Distribuție beta

Distribuție $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$\alpha ,\beta >0\$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta> 0 \}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta> 0 \}$
A sustine	$[0,1]\$ ${\ displaystyle [0,1] \}$ ${\ displaystyle [0,1] \}$
Funcția de densitate	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}}}$
Funcția de distribuție	$I_{x}(\alpha ,\beta )\$ ${\ displaystyle I_ {x} (\ alpha, \ beta) \}$ ${\ displaystyle I_ {x} (\ alpha, \ beta) \}$ ( funcția Beta incompletă regularizată )
Valorea estimata	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}}}$
Modă	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha + \ beta -2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha + \ beta -2}}}$ de sine $\alpha ,\beta >1\$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta> 1 \}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta> 1 \}$ $0\$ ${\ displaystyle 0 \}$ $0 \$ de sine $\alpha <1\$ ${\ displaystyle \ alpha <1 \}$ ${\ displaystyle \ alpha <1 \}$ Și $\beta \geqslant 1$ ${\ displaystyle \ beta \ geqslant 1}$ ${\ displaystyle \ beta \ geqslant 1}$ $1\$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ de sine $\alpha \geqslant 1$ ${\ displaystyle \ alpha \ geqslant 1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ geqslant 1}$ Și $\beta <1\$ ${\ displaystyle \ beta <1 \}$ ${\ displaystyle \ beta <1 \}$
Varianța	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha \ beta} {(\ alpha + \ beta) ^ {2} (\ alpha + \ beta +1)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha \ beta} {(\ alpha + \ beta) ^ {2} (\ alpha + \ beta +1)}}}$
Indicele de asimetrie	$2{\frac {\beta -\alpha }{\alpha +\beta +2}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}$ ${\ displaystyle 2 {\ frac {\ beta - \ alpha} {\ alpha + \ beta +2}} {\ sqrt {\ frac {\ alpha + \ beta +1} {\ alpha \ beta}}}}$ ${\ displaystyle 2 {\ frac {\ beta - \ alpha} {\ alpha + \ beta +2}} {\ sqrt {\ frac {\ alpha + \ beta +1} {\ alpha \ beta}}}}$
Funcție generatoare de momente	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$ ${\ displaystyle 1+ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {r = 0} ^ {k-1} {\ frac {\ alpha + r} {\ alpha + \ beta + r}} \ right) {\ frac {t ^ {k}} {k!}}}$ ${\ displaystyle 1+ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {r = 0} ^ {k-1} {\ frac {\ alpha + r} {\ alpha + \ beta + r}} \ right) {\ frac {t ^ {k}} {k!}}}$
Funcția caracteristică	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$ ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t)}$ ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t)}$
Manual

În teoria probabilității și în statistică distribuția $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ mathrm {B}$ ( Beta ) este o distribuție continuă de probabilitate definită de doi parametri $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ pe intervalul unitar $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ .

Această distribuție găsește o utilizare specială în statisticile bayesiene, deoarece guvernează probabilitatea $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ a unui proces Bernoulli a posteriori de observare a $\alpha -1$ ${\ displaystyle \ alpha -1}$ ${\ displaystyle \ alpha -1}$ „succese” e $\beta -1$ ${\ displaystyle \ beta -1}$ ${\ displaystyle \ beta -1}$ „eșecuri”, când $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este a priori repartizat uniform între și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Definiție

Distribuția beta a parametrilor $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ (ambele pozitive) este definit pe interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ cu funcție de densitate de probabilitate

f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}}}

.

Cu alte cuvinte, funcția densității probabilității este proporțională cu funcția

x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}

{\ displaystyle x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}}

{\ displaystyle x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}}

,

redimensionat de un factor dat de funcția Beta

\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx

{\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1} dx}

{\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1} dx}

;

în acest fel are o probabilitate totală $P(X\in [0,1])=1$ ${\ displaystyle P (X \ in [0,1]) = 1}$ ${\ displaystyle P (X \ in [0,1]) = 1}$ .

Funcția sa de distribuție este funcția Beta incompletă regularizată

F(x)=I_{x}(\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}={\frac {\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{\int _{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}}

{\ displaystyle F (x) = I_ {x} (\ alpha, \ beta) = {\ frac {\ mathrm {B} _ {x} (\ alpha, \ beta)} {\ mathrm {B} (\ alpha , \ beta)}} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {x} t ^ {\ alpha -1} (1-t) ^ {\ beta -1} dt} {\ int _ {0} ^ {1} t ^ {\ alpha -1} (1-t) ^ {\ beta -1} dt}}}

{\ displaystyle F (x) = I_ {x} (\ alpha, \ beta) = {\ frac {\ mathrm {B} _ {x} (\ alpha, \ beta)} {\ mathrm {B} (\ alpha , \ beta)}} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {x} t ^ {\ alpha -1} (1-t) ^ {\ beta -1} dt} {\ int _ {0} ^ {1} t ^ {\ alpha -1} (1-t) ^ {\ beta -1} dt}}}

.

Caracteristici

Momentele simple ale unei variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu distribuția beta a parametrilor $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ Sunt

\mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {\int _{0}^{1}x^{\alpha +k-1}(1-x)^{\beta -1}dx}{\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx}}={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}={\frac {(\alpha )_{k}}{(\alpha +\beta )_{k}}}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = E [X ^ {k}] = {\ frac {\ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ alpha + k-1} (1-x) ^ { \ beta -1} dx} {\ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1} dx}} = {\ frac {\ mathrm {B } (\ alpha + k, \ beta)} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} = {\ frac {(\ alpha) _ {k}} {(\ alpha + \ beta) _ { k}}}}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = E [X ^ {k}] = {\ frac {\ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ alpha + k-1} (1-x) ^ { \ beta -1} dx} {\ int _ {0} ^ {1} x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1} dx}} = {\ frac {\ mathrm {B } (\ alpha + k, \ beta)} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} = {\ frac {(\ alpha) _ {k}} {(\ alpha + \ beta) _ { k}}}}

,

unde este $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ denotă factorialul în creștere cu factorii k , $(x)_{k}=x(x+1)\cdots (x+k-1)$ ${\ displaystyle (x) _ {k} = x (x + 1) \ cdots (x + k-1)}$ ${\ displaystyle (x) _ {k} = x (x + 1) \ cdots (x + k-1)}$ . (Ultima egalitate poate fi dedusă din expresia funcției Beta prin funcția Gamma , $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )/\Gamma (\alpha +\beta )$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) = \ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta) / \ Gamma (\ alpha + \ beta)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) = \ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta) / \ Gamma (\ alpha + \ beta)}$ și din proprietate $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ .)

Momentele simple satisfac apoi relația recursivă

\mu _{k+1}={\frac {\alpha +k}{\alpha +\beta +k}}\mu _{k}

{\ displaystyle \ mu _ {k + 1} = {\ frac {\ alpha + k} {\ alpha + \ beta + k}} \ mu _ {k}}

{\ displaystyle \ mu _ {k + 1} = {\ frac {\ alpha + k} {\ alpha + \ beta + k}} \ mu _ {k}}

.

În plus, distribuția are:

valorea estimata $E[X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ ${\ displaystyle E [X] = {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}}}$ ${\ displaystyle E [X] = {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}}}$ ;
varianță ${\text{Var}}(X)={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {\ alpha \ beta} {(\ alpha + \ beta) ^ {2} (\ alpha + \ beta +1)}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {\ alpha \ beta} {(\ alpha + \ beta) ^ {2} (\ alpha + \ beta +1)}}}$ ;
indicele de asimetrie $\gamma _{1}=2{\frac {\beta -\alpha }{\alpha +\beta +2}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 2 {\ frac {\ beta - \ alpha} {\ alpha + \ beta +2}} {\ sqrt {\ frac {\ alpha + \ beta +1} {\ alpha \ beta}}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 2 {\ frac {\ beta - \ alpha} {\ alpha + \ beta +2}} {\ sqrt {\ frac {\ alpha + \ beta +1} {\ alpha \ beta}}}}$ ;
indicele kurtozei $\gamma _{2}=6{\frac {\alpha ^{3}-2\alpha ^{2}\beta -2\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}+\alpha ^{2}-4\alpha \beta +\beta ^{2}}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = 6 {\ frac {\ alpha ^ {3} -2 \ alpha ^ {2} \ beta -2 \ alpha \ beta ^ {2} + \ beta ^ {3} + \ alpha ^ {2} -4 \ alpha \ beta + \ beta ^ {2}} {\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta +2) (\ alpha + \ beta +3)}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = 6 {\ frac {\ alpha ^ {3} -2 \ alpha ^ {2} \ beta -2 \ alpha \ beta ^ {2} + \ beta ^ {3} + \ alpha ^ {2} -4 \ alpha \ beta + \ beta ^ {2}} {\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta +2) (\ alpha + \ beta +3)}}}$ .

Parametrii $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ poate fi determinat în mod unic din valoarea și varianța așteptate:

\alpha =E[X]\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)

{\ displaystyle \ alpha = E [X] \ left ({\ frac {E [X] (1-E [X])} {{\ text {Var}} (X)}} - 1 \ right)}

{\ displaystyle \ alpha = E [X] \ left ({\ frac {E [X] (1-E [X])} {{\ text {Var}} (X)}} - 1 \ right)}

;

\beta =(1-E[X])\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)

{\ displaystyle \ beta = (1-E [X]) \ left ({\ frac {E [X] (1-E [X])} {{\ text {Var}} (X)}} - 1 \ dreapta)}

{\ displaystyle \ beta = (1-E [X]) \ left ({\ frac {E [X] (1-E [X])} {{\ text {Var}} (X)}} - 1 \ dreapta)}

.

Aceste formule sunt aplicate în metoda momentelor cu media și varianța observate pe un eșantion .

Entropia este

H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\digamma (\alpha )-(\beta -1)\digamma (\beta )+(\alpha +\beta -2)\digamma (\alpha +\beta )

{\ displaystyle H (X) = \ log \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) - (\ alpha -1) \ digamma (\ alpha) - (\ beta -1) \ digamma (\ beta) + { \ alpha + \ beta -2) \ digamma (\ alpha + \ beta)}

{\ displaystyle H (X) = \ log \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) - (\ alpha -1) \ digamma (\ alpha) - (\ beta -1) \ digamma (\ beta) + { \ alpha + \ beta -2) \ digamma (\ alpha + \ beta)}

,

unde este $\digamma$ ${\ displaystyle \ digamma}$ $\ digamma$ este funcția digamă .

Moda distribuției depinde de semnele $\alpha -1$ ${\ displaystyle \ alpha -1}$ ${\ displaystyle \ alpha -1}$ Și $\beta -1$ ${\ displaystyle \ beta -1}$ ${\ displaystyle \ beta -1}$ , și este unic numai dacă cel puțin unul dintre cele două este pozitiv:

de sine

\alpha >1

{\ displaystyle \ alpha> 1}

\ alpha> 1

Și

\beta >1

{\ displaystyle \ beta> 1}

{\ displaystyle \ beta> 1}

atunci moda este

{\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha + \ beta -2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha + \ beta -2}}}

;

de sine

\alpha >1

{\ displaystyle \ alpha> 1}

\ alpha> 1

(sau

\alpha =1

{\ displaystyle \ alpha = 1}

\ alfa = 1

) Și

\beta <1

{\ displaystyle \ beta <1}

{\ displaystyle \ beta <1}

atunci modul este 1;

de sine

\beta >1

{\ displaystyle \ beta> 1}

{\ displaystyle \ beta> 1}

(sau

\beta =1

{\ displaystyle \ beta = 1}

{\ displaystyle \ beta = 1}

) Și

\alpha <1

{\ displaystyle \ alpha <1}

{\ displaystyle \ alpha <1}

atunci moda este 0.

(Funcția densității probabilității are o asimptotă în 0 s $\alpha <1$ ${\ displaystyle \ alpha <1}$ ${\ displaystyle \ alpha <1}$ , în 1 dacă $\beta <1$ ${\ displaystyle \ beta <1}$ ${\ displaystyle \ beta <1}$ .)

Relații cu alte distribuții

O distribuție beta poate fi definită pe orice interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , luând $Y=a+(b-a)X$ ${\ displaystyle Y = a + (ba) X}$ $Y = a + (b-a) X$ .

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Urmează distribuția beta a parametrilor $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ asa de $1-X$ ${\ displaystyle 1-X}$ ${\ displaystyle 1-X}$ Urmează distribuția beta a parametrilor $(\beta ,\alpha )$ ${\ displaystyle (\ beta, \ alpha)}$ ${\ displaystyle (\ beta, \ alpha)}$ .

Distribuția beta a parametrilor $(1,1)$ ${\ displaystyle (1,1)}$ $(1.1)$ corespunde distribuției continue uniforme ${\mathcal {U}}([0,1])$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ([0,1])}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ([0,1])}$ pe intervalul unitar .

Distribuția Dirichlet este o generalizare a distribuției beta și descrie parametrii unei distribuții multinomiale a posteriori a unei observații. Distribuția Dirichlet cu doi parametri este exact distribuția beta.

Pentru $\alpha =\beta ={\tfrac {3}{2}}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = {\ tfrac {3} {2}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = {\ tfrac {3} {2}}}$ densitatea probabilității $f(x)={\sqrt {x(1-x)}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x (1-x)}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x (1-x)}}}$ distribuției beta descrie jumătatea superioară a unei circumferințe : $(2f(x))^{2}+(2x-1)^{2}=1$ ${\ displaystyle (2f (x)) ^ {2} + (2x-1) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle (2f (x)) ^ {2} + (2x-1) ^ {2} = 1}$ , descrie un semicerc. Variabila aleatorie $Y=r(2X-1)$ ${\ displaystyle Y = r (2X-1)}$ ${\ displaystyle Y = r (2X-1)}$ urmează o distribuție Wigner a parametrului r .

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt două variabile aleatoare independente cu distribuții Gamma ale parametrilor respectivi $(\alpha ,\theta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ theta)}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ theta)}$ Și $(\beta ,\theta )$ ${\ displaystyle (\ beta, \ theta)}$ ${\ displaystyle (\ beta, \ theta)}$ , apoi variabila aleatorie ${\tfrac {X}{X+Y}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {X} {X + Y}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {X} {X + Y}}}$ Urmează distribuția beta a parametrilor $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ .

Dacă variabila aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Urmează distribuția beta a parametrilor $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ apoi variabila aleatorie $T={\tfrac {X}{1-X}}$ ${\ displaystyle T = {\ tfrac {X} {1-X}}}$ ${\ displaystyle T = {\ tfrac {X} {1-X}}}$ este descris prin distribuția beta a celui de-al doilea tip , care are o funcție de densitate de probabilitate

f(t)={\frac {x^{\alpha -1}/(1-x)^{\alpha +\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {x ^ {\ alpha -1} / (1-x) ^ {\ alpha + \ beta}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} }

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {x ^ {\ alpha -1} / (1-x) ^ {\ alpha + \ beta}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} }

Distribuția Wilks $\Lambda (p,m,n)$ ${\ displaystyle \ Lambda (p, m, n)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (p, m, n)}$ poate fi interpretat ca distribuția care guvernează produsul $X_{1}\cdots X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1} \ cdots X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1} \ cdots X_ {n}}$ a n variabile aleatorii independente $X_{1},...,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}}$ $X_ {1}, ..., X_ {n}$ cu parametrii respectivi $({\tfrac {m+1-p}{2}},{\tfrac {p}{2}}),...,({\tfrac {m+n-p}{2}},{\tfrac {p}{2}})$ ${\ displaystyle ({\ tfrac {m + 1-p} {2}}, {\ tfrac {p} {2}}), ..., ({\ tfrac {m + np} {2}}, { \ tfrac {p} {2}})}$ ${\ displaystyle ({\ tfrac {m + 1-p} {2}}, {\ tfrac {p} {2}}), ..., ({\ tfrac {m + np} {2}}, { \ tfrac {p} {2}})}$ .

De sine $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este o variabilă aleatorie cu distribuția parametrilor Kumaraswamy $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ asa de $X=Y^{a}$ ${\ displaystyle X = Y ^ {a}}$ ${\ displaystyle X = Y ^ {a}}$ Urmează distribuția beta a parametrilor $(1,b)$ ${\ displaystyle (1, b)}$ ${\ displaystyle (1, b)}$ .

Statistici bayesiene

Distribuția beta și procesul Bernoulli

Dacă X este distribuit ca un vc binomial cu parametrii n și π

f(x|\pi )=Binom(x|n;\pi )

{\ displaystyle f (x | \ pi) = Binom (x | n; \ pi)}

f (x | \ pi) = Binom (x | n; \ pi)

iar parametrul π este distribuit a priori ca vc Beta cu parametrii a și b

g(\pi )=Beta(\pi |a;b)

{\ displaystyle g (\ pi) = Beta (\ pi | a; b)}

g (\ pi) = Beta (\ pi | a; b)

atunci parametrul π este distribuit și a posteriori ca vc Beta, dar cu parametrii a + x și b + nx

g(\pi |x)=Beta(\pi |a+x;b+n-x)

{\ displaystyle g (\ pi | x) = Beta (\ pi | a + x; b + nx)}

g (\ pi | x) = Beta (\ pi | a + x; b + n-x)

Dacă distribuția a priori este o variabilă aleatorie dreptunghiulară în intervalul [0; 1] (adică presupunând a priori toate valorile posibile ale π echiprobabile) și, prin urmare, a = 1 și b = 1 , atunci distribuția a posteriori este a Beta cu parametrii x + 1 și n-x + 1

g(\pi |x)=(n+1){n \choose x}\pi ^{x}(1-\pi )^{n-x}

{\ displaystyle g (\ pi | x) = (n + 1) {n \ alege x} \ pi ^ {x} (1- \ pi) ^ {nx}}

{\ displaystyle g (\ pi | x) = (n + 1) {n \ alege x} \ pi ^ {x} (1- \ pi) ^ {n-x}}

care are p ca valoare modală (și deci ca cea mai probabilă valoare)

p={\frac {x}{n}}

{\ displaystyle p = {\ frac {x} {n}}}

p = {\ frac {x} {n}}

, care corespunde frecvenței observate care este estimarea utilizată în contextul frecventistic

