Fractal

Un fractal este un obiect geometric caracteristici dilatarea internă: forma se repetă în același mod pe scări diferite și , prin urmare , mărind orice parte a acestora se obține printr - o similară cu figura originală. Se spune atunci geometria fractala, geometria (non-euclidiene) care studiaza aceste structuri, cum ar fi recurente inginerie de proiectare a rețelelor, în mișcare browniană și galaxii ^[1] .

Această caracteristică este adesea numit de auto-similaritate sau de auto-similaritate. Fractale Termenul a fost inventat în 1975 de către Benoît Mandelbrot în cartea Les Objets fractalilor: Forme, Hasard et Dimension pentru a descrie unele comportamente matematice care păreau să aibă un comportament „haotic“, și este derivat din fractus latin (rupte), precum și ca termenul fracțiune ; De fapt, imaginile fractale sunt considerate de matematică obiect dimensiunea , de asemenea , nu întreg. De exemplu, curba Koch are dimensiune ${\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1{,}26186$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ log 4} {\ log 3}} \ approx 1 {,} 26186}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ log 4} {\ log 3}} \ approx 1 {,} 26186}$ .

Fractalii apar adesea în studiul sistemelor dinamice , în definirea curbelor sau seturi și în teoria haosului și sunt adesea descrise într - un recursive algoritmi sau ecuații foarte simple, scrise cu ajutorul numerelor complexe . De exemplu, ecuația care descrie " set Mandelbrot este următoarea:

a_{n+1}=a_{n}^{2}+P_{0}

{\ Displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} ^ {2} + P_ {0}}

o _ {{n + 1}} = a_ {n} ^ {2} + P_ {0}

unde este $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ Și $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_ {0}$ acestea sunt numere complexe.

Fractali si natura

forma fractala a unui munte

Natura produce multe exemple de forme foarte asemănătoare cu fractali. De exemplu, într - un copac , în special în molid, fiecare ramură este aproximativ similar cu întregul copac și fiecare ramură este la rândul său , similar cu propria lor ramură, și așa mai departe; este de asemenea posibil să Notă fenomenele de auto-similaritate în forma de coasta: cu imagini luate din satelit ca din ce în ce mai mare se poate observa că structura generală a mai mult sau mai puțin zimțate golfuri arată că există multe componente care, dacă nu este identic cu originale, cu toate acestea, ele arata foarte mult ca el. Fractalii sunt , de asemenea , în punctul de vedere geomorfologic a munților , în nori , de cristalele de gheață , în unele frunze și flori . Potrivit lui Mandelbrot, relațiile dintre fractali și natură sunt mai profunde decât credem.

„Fractalii se crede că într-un fel corespund structurii minții umane, motiv pentru care oamenii le găsesc atât de familiar. Această familiaritate este încă un mister și mai profund subiectul este explorat, cu atat mai mult creste mister "

( Benoît Mandelbrot )

Auto-similaritate și definiția recursivă

Forma fractal unui broccoli romanesco

La orice o scară observă, obiectul are întotdeauna aceleași personaje globale.

O diferență substanțială între un obiect geometric euclidiană și un fractal este modul în care se construiește. De fapt, o curbă plană este , în general se bazează pe planul cartezian, folosind o funcție de tipul:

f(x(t),y(t))=0

{\ F displaystyle (x (t), y (t)) = 0}

f (x (t), y (t)) = 0

care descrie poziția punctului de pe curba ca schimbări de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

În loc construcția fractalilor nu se bazează pe o ecuație, ci pe un algoritm . Acest lucru înseamnă că există o metodă, nu neapărat numerică, care trebuie să fie utilizate pentru a desena curba. Mai mult, algoritmul nu se aplică o singură dată, dar procedura este iterată un număr teoretic infinit de ori: cu fiecare iterație curba se apropie și mai aproape de rezultatul final (prin aproximare) și, după un anumit număr de iterații, The ochiul uman nu mai este capabil să distingă modificări sau computerul hardware - ul nu mai este în măsură să permită îmbunătățiri suplimentare. Prin urmare, atunci când desenați de fapt un fractal, puteți opri după un număr adecvat de iterații.

La baza de auto-similaritate este o anumită transformare geometrică numită dilatarea care permite mărirea sau micșorarea o cifră lăsând neschimbată forma. Un fractal este o entitate geometrică care menține aceeași formă , dacă mărită cu dilatarea adecvată, a dilatarea interioara.

Caracteristici

Ansamblul Mandelbrot văzut cu o lupă ce în ce mai puternică arată întotdeauna la fel.

Dimensiune fractală

Același subiect în detaliu: dimensiunea Hausdorff .

Dimensiunea fractală , sau dimensiunea Hausdorff este un parametru foarte important care determina „gradul de abatere“ obiect fractală în curs de examinare.

Mandelbrot în cartea sa intitulată „fractale obiectelor“ , publicat în 1975 spune că există diferite modalități de a măsura dimensiunea unui fractal, a introdus atunci când matematicianul a încercat mâna în determinarea lungimii coastelor Marii Britanii. Printre acestea, următoarele.

Este avansat de-a lungul coastei de o busolă de deschidere prescrisă {\ displaystyle h} și fiecare etapă începe acolo unde capetele anterioare. Valoarea diafragmei h înmulțită cu numărul de trepte va asigura lungimea aproximativă {\ L displaystyle (h)} a coastei; Cu toate acestea, făcând deschiderea busolei mai mici și mai mici, numărul de pași vor crește, deschiderea va tinde la zero și numărul de pași va tinde la infinit și măsurarea lungimii nervurii va tinde să exactness. ^{[ Clarificare: nu există nici} o^{trecere de aici la dimensiunea. ]}

Cazul

Mandelbrot afirmă că coasta a fost în formă de-a lungul timpului de mai multe influente. Situația este atât de complicată , deoarece în geomorfologie nu cunosc legile care guvernează aceste influențe. Prin urmare, se poate spune că șansa joacă un rol important și în continuare singurul instrument capabil de a oferi o soluție la problema este statistica.

Cazul poate genera nereguli și este capabil să genereze o neregulă la fel de intense ca și cea a coastelor, într-adevăr, în multe situații este dificil de a preveni cazul de la a merge dincolo de așteptări.

Șansa nu trebuie subestimat în studiul obiectelor fractale drept cauze interne homothety sansa de a avea exact aceeași importanță la orice scară. De aceea , obiectele fractale sunt plasate în contextul sistemelor dinamice haotice .

De-a lungul istoriei, mulți matematicieni au ajuns la descoperirile lor în mod neașteptat. Mandelbrot se pretinde a fi ajuns la descoperirile sale prin pura. Într - o zi el sa găsit în dell „biblioteca IBM în cazul în care multe cărți pe care nimeni nu a citit vreodată erau pe cale de a fi expediate prin tocător. Benoit a deschis o revistă la întâmplare și să citească meteorologul numit Lewis Fry Richardson . Acest nume a fost deja cunoscut de matematicianul polonez pentru studiile pe care le făcea pe teoria turbulență . Richardson a fost un savant bizar și excentric, care obișnuia să se pună întrebări pe care nimeni altcineva nu va cere vreodată. Aceste poznele ale sale a dus la anticiparea descoperiri că unii savanți făcute în următoarele decenii.

În cartea Richardson a fost preocupat de măsurarea lungimii liniilor de coastă la diferite scări. Mandelbrot fotocopiat desen care descrie aceste măsurători și a lăsat cartea unde a fost pentru ao recupera a doua zi, dar cartea a dispărut. Desenul a fost folosit de matematicianul pentru a formula teoria fractalilor, deoarece se referea la ceva știm cu toții, în largul coastelor. Astfel, Mandelbrot a dat seama că toate studiile efectuate de către el însuși a avut ceva în comun, deși acestea au variat între discipline complet diferite. Modelul inițial a fost același: Mandelbrot a avut dureri pentru a defini haosul aparent inerent în ele.

familii fractale

Curba lui Von Koch , un tip de fractal

Există mai multe familii de fractali, împărțite în funcție de gradul de termenii ecuației generatoare de conținut în algoritmul:

fractali liniare
fractali nelineară
fractali aleatoare

fractali liniare

Fractalii liniare sunt cele ale căror ecuație de generare conține numai termeni de ordinul întâi și apoi " algoritmul este liniar.

Aceste fractali pot fi studiate cu ajutorul unei duplicatoare figuri imaginare: copiator reduceri, o mașină de metaforă conceput de John E. Hutchinson , un matematician de la Australian National University din Canberra .

