Distribuție binomială

Distribuție binomială ${\mathcal {B}}(n,p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (n, p)}$ ${\ mathcal {B}} (n, p)$
Funcție de distribuție discretă
Funcția de distribuție
Parametrii	${\begin{array}{l}p\in [0,1]\\q=1-p\\n\in \mathbb {N} \end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {l} p \ in [0,1] \\ q = 1-p \\ n \ in \ mathbb {N} \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {l} p \ in [0,1] \\ q = 1-p \\ n \ in \ mathbb {N} \ end {array}}}$
A sustine	$\{0,1,\dotsc ,n\}\$ ${\ displaystyle \ {0,1, \ dotsc, n \} \}$ $\ {0, 1, \ dotsc, n \} \$
Funcția de densitate	$\textstyle {n \choose k}p^{k}q^{n-k}$ ${\ displaystyle \ textstyle {n \ alege k} p ^ {k} q ^ {nk}}$ $\ textstyle {n \ choose k} p ^ {k} q ^ {{n-k}}$
Funcția de distribuție	$I_{q}(n-k,k+1)$ ${\ displaystyle I_ {q} (nk, k + 1)}$ $I_ {q} (n-k, k + 1)$ ( funcția Beta incompletă regularizată )
Valorea estimata	$np\$ ${\ displaystyle np \}$ $np \$
Median	între $\lfloor np\rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor np \ rfloor}$ $\ lfloor np \ rfloor$ Și $\lceil np\rceil$ ${\ displaystyle \ lceil np \ rceil}$ $\ lceil np \ rceil$ (nu precis)
Modă	$[p(n+1)]$ ${\ displaystyle [p (n + 1)]}$ $[p (n + 1)]$ de sine $p(n+1)\not \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle p (n + 1) \ not \ in \ mathbb {N}}$ $p (n + 1) \ not \ in {\ mathbb {N}}$
Varianța	$np(1-p)\$ ${\ displaystyle np (1-p) \}$ ${\ displaystyle np (1-p) \}$
Indicele de asimetrie	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {qp} {\ sqrt {npq}}}}$ ${\ frac {q-p} {{\ sqrt {npq}}}}$
Curios	${\frac {1-6pq}{npq}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1-6pq} {npq}}}$ ${\ frac {1-6pq} {npq}}$
Funcție generatoare de momente	$(q+pe^{t})^{n}\$ ${\ displaystyle (q + pe ^ {t}) ^ {n} \}$ $(q + pe ^ {t}) ^ {n} \$
Funcția caracteristică	$(q+pe^{it})^{n}\$ ${\ displaystyle (q + pe ^ {it}) ^ {n} \}$ $(q + pe ^ {{it}}) ^ {n} \$
Manual

În teoria probabilității, distribuția binomială este o distribuție discretă de probabilitate care descrie numărul de succese într-un proces Bernoulli , adică variabila aleatorie $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + X_ {2} + \ dotsb + X_ {n}}$ $S_n = X_1 + X_2 + \ dotsb + X_n$ ce sumă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile aleatorii independente de distribuție egală cu Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$ .

Exemple de cazuri de distribuție binomială sunt rezultatele unei serii de aruncări ale aceleiași monede sau ale unei serii de extrageri dintr-o urnă (cu reintroducere), fiecare dintre acestea putând oferi doar două rezultate: succes cu probabilitate $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și eșec cu probabilitate $q=1-p$ ${\ displaystyle q = 1-p}$ $q = 1-p$ .

Definiție

Practic, o variabilă sau proces poate fi definită binomial dacă îndeplinește toate criteriile următoare ^[1] :

rezultatul fiecărui eveniment poate fi considerat doar de două tipuri: pozitiv sau negativ, + sau -, alb sau negru, succes sau eșec etc.
fiecare eveniment este independent de toate celelalte posibile
procesul sau variabila preia un anumit număr fix de valori
probabilitatea de succes / eșec a fiecărui eveniment este constantă

Distribuția binomială ${\mathcal {B}}(n,p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (n, p)}$ ${\ mathcal {B}} (n, p)$ se caracterizează prin doi parametri: ^[2]

$n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : numărul de teste efectuate.
$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ : probabilitatea de succes a testului unic Bernoulli $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ (cu $0\leq p\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1}$ $0 \ leq p \ leq 1$ ).

Pentru simplitatea notării, parametrul este, de asemenea, utilizat de obicei $q=1-p$ ${\ displaystyle q = 1-p}$ $q = 1-p$ , care exprimă probabilitatea eșecului pentru un singur proces.

Distribuția probabilității este:

P(k)=P(X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}=k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}

{\ displaystyle P (k) = P (X_ {1} + X_ {2} + \ dotsb + X_ {n} = k) = {\ binom {n} {k}} p ^ {k} q ^ {nk }}

P (k) = P (X_1 + X_2 + \ dotsb + X_n = k) = \ binom n k p ^ k q ^ {n - k}

adică orice succesiune cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ succese și $n-k$ ${\ displaystyle nk}$ $n-k$ eșecurile au probabilitate $p^{k}q^{n-k}$ ${\ displaystyle p ^ {k} q ^ {nk}}$ $p ^ {k} q ^ {{n-k}}$ , în timp ce numărul acestor secvențe, egal cu numărul de moduri (sau combinații ) în care i poate fi aranjat $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ succese în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ încercări, este dat de coeficientul binomial $\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {k! (nk)!}}}$ $\ textstyle \ binom n k = \ frac {n!} {k! (n-k)!}$ .

Formula binomială a lui Newton arată că suma tuturor probabilităților din distribuție este egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ :

\sum _{k=0}^{n}P(S_{n}=k)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=(p+1-p)^{n}=(1)^{n}=1

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} P (S_ {n} = k) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} p ^ { k} q ^ {nk} = (p + q) ^ {n} = (p + 1-p) ^ {n} = (1) ^ {n} = 1}

\ sum_ {k = 0} ^ {n} P (S_n = k) = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom nkp ^ kq ^ {n - k} = (p + q) ^ n = ( p + 1 - p) ^ n = (1) ^ n = 1

Exemplu

Pentru a calcula probabilitatea de a obține exact de 3 ori „4” cu 5 rulouri de matriță (echilibrată pe 6 fețe), trebuie doar să considerați rolele ca un proces Bernoulli.

Fiecare test unic are probabilitatea p = 1/6 de a obține „4” (succes) și probabilitatea q = 5/6 de a nu-l obține (eșec). Numărul de succese cu 5 studii este apoi descris de o variabilă aleatorie S ₅ din legea B (5,1 / 6).

Probabilitatea de a obține exact de 3 ori „4” cu 5 rulouri (și de 2 ori „nu 4”) este

P(S_{5}=3)={\binom {5}{3}}(1/6)^{3}\ (5/6)^{2}=10(1/6)^{3}(5/6)^{2}=0{,}032\dotso

{\ displaystyle P (S_ {5} = 3) = {\ binom {5} {3}} (1/6) ^ {3} \ (5/6) ^ {2} = 10 (1/6) ^ {3} (5/6) ^ {2} = 0 {,} 032 \ dotso}

P (S_5 = 3) = \ binom 5 3 (1/6) ^ 3 \ (5/6) ^ 2 = 10 (1/6) ^ 3 (5/6) ^ 2 = 0 {,} 032 \ dotso

Caracteristici

Ca distribuție binomială ${\mathcal {B}}(n,p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (n, p)}$ ${\ mathcal {B}} (n, p)$ descrie o variabilă aleatorie $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ definit ca suma a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile aleatorii independente $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ de drept egal Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$ , multe caracteristici ale $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ poate fi derivat din cele ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

valoarea așteptată

E[S_{n}]=\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}]=nE[X]=np

{\ displaystyle E [S_ {n}] = \ sum _ {i = 1} ^ {n} E [X_ {i}] = nE [X] = np}

E [S_n] = \ sum_ {i = 1} ^ n E [X_i] = nE [X] = np

varianța

{\text{Var}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})=n\operatorname {Var} (X)=npq

{\ displaystyle {\ text {Var}} (S_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {Var} (X_ {i}) = n \ operatorname {Var} (X) = npq}

\ text {Var} (S_n) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ operatorname {Var} (X_i) = n \ operatorname {Var} (X) = npq

funcția generatoare de moment

g(S_{n},t)=\prod _{i=1}^{n}g(X_{i},t)=g(X,t)^{n}=(q+pe^{t})^{n}

{\ displaystyle g (S_ {n}, t) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} g (X_ {i}, t) = g (X, t) ^ {n} = (q + pe ^ {t}) ^ {n}}

g (S_n, t) = \ prod_ {i = 1} ^ n g (X_i, t) = g (X, t) ^ n = (q + pe ^ t) ^ n

funcția caracteristică

\phi _{S_{n}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)=\phi _{X}(t)^{n}=(q+pe^{it})^{n}

{\ displaystyle \ phi _ {S_ {n}} (t) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ phi _ {X_ {i}} (t) = \ phi _ {X} (t) ^ {n} = (q + pe ^ {it}) ^ {n}}

\ phi_ {S_n} (t) = \ prod_ {i = 1} ^ n \ phi_ {X_i} (t) = \ phi_ {X} (t) ^ n = (q + pe ^ {it}) ^ n

coeficientul de asimetrie

\gamma _{1}={\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {qp} {\ sqrt {npq}}}}

\ gamma_1 = \ frac {q-p} {\ sqrt {npq}}

coeficientul de curtoză

\gamma _{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{pq}}-6\right)

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {1} {pq}} - 6 \ right)}

\ gamma_2 = \ frac {1} {n} \ left (\ frac {1} {pq} -6 \ right)

Moda de $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ se obține prin compararea probabilităților succesive $P(k+1)/P(k)$ ${\ displaystyle P (k + 1) / P (k)}$ $P (k + 1) / P (k)$ . De sine $p(n+1)$ ${\ displaystyle p (n + 1)}$ $p (n + 1)$ este un număr întreg atunci $P(p(n+1))=P(p(n+1)-1)$ ${\ displaystyle P (p (n + 1)) = P (p (n + 1) -1)}$ $P (p (n + 1)) = P (p (n + 1) -1)$ iar moda nu este unică; dacă în schimb $p(n+1)$ ${\ displaystyle p (n + 1)}$ $p (n + 1)$ nu este un întreg, atunci moda este egală cu întreaga sa parte $[p(n+1)]$ ${\ displaystyle [p (n + 1)]}$ $[p (n + 1)]$ .

Nu există formule precise pentru mediana $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ , care totuși trebuie să fie între părțile întregi inferioare și superioare ale $n p$ ${\ displaystyle np}$ $np$ , $\lfloor np\rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor np \ rfloor}$ $\ lfloor np \ rfloor$ Și $\lceil np\rceil$ ${\ displaystyle \ lceil np \ rceil}$ $\ lceil np \ rceil$ . De sine $n p$ ${\ displaystyle np}$ $np$ este un număr întreg, atunci mediana este $n p$ ${\ displaystyle np}$ $np$ . Dacă funcția de distribuție ia valoarea $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ (de exemplu $F(k)=1/2$ ${\ displaystyle F (k) = 1/2}$ $F (k) = 1/2$ pentru $p=1/2$ ${\ displaystyle p = 1/2}$ $p = 1/2$ și $n=2k+1$ ${\ displaystyle n = 2k + 1}$ $n = 2k + 1$ impar) atunci toate valorile intervalului pot fi luate ca mediană.

Alte distribuții de probabilitate

Distribuția Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$ poate fi considerat ca un caz special de distribuție binomială ${\mathcal {B}}(1,p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (1, p)}$ ${\ mathcal {B}} (1, p)$ , care descrie un proces Bernoulli cu o singură dovadă: $S_{1}=X_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1} = X_ {1}}$ $S_ {1} = X_ {1}$ .

Eșecurile într-o secvență de extrageri dintr-o urnă într-un proces Bernoulli sunt descrise de o variabilă aleatorie care urmează distribuției Pascal , al cărei caz limitativ este distribuția geometrică .

Succesele dintr-o secvență de extracții dintr-o urnă, efectuate fără reintroducerea extractelor, sunt descrise de o variabilă aleatorie care urmează legea hipergeometrică .

Convergențe

Pentru valori de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ legea binomială suficient de mare este aproximată de alte legi.

Cand $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ tinde spre infinit, lăsându-l fix $\lambda =np$ ${\ displaystyle \ lambda = np}$ $\ lambda = np$ , distribuția binomială tinde spre distribuția Poisson $P(\lambda )=P(np)$ ${\ displaystyle P (\ lambda) = P (np)}$ $P (\ lambda) = P (np)$ . În statistici această aproximare este de obicei acceptată când $n\geq 20$ ${\ displaystyle n \ geq 20}$ $n \ geq 20$ Și $p\leq 1/20$ ${\ displaystyle p \ leq 1/20}$ $p \ leq 1/20$ , sau când $n\geq 100$ ${\ displaystyle n \ geq 100}$ $n \ geq 100$ Și $np\leq 10$ ${\ displaystyle np \ leq 10}$ $np \ leq 10$ .

Prin teorema limitei centrale , când $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ tinde spre infinit, lăsându-l fix $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , distribuția binomială tinde spre distribuția normală $N(np,npq)$ ${\ displaystyle N (np, npq)}$ $N (np, npq)$ , in medie $n p$ ${\ displaystyle np}$ $np$ și varianță $n p q$ ${\ displaystyle npq}$ $npq$ . În statistici, această aproximare este de obicei acceptată atunci când $np>5$ ${\ displaystyle np> 5}$ $np> 5$ Și $nq>5$ ${\ displaystyle nq> 5}$ $nq> 5$ .

Mai precis, teorema limitei centrale afirmă că

\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}-E[S_{n}]}{\sqrt {\operatorname {Var} (S_{n})}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}-np}{\sqrt {npq}}}={\mathcal {N}}(0,1)

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {S_ {n} -E [S_ {n}]} {\ sqrt {\ operatorname {Var} (S_ {n})}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {S_ {n} -np} {\ sqrt {npq}}} = {\ mathcal {N}} (0,1)}

\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {S_n-E [S_n]} {\ sqrt {\ operatorname {Var} (S_n)}} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {S_n-np} {\ sqrt {npq}} = \ mathcal {N} (0,1)

Generalizări

O generalizare a distribuției binomiale ${\mathcal {B}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p, n)}$ ${\ mathcal {B}} (p, n)$ este legea distribuției beta-binomiale $\mathrm {B} (a,b,n)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (a, b, n)}$ $\ mathrm {B} (a, b, n)$ , care descrie suma $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + X_ {2} + \ dotsb + X_ {n}}$ $S_n = X_1 + X_2 + \ dotsb + X_n$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile aleatoare independente, fiecare cu distribuție Bernoulli ${\mathcal {B}}(P)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P)}$ ${\ mathcal {B}} (P)$ , unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ respectă legea beta $\mathrm {B} (a,b)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (a, b)}$ $\ mathrm {B} (a, b)$ . (Spre deosebire de distribuția binomială, $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ nu au același parametru.)

Distribuția binomială este una dintre cele patru distribuții de probabilitate definite de recursiunea Panjer : $P(k)=(-{\tfrac {p}{q}}+{\tfrac {1}{k}}{\tfrac {(n+1)p}{q}})P(k-1)$ ${\ displaystyle P (k) = (- {\ tfrac {p} {q}} + {\ tfrac {1} {k}} {\ tfrac {(n + 1) p} {q}}) P (k -1)}$ $P (k) = (- {\ tfrac {p} {q}} + {\ tfrac {1} {k}} {\ tfrac {(n + 1) p} {q}}) P (k-1)$ .

Statistici

În inferența bayesiană , relații particulare sunt utilizate între distribuția binomială și alte distribuții de probabilitate.

Dacă P este o variabilă aleatorie care urmează distribuția beta $\mathrm {B} (a,b)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (a, b)}$ $\ mathrm {B} (a, b)$ și S _n este o variabilă aleatorie cu distribuție binomială ${\mathcal {B}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p, n)}$ ${\ mathcal {B}} (p, n)$ , atunci probabilitatea condiționată de S _n = x pentru P urmează distribuția beta $\mathrm {B} (a+x,b+n-x)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (a + x, b + nx)}$ $\ mathrm {B} (a + x, b + n-x)$ . Cu alte cuvinte, distribuția Beta descrie P atât a priori, cât și a posteriori al lui S _n = x .

În special, distribuția continuă uniformă pe intervalul [0,1] este un caz special de distribuție beta $\mathrm {B} (1,1)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (1,1)}$ $\ mathrm {B} (1,1)$ , prin urmare distribuția pentru P , a posteriori a lui S _n = x , urmează legea Beta $\mathrm {B} (x+1,n-x+1)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x + 1, n-x + 1)}$ $\ mathrm {B} (x + 1, n-x + 1)$ , care întâmplător are un maxim în x / n .