Distribuție uniformă discretă

Distribuție uniformă discretă pe elemente în progresie aritmetică
Funcție de distribuție discretă
Funcția de distribuție
Parametrii	$-\infty <a\leqslant b<\infty$ ${\ displaystyle - \ infty <a \ leqslant b <\ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty <a \ leqslant b <\ infty}$ extreme de progresie $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente în progresie
A sustine	$S=\left\{a,\dots ,a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a),\dots ,b\right\}$ ${\ displaystyle S = \ left \ {a, \ dots, a + {\ frac {i-1} {n-1}} (ba), \ dots, b \ right \}}$ ${\ displaystyle S = \ left \ {a, \ dots, a + {\ frac {i-1} {n-1}} (b-a), \ dots, b \ right \}}$
Funcția de densitate	${\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ frac {1} {n}}$ pe $S\$ ${\ displaystyle S \}$ $S \$
Funcția de distribuție	${\frac {i}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {n}}}$ pentru $a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a)$ ${\ displaystyle a + {\ frac {i-1} {n-1}} (ba)}$ ${\ displaystyle a + {\ frac {i-1} {n-1}} (b-a)}$
Valorea estimata	${\frac {a+b}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ frac {a + b} {2}}$
Median	${\frac {a+b}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ frac {a + b} {2}}$
Varianța	${\frac {(a-b)^{2}}{12}}{\frac {n+1}{n-1}}={\frac {n^{2}-1}{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {(ab) ^ {2}} {12}} {\ frac {n + 1} {n-1}} = {\ frac {n ^ {2} -1} {12}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {(ab) ^ {2}} {12}} {\ frac {n + 1} {n-1}} = {\ frac {n ^ {2} -1} {12}} }$
Indicele de asimetrie
Curios	$-{\frac {6}{5}}{\frac {n^{2}+1}{n^{2}-1}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {6} {5}} {\ frac {n ^ {2} +1} {n ^ {2} -1}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {6} {5}} {\ frac {n ^ {2} +1} {n ^ {2} -1}}}$
Entropie	$\log n$ ${\ displaystyle \ log n}$ ${\ displaystyle \ log n}$
Funcție generatoare de momente	${\frac {1}{n}}e^{at}{\frac {1-e^{{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} e ^ {at} {\ frac {1-e ^ {{\ frac {n} {n-1}} (ba) t}} {1-e ^ {{\ frac {1} {n-1}} (ba) t}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} e ^ {at} {\ frac {1-e ^ {{\ frac {n} {n-1}} (ba) t}} {1-e ^ {{\ frac {1} {n-1}} (ba) t}}}}$
Funcția caracteristică	${\frac {1}{n}}e^{iat}{\frac {1-e^{i{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{i{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} e ^ {iat} {\ frac {1-e ^ {i {\ frac {n} {n-1}} (ba) t}} {1-e ^ {i {\ frac {1} {n-1}} (ba) t}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} e ^ {iat} {\ frac {1-e ^ {i {\ frac {n} {n-1}} (ba) t}} {1-e ^ {i {\ frac {1} {n-1}} (ba) t}}}}$
Manual

În teoria probabilității, o distribuție discretă uniformă este o distribuție discretă de probabilitate care este uniformă pe un set, adică care atribuie aceeași probabilitate fiecărui element al setului discret S pe care este definit (în special setul trebuie să fie finit ) .

Un exemplu de distribuție uniformă discretă este furnizat prin rularea unei matrițe echitabile: fiecare dintre valorile 1, 2, 3, 4, 5 și 6 are o probabilitate egală de 1/6 să apară.

Această distribuție a probabilității este cea care oferă definiția clasică a probabilității „ cazuri favorabile față de cazurile posibile ”: probabilitatea unui eveniment $A\subset S$ ${\ displaystyle A \ subset S}$ ${\ displaystyle A \ subset S}$ este dat de relația dintre cardinalitățile celor două mulțimi,

P(A)={\frac {\#A}{\#S}}

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {\ #A} {\ # S}}}

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {\ #A} {\ # S}}}

Definiție

Distribuția discretă uniformă pe un set finit S este distribuția probabilității ${\mathcal {U}}(S)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (S)}$ ${\ mathcal {U}} (S)$ care atribuie tuturor elementelor lui S aceeași probabilitate p de apariție.

În special, din raport

1=P(S)=\sum _{s\in S}P(s)=\sum _{s\in S}p=p\cdot \#S

{\ displaystyle 1 = P (S) = \ sum _ {s \ in S} P (s) = \ sum _ {s \ in S} p = p \ cdot \ #S}

{\ displaystyle 1 = P (S) = \ sum _ {s \ in S} P (s) = \ sum _ {s \ in S} p = p \ cdot \ #S}

ei urmaresc

P(s)={\frac {1}{\#S}}

{\ displaystyle P (s) = {\ frac {1} {\ # S}}}

{\ displaystyle P (s) = {\ frac {1} {\ # S}}}

pentru fiecare element

s\in S

{\ displaystyle s \ în S}

s \ în S

,

P(A)={\frac {\#A}{\#S}}

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {\ #A} {\ # S}}}

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {\ #A} {\ # S}}}

pentru fiecare subset

A\subset S

{\ displaystyle A \ subset S}

{\ displaystyle A \ subset S}

.

Progresia aritmetică

Distribuția uniformă discretă pe un set S ale cărui elemente sunt în progresie aritmetică , adică de tip, este adesea considerată

S=\{\alpha +i\beta \colon i\in \{1,2,\dots ,n\}\}

{\ displaystyle S = \ {\ alpha + i \ beta \ colon i \ in \ {1,2, \ dots, n \} \}}

{\ displaystyle S = \ {\ alpha + i \ beta \ colon i \ in \ {1,2, \ dots, n \} \}}

.

În acest caz mulțimea S poate fi descrisă ca un set de n elemente în progresie aritmetică, de la a la b , cu elemente ale formei

x_{i}=a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a)

{\ displaystyle x_ {i} = a + {\ frac {i-1} {n-1}} (ba)}

{\ displaystyle x_ {i} = a + {\ frac {i-1} {n-1}} (b-a)}

,

cu $x_{1}=a$ ${\ displaystyle x_ {1} = a}$ ${\ displaystyle x_ {1} = a}$ Și $x_{n}=b$ ${\ displaystyle x_ {n} = b}$ $x_ {n} = b$ .

În acest fel distribuția uniformă discretă devine un fel de aproximare a distribuției uniforme continue pe interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$

Caracteristici

Distributia ${\mathcal {U}}([a,b],n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ([a, b], n)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ([a, b], n)}$ este simetric în raport cu punctul mediu $(a+b)/2$ ${\ displaystyle (a + b) / 2}$ ${\ displaystyle (a + b) / 2}$ a segmentului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Prin urmare, o variabilă aleatorie U cu această distribuție are speranță $E(U)=(a+b)/2$ ${\ displaystyle E (U) = (a + b) / 2}$ ${\ displaystyle E (U) = (a + b) / 2}$ și indicele de asimetrie $\gamma _{1}=0$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 0}$ $\ gamma _ {1} = 0$ . De asemenea are

varianță

{\text{Var}}(U)={\frac {(a-b)^{2}}{12}}{\frac {n+1}{n-1}}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (U) = {\ frac {(ab) ^ {2}} {12}} {\ frac {n + 1} {n-1}}}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (U) = {\ frac {(a-b) ^ {2}} {12}} {\ frac {n + 1} {n-1}}}

,

kurtosis

\gamma _{2}=-{\frac {5}{6}}{\frac {n^{2}+1}{n^{2}-1}}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = - {\ frac {5} {6}} {\ frac {n ^ {2} +1} {n ^ {2} -1}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = - {\ frac {5} {6}} {\ frac {n ^ {2} +1} {n ^ {2} -1}}}

,

funcție generatoare de moment

g(t,U)=E[e^{tU}]={\frac {1}{n}}(e^{at}+e^{at+\beta t}+e^{at+2\beta t}+\dots +e^{at+n\beta t})={\frac {1}{n}}e^{at}{\frac {1-e^{{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}

{\ displaystyle g (t, U) = E [e ^ {tU}] = {\ frac {1} {n}} (e ^ {at} + e ^ {at + \ beta t} + e ^ {at + 2 \ beta t} + \ dots + e ^ {at + n \ beta t}) = {\ frac {1} {n}} e ^ {at} {\ frac {1-e ^ {{\ frac { n} {n-1}} (ba) t}} {1-e ^ {{\ frac {1} {n-1}} (ba) t}}}}

{\ displaystyle g (t, U) = E [e ^ {tU}] = {\ frac {1} {n}} (e ^ {at} + e ^ {at + \ beta t} + e ^ {at + 2 \ beta t} + \ dots + e ^ {at + n \ beta t}) = {\ frac {1} {n}} e ^ {at} {\ frac {1-e ^ {{\ frac { n} {n-1}} (ba) t}} {1-e ^ {{\ frac {1} {n-1}} (ba) t}}}}

entropie

H(U)=\log n\

{\ displaystyle H (U) = \ log n \}

{\ displaystyle H (U) = \ log n \}

(valoarea maximă posibilă pentru o distribuție pe n elemente).

Alte distribuții

Paralela distribuției discrete uniforme între distribuțiile de probabilitate continuă este distribuția uniformă continuă : o distribuție definită pe un set continuu S , care atribuie aceeași probabilitate la două intervale de aceeași lungime, conținute în S , adică a căror densitate de probabilitate presupune o constantă valoare pe S.

Distribuție pe două valori

Distribuția Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$ cu $p=1/2$ ${\ displaystyle p = 1/2}$ $p = 1/2$ este o distribuție discretă uniformă: cele două valori 0 și 1 au ambele probabilități

 $p=1-p=1/2$  $p$   $=$   $1$   $-$   $p$   $=$   $1$   $/$   $2$   ${\ displaystyle p = 1-p = 1/2}$   ${\ displaystyle p = 1-p = 1/2}$  .

Orice altă distribuție uniformă discretă pe două valori a și b poate fi exprimată prin intermediul unei variabile aleatorii X cu distribuție Bernoulli ${\mathcal {B}}({\tfrac {1}{2}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ tfrac {1} {2}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ tfrac {1} {2}})}$ , având în vedere variabila aleatorie ${Y=aX+b(1-X)}$ ${\ displaystyle {Y = aX + b (1-X)}}$ ${\ displaystyle {Y = aX + b (1-X)}}$ .

Distribuția discretă uniformă pe cele două valori 1 și -1 se mai numește distribuția Rademacher , după matematicianul german Hans Rademacher ; la fel ca alte distribuții pe două valori, este utilizat în metoda bootstrap pentru resamplarea datelor.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Distribuție discretă uniformă , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică