Școala italiană de geometrie algebrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Din punct de vedere istoric, Școala italiană de geometrie algebrică se referă la un grup mare de matematicieni italieni valabili din secolele al XIX-lea și al XX-lea, care, prin munca lor vastă, profundă și consecventă, s-au desfășurat metodologic cu o abordare și cercetare comună, [1] a adus Italia la cele mai înalte niveluri în geometria algebrică , în special în geometria biratională și în teoria suprafețelor algebrice , cu rezultate originale de primul ordin.

Nașterea școlii, contextul său istoric, principalele rezultate

Șefii de școală au fost mai presus de toate Guido Castelnuovo , Federigo Enriques și Francesco Severi , care, cu stilul lor didactic original, metodele eficiente de studiu și abordările inovatoare ale problemelor de cercetare, au contribuit atât la oferirea celor mai bune rezultate, cât și la îndrumarea și dirijarea celorlalți discipoli, unii dintre care au venit din străinătate (printre ei, Pavel Sergeevič Aleksandrov , [2] André Weil , Oscar Zariski ). Pe baza muncii desfășurate de acești cărturari, începând din a doua jumătate a secolului al XX-lea, a început să se afirme o nouă abordare teoretică a geometriei algebrice, în principal axiomatică și mai ales caracterizată prin utilizarea sistematică a algebrei comutative , de către ambele. școala americană (Oscar Zariski, Solomon Lefschetz , David Mumford și alții) și a celei franceze (André Weil, Alexander Grothendieck , Jean-Pierre Serre și alții), care inițial părea să critice, în rigoarea discuției, lucrarea a școlii italiene, mai mult bazată pe acordarea priorității mai degrabă intuiției decât formalizării. Numai recent, însă, în special de David Mumford, importanța inovatoare a activității școlii italiene a fost reevaluată în ansamblu, ceea ce a oferit bazele intuitive pe care s-au bazat multe dintre formalizările ulterioare ale teoriei. [3] [4] [5] [6] [7] Să prezentăm pe scurt istoria acestei școli, în raport cu contextul istoric în care s-a născut și s-a dezvoltat, precum și să menționăm rezultatele evidente obținute de aceasta.

Contextul istoric

După introducerea geometriilor neeuclidiene , în urma crizei pe bazele matematicii și a metodelor sale logice , au existat două direcții principale în geometrie , cea algebrică și cea topologic-diferențială. [8] [9] Geometria algebrică modernă s-a născut fundamental cu opera lui Riemann , [10] care pune bazele studiului acelor proprietăți geometrice care sunt invariante sub transformări mai generale decât cele proiective , așa că în lucrările sale, găsim , pe scurt , care va fi una dintre problemele centrale ale geometriei algebrice, [11] sau cea a clasificării (diferitelor entități geometrice studiate), a căror problemă consecventă va fi clarificată grație programului Erlangen al lui Felix Klein , pe care o va indica calea de urmat, și anume cea bazată pe invarianță față de anumite transformări de grup . [12]

Din acest moment, dezvoltarea geometriei algebrice va fi caracterizată în mare măsură de dihotomia „intuiție / rigoare”, cu privire la care școala italiană va avea o concepție proprie despre rigoarea matematică, destul de distinctă de cea asumată de școala ulterioară a -numite „algebrizers”, care vor include, printre altele, Hilbert , Zariski, Weil, Serre, Grothendieck. Dar, mergând și mai înapoi, a fost din lucrările școlii franceze (în special, cele ale lui Gaspard Monge , Charles Julien Brianchon , Jean Victor Poncelet și Michel Chasles ) și ale celei germane (de August Ferdinand Moebius , Karl Georg Christian von Staudt , Jakob Steiner , Julius Plücker , Hermann Günther Grassmann , Ernst Eduard Kummer și Leopold Kronecker ) în geometrie proiectivă complexă, care a început acel nou tratament al entităților geometrice - mai presus de toate, conice și cvadrici în spațiul tridimensional - caracterizat prin utilizarea a metodelor și a conceptelor de geometrie proiectivă pe câmpul complex și închiderea sa algebrică, care va da naștere la o nouă și mai puternică teorie algebrică a curbelor și suprafețelor care depășește cu mult ceea ce a fost deja realizat de Isaac Newton , Colin Maclaurin , Leonhard Euler , Gabriel Cramer , Joseph-Louis Lagrange , Carl Friedrich Gauss , Étienne Bobillier și George Boole . [13] [14]

Această moștenire a fost apoi, din a doua jumătate a secolului al XIX-lea, dobândită atât de Riemann, așa cum s-a menționat deja, cât și de Luigi Cremona , fondatorul școlii italiene de geometrie algebrică, căruia îi datorăm meritul de a fi folosit, într-un mod țintit și sistematic, tehnici algebrice eficiente în studiul geometriei proiective și a entităților sale, introducând, pentru prima dată, noile metode ale teoriei algebrice a invarianților și formelor algebrice deschise de Boole, James Joseph Sylvester , Arthur Cayley , Siegfried Heinrich Aronhold , Alfred Clebsch , George Salmon , Ludwig Otto Hesse , Charles Hermite și Paul Gordan . Dar, principalul merit al Cremonei a fost acela de a fi introdus și studiat, în jurul anului 1860, pe baza exemplelor particulare introduse de Poncelet, Plücker, Steiner și Ludwig Immanuel Magnus , noțiunea formală generală de transformare biratională (numită mai târziu, în onoarea sa). , Transformare cremoniană ), adică o transformare (funcțională) care poate fi exprimată, în coordonate carteziene, prin funcții raționale și care are, în general, inversul cu aceeași proprietate. [15]

Prin intermediul noțiunii de transformare biratională, a fost posibil să se stabilească primele clasificări ale varietăților algebrice - noile entități ale geometriei algebrice - pe baza proprietăților formale ale transformărilor cremoniene la care sunt supuse aceste varietăți și a singularităților relative care aceste transformări, în general, le posedă ca funcții raționale. [16] Dar, din punct de vedere istoric, ar trebui amintit rolul fundamental jucat de lucrările lui Riemann asupra integralelor abeliene pentru a ajunge la noțiunea generală de transformare biratională de către Cremona, lucrări care au fost însă realizate de Riemann, cu metode analitice. , pe baza rezultatelor anterioare ale lui Giulio Fagnano , Leonhard Euler , Adrien-Marie Legendre , Niels Henrik Abel și Carl Jacobi pe integrale eliptice . În urma acestor lucrări, Riemann a introdus noțiunea fundamentală de gen g a unei curbe algebrice, o invariantă topologică care permite clasificarea curbelor algebrice, corelând-o atât cu un invariant anterior introdus de Abel, cât și cu numărul de singularități de bine determinate. transformări birationale legate de curba dată. [17]

Tocmai, a spus r numărul maxim de funcții raționale care sunt, în raport cu curba dată, liniar independentă cu un număr atribuit n de singularități, Riemann, împreună cu elevul său Gustav Roch , au demonstrat că r ≥ n - g + 1, a rezultat care va fi apoi subsumat în așa-numita teoremă Riemann-Roch . Mai mult, prin introducerea noțiunii de transformare biratională între curbele algebrice, Riemann a ajuns la rezultatul important conform căruia invariantul principal al acestor transformări este câmpul format din setul de transformări birationale care acționează asupra acestei curbe, prin care vom ajunge apoi la definiți spațiul modulelor M g ale curbelor algebrice din genul g , căruia i se asociază un alt invariant, care este 0 dacă g = 0, 1 dacă g = 1 și 3 (g - 1) dacă g ≥ 2. Toate acestea rezultatele analitice de pionierat Riemannienii vor fi apoi preluați de Clebsch, care îi va contextualiza dintr-un punct de vedere mai strict algebric-geometric, creând astfel o legătură remarcabilă între teoria analitică a lui Riemann și cea algebric-geometrică, un preludiu la nașterea modernului geometrie algebrică. [18]

După aproximativ 1870, Max Noether a început să aplice sistematic rezultatele care au venit treptat din algebra comutativă - și la care a contribuit el însuși - la ceea ce fusese deja stabilit în geometria algebrică de către acei matematicieni care tocmai au fost menționați mai sus, ajungând la o primă, rezultat algebric remarcabil, cunoscut sub numele de teorema Af + BΦ , care permite determinarea combinațiilor polinomiale adecvate, prin care Max Noether va putea obține rezultate geometrice suplimentare, la fel de remarcabile, inclusiv cel care permite obținerea curbelor algebrice de la alte date cu date mai simple sau singularități de ordin inferior, prin transformări cremoniane adecvate. Apoi, împreună cu Alexander von Brill , Max Noether a reușit, la fel ca Clebsch, să încadreze teoria analitică riemanniană (menționată mai sus) în termeni algebric-geometrici, mai ales prin noțiunea centrală a seriei liniare care permite identificarea unei serii bine precise de punctele unei curbe algebrice, numite divizorii săi efectivi , obținuți prin intersecția acesteia, cufundați anterior într-un spațiu proiectiv adecvat, cu un sistem liniar de suprafețe. [19]

În același timp, cu colaborarea lui Clebsch, Max Noether apelează la tratamentul geometric-algebric al suprafețelor care, cu câțiva ani mai devreme, văzuse primele evoluții cu studiile lui Cremona și ale lui Clebsch însuși, dar teoria analitică riemanniană a algebricului curbele nu păreau potrivite pentru a furniza un model care să fie extins și reformulat, în termeni algebric-geometrici, în cazul suprafețelor, atât din cauza lipsei de instrumente formale adecvate, cât și a lipsei cunoștințelor structurale ale soiurilor algebrice de dimensiune mai mare de 1, chiar dacă s-a împrumutat să sugereze căi posibile de urmat în acest scop. Clebsch a fost cel care a extins mai întâi noțiunea de gen la cazul unor suprafețe, dar, pe baza lucrărilor ulterioare atât ale lui Max Noether, cât și ale lui Cayley (cărora le datorăm, printre altele, noțiunea importantă de postulare a unei curbe) , a devenit necesar să se adauge la noțiunea de gen g , așa cum a înțeles Clebsch și, prin urmare, a redenumit genul geometric și indicat cu p g , o noțiune suplimentară, aceea de gen aritmetic , să spunem p a , astfel încât o suprafață să fie astfel caracterizată prin doi invarianți birationali, p g și p a , cu p g ≥ p a . Pe aceeași linie, Max Noether a extins noțiunea de serie liniară la cazul unei suprafețe. [19]

Nașterea școlii, dezvoltarea acesteia, principalele rezultate

În ultimele decenii ale secolului al XIX-lea, moștenirea lui Max Noether și Clebsch a fost colectată de școala italiană și integrată magistral cu opera anterioară a Cremonei, în special de Corrado Segre , Eugenio Bertini și tânărul Guido Castelnuovo , care a introdus so- denumit hiperspațiu de metodă , utilizat pentru construcția geometriei pe o curbă, precum și pentru o nouă dovadă geometrică a teoremei Riemann-Roch înrudite. Noua geometrie a curbelor algebrice astfel introdusă de Segre și Bertini, numită geometrie biratională , a influențat profund Castelnuovo care, în 1891, după ce a câștigat un scaun în geometrie la Roma, s-a mutat acolo cu intenția de a aplica noile metode ale suprafețelor Segre și Bertini, preluând, în acest scop, rezultatele obținute de Max Noether, Clebsch, Jacob Lüroth , Hieronymus Georg Zeuthen și Hermann Schubert , neglijate acum de mai bine de douăzeci de ani. La Castelnuovo i se va alătura în curând Federigo Enriques care, imediat după absolvirea Pisa, plecase la Roma pentru a urma cursurile de la Cremona. Din colaborarea lor, [20] va avea ca rezultat o nouă teorie geometrică a suprafețelor, care va încorpora elegant toate rezultatele anterioare ale lui Max Noether și Clebsch, precum și va rezolva unele probleme nerezolvate (deschise de Lüroth). [21] [22] [23]

Principiul metodei acestei noi direcții constă în acordarea de proeminență familiilor de curbe care aparțin suprafeței de studiat, în special sistemelor liniare de curbe identificate în esență prin intersecția suprafeței date cu sistemele de suprafață a unui mediu spațial proiectiv în care credeți că această suprafață este scufundată. Castelnuovo și Enriques vor extinde, în cazul suprafețelor, multe dintre noțiunile introduse de Max Noether și Brill, precum cele de serie liniară și divizor , pe baza a ceea ce Segre a făcut deja în acest domeniu, precum și a noțiunilor de gen care urmează să fie extins la cele incluse în noua noțiune de pluri - gen P i , care va oferi alți invarianți birali fundamentali pentru clasificarea suprafețelor. Mai mult, teorema Riemann-Roch pentru suprafețe este dovedită prin noțiunea de divizor (sau curbă virtuală ) D , definită ca o combinație liniară întreagă adecvată a unui număr finit de curbe efective ale suprafeței date. [21]

Toate aceste rezultate vor fi menționate pe scurt în două memorii importante ale lui Enriques de la sfârșitul secolului al XIX-lea, [24] care vor conține liniile programatice ale cercetărilor ulterioare în geometria algebrică a suprafețelor cu dimensiuni superioare, întreprinse în aceiași ani, la Torino, de asemenea. de Gino Fano , student al lui Segre, care va aduce contribuții la fel de notabile în acest domeniu al geometriei. [25] Cu aceste rezultate inovatoare, în special prin noii invarianți birationali pe care i-au introdus, Castelnuovo și Enriques și-au propus, pentru prima dată, să înfrunte și să rezolve problema clasificării suprafețelor algebrice, urmând parțial modelul analitic propus de Riemann în cazul curbelor algebrice. În special, Castelnuovo și Enriques vor putea rezolva unele probleme dificile legate de clasificarea suprafețelor raționale [26] și reglate , [27] cu rezultate inovatoare fundamentale care vor sta la baza activității ulterioare a școlii italiene de geometrie algebrică. care, creând în jurul Castelnuovo și Enriques, pe moștenirea științifică de la Cremona, Segre și Bertini, va include treptat, începând cu începutul anilor 1900, alți matematicieni valabili, inclusiv Francesco Severi (care, printre altele, în urma rezultatelor deja obținute de Castelnuovo și Enriques, va rafina în continuare teorema Riemann-Roch pentru suprafețe). [28]

În 1914, Enriques ajunge la o clasificare importantă a suprafețelor algebrice în patru clase principale care, astăzi, sunt identificate prin intermediul unui nou invariant birational, introdus în jurul anilor 1960 de Kunihiko Kodaira (numit mai târziu dimensiunea Kodaira χ) și legat de multi-genuri P i . [29] Tocmai, aceste clase corespund valorilor χ = −∞, χ = 0, χ = 1 (suprafețe eliptice), χ = 2 (suprafețe de tip general), aceasta din urmă fiind cea care a permis ulterior obțineți rezultatele mai semnificative. [30] [31] [32] Clasificarea inițială a Enriques s-a bazat totuși pe plurigeneri P i și pe ceilalți invarianți birationali cunoscuți atunci; și pe aceasta, Enriques, împreună cu alți matematicieni (inclusiv Alberto Franchetta ), vor lucra la ea până la mijlocul anilor 1940, când boom-ul școlii a început însă să dispară încet. [33]

Problema studiului și clasificării soiurilor algebrice de dimensiune mai mare de 2 a fost, așadar, tema centrală a școlii italiene de geometrie algebrică, abordată, cu metode geometrice-proiective, în principal de Castelnuovo, Enriques și Severi, precum și de către alții ( inclusiv care, Gino Fano). Clasificarea biratională a acestor varietăți a fost cea mai rezonabilă extensie a clasificării anterioare a curbelor și suprafețelor algebrice. La fel de remarcabilă a fost lucrarea lui Severi asupra soiurilor de dimensiune n ≥3, în special asupra structurii birationale a spațiului modulelor M g ale curbelor genului g , asupra ireductibilității anumitor soiuri de curbe plane numite ulterior soiuri Severi , asupra clasificării curbelor într-un spațiu proiectiv de dimensiuni arbitrare, asupra posibilelor extensii ale teoremei Riemann-Roch pentru varietăți cu dimensiuni superioare, pe așa-numita problemă de bază , [34] și pe fundamentele geometriei enumerative . [35]

Iar opera lui Severi a fost cea supusă celor mai mari critici din partea comunității matematice străine. Dar, deși, uneori lipsit de rigoarea și completitudinea tratamentului, ea, ca și lucrarea tuturor celorlalți matematicieni ai acestei școli, a avut totuși marele merit de a fi oferit totuși puncte de vedere alternative și intuiții fructuoase, a deschis noi direcții de cercetare și perspective inovatoare, a sugerat posibile soluții și a lansat spre posibile căi de urmat, toate prețioase oportunități, acestea, care au fost apoi din fericire luate de alte școli (în majoritate străine), promovându-și cercetarea. [36] În orice caz, munca de ansamblu elaborată în cei peste cincizeci de ani din viața acestei școli a exercitat fără îndoială o influență remarcabilă asupra soartei ulterioare a geometriei algebrice care, în anii 1950 și 1970, va fi luată cu o lucrare tumultuoasă și prolifică de reelaborare a rezultatelor obținute de școala italiană, prin utilizarea transversală a diferitelor metodologii și a diferitelor instrumente din mai multe domenii, de la geometrice-diferențiale și topologice, la analize algebrice și complexe. [37] [38] [39] [40]

În cuvintele lui Igor 'Rostislavovič Šafarevič , «[...] probabil cel mai semnificativ succes obținut vreodată în geometria algebrică se datorează muncii desfășurate între sfârșitul secolului al XIX-lea și prima jumătate a secolului al XX-lea de către italieni. școală: G Castelnuovo, F. Enriques, F. Severi și elevii lor. Ei au creat aproape întreaga teorie a suprafețelor algebrice și ideile lor s-au dovedit până acum fundamentale chiar și în dimensiuni ridicate. " [41] [42] [43]

Reprezentanții

Din această școală, care a implicat istoric mulți matematicieni italieni în ansamblu, unită în esență prin utilizarea unui studiu predominant geometric-proiectiv și a unei metodologii de cercetare, mai mult bazată pe intuiție decât pe rigoarea formală, [44] [45] ne amintim:

Notă

  1. ^ Vezi A. Brigaglia, „Creația și persistența școlilor naționale: cazul geometriei algebrice italiene” (pp. 188-189), în: U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico (Eds.), Schimbarea imaginilor în matematică. De la revoluția franceză la noul mileniu , Routledge, Londra, 2001, cap. 9, pp. 187-206.
  2. ^ Vezi P. Nastasi, R. Tazzioli, Tullio Levi-Civita , matematica scrisoare pristem, N. 57-58, Springer-Verlag Italia, Milano, 2006, p. 50.
  3. ^ Vezi A. Weil, Foundations of Algebraic Geometry , AMS-American Mathematical Society Colloquium Publications, Volume No. 29, Revised Edition, Providence (RI), 1962, Introduction (scris în 1944 pentru prima ediție din 1946), pp. vii-xii.
  4. ^ Vezi J. Tate, „The work of David Mumford” (pp. 219-220), în: MF Atiyah, D. Iagolnitzer (Eds.) Field Medalists 'Lectures , World Scientific Publishing Co., Singapore, 1997, pp. 219-225.
  5. ^ Vezi A. Brigaglia, C. Ciliberto, "Remarks on the relations between the Italian and American schools of algebraic geometry in the first decade of the 20th century", Historia Mathematica , 31 (3) (2004) pp. 310-319.
  6. ^ Vezi J. Dieudonné, History of Algebraic Geometry. O schiță a istoriei și dezvoltării geometriei algebrice , Chapman & Hall, New York, 1985, cap. VI, sect. 4, nr. 47, p. 52.
  7. ^ Vezi și D. Mumford, Algebraic Geometry I. Complex Projective Varieties , Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 1976, Introducere, pp. vii-viii.
  8. ^ Vezi G. Geymonat, A. Sanini, P. Valabrega, "Geometry and topology" (pp. 616-617), în: Enciclopedia Einaudi , 16 vol., Giulio Einaudi editore, Torino, 1977-1984, Vol. 6, pp. 616-723.
  9. ^ Vezi și U. Bottazzini, „Topografii italieni și problema fundațiilor (1888-1899)”, Buletinul Uniunii Matematice Italiene. Matematica în societate și cultură , 4-A (8) (2001) pp. 281-329.
  10. ^ Dar, de asemenea, abordarea topologic-diferențială pornește substanțial de la lucrările lui Riemann asupra varietăților generale n- dimensionale, în care aspectele diferențiale, algebrice și topologice sunt strict corelate în abordarea (riemanniană) a studierii unor astfel de entități. Poincaré va fi, de asemenea, pe baza cercetărilor sale în mecanica cerească , să ofere fundații formale solide și riguroase strălucite intuiții ale lui Riemann, marcând astfel oficial nașterea topologiei ( Analysis situs ); cf. G. Geymonat și colab., Cit. , p. 617.
  11. ^ Care se va referi, totuși, și la cealaltă adresă topologic-diferențială, care va fi caracterizată și de căutarea invarianților (topologici) a anumitor transformări între spațiile topologice.
  12. ^ Vezi G. Geymonat și colab., Cit. , p. 617.
  13. ^ Vezi C. Ciliberto, "Geometria algebrică. Dezvoltarea ideilor" (p. 797), în: Enciclopedia secolului XX , Vol. X, Suppl. II (1998) pp. 797-811.
  14. ^ Vezi și E. Vesentini, „Geometria” (pp. 335-336), în: Enciclopedia secolului XX , Supliment II, 1998, pp. 335-348.
  15. ^ Vezi C. Ciliberto, cit. , p. 798; E. Vesentini, cit. , p. 335.
  16. ^ Astfel, de exemplu, două curbe algebrice sunt echivalente birational doar dacă au același gen; cf. G. Geymonat și colab., Cit. , p. 704.
  17. ^ Vezi C. Ciliberto, cit. , p. 798; G. Geymonat și colab., Cit. , pp. 646-648.
  18. ^ Vezi C. Ciliberto, cit. , pp. 798-99.
  19. ^ a b A se vedea C. Ciliberto, cit. , p. 799.
  20. ^ Vezi U. Bottazzini , A. Conte, P. Gario (editat de), Riposte harmonie. Scrisori de la Federigo Enriques către Guido Castelnuovo , Bollati Boringhieri Editore, Torino, 1996.
  21. ^ a b A se vedea C. Ciliberto, cit. , p. 800.
  22. ^ Vezi și F. Enriques, O. Chisini, Lecții despre teoria geometrică a ecuațiilor și funcțiilor algebrice , 4 vol., Nicola Zanichelli Editore, Bologna, 1915-1934.
  23. ^ Vezi A. Conte, „Federigo Enriques și Oscar Chisini Lectures on 'The Geometrical Theory of Equations and Algebraic Functions' (1915-1934)”, în: I. Grattan-Guinness (Ed.), Landmark Writings in Western Mathematics, 1640 -1940 , Elsevier, BV, Amsterdam (NL), 2005, Capitolul 62, pp. 792-801.
  24. ^ Adică F. Enriques, „Cercetări geometrice pe suprafețe algebrice”, Memorii ale Academiei Regale de Științe din Torino , XLIV (2) (1893) pp. 171-232 și F. Enriques, „Introducere în geometrie pe suprafețe algebrice”, Conturi ale Academiei Naționale de Științe (cunoscută sub numele de XL). Partea I: Memorii de matematică , X (3) (1896) pp. 1-81.
  25. ^ Vezi AN Parshin, IR Shafarevich (Eds.), Algebraic Geometry V. Fano Varieties , EMS-Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumul nr. 47, Springer-Verlag, Berlin și Heidelberg, 1999.
  26. ^ Adică acele suprafețe echivalente birational cu planul proiectiv complex P 2 (C); cf. G. Geymonat și colab., Cit. , p. 705; E. Vesentini, cit. , pp. 335-336.
  27. ^ Adică acele suprafețe echivalente birational cu produsul unei curbe netede de linia proiecțională complexă P 1 (C); cf. G. Geymonat și colab., Cit. , p. 705; E. Vesentini, cit. , pp. 336-337.
  28. ^ Vezi C. Ciliberto, cit. , pp. 800-801.
  29. ^ Vezi C. Faber, G. van der Geer, E. Looijenga (Eds.), Classification of Algebraic Varieties , EMS-European Mathematical Society, Zürich, 2011, Introducere, pp. vii-viii.
  30. ^ Vezi F. Enriques, Algebraic surfaces , Nicola Zanichelli Editore, Bologna, 1949.
  31. ^ Vezi O. Zariski, Algebraic Surfaces , Springer-Verlag, Berlin, 1935.
  32. ^ Vezi IR Šafarevič, Geometrie algebrică de bază , Springer-Verlag, Berlin, 1977.
  33. ^ Vezi C. Ciliberto, cit. , p. 801; G. Geymonat și colab., Cit. , pp. 705-707.
  34. ^ Adică, studiul diferitelor grupuri de coeficiente obținute din coeficientul grupului de cicluri algebrice, asociat cu o varietate de codimensie dată, cu privire la posibilele relații de echivalență care pot fi definite în acesta; cf. C. Ciliberto, cit. , pp. 802-803.
  35. ^ Vezi C. Ciliberto, cit. , p. 803.
  36. ^ Vezi C. Ciliberto, cit. , p. 803; G. Geymonat și colab., Cit. , pp. 706-707.
  37. ^ Vezi G. Geymonat și colab., Cit. , pp. 706-707.
  38. ^ Vezi D. Babbit, J. Goodstein, "Guido Castelnuovo și Francesco Severi: Două personalități, două scrisori", Notificări ale Societății Americane de Matematică , 56 (7) (2009) pp. 800-808, [1]
  39. ^ Vezi R. Hartshorne, Algebraic Geometry , Springer sciences + Business Media, Inc., New York, 1977, Introducere, pp. xii-xvi.
  40. ^ Vezi JD Harris, Geometrie algebrică. A First Course , Springer sciences + Business Media, Inc., New York, 1992, Prefață, pp. vii-viii.
  41. ^ Vezi IR Shafarevich, "Geometrie algebrică. Concepte fundamentale" (p. 812), în: Enciclopedia secolului XX , Vol. X, Suppl. II (1998), pp. 812-819; IR Shafarevich, Geometrie algebrică de bază , Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 1977, Historical Sketch, pp. 424-425.
  42. ^ Pe aceeași linie, s-a plasat Vladimir Igorevič Arnol , care a acordat întotdeauna o importanță mai mare intuiției geometrice decât rigorii formaliste; cf. VI Arnold, Real Algebraic Geometry , Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 2013, Ch. 5, pp. 63-66; cf. pur B. Khesin, SL Tabachnikov, „Memories of Vladimir Arnold”, Notices of the American Mathematical Society , 59 (4) (2012) pp. 482-502, [2]
  43. ^ Vezi G. Israel, "Federigo Enriques și rolul intuiției în geometrie și învățătura ei", în: F. Enriques, U. Amaldi, Elements of Geometry , reimprimare anastatică, Studio Tesi, Pordenone, 1992, Prefață, pp. IX-XXI.
  44. ^ Pentru un tratament clasic al argumentelor de bază ale geometriei algebrice în conformitate cu metodele acestei școli, vezi textele recente: MC Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Lecții de geometrie analitică și proiectivă , Bollati Boringhieri editor, Torino, 2002 și MC Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Lecturi pe curbe, suprafețe și soiuri proiective speciale. O introducere în geometria algebrică , Bollati Boringhieri editore, Torino, 2002.
  45. ^ Vezi și: M. Manetti, Curs introductiv la geometria algebrică , Note, Publicații ale Scolii Normale Superioare din Pisa, Pisa, 1998.
  46. ^ Vezi G. Sansone , topografi algebristi, ex-normalisti în perioada 1860-1929 , Editions of the Scuola Normale Superiore, Pisa, 1977, pp. 5-6.
  47. ^ Vezi G. Sansone, cit. , pp. 18-19.
  48. ^ Vezi S. Coen, „Geometry and Complex Variables in the Work of Beppo Levi”, în: S. Coen (Ed.), Geometry and Complex Variables , Marcel Dekker, Inc., New York, 1991, pp. 111-139.
  49. ^ Vezi G. Sansone, cit. , pp. 15-16.
  50. ^ Vezi G. Sansone, cit. , pp. 4-5.

Bibliografie

  • G. Castelnuovo , Algebraic geometry and the italian school , în: Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Bologna, 3-10 septembrie 1928, Volumul I, pp. 191-202.
  • A. Conte , C. Ciliberto, Școala de geometrie algebrică italiană , Istoria științei (2012), Institutul Enciclopediei italiene Treccani .
  • M. Menghini, Momentele de excelență: școala italiană de geometrie algebrică , în școlile științifice din Italia unită , Institutul Enciclopediei italiene Treccani .
  • L. Giacardi, Il contributo della Scuola italiana di geometria algebrica alla formazione degli insegnanti nella prima metà del Novecento , 18 maggio 2010, dal sito dell' Università di Roma Tre .
  • L. Giacardi, Corrado Segre maestro a Torino. La nascita della scuola italiana di geometria algebrica , in: AA.VV., Annali di Storia delle Università italiane (a cura di GP Brizzi, P. Del Negro, A. Romano), Volume 5 , Cisui-Centro interuniversitario per la storia delle università italiane (2001).
  • E. Rogora, Il periodo d'oro della geometria algebrica italiana (1860-1914) , 9 aprile 2011, relazione al Convegno La Matematica nella Storia dell'Italia Unita. Urbino, 8-10 aprile 2011 .
  • A. Brigaglia, C. Ciliberto, C. Pedrini, "The Italian School of Algebraic Geometry and Abel's Legacy", in: OA Laudal, R. Piene (Eds.), The Legacy of Niels Henrik Abel , Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 2004, pp. 295-347.
  • G. Casnati, A. Conte, L. Gatto, L. Giacardi, M. Marchisio, A. Verra (Eds.), From Classical to Modern Algebraic Geometry: Corrado Segre's Mastership and Legacy , Springer International Publishing, Switzerland, 2016.
  • E. Arbarello, M. Cornalba, PA Griffiths, JD Harris, Geometry of Algebraic Curves , 2 vols., Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 1985, 2011.
  • U. Bottazzini, "I geometri italiani e la geometria algebrica “astratta”", in: P. Rossi (a cura di), Storia della Scienza Moderna e Contemporanea , UTET, Torino, 1988, Volume III, pp. 173-195.
  • U. Bottazzini, Il flauto di Hilbert. Storia della matematica moderna e contemporanea , UTET Libreria, Torino, 1990, Cap. XV.
  • A. Brigaglia, "Picard and the Italian Mathematicians: The History of Three Prix Bordin ", in: F. Brechenmacher, G. Jouve, L. Mazliak, R. Tazzioli (Eds.), Images of Italian Mathematics in France. The Latin Sisters, from Risorgimento to Fascism , Springer International Publishing, Switzerland, 2016, pp. 93-126.
  • A. Brigaglia, C. Ciliberto, E. Sernesi (a cura di), Algebra e geometria (1860-1940): il contributo italiano , Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , Serie 2, 36 (1994).
  • J. Dieudonné, History of Algebraic Geometry. An Outline of the History and Development of Algebraic Geometry , Chapman & Hall, New York, 1985.
  • J. Dieudonné , The Historical Development of Algebraic Geometry [ collegamento interrotto ] .
  • A. Guerraggio, P. Nastasi, Italian Mathematics Between the Two World Wars , Birkhäuser Verlag, Basel, 2006.
  • A. Brigaglia, C. Ciliberto, "Italian Algebraic Geometry Between the Two World Wars", Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics , 100 (1995) pp. 12-20.
  • MC Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva , Bollati Boringhieri editore, Torino, 2002.
  • MC Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Letture su curve, superficie e varietà proiettive speciali. Un'introduzione alla geometria algebrica , Bollati Boringhieri editore, Torino, 2002.
  • IR Shafarevich, Basic Algebraic Geometry , Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 1977, Historical Sketch, pp. 411-432.
  • G. Sansone , Geometri algebristi, ex normalisti del periodo 1860-1929 , Edizioni della Scuola Normale Superiore, Pisa, 1977.
  • Morris Kline , Storia del pensiero matematico , edizione italiana a cura di A. Conte, 2 voll., Giulio Einaudi editore, Torino, 1991.
  • DJ Struik, Matematica: un profilo storico. Con un'appendice di Umberto Bottazzini , Società editrice il Mulino, Bologna, 1981.
  • M. Manetti, Corso introduttivo alla Geometria Algebrica. Appunti , Pubblicazioni della Scuola Normale Superiore di Pisa, Pisa, 1998.

Collegamenti esterni

Estratto da " https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Scuola_italiana_di_geometria_algebrica&oldid=117492973 "