Această mașină funcționează mai mult sau mai puțin ca un normal de copiator cu unitate de reducere, dar diferă pentru faptul de a avea mai multe lentile de reducere, fiecare dintre care poate copia originalul plasat pe mașină.

Lentilele pot fi preparate în conformitate cu mai mulți factori de reducere , iar imaginile reduse pot fi plasate în orice poziție . Cifra poate fi mutat apoi, alungit, scurtat, reflectat, rotit sau transformat în toate modurile, cu condiția ca diferitele transformări se dovedesc a fi de omotetie și linie segmente ale originalului rămân, prin urmare, segmentele de linie.

Fractali nelineară

Există diferite tipuri de fractali neliniare, a căror ecuație generatorului este de ordin mai mare decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Una dintre acestea se bazează pe transformarea pătratică și a făcut obiectul unei atenții speciale, deoarece produce o mare varietate de forme geometrice dintr - un algoritm destul de simplu și este strâns legată de astăzi teoria haosului .

Teoria pe care acest pătrat fractală a fost descris pentru prima dată în 1918 de matematicianul francez Gaston Julia , care a fost apoi într - un spital militar, recuperarea din rănile primite în timpul primului război mondial. Atât cercetările sale ca cele contemporane ale lui neobosit rival Pierre Fatou , și de transformare pe bază de comportament $g(z)=z^{2}+c$ ${\ Displaystyle g (z) = z ^ {2} + c}$ $g (z) = z ^ {2} + c$ Ei au fost uitate repede până când reelaborare de către Benoît Mandelbrot .

Julia și Fatou întreprindere intelectuală este remarcabil pentru că, din moment ce nu existau calculatoare electronice la acel moment, acestea ar putea conta doar pe abilitățile lor de abstractizare.

fractali aleatoare

Fractalii examinate până în prezent sunt deterministe. Cu toate că procesele întâmplătoare, cum ar fi aruncarea unui zar, poate produce imagini fractale, nu au nici un efect asupra formei finale fractală. Situația este destul de diferită pentru o altă clasă de fractali, așa-numitele fractali aleatoare. Pentru a genera un fractal de acest tip poate începe cu un triunghi culcat pe un plan arbitrar.

Punctele de centru fiecare latură a triunghiului sunt conectate unul la celălalt și triunghiul este împărțit în patru triunghiuri mai mici. Fiecare punct de mijloc este apoi ridicată sau coborâtă cu o sumă aleasă la întâmplare. Același procedeu se aplică pentru fiecare dintre triunghiuri mai mici, iar procesul se repetă la nesfârșit. Pe măsură ce numărul de iterații crește, o suprafață mai mult și mai bogată în detalii începe să se formeze. În această „metodă de deplasare de puncte de mijloc», suma deplasare aleatorie a punctelor de mijloc este reglementată de o lege de distribuție , care poate fi modificat pentru a obține o bună aproximare a suprafeței pe care o vrea să construiască modelul.

Pentru un model de o suprafață relativ netedă, transformările utilizate ar trebui să includă o regulă care deplasările punctelor de mijloc devin foarte mici, după doar câteva iterații. O astfel de regulă o adaugă numai proeminențelor mici la dezvoltarea generală.

Pentru a reprezenta în schimb o suprafață aspră, cum ar fi topografia unui lanț muntos , este mai bine să scadă ușor valoarea de deplasare la fiecare iterație.

Această metodă de suprafețe de construcție are multe aplicații. Acesta a fost folosit pentru a obține modele de " eroziune a solului și de a analiza înregistrările seismice pentru a înțelege schimbările în zonele de defect . Acest concept a fost folosit de Richard E. Voss, colegul lui Mandelbrot la Thomas J. Watson Centrul de Cercetare, pentru a genera imagini foarte realiste de planete, sateliți, nori și munți.

Mandelbrot

Același subiect în detaliu: set Mandelbrot .

L ' set Mandelbrot este cel mai faimos fractal

L „set Mandelbrot este setul de $c\in \mathbb {C}$ ${\ Displaystyle c \ în \ mathbb {C}}$ $c \ în {\ mathbb {C}}$ astfel încât, loc $z_{0}=0$ ${\ Displaystyle z_ {0} = 0}$ $z_ {0} = 0$ , succesiunea $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$ ${\ Displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} + c}$ $z _ {{n + 1}} = z _ {{n}} ^ {2} + c$ este limitat.

Lucrarea de departe cel mai mare succes în acest domeniu , este așa-numitul potențialul electrostatic al setului Mandelbrot.

Imaginați - vă că setul este echipat cu sarcină electrică . S -ar putea măsura potențialul electric prin plasarea unui punct în afara taxei stabilite și măsurarea forței electrostatice care acționează asupra acestui punct. Se pare că calculul potențialului este strâns legată de secvența $0,c,c^{2}+c,(c^{2}+c)^{2}+c,\dots$ ${\ Displaystyle 0, c, c ^ {2} + c, (c ^ {2} + c) ^ {2} + c, \ dots}$ $0, c, c ^ {2} + c, (^ {2} + c c) ^ {2} + c \, puncte$ , Utilizat pentru a determina dacă un $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ aparține Mandelbrot sau nu.

Poate cel mai proprietate fascinant al setului Mandelbrot este că acesta poate fi considerat un „depozit“ de imagini de eficiență infinit: în plus față de divizarea seturile Julia în legătură și care nu are legătură, Mandelbrot , de asemenea , acționează ca un indice direct și grafic al unui număr infinit de seturi Julia .

Mărirea imaginii pe platoul de filmare Mandelbrot în jurul unui punct $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ situat la frontiera sa, apar forme care sunt, de asemenea, elementele constitutive ale Julia set corespunzător punctului $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Cu toate acestea, această descoperire nu a fost încă îmbrăcat cu toată rigoarea matematică necesară.

Tan lei, un cercetator de la " Universitatea din Lyon , a arătat că setul Mandelbrot se comportă în acest fel pentru cele mai multe dintre valorile parametrilor $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ situat exact la granița întregului.

Metoda lui Mandelbrot: fractali prin iterație a puterilor $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$

Mai jos sunt listate o serie de fractali generate cu metoda Mandelbrot, adică recapitularea $z=z^{m}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {m} + c}$ $z = z ^ {m} + c$ , Pentru o $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ fix. Toate punctele din planul complex $c=(c_{x},c_{y})$ ${\ Displaystyle c = (C_ {x}, C_ {y})}$ $c = (C_ {x}, C_ {y})$ sunt luate în considerare și, dacă nu se specifică altfel, toate iterații pornește de la punctul $z_{0}=0$ ${\ Displaystyle z_ {0} = 0}$ $z_ {0} = 0$ . În cazul în care converge iteratie imaginea este colorată galben pal. Divergențele la infinit este colorat cu o culoare variind de la negru la albastru. Cazul $m=2$ ${\ displaystyle m = 2}$ $m = 2$ , acesta este $z=z^{2}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {2} + c}$ $z = z ^ {2} + c$ Se numește setul Mandelbrot.

Exemple de fractali tip Mandelbrot $z=z^{m}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {m} + c}$ $z = z ^ {m} + c$ .

$z=z^{2}+c,$ ${\ Displaystyle z = z ^ {2} + c}$ $z = z ^ {2} + c,$
Set Mandelbrot
$z=z^{3}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {3} + c}$ $z = z ^ {3} + c$
$z=z^{4}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {4} + c}$ $z = z ^ {4} + c$
$z=z^{5}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {5} + c}$ $z = z ^ {5} + c$
$z=z^{6}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {6} + c}$ $z = z ^ {6} + c$
$z=z^{7}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {7} + c}$ $z = z ^ {7} + c$
$z=z^{8}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {8} + c}$ $z = z ^ {8} + c$
$z=z^{9}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {9} + c}$ $z = z ^ {9} + c$
$z=z^{10}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {10} + c}$ $z = z ^ {{10}} + c$
$z=z^{11}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {11} + c}$ $z = z ^ {{11}} + c$
$z=z^{12}+c$ ${\ Displaystyle z = z ^ {12} + c}$ $z = z ^ {{12}} + c$

Exemple de fractali tip Mandelbrot $z=z^{m}+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = z ^ {m} + {\ frac {1} {c}}}$ $z = z ^ {m} + {\ frac {1} {c}}$ .

$z=z^{2}+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = z ^ {2} + {\ frac {1} {c}}}$ $z = z ^ {2} + {\ frac {1} {c}}$
$z=z^{3}+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = z ^ {3} + {\ frac {1} {c}}}$ $z = z ^ {3} + {\ frac {1} {c}}$
$z=z^{4}+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = z ^ {4} + {\ frac {1} {c}}}$ $z = z ^ {4} + {\ frac {1} {c}}$
$z=z^{5}+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = z ^ {5} + {\ frac {1} {c}}}$ $z = z ^ {5} + {\ frac {1} {c}}$
$z=z^{6}+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = z ^ {6} + {\ frac {1} {c}}}$ $z = z ^ {6} + {\ frac {1} {c}}$
$z=z^{7}+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = z ^ {7} + {\ frac {1} {c}}}$ $z = z ^ {7} + {\ frac {1} {c}}$

Alte fractalilor Mandelbrot.

$z=z^{2}+c^{6}-1,$ ${\ Displaystyle z = z ^ {2} + c ^ {6} -1,}$ $z = z ^ {2} + c ^ {6} -1,$
$z=\cos z+{\frac {1}{c}}$ ${\ Displaystyle z = \ cos z + {\ frac {1} {c}}}$ $z = \ cos z + {\ frac {1} {c}}$
$z=e^{\frac {z^{2}+z}{\sqrt {c^{3}}}},$ ${\ Displaystyle z = e ^ {\ frac {z ^ {2} + z} {\ sqrt {c ^ {3}}}}}$ $z = e ^ {{{\ frac {z ^ {2} + z} {{\ sqrt {c ^ {3}}}}}}},$
$z_{0}=1+i$ ${\ Displaystyle z_ {0} = 1 + i}$ $z_ {0} = 1 + i$
$z=e^{\frac {z^{2}-1,00001\cdot z}{\sqrt {c^{3}}}}$ ${\ Displaystyle z = e ^ {\ frac {z ^ {2} -1,00001 \ cdot z} {\ sqrt {c ^ {3}}}}}$ $z = e ^ {{{\ frac {z ^ {2} -1,00001 \ cdot z} {{\ sqrt {c ^ {3}}}}}}}$
$z=e^{\frac {z^{2}-1,00001\cdot z}{c^{3}}}$ ${\ Displaystyle z = e ^ {\ frac {z ^ {2} -1,00001 \ cdot z} {c ^ {3}}}}$ $z = e ^ {{{\ frac {z ^ {2} -1,00001 \ cdot z} {c ^ {3}}}}}$
$z=\sin(zc^{2}),$ ${\ Displaystyle z = \ sin (zc ^ {2})}$ $z = \ sin (zc ^ {2}),$
$z_{0}=1$ ${\ Displaystyle z_ {0} = 1}$ $z_ {0} = 1$
$z=\cos \left({\frac {z}{c}}\right)$ ${\ Displaystyle z = \ cos \ stânga ({\ frac {z} {c}} \ dreapta)}$ $z = \ cos \ stânga ({\ frac {z} {c}} \ dreapta)$
$z=\cos(zc^{3})$ ${\ Displaystyle z = \ cos (zc ^ {3})}$ $z = \ cos (zc ^ {3})$
$z=e^{\frac {z^{3}}{c^{3}}}$ ${\ Displaystyle z = e ^ {\ frac {z ^ {3}} {c ^ {3}}}}$ $z = e ^ {{{\ frac {z ^ {3}} {c ^ {3}}}}}$
$z=e^{\frac {c^{3}}{z^{3}}}$ ${\ Displaystyle z = e ^ {\ frac {c ^ {3}} {z ^ {3}}}}$ $z = e ^ {{{\ frac {c ^ {3}} {z ^ {3}}}}}$
$z=e^{\frac {z}{c^{4}}}$ ${\ Displaystyle z = e ^ {\ frac {z} {c ^ {4}}}}$ $z = e ^ {{{\ frac {z} {c ^ {4}}}}}$
$\scriptstyle {z=z^{2}+{\frac {c^{2}}{z^{2}+c}}+c}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {z = z ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {z ^ {2} + c}} + c}}$ $\ Scriptstyle {z = z ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {z ^ {2} + c}} + c}$
$z=z^{2}+{\frac {c^{2}}{c^{4}+0,1}},$ ${\ Displaystyle z = z ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {c ^ {4} +0,1}},}$ $z = z ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {c ^ {4} +0,1}},$
$\scriptstyle {z=z^{2}+{\frac {c^{2}}{c^{4}-0,25}}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {z = z ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {c ^ {4} -0.25}}}}$ $\ Scriptstyle {z = z ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {c ^ {4} -0.25}}}$
$z=\sinh \left({\frac {z}{c}}\right),$ ${\ Displaystyle z = \ sinh \ stânga ({\ frac {z} {c}} \ dreapta)}$ $z = \ sinh \ stânga ({\ frac {z} {c}} \ dreapta),$
$z_{0}=i$ ${\ Displaystyle z_ {0} = i}$ $z_ {0} = i$
$z=e^{\frac {z^{2}}{c^{5}+c}}$ ${\ Displaystyle z = e ^ {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {5} + c}}}$ $z = e ^ {{{\ frac {z ^ {2}} {c ^ {5} + c}}}}$

Notă

^ (EN) UTET, Enciclopedia Republicii, Torino (Moncalieri), 2003.

Bibliografie

(FR) Benoît B. Mandelbrot , Les objets fractals:. Forme, Hasard et dimensiune, ed 2, Paris , Flammarion , 1986 [1975].
- Benoît B. Mandelbrot, fractal obiecte, Torino , Einaudi , 2000 [1987], ISBN 88-06-15566-0 . cea mai recentă ediție în limba italiană.
(RO) Michael F. Barnsley, Robert L. Devaney, Benoît Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe și Richard F. Voss, Știința imaginilor fractale, Berlin , Springer , 1988, ISBN 0-387-96608-0 .
(RO) Kenneth Falconer, Geometria fractala - Fundațiile matematice și aplicații, New York , John Wiley & Sons , 1990, ISBN 0-471-92287-0 .
(RO) Donald L. Turcotte, Fractalii și haos în Geologie și Geofizică, 2nd ed. , Cambridge , Cambridge University Press , 1997.
Heinz-Otto Peitgen și Peter H. Richter, Frumusetea fractalilor, Torino, Bollati Basic Books , 1987, ISBN 88-339-0420-2 .
Iurii Baryshev și Pekka Teerikorpi, descoperirea fractalilor cosmice, Torino, Bollati Basic Books, 2006, ISBN 88-339-1613-8 .
Dick Oliver și Daniel Hoviss, fractalii: principii, tehnici și aplicații programe, Milano , Jackson Books , 1994, ISBN 88-256-0625-7 .

Elemente conexe

L ' set Julia este , de asemenea , un fractal

28A80 inițialele secțiunii a CSM dedicat fractali.
Arta fractală
Auto similaritate
Benoît Mandelbrot
Nava în flăcări
Cosmologie fractală
Oi electrice Generator fractală
Gaston Julia
Julia set
Mandelbrot
Lista fractalelor după dimensiunea Hausdorff
pulbere Cantor
Secvența numerelor întregi fractale
Fractala lui Newton
Figura Lichtenberg
Heighway Dragon Curve

Alte proiecte

Wikicitat are citate legate de fractal
Wikționar conține dicționarul intrare „ fractal “
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe fractală

linkuri externe

(RO) fractală , din Enciclopedia Britannica , Encyclopaedia Britannica, Inc.
Un site italian dedicat fractali pe miorelli.net. Adus pe 29 ianuarie 2010 .
(RO) Arhiva fractalilor publicate pe USENET , pe usenet-replayer.com. Adus pe 18-12-208 (depusă de către „URL - ul original 15 iunie 2006).
(RO) Galeria Soler: 276 fractali , de soler7.com. Adus de 18 decembrie 2008.
(RO) oi electrice, generator de fractal , pe electricsheep.org. Adus de 18 decembrie 2008.
(EN, FR, ES) Fractali prin Mathcurve, Enciclopediei des formes mathématiques remarquables Pe mathcurve.com. Adus de 18 decembrie 2008.
(EN, FR) generator automat harta fișier la fractali color realizate cu Winfract și Fractint pe saw.altervista.org. Adus de 18 decembrie 2008.
(EN) Software Generator Sterling2 fractală freeware pe soler7.com. Adus de 18 decembrie 2008.
Colectia de fotografii de fractali naturale pe www-1.unipv.it. Adus de 18 decembrie 2008.
Colectia de fractali , de xoomer.virgilio.it. Adus de 06 iunie 2009.
Exemplu fractal: Mandelbox , pe youtube.com.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 7037 · LCCN (RO) sh85051147 · BNF (FR) cb119730272 (data) · NDL (RO, JA) 00576561

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] (EN) UTET, Enciclopedia Republicii, Torino (Moncalieri), 2003.

[1]

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke