian ) și putem defini suma a două puncte identificate prin colțurile $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ca punct identificat de colț $\alpha +\beta$ ${\ displaystyle \ alpha + \ beta}$ $\ alpha + \ beta$ . Este imediat să verificăm dacă circumferința furnizată cu această operațiune verifică proprietățile unui grup și că, ca grup, este izomorfă pentru grupul coeficient $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$ .