în timp ce valoarea care minimizează deviația pătrată , aceasta este media este

p={\frac {x+1}{n+2}}

{\ displaystyle p = {\ frac {x + 1} {n + 2}}}

p = {\ frac {x + 1} {n + 2}}

, care pentru x <n / 2 este mai mare decât valoarea modală

{\frac {x}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {x} {n}}}

{\ frac {x} {n}}

Într-adevăr, probabilitatea de a obține $\alpha -1$ ${\ displaystyle \ alpha -1}$ ${\ displaystyle \ alpha -1}$ succese și $\beta -1$ ${\ displaystyle \ beta -1}$ ${\ displaystyle \ beta -1}$ eșecurile într-un proces Bernoulli al parametrului p este ${\tbinom {\alpha +\beta -2}{\alpha -1\,,\,\beta -1}}p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}$ ${\ displaystyle {\ tbinom {\ alpha + \ beta -2} {\ alpha -1 \ ,, \, \ beta -1}} p ^ {\ alpha -1} (1-p) ^ {\ beta -1 }}$ ${\ displaystyle {\ tbinom {\ alpha + \ beta -2} {\ alpha -1 \ ,, \, \ beta -1}} p ^ {\ alpha -1} (1-p) ^ {\ beta -1 }}$ , proporțional cu densitatea $f(p)$ ${\ displaystyle f (p)}$ $f (p)$ a distribuției Beta a parametrilor $(\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\ alfa, \ beta)$ .

Prin urmare, dacă variabila aleatorie $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ urmează o distribuție binomială ${\mathcal {B}}(P,\alpha +\beta -2)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, \ alpha + \ beta -2)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, \ alpha + \ beta -2)}$ cu parametrul aleatoriu P distribuit uniform a priori pe intervalul unitar $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , după observație $S=\alpha -1$ ${\ displaystyle S = \ alpha -1}$ ${\ displaystyle S = \ alpha -1}$ parametrul P urmează distribuția $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ .

Mai general, dacă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o variabilă aleatorie cu distribuție binomială ${\mathcal {B}}(P,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, n)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, n)}$ iar parametrul P urmează distribuția a priori $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ , apoi a posteriori al observației $S=s$ ${\ displaystyle S = s}$ ${\ displaystyle S = s}$ parametrul P urmează distribuția $\mathrm {B} (\alpha +s,\beta +n-s)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha + s, \ beta + ns)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha + s, \ beta + n-s)}$ .

Cazul distribuției uniforme a priori este un caz special al acestuia din urmă, fiind $\mathrm {B} (1,1)={\mathcal {U}}(0,1)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (1,1) = {\ mathcal {U}} (0,1)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (1,1) = {\ mathcal {U}} (0,1)}$ .

Priori conjugați și binomul negativ vc

Dacă X este distribuit ca un binom negativ vc cu parametrii m și θ

f(x|\theta )=BinNeg(x|m;\theta )

{\ displaystyle f (x | \ theta) = BinNeg (x | m; \ theta)}

f (x | \ theta) = BinNeg (x | m; \ theta)

iar parametrul θ este distribuit a priori ca vc Beta cu parametrii a și b

g(\theta )=Beta(\theta |a;b)

{\ displaystyle g (\ theta) = Beta (\ theta | a; b)}

g (\ theta) = Beta (\ theta | a; b)

atunci parametrul θ este distribuit și a posteriori ca vc Beta, dar cu parametrii a + m și b + x

g(\theta |x)=Beta(\theta |a+m;b+x)

{\ displaystyle g (\ theta | x) = Beta (\ theta | a + m; b + x)}

g (\ theta | x) = Beta (\ theta | a + m; b + x)

Dacă distribuția a priori este o variabilă aleatorie dreptunghiulară în intervalul [0; 1] (adică presupunând a priori toate valorile posibile ale θ echiprobabile) și, prin urmare, a = 1 și b = 1 , atunci distribuția a posteriori este a Beta cu parametrii m + 1 și x + 1

care are t ca valoare modală (și deci ca cea mai probabilă valoare)

t = m / (m + x)

În mod similar, dacă variabila aleatorie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Urmează distribuția Pascal ${\mathcal {NB}}(P,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (P, n)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (P, n)}$ iar P urmează distribuția a priori $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}$ , apoi a posteriori al observației $T=t$ ${\ displaystyle T = t}$ ${\ displaystyle T = t}$ parametrul P urmează distribuția $\mathrm {B} (\alpha +n,\beta +t)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha + n, \ beta + t)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (\ alpha + n, \ beta + t)}$ .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe distribuția beta

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică