Puncte remarcabile ale unui triunghi

În geometrie, punctele notabile ale unui triunghi sunt punctele de pe plan care se află „la centrul” unui triunghi conform anumitor criterii bine definite, similar cu centrul cercului, care este în funcție de distanța sa față de punctele de circumferința. Exemple bine cunoscute grecilor antici sunt baricentrul, circumcentrul, centrul și ortocentrul triunghiului , care poate fi obținut cu construcții simple. Fiecare dintre ele are proprietatea de a fi invariant, în sensul de a ocupa întotdeauna aceeași poziție (față de vârfuri) în operațiile de rotație, reflexie și omotitate . Această invarianță este necesară pentru orice punct care poate fi considerat centrul sau punctul notabil al triunghiului. De exemplu, sunt excluse punctele cunoscute, cum ar fi punctele Brocard , numite Henry Brocard (1845-1922), care nu sunt invariante în reflecție. Punctele notabile sunt deosebit de importante deoarece permit definirea caracteristicilor importante ale triunghiurilor relative. Într-un triunghi isoscel, punctele notabile aparțin tuturor unei singure linii care este axa în raport cu baza.

Istorie

Grecii descoperiseră punctele notabile clasice ale triunghiului, dar nu dăduseră o definiție. Mai târziu au fost descoperite câteva alte puncte notabile asociate triunghiurilor, cum ar fi punctul Fermat , cercul celor nouă puncte , punctul Gergonne și punctul Feuerbach. Odată cu interesul reînnoit pentru geometria triunghiului din anii 1980, s-a acordat atenție proprietăților pe care aceste puncte le dețineau și care permiteau o definiție formală ca punct sau centru remarcabil al triunghiului. ^[1] ^[2] ^[3] În aprilie 2016, Enciclopedia Centrelor de Triunghi editată de Clark Kimberling conținea peste 10.000 de puncte de interes ale unui triunghi. ^[4]

Cele mai cunoscute puncte notabile

Un triunghi și câteva puncte notabile: centroid (S), circumcenter (U), orthocenter (H)

Cele mai cunoscute cinci puncte ale triunghiului sunt:

Ortocentrul , obținut prin traversarea înălțimilor . Este internă în triunghiurile acute, externă în triunghiurile obtuse și coincide cu vârful unghiului drept în triunghiurile cu unghi drept.
L ' incentro , obținut din intersecția bisectoarelor . Este întotdeauna intern. Este un punct echidistant din toate părțile și este centrul cercului înscris.
Centrul de greutate , obținut de la intersecția medianelor . Este punctul de echilibru al figurii și din acest motiv este întotdeauna intern.
Circumcentrul , obținut din intersecția axelor . Este echidistant de vârfuri și este centrul cercului circumscris.
Excentro , punctul de intersecție a bisectoarelor a două unghiuri externe și a bisectoarei unghiului intern care nu este adiacent acestora. Fiecare triunghi are trei excentri, care sunt centrele celor trei circumferințe exinscritte (sau exscritte), care este tangentă la o latură a triunghiului și la extensiile celorlalte două.

Bisectoarea este o rază care împarte unghiul în 2 părți congruente. Mediana este un segment care leagă vârful de punctul mediu al părții opuse. Axa unui segment este perpendiculară pe segmentul care trece prin punctul mediu al acestuia. Înălțimea este perpendiculară care începe de la un vârf și ajunge pe partea opusă sau pe extensia sa.

Alte puncte notabile

Un triunghi scalen și unele dintre numeroasele sale centre. Linia lui Euler în albastru

Există multe alte puncte notabile. Să definim concis unele dintre aceste puncte, referindu-ne la un triunghi $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ale cărei vârfuri le denotăm $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și ale căror laturi opuse le denotăm respectiv cu $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ Și $c .$ ${\ displaystyle c.}$ ${\ displaystyle c.}$

Punctul Bevan de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este circumcentrul triunghiului excentral al $T. .$ ${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T.}$

Punctul Apollonius al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente care respectiv unesc un vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu punctul în care excerchio din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ opus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este tangentă la cercul tangent la cele trei excerchi di $T. .$ ${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T.}$

Punctul Gergonne al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente care respectiv unesc un vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu punctul în care partea de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ opus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este tangentă la cercul lui $T. .$ ${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T.}$

Punctul Nagel al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente din care fiecare unește un vârf de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu punctul în care latura sa opusă este tangentă la cercul corespunzător.

Punctul Fermat al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente dintre care fiecare unește un vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu vârful care nu aparține $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a triunghiului echilateral unul dintre ale cărui laturi este latura $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ opus lui A și extern lui $T. .$ ${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T.}$
Punctul Lemoine al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei simmedieni ai săi.

Punctul lui Napoleon $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente care își leagă fiecare vârful $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu centrul triunghiului echilateral construit, extern a $T.,$ ${\ displaystyle T,}$ ${\ displaystyle T,}$ pe partea de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ opus $LA .$ ${\ displaystyle A.}$ ${\ displaystyle A.}$

Centrul celor nouă puncte ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este centrul așa-numitului cerc cu nouă puncte (sau cercul lui Feuerbach ) al $T.;$ ${\ displaystyle T;}$ ${\ displaystyle T;}$ aceste nouă puncte cuprind cele trei puncte medii ale laturilor $T.,$ ${\ displaystyle T,}$ ${\ displaystyle T,}$ cele trei picioare ale înălțimilor din $T.,$ ${\ displaystyle T,}$ ${\ displaystyle T,}$ punctele medii ale celor trei segmente dintre care fiecare unește un vârf de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu ortocentrul de $T. .$ ${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T.}$

Punctul pedalei de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția fiecăreia dintre cele trei linii perpendiculare pe laturile lui $T. .$ ${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T.}$

Punto ceviano din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția a trei linii ceviene .

Notă

^ Lista celor mai recente momente importante: Triangle centres , la faculty.evansville.edu . Adus la 12 aprilie 2015 .
^ Rezumatul punctelor centrale și al liniilor centrale din planul triunghiului[1] Depus la 31 octombrie 2003 în Internet Archive . (Accesat la 23 mai 2009)
^ Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle , în revista Mathematics , vol. 67, nr. 3, 1994, pp. 163–187, DOI : 10.2307 / 2690608 , JSTOR 2690608 .
^ Centrele X (5001) -

linkuri externe

(EN) Teorema lui Napoleon Un triunghi cu trei triunghiuri echilaterale. O dovadă pur geometrică. Folosește punctul Fermat pentru a demonstra teorema lui Napoleon fără transformări de Antonio Gutierrez din „Geometrie pas cu pas din țara incașilor”
( EN ) Clark Kimberling: Enciclopedia centrelor de triunghi . Enumerați peste 6000 de puncte de interes asociate oricărui triunghi (aprilie 2015).
( EN ) Construcții triunghiulare, puncte și linii remarcabile și relații metrice într-un triunghi la tăierea nodului
( EN )Geometrie compendială Geometrie analitică a triunghiurilor
(EN) Wolfram Mathworld Feuerbach Point

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Lista celor mai recente momente importante: Triangle centres , la faculty.evansville.edu . Adus la 12 aprilie 2015 .

[2] Rezumatul punctelor centrale și al liniilor centrale din planul triunghiului[1] Depus la 31 octombrie 2003 în Internet Archive . (Accesat la 23 mai 2009)

[3] Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle , în revista Mathematics , vol. 67, nr. 3, 1994, pp. 163–187, DOI : 10.2307 / 2690608 , JSTOR 2690608 .

[4] Centrele X (5001) -

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Poligoane
Poligoane după numărul de laturi	Triunghi (3) · Cadrilater (4) · Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagonon (7) · Octagon (8) · nonagon (9) · Decagon (10) · hendecagon (11) · Dodecagon (12) · tridecagon (13) · tetradecagon (14) · pentadecagon (15) · hexadecagon (16) · heptadecagon (17) · octadecagon (18) · enneadecagon (19) · icosagon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontagon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · chiliagon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triunghiuri	Bazat pe laturi: Triunghi echilateral · Triunghi isoscel · Triunghi scalen · Conform unghiurilor: Triunghi dreptunghiular · Triunghi ascuțit · Triunghi obuz
Cadrilaterale	Pătrat · dreptunghi · Paralelogram · Rhombus · Trapez · Kite
Poligoane stelare	Pentagramă · Hexagramă · Eptagramma · Ottagramma · Eneagramă · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Alții	Poligon regulat · Poligon echilateral · Poligon echivalen