Ecuația diferențială ordinară

În matematică , o ecuație diferențială obișnuită (prescurtată în EDO , sau ODE din acronimul în engleză Ordinary Differential Equation ) este o ecuație diferențială care implică o funcție a unei variabile și derivatele acesteia de orice ordin: este un obiect matematic larg utilizat în fizică și multe alte domenii ale științei ; de exemplu un sistem dinamic este descris printr-o ecuație diferențială obișnuită.

Ca și în cazul tuturor ecuațiilor diferențiale, de obicei nu este posibil să se rezolve exact un EDO și, în orice caz, nu există metode generale pentru ao face. Prin urmare, diferitele cazuri posibile sunt analizate individual și adesea ne limităm la studierea comportamentului calitativ al soluției fără a fi posibilă obținerea unei expresii analitice. Ecuațiile liniare (de orice ordin) sunt deosebit de simple, deoarece pot fi întotdeauna urmărite înapoi la un sistem de ecuații liniare de primul ordin.

Definiție

Este $F\colon \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n+2}\rightarrow \mathbb {C}$ ${\ displaystyle F \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n + 2} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle F \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n + 2} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ , cu $\Omega \neq \varnothing$ ${\ displaystyle \ Omega \ neq \ varnothing}$ $\ Omega \ neq \ varnothing$ un întreg deschis și conectat e $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ .

Se numește ecuație diferențială obișnuită de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ o relatie de genul:

F\left(x,u(x),u'(x),\ldots ,u^{(n)}(x)\right)=0,

{\ displaystyle F \ left (x, u (x), u '(x), \ ldots, u ^ {(n)} (x) \ right) = 0,}

{\ displaystyle F \ left (x, u (x), u '(x), \ ldots, u ^ {(n)} (x) \ right) = 0,}

unde cu $u^{(i)}(x)$ ${\ displaystyle u ^ {(i)} (x)}$ $u ^ {{(i)}} (x)$ este indicată derivata $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea a funcției $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ .

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este definit într-o regiune $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n+2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 2}}$ , atunci considerăm mai corect ecuații diferențiale obișnuite în câmpul real, cu valori reale dacă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este la valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Ordinea unei ecuații este ordinea maximă de derivare care apare în ea, în timp ce adjectivul obișnuit se referă la faptul că necunoscutul este o funcție a unei singure variabile. Dacă necunoscutul depinde de mai multe variabile, avem o ecuație diferențială parțială .

Este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ un interval de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . O funcție este definită ca soluția sau integrala ecuației diferențiale obișnuite $\varphi =\varphi (x)$ ${\ displaystyle \ varphi = \ varphi (x)}$ $\ varphi = \ varphi (x)$ astfel încât:

\varphi (x)\in C^{n}(I)\qquad F\left(x,\varphi (x),\varphi '(x),\ldots ,\varphi ^{(n)}(x)\right)=0\qquad \forall x\in I.

{\ displaystyle \ varphi (x) \ în C ^ {n} (I) \ qquad F \ left (x, \ varphi (x), \ varphi '(x), \ ldots, \ varphi ^ {(n)} (x) \ right) = 0 \ qquad \ forall x \ in I.}

{\ displaystyle \ varphi (x) \ în C ^ {n} (I) \ qquad F \ left (x, \ varphi (x), \ varphi '(x), \ ldots, \ varphi ^ {(n)} (x) \ right) = 0 \ qquad \ forall x \ in I.}

O ecuație diferențială obișnuită se spune că este autonomă dacă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ nu depinde în mod explicit de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Se spune că o ecuație diferențială obișnuită este scrisă în formă normală dacă poate fi explicitată cu respect $u^{(n)}(x)$ ${\ displaystyle u ^ {(n)} (x)}$ $u ^ {{(n)}} (x)$ :

u^{(n)}(x)=G\left(x,u,u',\ldots ,u^{(n-1)}\right).

{\ displaystyle u ^ {(n)} (x) = G \ left (x, u, u ', \ ldots, u ^ {(n-1)} \ right).}

{\ displaystyle u ^ {(n)} (x) = G \ left (x, u, u ', \ ldots, u ^ {(n-1)} \ right).}

Se mai spune că este liniar dacă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o combinație liniară de $u,u',\ldots ,u^{(n)}$ ${\ displaystyle u, u ', \ ldots, u ^ {(n)}}$ ${\ displaystyle u, u ', \ ldots, u ^ {(n)}}$ , sau:

F\left(x,u,u',\ldots ,u^{(n)}\right)=s(x)+b_{0}(x)u+b_{1}(x)u'+\ldots +b_{n}(x)u^{(n)},

{\ displaystyle F \ left (x, u, u ', \ ldots, u ^ {(n)} \ right) = s (x) + b_ {0} (x) u + b_ {1} (x) u '+ \ ldots + b_ {n} (x) u ^ {(n)},}

{\ displaystyle F \ left (x, u, u ', \ ldots, u ^ {(n)} \ right) = s (x) + b_ {0} (x) u + b_ {1} (x) u '+ \ ldots + b_ {n} (x) u ^ {(n)},}

sau, echivalent:

u^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)u^{(i)}+r(x),

{\ displaystyle u ^ {(n)} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (x) u ^ {(i)} + r (x),}

{\ displaystyle u ^ {(n)} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (x) u ^ {(i)} + r (x),}

unde este:

r(x),a_{0}(x),a_{1}(x),\ldots ,a_{n-1}(x)\in C^{0}(I).

{\ displaystyle r (x), a_ {0} (x), a_ {1} (x), \ ldots, a_ {n-1} (x) \ în C ^ {0} (I).}

{\ displaystyle r (x), a_ {0} (x), a_ {1} (x), \ ldots, a_ {n-1} (x) \ în C ^ {0} (I).}

Termenul $r(x)$ ${\ displaystyle r (x)}$ $r (x)$ se numește sursă sau forțare și, dacă este zero, se spune că ecuația diferențială liniară este omogenă .

O ecuație obișnuită are soluții liniar independente într-un număr egal cu gradul ecuației și fiecare combinație liniară a acestora este la rândul său o soluție.

Având în vedere o ecuație diferențială obișnuită, dacă este cunoscută o soluție generală a ecuației omogene asociate acesteia, atunci este posibil să se găsească o soluție specială a ecuației „complete”. În acest scop, există mai multe proceduri , inclusiv metoda variațiilor constante și utilizarea transformatei Laplace . Pentru cazurile mai simple există și câteva teorii: de exemplu, pentru ecuațiile de gradul I este posibil să se caute un factor de integrare adecvat, pentru al doilea există teoria Sturm-Liouville . Cu toate acestea, în general, de obicei, singura modalitate posibilă de a studia soluția este utilizarea unei metode de soluție numerică .

Sisteme ODE

Reducerea la un sistem de ecuații de ordinul 1

Un sistem de ecuații ordinare diferențiale ordinare $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în formă normală este o relație vectorială de tipul:

\mathbf {u} '=\mathbf {f} \left(x,\mathbf {u} \right).

{\ displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} \ right).}

{\ displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} \ right).}

O soluție clasică a unui astfel de sistem este o funcție $\mathbf {u} \colon I\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ astfel încât:

\mathbf {u} (x)\in C^{1}(I)\qquad \mathbf {u} '(x)=\mathbf {f} \left(x,\mathbf {u} (x)\right)\qquad \forall x\in I.

{\ displaystyle \ mathbf {u} (x) \ în C ^ {1} (I) \ qquad \ mathbf {u} '(x) = \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} (x ) \ right) \ qquad \ forall x \ in I.}

{\ displaystyle \ mathbf {u} (x) \ în C ^ {1} (I) \ qquad \ mathbf {u} '(x) = \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} (x ) \ right) \ qquad \ forall x \ in I.}

O relevanță deosebită în scopuri practice este reducerea unei ecuații diferențiale obișnuite de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în formă normală la un sistem diferențial de prim ordin. Această tehnică face posibilă simplificarea considerabilă a unor tipuri de probleme, evitând introducerea unor forme complexe de rezoluție. Este:

u^{(n)}(x)=G\left(x,u,u',\ldots ,u^{(n-1)}\right)

{\ displaystyle u ^ {(n)} (x) = G \ left (x, u, u ', \ ldots, u ^ {(n-1)} \ right)}

u ^ {{(n)}} (x) = G \ left (x, u, u ', \ ldots, u ^ {{(n-1)}} \ right)

o ecuație diferențială de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ tip normal. Ei se definesc:

u_{i}=u^{(i-1)}(x)\qquad \mathbf {u} =\left(u_{i}\right),\qquad i\in \{1,\ldots ,n\},

{\ displaystyle u_ {i} = u ^ {(i-1)} (x) \ qquad \ mathbf {u} = \ left (u_ {i} \ right), \ qquad i \ in \ {1, \ ldots , n \},}

{\ displaystyle u_ {i} = u ^ {(i-1)} (x) \ qquad \ mathbf {u} = \ left (u_ {i} \ right), \ qquad i \ in \ {1, \ ldots , n \},}

astfel încât $u_{i}'=u_{i+1}$ ${\ displaystyle u_ {i} '= u_ {i + 1}}$ $u _ {{i}} '= u _ {{i + 1}}$ , și în special $u_{n}'=u^{(n)}(x)$ ${\ displaystyle u_ {n} '= u ^ {(n)} (x)}$ $u _ {{n}} '= u ^ {{(n)}} (x)$ . Ecuația diferențială este deci echivalentă cu sistemul:

{\begin{cases}u_{1}'=u_{2},\\u_{2}'=u_{3},\\\vdots \\u_{n-1}'=u_{n},\\u_{n}'=G\left(x,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)=G\left(x,\mathbf {u} \right).\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {1} '= u_ {2}, \\ u_ {2}' = u_ {3}, \\\ vdots \\ u_ {n-1} '= u_ {n }, \\ u_ {n} '= G \ left (x, u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n} \ right) = G \ left (x, \ mathbf {u} \ right ). \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {1} '= u_ {2}, \\ u_ {2}' = u_ {3}, \\\ vdots \\ u_ {n-1} '= u_ {n }, \\ u_ {n} '= G \ left (x, u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n} \ right) = G \ left (x, \ mathbf {u} \ right ). \ end {cases}}}

Prin plasarea:

\mathbf {f} \left(x,\mathbf {u} \right)={\begin{pmatrix}u_{2}\\u_{3}\\\vdots \\u_{n}\\G\left(x,\mathbf {u} \right)\end{pmatrix}},

{\ displaystyle \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} \ right) = {\ begin {pmatrix} u_ {2} \\ u_ {3} \\\ vdots \\ u_ {n} \\ G \ left (x, \ mathbf {u} \ right) \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} \ right) = {\ begin {pmatrix} u_ {2} \\ u_ {3} \\\ vdots \\ u_ {n} \\ G \ left (x, \ mathbf {u} \ right) \ end {pmatrix}},}

primesti:

\mathbf {u} '=\mathbf {f} \left(x,\mathbf {u} \right),

{\ displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} \ right),}

{\ displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {f} \ left (x, \ mathbf {u} \ right),}

adică, cu alte cuvinte, este întotdeauna posibil să se traducă totul într-o ecuație de ordine 1. Cu o procedură complet similară cu cea urmată, este posibil și invers, adică să se obțină o ecuație de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ plecând de la o ecuație de ordinul 1 în care un vector $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ambele soluție.

Sistem de ecuații de ordine n

Dacă luăm în considerare un transportator $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ definit ca:

\mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),y_{2}(x),\dots ,y_{m}(x))

{\ displaystyle \ mathbf {y} (x) = (y_ {1} (x), y_ {2} (x), \ dots, y_ {m} (x))}

{\ mathbf y} (x) = (y_ {1} (x), y_ {2} (x), \ dots, y_ {m} (x))

și o funcție $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ acționând asupra $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ și derivatele sale, apoi scrierea:

\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {(n)} = \ mathbf {F} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n-1)} \ dreapta)}

{\ mathbf {y}} ^ {{(n)}} = {\ mathbf {F}} \ left (x, {\ mathbf {y}}, {\ mathbf {y}} ', {\ mathbf {y }} '', \ cdots {\ mathbf {y}} ^ {{(n-1)}} \ right)

denotă un sistem explicit de ecuații ordinare diferențiale de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Sub formă de vectori de coloană avem:

{\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\F_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\F_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} ^ {(n)} \\ y_ {2} ^ {(n)} \\\ vdots \\ y_ {m} ^ {(n)} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} F_ {1} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {( n-1)} \ right) \\ F_ {2} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {( n-1)} \ right) \\\ vdots \\ F_ {m} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y } ^ {(n-1)} \ right) \\\ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} ^ {(n)} \\ y_ {2} ^ {(n)} \\\ vdots \\ y_ {m} ^ {(n)} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} F_ {1} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {( n-1)} \ right) \\ F_ {2} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {( n-1)} \ right) \\\ vdots \\ F_ {m} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y } ^ {(n-1)} \ right) \\\ end {pmatrix}}.}

Sistemul implicit analog este:

\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}},

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)} \ right) = {\ boldsymbol {0}},}

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ left (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)} \ right) = {\ boldsymbol {0}},}

unde este $\mathbf {0} =(0,0,\dots )$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} = (0,0, \ dots)}$ ${\ mathbf 0} = (0,0, \ dots)$ . În formă matricială:

{\begin{pmatrix}F_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\F_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\F_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} F_ {1} (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)} ) \\ F_ {2} (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)}) \\\ vdots \ \ F_ {m} (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)}) \\\ end {pmatrix} } = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\\ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} F_ {1} (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)} ) \\ F_ {2} (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)}) \\\ vdots \ \ F_ {m} (x, \ mathbf {y}, \ mathbf {y} ', \ mathbf {y}' ', \ cdots \ mathbf {y} ^ {(n)}) \\\ end {pmatrix} } = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\\ end {pmatrix}}.}

Soluții

Având în vedere o ecuație:

F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0

{\ displaystyle F \ left (x, y, y ', \ cdots, y ^ {(n)} \ right) = 0}

F \ left (x, y, y ', \ cdots, y ^ {{(n)}} \ right) = 0

o functie $u\colon I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ se numește soluția (sau integrala ) ecuației diferențiale obișnuite dacă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este diferențiat $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ timpul a expirat $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și avem:

F(x,u,u',\ \cdots ,\ u^{(n)})=0,\quad x\in I.

{\ displaystyle F (x, u, u ', \ \ cdots, \ u ^ {(n)}) = 0, \ quad x \ in I.}

{\ displaystyle F (x, u, u ', \ \ cdots, \ u ^ {(n)}) = 0, \ quad x \ in I.}

Oferiți două soluții $u\colon J\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u \ colon J \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u \ colon J \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ Și $v\colon I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle v \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle v \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ , $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ se numește o extensie a $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ de sine $I\subset J$ ${\ displaystyle I \ subset J}$ $I \ subset J$ Și:

u(x)=v(x),\quad x\in I.

{\ displaystyle u (x) = v (x), \ quad x \ in I.}

{\ displaystyle u (x) = v (x), \ quad x \ in I.}

O soluție care nu are extensii se numește o soluție maximă , în timp ce o soluție este definită pe toate $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ se numește o soluție globală .

O soluție generală a unei ecuații de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este o soluție care conține $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ constante de integrare independente, în timp ce o soluție particulară este obținută din soluția generală prin acordarea unei valori fixe constantelor, de obicei pentru a satisface condițiile inițiale sau condițiile limită . În acest context, o soluție singulară este o soluție care nu poate fi obținută prin atribuirea unei valori definite constantelor de integrare.

Existența soluției și problema Cauchy

Același subiect în detaliu: problema Cauchy .

O problemă de valoare inițială este o ecuație diferențială obișnuită: ^[1]

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad f:\Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n},

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad f: \ Omega \ subset \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n},}

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad f: \ Omega \ subset \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n},}

asociat cu un punct din domeniul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

(t_{0},y_{0})\in \Omega

{\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ în \ Omega}

(t_ {0}, y_ {0}) \ in \ Omega

numită condiție inițială . Soluția unei probleme de valoare inițială este deci o funcție $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care este soluția ecuației diferențiale și satisface condiția $y(t_{0})=y_{0}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$ $y (t_ {0}) = y_ {0}$ . Cu alte cuvinte, problema lui Cauchy este de a găsi o curbă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , dintre cele definite de $y'(t)=f(t,y(t))$ ${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t))}$ $y '(t) = f (t, y (t))$ , care trece pentru punct $y(t_{0})=y_{0}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$ $y (t_ {0}) = y_ {0}$ .

Existența locală a unei soluții a fost dovedită de Augustin-Louis Cauchy sub ipoteza continuității și mărginirii lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ într-o regiune a domeniului său ( teorema Peano sau Cauchy-Peano). ^[2] Ulterior, existența locală și unicitatea au fost arătate de Émile Picard cu ipoteza lipsețitzianității în ceea ce privește $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ( teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy sau Picard-Lindelöf), iar acest rezultat poate fi extins la o formă globală. Daca atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este Lipschitz într-o regiune $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ din domeniu, atunci există cel puțin o soluție-curbă care poate fi diferențiată cu continuitatea care trece prin fiecare punct interior a $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Simplificarea întrebării, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $\partial f/\partial y$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial y}$ $\ partial f / \ partial y$ sunt continue într-un dreptunghi închis în plan $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ a formei:

R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b],

{\ displaystyle R = [x_ {0} -a, x_ {0} + a] \ times [y_ {0} -b, y_ {0} + b],}

{\ displaystyle R = [x_ {0} -a, x_ {0} + a] \ times [y_ {0} -b, y_ {0} + b],}

unde este $a,b\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ $a, b \ in \ mathbb {R}$ Și $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ este produsul cartezian , apoi există un interval:

I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a],

{\ displaystyle I = [x_ {0} -h, x_ {0} + h] \ subset [x_ {0} -a, x_ {0} + a],}

{\ displaystyle I = [x_ {0} -h, x_ {0} + h] \ subset [x_ {0} -a, x_ {0} + a],}

în care pentru unii $h\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle h \ in \ mathbb {R}}$ $h \ in \ mathbb {R}$ singura soluție poate fi găsită. ^[3] Acest rezultat se aplică și ecuațiilor neliniare ale formei $F(x,y)$ ${\ displaystyle F (x, y)}$ $F (x, y)$ precum și sisteme de ecuații.

Teorema lui Cauchy-Kovalevskaya , care se aplică și ecuațiilor diferențiale parțiale , arată mai general că dacă condițiile necunoscute și inițiale ale unei ecuații diferențiale sunt funcții analitice la nivel local , atunci există o soluție analitică și este unică. ^[4] Funcția necunoscută $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ poate presupune valori pe spații dimensionale infinite, cum ar fi spațiile Banach sau spațiile de distribuție .

Existența și unicitatea locală

Același subiect în detaliu: Teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy și teorema existenței Peano .

Există mai multe teoreme care permit stabilirea existenței și posibilei unicități locale a soluțiilor pentru problemele inițiale date. Cele două principale sunt teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy, care presupune Lipschitzianitatea funcției care definește ecuația obișnuită și încheie existența și unicitatea sa locală, și teorema existenței lui Peano, care presupune continuitatea, nu face decât să concluzioneze existența. Prima afirmă că a dat problema valorilor inițiale:

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\in [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ],

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ qquad t \ in [t_ {0} - \ varepsilon, t_ { 0} + \ varepsilon],}

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ qquad t \ in [t_ {0} - \ varepsilon, t_ { 0} + \ varepsilon],}

de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție Lipschitz în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și continuă în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ apoi pentru unii $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există o singură soluție $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ la problema valorii inițiale pe interval $[t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon ]$ ${\ displaystyle [t_ {0} - \ epsilon, t_ {0} + \ epsilon]}$ $[t_ {0} - \ epsilon, t_ {0} + \ epsilon]$ . Teorema existenței lui Peano presupune $F(x,y)$ ${\ displaystyle F (x, y)}$ $F (x, y)$ continuă doar, dar nu garantează unicitatea soluției, arătând doar existența sa locală. Dacă există, este fie unic, fie există infinite . O extensie a acestui rezultat seobține cu teorema existenței lui Carathéodory , care se aplică și cazurilor în care ecuația nu este continuă.

Unicitate globală

Dacă ipotezele existenței și teoremei unicității pentru o problemă Cauchy sunt satisfăcute, atunci condiția existenței locale poate fi extinsă la un rezultat global. Pentru fiecare condiție inițială $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ există un singur interval maxim deschis (posibil nelimitat):

I_{\max }=(x_{-},x_{+}),\qquad x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},\quad x_{0}\in I_{\max },

{\ displaystyle I _ {\ max} = (x _ {-}, x _ {+}), \ qquad x _ {\ pm} \ in \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}, \ quad x_ {0} \ în I _ {\ max},}

{\ displaystyle I _ {\ max} = (x _ {-}, x _ {+}), \ qquad x _ {\ pm} \ in \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}, \ quad x_ {0} \ în I _ {\ max},}

astfel încât fiecare soluție care îndeplinește condiția inițială este o restricție a soluției care îndeplinește acea condiție inițială care este definită pe domeniu $I_{\max }$ ${\ displaystyle I _ {\ max}}$ ${\ displaystyle I _ {\ max}}$ . În cazul în care $x_{\pm }\neq \pm \infty$ ${\ displaystyle x _ {\ pm} \ neq \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle x _ {\ pm} \ neq \ pm \ infty}$ , există doar două posibilități:

$\limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\rightarrow +\infty ,$ ${\ displaystyle \ limsup _ {x \ to x _ {\ pm}} \ | y (x) \ | \ rightarrow + \ infty,}$ ${\ displaystyle \ limsup _ {x \ to x _ {\ pm}} \ | y (x) \ | \ rightarrow + \ infty,}$
$\lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\in \partial {\bar {\Omega }},$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x _ {\ pm}} y (x) \ in \ partial {\ bar {\ Omega}},}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x _ {\ pm}} y (x) \ in \ partial {\ bar {\ Omega}},}$

unde este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este deschiderea în care $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este definit și $\partial {\bar {\Omega }}$ ${\ displaystyle \ partial {\ bar {\ Omega}}}$ $\ partial {\ bar {\ Omega}}$ este frontiera sa.

Pentru ca soluția să fie unică, domeniul maxim în care este definită soluția trebuie să fie un interval, care în general depinde de starea inițială. De exemplu, luați în considerare:

y'=y^{2}.

{\ displaystyle y '= y ^ {2}.}

{\ displaystyle y '= y ^ {2}.}

De cand $F(x,y)=y^{2}$ ${\ displaystyle F (x, y) = y ^ {2}}$ $F (x, y) = y ^ {2}$ este Lipschitz, satisface teorema Picard - Lindelöf. Soluția

y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}

{\ displaystyle y (x) = {\ frac {y_ {0}} {(x_ {0} -x) y_ {0} +1}}}

y (x) = {\ frac {y_ {0}} {(x_ {0} -x) y_ {0} +1}}

are ca interval maxim pentru domeniul său:

{\begin{cases}\mathbb {R} ,&y_{0}=0,\\(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}),&y_{0}>0,\\(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty ),&y_{0}<0.\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {R}, & y_ {0} = 0, \\ (- \ infty, x_ {0} + {\ frac {1} {y_ {0}}}), & y_ {0}> 0, \\ (x_ {0} + {\ frac {1} {y_ {0}}}, + \ infty), & y_ {0} <0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {R}, & y_ {0} = 0, \\ (- \ infty, x_ {0} + {\ frac {1} {y_ {0}}}), & y_ {0}> 0, \\ (x_ {0} + {\ frac {1} {y_ {0}}}, + \ infty), & y_ {0} <0. \ end {cases}}}

Ecuații de ordinul întâi

Cel mai simplu caz este cel în care:

y'(t)=f(t),

{\ displaystyle y '(t) = f (t),}

{\ displaystyle y '(t) = f (t),}

cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție continuă definită pe un set deschis de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Problema revine la căutarea primitivelor $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ din $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ . În acest caz, dacă $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ este o soluție și atunci $y(t)+c$ ${\ displaystyle y (t) + c}$ $y (t) + c$ , cu $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ , este încă soluție. De asemenea, dacă $y_{1}(t)$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ $y_ {1} (t)$ Și $y_{2}(t)$ ${\ displaystyle y_ {2} (t)}$ $y_ {2} (t)$ sunt soluții pe care le avem $y_{2}=y_{1}+c$ ${\ displaystyle y_ {2} = y_ {1} + c}$ $y_ {2} = y_ {1} + c$ pentru unii $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ .

Având în vedere o condiție inițială $y(t_{0})=y_{0}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$ $y (t_ {0}) = y_ {0}$ , scriind ecuația în formă $dy/dt=f(t)$ ${\ displaystyle dy / dt = f (t)}$ $dy / dt = f (t)$ , astfel încât $dy=f(t)dt$ ${\ displaystyle dy = f (t) dt}$ $dy = f (t) dt$ , avem:

\int _{y_{0}}^{y}d\xi =\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau

{\ displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y} d \ xi = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau) d \ tau}

\ int _ {{y_ {0}}} ^ {y} d \ xi = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} f (\ tau) d \ tau

iar soluția este oferită de teorema fundamentală a calculului integral :

y(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau .

{\ displaystyle y (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau) d \ tau.}

{\ displaystyle y (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau) d \ tau.}

Soluția este determinată în mod unic de datele inițiale $y(t_{0})=y_{0}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$ $y (t_ {0}) = y_ {0}$ : dat orice soluție $y_{1}(t)$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ $y_ {1} (t)$ , da $y_{1}(t_{0})+c=y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {1} (t_ {0}) + c = y_ {0}}$ $y_ {1} (t_ {0}) + c = y_ {0}$ prin urmare $c=y_{0}-y_{1}(t_{0})$ ${\ displaystyle c = y_ {0} -y_ {1} (t_ {0})}$ $c = y_ {0} -y_ {1} (t_ {0})$ .

Sisteme autonome

Același subiect în detaliu: Sistem autonom (matematică) .

O ecuație autonomă este o ecuație diferențială obișnuită de tipul:

y'(t)=f(y(t)),

{\ displaystyle y '(t) = f (y (t)),}

{\ displaystyle y '(t) = f (y (t)),}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție continuă cu prima derivată continuă pe un interval $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $I \ subset \ mathbb {R}$ , și care nu depinde de variabila independentă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . De sine $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este un vector al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ avem un sistem autonom, adică un sistem de ecuații diferențiale ordinare autonome:

y'_{i}=f_{i}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\qquad i=1,\dots ,n.

{\ displaystyle y '_ {i} = f_ {i} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}), \ qquad i = 1, \ dots, n.}

{\ displaystyle y '_ {i} = f_ {i} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}), \ qquad i = 1, \ dots, n.}

Punctele sunt de o importanță deosebită $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel pentru care $f(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) = 0}$ $f (x_ {0}) = 0$ , numite puncte de echilibru , cărora le corespunde soluția constantă $y=x_{0}$ ${\ displaystyle y = x_ {0}}$ $y = x_ {0}$ .

Un sistem generic de ecuații diferențiale obișnuite (în care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a depinde de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ):

{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = f (y (t), t)}

{\ frac {d} {dt}} y (t) = f (y (t), t)

poate fi autonomizat prin introducerea unei noi necunoscute $y_{n+1}=t$ ${\ displaystyle y_ {n + 1} = t}$ $y _ {{n + 1}} = t$ .

Ecuație diferențială exactă

Același subiect în detaliu: ecuație diferențială exactă .

Luați în considerare un set care este pur și simplu conectat și deschis $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ $D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}$ și două funcții $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ continuă mai departe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Ecuația diferențială implicită

I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0

{\ displaystyle I (x, y) \, \ mathrm {d} x + J (x, y) \, \ mathrm {d} y = 0}

I (x, y) \, {\ mathrm {d}} x + J (x, y) \, {\ mathrm {d}} y = 0

ecuația diferențială exactă este dacă există o funcție diferențiată în mod continuu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , numit potențial , astfel încât:

{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, y) = I, \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x, y) = J.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, y) = I, \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x, y) = J.}

Termenul „exact” se referă la derivata totală a unei funcții, uneori numită „derivată exactă”, aceea pentru o funcție $F(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1},x_{n})$ ${\ displaystyle F (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n-1}, x_ {n})}$ $F (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x _ {{n-1}}, x_ {n})$ este dat în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din:

{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} x_ {0}}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {0}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} x_ {0}}} .}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} x_ {0}}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {0}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} x_ {0}}} .}

În aplicațiile fizice $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ ele sunt de obicei nu numai continue, ci și continuu diferențiate, iar teorema lui Schwarz oferă apoi o condiție necesară și suficientă pentru existența funcției potențiale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ (pentru ecuațiile definite pe un set care nu este pur și simplu conectat, acest criteriu este necesar doar). Există dacă și numai dacă:

{\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).

{\ displaystyle {\ frac {\ partial I} {\ partial y}} (x, y) = {\ frac {\ partial J} {\ partial x}} (x, y).}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial I} {\ partial y}} (x, y) = {\ frac {\ partial J} {\ partial x}} (x, y).}

Soluții exacte

Iată câteva cazuri importante de ecuații diferențiale obișnuite care pot fi rezolvate exact.

În tabel funcțiile $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ , $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ , $P(y)$ ${\ displaystyle P (y)}$ $P (y)$ , $Q(y)$ ${\ displaystyle Q (y)}$ $Q (y)$ , $M(x,y)$ ${\ displaystyle M (x, y)}$ $M (x, y)$ Și $N(x,y)$ ${\ displaystyle N (x, y)}$ $N (x, y)$ sunt funcții care pot fi integrate în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , in timp ce $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ li se dau constante reale. În plus, $C_{1},C_{2},\dots$ ${\ displaystyle C_ {1}, C_ {2}, \ dots}$ $C_ {1}, C_ {2}, \ dots$ sunt constante arbitrare, în general complexe. Notatia $\int ^{x}F(\lambda )d\lambda$ ${\ displaystyle \ int ^ {x} F (\ lambda) d \ lambda}$ $\ int ^ {x} F (\ lambda) d \ lambda$ indică integrarea $F(\lambda )$ ${\ displaystyle F (\ lambda)}$ $F (\ lambda)$ în comparație cu $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ și înlocuirea ulterioară $\lambda =x$ ${\ displaystyle \ lambda = x}$ $\ lambda = x$ .

Ecuație diferențială	Metoda soluției	Soluție generală
Ecuații separate
Primul ordin, separabil în x și y , caz general. $P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}=0\,\!$ ${\ displaystyle P_ {1} (x) Q_ {1} (y) + P_ {2} (x) Q_ {2} (y) \, {\ frac {dy} {dx}} = 0 \, \! }$ $P_ {1} (x) Q_ {1} (y) + P_ {2} (x) Q_ {2} (y) \, {\ frac {dy} {dx}} = 0 \, \!$ $P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy=0\,\!$ ${\ displaystyle P_ {1} (x) Q_ {1} (y) \, dx + P_ {2} (x) Q_ {2} (y) \, dy = 0 \, \!}$ $P_ {1} (x) Q_ {1} (y) \, dx + P_ {2} (x) Q_ {2} (y) \, dy = 0 \, \!$	Separarea variabilelor (împărțirea cu P ₂ Q ₁ ).	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C\,\!$ ${\ displaystyle \ int ^ {x} {\ frac {P_ {1} (\ lambda)} {P_ {2} (\ lambda)}} \, d \ lambda + \ int ^ {y} {\ frac {Q_ {2} (\ lambda)} {Q_ {1} (\ lambda)}} \, d \ lambda = C \, \!}$ $\ int ^ {x} {\ frac {P_ {1} (\ lambda)} {P_ {2} (\ lambda)}} \, d \ lambda + \ int ^ {y} {\ frac {Q_ {2} (\ lambda)} {Q_ {1} (\ lambda)}} \, d \ lambda = C \, \!$
Primul ordin, separabil în x . ${\frac {dy}{dx}}=F(x)\,\!$ ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = F (x) \, \!}$ ${\ frac {dy} {dx}} = F (x) \, \!$ $dy=F(x)\,dx\,\!$ ${\ displaystyle dy = F (x) \, dx \, \!}$ $dy = F (x) \, dx \, \!$	Integrare directă.	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C\,\!$ ${\ displaystyle y = \ int ^ {x} F (\ lambda) \, d \ lambda + C \, \!}$ $y = \ int ^ {x} F (\ lambda) \, d \ lambda + C \, \!$
Primul ordin, autonom, separabil în y . ${\frac {dy}{dx}}=F(y)\,\!$ ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = F (y) \, \!}$ ${\ frac {dy} {dx}} = F (y) \, \!$ $dy=F(y)\,dx\,\!$ ${\ displaystyle dy = F (y) \, dx \, \!}$ $dy = F (y) \, dx \, \!$	Separarea variabilelor (împărțirea la F ).	$x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C\,\!$ ${\ displaystyle x = \ int ^ {y} {\ frac {d \ lambda} {F (\ lambda)}} + C \, \!}$ $x = \ int ^ {y} {\ frac {d \ lambda} {F (\ lambda)}} + C \, \!$
Primul ordin, separabil în x și y . $P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)=0\,\!$ ${\ displaystyle P (y) {\ frac {dy} {dx}} + Q (x) = 0 \, \!}$ $P (y) {\ frac {dy} {dx}} + Q (x) = 0 \, \!$ $P(y)\,dy+Q(x)\,dx=0\,\!$ ${\ displaystyle P (y) \, dy + Q (x) \, dx = 0 \, \!}$ $P (y) \, dy + Q (x) \, dx = 0 \, \!$	Integrare la nivel de domeniu.	$\int ^{y}P(\lambda )\,{d\lambda }+\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C\,\!$ ${\ displaystyle \ int ^ {y} P (\ lambda) \, {d \ lambda} + \ int ^ {x} Q (\ lambda) \, d \ lambda = C \, \!}$ $\ int ^ {y} P (\ lambda) \, {d \ lambda} + \ int ^ {x} Q (\ lambda) \, d \ lambda = C \, \!$
Ecuații de ordinul întâi
Primul ordin, omogen. ${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\!$ ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = F \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \, \!}$ ${\ frac {dy} {dx}} = F \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \, \!$	Setăm y = ux și continuăm separând variabilele în u și x .	$\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\!$ ${\ displaystyle \ ln (Cx) = \ int ^ {y / x} {\ frac {d \ lambda} {F (\ lambda) - \ lambda}} \, \!}$ $\ ln (Cx) = \ int ^ {{y / x}} {\ frac {d \ lambda} {F (\ lambda) - \ lambda}} \, \!$
Prima ordine, separabilă. $yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}=0\,\!$ $yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}=0\,\!$ $yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}=0\,\!$ $yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy=0\,\!$ $yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy=0\,\!$ $yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy=0\,\!$	Separazione delle variabili (divisione per xy ).	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!$ $\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!$ $\ln(Cx)=\int ^{{xy}}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!$ Se N = M la soluzione è xy = C .
Differenziale esatto , primo ordine. $M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!$ $M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!$ $M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!$ dove ${\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$ ${\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$ ${\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$	Integrazione su tutto il dominio.	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!$
Differenziale inesatto, primo ordine. $M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!$ $M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!$ $M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!$ dove ${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$ ${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$ ${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$	Il fattore di integrazione μ( x, y ) soddisfa: ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!$ ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!$ ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!$	Se si può trovare μ( x, y ): ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,d\lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!$
Equazioni del secondo ordine
Secondo ordine, autonoma. ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)\,\!$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)\,\!$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)\,\!$	Si moltiplica l'equazione per 2 dy/dx e si sostituisce $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,\!$ $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,\!$ $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,\!$ quindi si integra due volte.	$x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\!$ $x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\!$ $x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}}+C_{2}\,\!$
Equazioni lineari
Primo ordine, lineare, non omogenea. ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,\!$ ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,\!$ ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,\!$	Fattore di integrazione: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$ $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$ $e^{{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }}$ .	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,{d\lambda }+C\right]$ $y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,{d\lambda }+C\right]$ $y=e^{{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }}\left[\int ^{x}e^{{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }}Q(\lambda )\,{d\lambda }+C\right]$
Secondo ordine, lineare, non omogenea, a coefficienti costanti. ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)\,\!$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)\,\!$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)\,\!$	Funzione complementare y _c : assumendo y _c = e ^{α x} , si sostituisce e si risolve il polinomio in α, ottenendo le funzioni linearmente indipendenti $e^{\alpha _{j}x}$ $e^{\alpha _{j}x}$ $e^{{\alpha _{j}x}}$ . Integrale particolare y _p : in generale si applica il metodo delle variazioni delle costanti , sebbene talvolta è sufficiente studiare r ( x ).	$y=y_{c}+y_{p}$ $y=y_{c}+y_{p}$ $y=y_{c}+y_{p}$ Se b ² > 4 c , allora: $y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\!$ $y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\!$ $y_{c}=C_{1}e^{{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}}+C_{2}e^{{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}}\,\!$ Se b ² = 4 c , allora: $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-bx/2}\,\!$ $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-bx/2}\,\!$ $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{{-bx/2}}\,\!$ Se b ² < 4 c , allora: $y_{c}=e^{-b{\frac {x}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left\|b^{2}-4c\right\|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left\|b^{2}-4c\right\|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!$ $y_{c}=e^{-b{\frac {x}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left\|b^{2}-4c\right\|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left\|b^{2}-4c\right\|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!$ $y_{c}=e^{{-b{\frac {x}{2}}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left\|b^{2}-4c\right\|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left\|b^{2}-4c\right\|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!$
Ordine n , lineare, non omogenea, a coefficienti costanti. $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)\,\!$ $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)\,\!$ $\sum _{{j=0}}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)\,\!$	Funzione complementare y _c : assumendo y _c = e ^{α x} , si sostituisce e si risolve il polinomio in α, ottenendo le funzioni linearmente indipendenti $e^{\alpha _{j}x}$ $e^{\alpha _{j}x}$ $e^{{\alpha _{j}x}}$ . Integrale particolare y _p : in generale si applica il metodo delle variazioni delle costanti, sebbene talvolta sia sufficiente studiare r ( x ).	$y=y_{c}+y_{p}$ $y=y_{c}+y_{p}$ $y=y_{c}+y_{p}$ Dato che α _j sono soluzioni del polinomio di grado n : $\prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!$ $\prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!$ $\prod _{{j=1}}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!$ allora per α _j tutti diversi: $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!$ $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!$ $y_{c}=\sum _{{j=1}}^{n}C_{j}e^{{\alpha _{j}x}}\,\!$ per ogni radice α _j ripetuta k _j volte: $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!$ $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!$ $y_{c}=\sum _{{j=1}}^{n}\left(\sum _{{\ell =1}}^{{k_{j}}}C_{\ell }x^{{\ell -1}}\right)e^{{\alpha _{j}x}}\,\!$ per qualche α _j complesso, si pone α = χ _j + i γ _j e si usa la formula di Eulero per ottenere che alcuni termini del precedente risultato si possono scrivere come: $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j}),$ $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j}),$ $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j}),$ dove ϕ _j è una costante arbitraria.

Applicazioni

In fisica , la modellizzazione di un sistema richiede spesso la risoluzione di un problema ai valori iniziali. In questo contesto, ad esempio, l'equazione differenziale può descrivere l'evoluzione di un sistema dinamico nel tempo in funzione delle condizioni iniziali: si consideri un punto materiale di massa $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ in caduta libera, sotto l'azione della forza di gravità . Attraverso le leggi descritte da Newton sulla dinamica dei corpi, si ha che:

\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\begin{bmatrix}x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}.

\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\begin{bmatrix}x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}.

\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\begin{bmatrix}x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}.

Riferendosi ad un sistema di coordinate cartesiane , con l'asse $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ parallelo e discorde al verso dell' accelerazione di gravità e proiettando la relazione vettoriale precedente sugli assi coordinati, si ha che l'unica equazione significativa è quella rispetto all'asse $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ :

my''=-mg.

{\displaystyle my''=-mg.}

my''=-mg.

Ciò fornisce $y''=-g$ ${\displaystyle y''=-g}$ $y''=-g$ . Per determinare la $\varphi =\varphi (x)$ $\varphi =\varphi (x)$ $\varphi =\varphi (x)$ , soluzione del problema, occorre conoscere posizione e velocità iniziale del corpo in un certo istante. Integrando:

\int _{t_{0}}^{t}y''(t)\,dt=-\int _{t_{0}}^{t}g\,dt,

\int _{t_{0}}^{t}y''(t)\,dt=-\int _{t_{0}}^{t}g\,dt,

\int _{t_{0}}^{t}y''(t)\,dt=-\int _{t_{0}}^{t}g\,dt,

da cui:

y'(t)=y'(t_{0})-g(t-t_{0})

y'(t)=y'(t_{0})-g(t-t_{0})

y'(t)=y'(t_{0})-g(t-t_{0})

e integrando nuovamente:

\int _{t_{0}}^{t}y'(t)\,dt=\int _{t_{0}}^{t}\left(y'(t_{0})-g(t-t_{0})\right)\,dt

\int _{t_{0}}^{t}y'(t)\,dt=\int _{t_{0}}^{t}\left(y'(t_{0})-g(t-t_{0})\right)\,dt

\int _{{t_{0}}}^{{t}}y'(t)\,dt=\int _{{t_{0}}}^{{t}}\left(y'(t_{0})-g(t-t_{0})\right)\,dt

da cui si ottiene:

y(t)=y(t_{0})+y'(t_{0})(t-t_{0})-g{\frac {(t-t_{0})^{2}}{2}}.

y(t)=y(t_{0})+y'(t_{0})(t-t_{0})-g{\frac {(t-t_{0})^{2}}{2}}.

y(t)=y(t_{0})+y'(t_{0})(t-t_{0})-g{\frac {(t-t_{0})^{2}}{2}}.

Come si vede, la soluzione dipende da due parametri $y'(t_{0})$ $y'(t_{0})$ $y'(t_{0})$ e $y(t_{0})$ $y(t_{0})$ $y(t_{0})$ , rispettivamente velocità e posizione iniziale.

Esempio

Si consideri il problema di Cauchy:

{\begin{cases}y'=y^{\frac {1}{3}},\\y(t_{0})=0.\end{cases}}

{\begin{cases}y'=y^{\frac {1}{3}},\\y(t_{0})=0.\end{cases}}

{\begin{cases}y'=y^{\frac {1}{3}},\\y(t_{0})=0.\end{cases}}

Il teorema di esistenza locale garantisce l'esistenza di almeno una soluzione $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ . Una di queste è banale ed è anche globale, cioè definita su tutto l'insieme $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ :

\varphi (t)=0,\quad \forall t\in \mathbb {R} .

\varphi (t)=0,\quad \forall t\in \mathbb {R} .

\varphi (t)=0,\quad \forall t\in \mathbb {R} .

Oltre a questa soluzione è tuttavia possibile trovarne un'altra integrando l'equazione, trattandosi di un'equazione differenziale a variabili separabili. Perciò:

{\frac {dy}{dt}}=y^{\frac {1}{3}},

{\frac {dy}{dt}}=y^{\frac {1}{3}},

{\frac {dy}{dt}}=y^{\frac {1}{3}},

da cui:

y^{-{\frac {1}{3}}}\,dy=dt

y^{-{\frac {1}{3}}}\,dy=dt

y^{{-{\frac {1}{3}}}}\,dy=dt

e quindi:

\int _{0}^{y}y^{-{\frac {1}{3}}}\,dy=\int _{t_{0}}^{t}\,dt,\qquad y\neq 0,

\int _{0}^{y}y^{-{\frac {1}{3}}}\,dy=\int _{t_{0}}^{t}\,dt,\qquad y\neq 0,

\int _{0}^{y}y^{-{\frac {1}{3}}}\,dy=\int _{t_{0}}^{t}\,dt,\qquad y\neq 0,

dalla quale si ottiene:

\varphi _{\pm }^{0}(t)=\pm \left({\frac {2}{3}}(t-t_{0})\right)^{\frac {3}{2}},\qquad t-t_{0}>0.

\varphi _{\pm }^{0}(t)=\pm \left({\frac {2}{3}}(t-t_{0})\right)^{\frac {3}{2}},\qquad t-t_{0}>0.

\varphi _{\pm }^{0}(t)=\pm \left({\frac {2}{3}}(t-t_{0})\right)^{\frac {3}{2}},\qquad t-t_{0}>0.

Si possono così costruire delle funzioni che conservano la continuità a partire dalle due soluzioni trovate:

\psi _{+}^{0}(t)={\begin{cases}\varphi _{+}^{0}(t),&t>t_{0},\\0,&t\leq t_{0},\end{cases}}\qquad \psi _{-}^{0}(t)={\begin{cases}\varphi _{-}^{0}(t),&t>t_{0},\\0,&t\leq t_{0},\end{cases}}

\psi _{+}^{0}(t)={\begin{cases}\varphi _{+}^{0}(t),&t>t_{0},\\0,&t\leq t_{0},\end{cases}}\qquad \psi _{-}^{0}(t)={\begin{cases}\varphi _{-}^{0}(t),&t>t_{0},\\0,&t\leq t_{0},\end{cases}}

\psi _{+}^{0}(t)={\begin{cases}\varphi _{+}^{0}(t),&t>t_{0},\\0,&t\leq t_{0},\end{cases}}\qquad \psi _{-}^{0}(t)={\begin{cases}\varphi _{-}^{0}(t),&t>t_{0},\\0,&t\leq t_{0},\end{cases}}

che sono anch'esse soluzioni del problema definite sull'insieme $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . Inoltre, fissato un $t_{1}>t_{0}$ $t_{1}>t_{0}$ $t_{1}>t_{0}$ e posto:

\varphi _{\pm }^{1}(t)=\pm \left({\frac {2}{3}}(t-t_{1})\right)^{\frac {3}{2}},\qquad t-t_{1}>0,

\varphi _{\pm }^{1}(t)=\pm \left({\frac {2}{3}}(t-t_{1})\right)^{\frac {3}{2}},\qquad t-t_{1}>0,

\varphi _{\pm }^{1}(t)=\pm \left({\frac {2}{3}}(t-t_{1})\right)^{\frac {3}{2}},\qquad t-t_{1}>0,

si possono costruire nuove soluzioni dello stesso problema a partire a questa:

\psi _{\pm }^{1}(t)={\begin{cases}\varphi _{\pm }^{1}(t),&t>t_{1},\\0,&t\leq t_{1},\end{cases}}

\psi _{\pm }^{1}(t)={\begin{cases}\varphi _{\pm }^{1}(t),&t>t_{1},\\0,&t\leq t_{1},\end{cases}}

\psi _{\pm }^{1}(t)={\begin{cases}\varphi _{\pm }^{1}(t),&t>t_{1},\\0,&t\leq t_{1},\end{cases}}

definite anch'esse su $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . Tali soluzioni sono infinite, e se si rappresentano graficamente si ottiene una figura detta pennello di Peano . Il fatto che un problema di Cauchy può possedere infinite soluzioni è detto talvolta fenomeno di Peano , ed è dovuto al fatto che la derivata ${df}/{dy}$ ${\displaystyle {df}/{dy}}$ ${df}/{dy}$ non è limitata nel punto $y=0$ ${\displaystyle y=0}$ $y=0$ : per far fronte a questo problema vi è il teorema di esistenza globale.

Note

^ Encyclopedia of Mathematics - Cauchy problem , su encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .
^ Encyclopedia of Mathematics - Peano theorem , su encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .
^ Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), WE Boyce, RC Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
^ Encyclopedia of Mathematics - Kovalevskaya theorem , su encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .

Bibliografia

( EN ) Vladimir Igorevich Arnold (1988): Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations , 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-96649-8
( EN ) Vladimir Igorevich Arnold (1992): Ordinary Differential Equations , Springer, ISBN 3-540-54813-0
( EN ) Martin Braun (1993): Differential Equations and their Applications. An Introduction to Applied Mathematics , 4th ed., Springer, ISBN 0-387-97894-1
( EN ) Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955) Theory of ordinary differential equations , New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Company, Inc. XII, 429 p. (1955).
( EN ) D. Zwillinger (1997): Handbook of Differential Equations 3rd ed., Academic Press
( EN ) PL Sachdev (1997): A Compendium on Nonlinear Ordinary Differential Equations , John Wiley, ISBN 0-471-53134-0
( EN ) Po-Fang Hsieh, Yasutaka Sibuya (1999): Basic Theory of Ordinary Differential Equations , Springer, ISBN 0-387-98699-5
( EN ) Philip Hartman (2002): Ordinary Differential Equations , 2nd ed., SIAM, ISBN 0-89871-510-5
( EN ) AD Polyanin, VF Zaitsev (2003): Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations , 2nd ed., Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 1-58488-297-2
( EN ) Refaat El Attar (2005): Ordinary Differential Equations , Lulu Press, ISBN 1-4116-3920-0

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Equazione differenziale ordinaria , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) EF Mishchenko, Differential equation, ordinary , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 45336 · NDL ( EN , JA ) 00574993

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Encyclopedia of Mathematics - Cauchy problem , su encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .

[2] Encyclopedia of Mathematics - Peano theorem , su encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .

[EDEBVP-3] Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), WE Boyce, RC Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1

[4] Encyclopedia of Mathematics - Kovalevskaya theorem , su encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .

[1]

[2]

[3]

[4]