Ecuațiile lui Maxwell

Ecuațiile lui Maxwell (așa-numitele pentru că au fost elaborate de James Clerk Maxwell ) sunt un sistem de ecuații parțiale liniare cuplate (două vectoriale și două scalare , pentru un total de opt ecuații scalare) care, împreună cu forța Lorentz , constituie legile fundamentale care guvernează interacțiunea electromagnetică . ^[1]

Utilizate în fizica clasică , ele exprimă evoluția temporală și constrângerile la care este supus câmpul electromagnetic în raport cu distribuția sarcinii și a curentului electric din care este generat.

Ele grupează și extind legile electromagnetismului, cunoscute până la mijlocul secolului al XIX-lea , inclusiv legea lui Gauss pentru câmpul electric și legea lui Faraday . Această sinteză a fost realizată de Maxwell care, prin adăugarea curentului de deplasare la legea lui Ampère , a făcut ecuațiile care descriu câmpul electric și câmpul magnetic într-un mod clasic sau non- cuantic , simetric. În acest fel devine vizibil că acestea sunt două manifestări ale aceleiași entități, câmpul electromagnetic. Câmpul electromagnetismului care studiază câmpurile electromagnetice neglijând aspectele lor cuantice este electrodinamica clasică .

Cele patru ecuații arată cum câmpurile electrice dinamice, adică variabile în timp, sunt capabile să genereze câmpuri magnetice și invers, unificând astfel, teoretic și într-un mod perfect simetric, electricitatea cu magnetismul , exprimat deja experimental în legea lui Faraday-Neumann-. Lenz . Maxwell însuși a observat că ecuațiile admit soluții de undă , ceea ce a dus la descoperirea undelor electromagnetice și, în special, a fost explicată natura luminii , până acum subiectul diferitelor speculații teoretice. Câmpurile electromagnetice, introduse inițial ca entitate matematică, și-au dobândit propria realitate fizică, deoarece acestea ar putea exista independent de sursele care le-au generat.

fundal

Ecuațiile apar pentru prima dată în formă completă și diferențială în textul O teorie dinamică a câmpului electromagnetic , publicat de James Clerk Maxwell în 1865 , în timp ce cea mai comună notație modernă a fost dezvoltată de Oliver Heaviside .

Formularea ecuațiilor lui Maxwell a definit complet legătura dintre câmpul electric și câmpul magnetic , unificând definitiv electricitatea și magnetismul și oferind în același timp o sinteză teoretică a tuturor fenomenelor experimentale legate de aceste câmpuri. Faraday observase deja o influență magnetică asupra câmpului electric: cu cea mai recentă adăugare a lui Maxwell la ecuații, unde este introdus curentul de deplasare , cele două câmpuri sunt considerate din toate punctele de vedere două manifestări diferite ale unui singur câmp, câmpul electromagnetic . ^[2]

Cu toate acestea, importanța lor nu se încheie la nivel istoric în caracterul lor sintetic: au și un caracter predictiv, care s-a deschis predicției și detectării experimentale ulterioare a existenței undelor electromagnetice , necunoscute anterior, a căror descoperire a fost făcută de Hertz . În Italia, studiile asupra undelor electromagnetice au fost efectuate de Righi printre alții și au condus unul dintre studenții săi, Marconi , la invenția telegrafiei fără fir.

Descrierea relativistă a câmpului a necesitat ulterior introducerea tensorului electromagnetic , a tetripotențialului și utilizarea notației cu patru vectori . În același timp, s-au dezvoltat electrodinamica cuantică și teoria câmpului cuantic , care au dat un sens fizic mai profund conceptului de potențial quad și câmp tensor . ^[3]

Descrieri conceptuale

Legea lui Gauss

Legea lui Gauss descrie relația dintre un câmp electrostatic și încărcăturile electrice care îl determină: câmpul electrostatic arată din sarcinile pozitive și spre sarcinile negative, fluxul câmpului electric prin orice suprafață închisă este proporțional cu sarcina din interiorul suprafeței . Prin descrierea câmpului electric cu liniile sale de câmp, înseamnă că liniile încep pe sarcinile pozitive și se termină pe sarcinile negative. „Numărarea” numărului de linii de câmp care traversează o suprafață închisă dă sarcina totală (inclusiv sarcina datorată polarizării electrice ) închisă de acea suprafață, împărțită la permisivitatea vidului .

Reprezentarea liniilor de forță ale câmpului magnetic

Legea lui Gauss pentru magnetism

Legea lui Gauss aplicată câmpului magnetic afirmă că nu există „sarcini magnetice” (numite și monopoluri magnetice ) analoage sarcinilor electrice. ^[4] În locul lor, câmpul magnetic datorat materialelor este generat de o configurație numită dipol magnetic , iar fluxul câmpului magnetic prin orice suprafață închisă este zero. Deși dipolii magnetici seamănă cu o pereche de sarcini magnetice pozitive și negative (ca în cazul dipolului electric ), acestea sunt cel mai bine reprezentate ca bobine care curg. În termeni tehnici, legea prevede că fluxul magnetic total pe o suprafață gaussiană este zero sau, în mod echivalent, că câmpul de inducție magnetică este un câmp vector solenoidal . Este o greșeală foarte obișnuită să credem că validitatea acestei legi implică existența doar a unor linii de flux magnetic închise pe ele însele (posibil la infinit). Această configurație, deși este suficientă pentru a respecta legea, nu este strict necesară. De fapt, există numeroase exemple de situații în care liniile de curgere ale inducției magnetice nu sunt curbe închise ^[5] .

Legea lui Faraday

Într-o furtună solară , o creștere bruscă a fluxului de particule încărcate alterează câmpul geomagnetic , care induce câmpuri electrice în atmosferă, provocând descărcări în rețelele electrice (nu la scară)

Versiunea Maxwell - Faraday a legii lui Faraday descrie modul în care un câmp magnetic care variază în timp creează („induce”) un câmp electric. ^[4] În formă integrală, se afirmă că lucrarea pe unitate de sarcină necesară pentru a deplasa o sarcină în jurul unei bucle închise este egală cu rata de scădere a fluxului magnetic pe suprafața închisă.

Inducția electromagnetică este principiul din spatele multor generatoare electrice : de exemplu, un magnet rotativ creează un câmp magnetic variabil, care la rândul său generează un câmp electric într-un fir din apropiere.

Legea lui Ampère-Maxwell

Memoria magnetică de bază este o aplicație a legii lui Ampère . Fiecare nucleu stochează un bit de date.

Legea lui Ampère cu adăugarea lui Maxwell afirmă că câmpurile magnetice pot fi generate în două moduri: prin curenți electrici (așa cum se spune în legea originală a lui Ampère) și prin câmpuri electrice variabile (aceasta este adăugarea lui Maxwell, numită de curentul de deplasare el). În formă integrală, câmpul magnetic indus în jurul oricărui circuit închis este proporțional cu curentul electric plus curentul de deplasare (proporțional cu rata de schimbare a fluxului) pe suprafața închisă.

Adăugarea lui Maxwell este deosebit de importantă: face ca sistemul de ecuații să fie consistent matematic pentru câmpurile nestatice, fără a modifica legile lui Ampère și Gauss pentru câmpurile statice. ^[6] Cu toate acestea, ca o consecință, prezice că un câmp magnetic variabil induce un câmp electric și invers. ^[4] ^[7] Prin urmare, aceste ecuații permit undelor electromagnetice să circule în spațiul gol.

Viteza calculată pentru undele electromagnetice, care ar putea fi prezisă din experimentele privind sarcinile și curenții, ^{[Nota 1]} este exact egală cu viteza luminii ; de fapt, lumina este o formă de radiație electromagnetică (cum ar fi razele X , undele radio și alte unde). Maxwell a înțeles legătura dintre undele electromagnetice și lumină în 1861, unificând astfel teoriile electromagnetismului și opticii .

Descriere

Ecuațiile lui Maxwell descriu modul în care câmpul electric și câmpul magnetic interacționează între ele și cu obiectele care au sarcină electrică . Combinat cu a doua lege a mișcării lui Newton și forța Lorentz : ^[8]

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}

\ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})

unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este o sarcină electrică asemănătoare unui punct în mișcare cu viteză instantanee $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ în prezența unui câmp electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ și un câmp magnetic $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ , Ecuațiile lui Maxwell caracterizează complet fenomenele electromagnetice clasice, guvernând evoluția dinamică a câmpurilor și geneza acestuia pornind de la distribuții arbitrare de sarcină.

De obicei ecuațiile sunt exprimate în formă locală, folosind densitatea de încărcare și densitatea de curent pentru descrierea surselor de câmp. Prin divergența și rotorul operatorilor diferențiali , propagarea câmpului este arătată în funcție de spațiu $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ si timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

În formalismul lui Heaviside și Lorentz, ecuațiile Maxwell sunt scrise ca un sistem de patru ecuații, dintre care două sunt vectoriale și două sunt scalare: prin urmare, prezintă opt constrângeri, iar necunoscutele care apar în ele sunt patru funcții vectoriale $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ , $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ Și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ , unde este $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ Și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ sunt respectiv câmpurile electrice și magnetice atunci când se propagă în materiale. Acestea sunt douăsprezece funcții scalare ale poziției și timpului reprezentând respectiv câmpul electric în vid, câmpul electric în materiale, câmpul magnetic în vid și câmpul magnetic în materiale.

Următoarele două ecuații omogene se mențin atât în vid, cât și în mijloace materiale:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

\ nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0

Ele reprezintă sub formă diferențială, valabilă la nivel local, legea inducției electromagnetice a lui Faraday-Neumann-Lenz și legea fluxului câmpului magnetic al lui Gauss (care descrie inexistența sarcinilor magnetice izolate sau a monopolurilor magnetice ) .

Următoarele două ecuații descriu modul în care materia interacționează cu câmpurile electrice și magnetice, devenind polarizate:

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho \qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t} } \}

\ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf J + \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t} \

unde densitatea curentului, sursa câmpului, $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$ $\ mathbf J = \ rho \ mathbf v$ este dată de densitatea sarcinii $\mathbf {\rho }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ rho}}$ deplasându-se cu viteza de deriva $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ . Al doilea dintre acestea se numește legea lui Ampère-Maxwell și încorporează afirmația ecuației de continuitate care impune conservarea sarcinilor unui curent electric:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ mathbf J = 0

obținută prin aplicarea operatorului de divergență la legea lui Ampère-Maxwell.

Ecuațiile lui Maxwell în mediile materiale nu sunt o problemă bine pusă în sens strict, deoarece numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute și, în plus, nu toate cele opt ecuații sunt independente, în virtutea proprietăților generale ale câmpurilor vectoriale fizice.

Prin urmare, există două constrângeri scalare care reduc numărul de ecuații independente la șase: prin urmare, este vorba de scăderea numărului de necunoscute prin introducerea altor relații, numite ecuații constitutive ale mijloacelor materiale împreună cu luarea în considerare a forței Lorentz asupra sarcinilor electrice.

Relațiile constitutive sunt de forma:

\mathbf {D} =\mathbf {D(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )} \qquad \mathbf {H} =\mathbf {H(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ mathbf {D (\ mathbf {E}, \ mathbf {B})} \ qquad \ mathbf {H} = \ mathbf {H (\ mathbf {E}, \ mathbf {B })}}

\ mathbf {D} = \ mathbf {D (\ mathbf {E}, \ mathbf {B})} \ qquad \ mathbf {H} = \ mathbf {H (\ mathbf {E}, \ mathbf {B})}

deoarece trebuie să exprime modul în care reacționează materia, polarizându-se în raport cu acțiunea câmpurilor asupra ei $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ . Dacă funcționează $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ Și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ sunt obișnuite, apoi pot fi considerate ca fiind dezvoltate în seria Taylor în variabile $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , iar dacă acestea din urmă sunt suficient de slabe, se poate presupune, de asemenea, că materia răspunde într-o manieră liniară, adică direct proporțională cu câmpurile. Cu alte cuvinte, ne putem gândi să oprim dezvoltarea analitică la prima ordine diferențială și să scriem:

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} \qquad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu }}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu}}}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu}}}

Ecuațiile

În sistemul internațional de unități , expresia ecuațiilor lui Maxwell este după cum urmează: ^[1] ^[9] ^[10]

	În gol		În materiale
Nume	Formă locală	Formă globală	Formă locală	Formă globală
Legea lui Gauss electrică	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$	$\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\mathop {\mathrm {d} V}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}} } \ mathop {\ mathrm {d} V}}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}} } \ mathop {\ mathrm {d} V}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}$	$\oint _{\partial V}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\rho _{f}\mathop {\mathrm {d} V}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} \ rho _ {f} \ mathop {\ mathrm {d} V }}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} \ rho _ {f} \ mathop {\ mathrm {d} V }}$
Legea lui Gauss magnetic	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$
Legea lui Faraday	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$ $\ nabla \ times {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ partial {\ mathbf {B}}} {\ partial t}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$ $\ nabla \ times {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ partial {\ mathbf {B}}} {\ partial t}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$
Legea lui Ampère-Maxwell	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} { \ partial t}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} { \ partial t}}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ int _ {S} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ int _ {S} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _ {f} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _ {f} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} _{f}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {H} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int _ {S} \ mathbf {J} _ {f} \ cdot \ mathrm {d } \ mathbf {S} + {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {H} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int _ {S} \ mathbf {J} _ {f} \ cdot \ mathrm {d } \ mathbf {S} + {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$

cu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o suprafață, $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ conturul acesteia (curba definită luând în considerare o secțiune a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ), $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un volum e $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ suprafața care o delimitează. Integralele de pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ definiți fluxul mărimilor integrate, linia integrată pe $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ definește un circuit în timp ce integralul este pornit $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este o integrală de volum.

Vectorul $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ este câmpul electric în vid, $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}$ $\ mathbf D = \ varepsilon_0 \ mathbf E + \ mathbf P$ este câmpul electric din materiale, numit și inducție electrică și care ține cont de polarizarea electrică $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ mathbf P$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ în plus, este câmpul magnetic perceput într-un punct, numit și inducție magnetică $\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ mathbf {B} / \ mu _ {0} - \ mathbf {M}}$ $\ mathbf H = \ mathbf B / \ mu_0 - \ mathbf M$ este un câmp magnetic introdus în materiale (numit și „câmp magnetizant”), care ține cont de polarizarea magnetică $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ , Și $\rho _{f}$ ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$ $\ rho _ {f}$ este densitatea sarcinii electrice libere, adică densitatea sarcinii care nu este limitată într-un dielectric. Produsul $\mathbf {J} _{f}=\rho _{f}\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = \ rho _ {f} \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = \ rho _ {f} \ mathbf {v}}$ din acesta din urmă cu viteza de deriva este vectorul densității curentului electric liber. Tensorii $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ sunt respectiv permitivitatea electrică și permeabilitatea magnetică , care în vid sunt numere și sunt legate de relația:

{1 \over c^{2}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}

{\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} = \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}

{\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} = \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii .

Relațiile dintre câmpuri sunt:

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\mathbf {E} \qquad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu }}={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}\mu _{r}}}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r} \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B }} {\ mu}} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu _ {0} \ mu _ {r}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r} \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B }} {\ mu}} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu _ {0} \ mu _ {r}}}}

unde este $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $\ varepsilon_r$ Și $\mu _{r}$ ${\ displaystyle \ mu _ {r}}$ $\ mu_r$ sunt numite constante dielectrice relative și permeabilitate magnetică relativă și sunt caracteristici ale mediului. În general, acestea depind de direcția în mediu și de frecvența câmpurilor (aceasta din urmă influențează în special permitivitatea electrică).

În cel mai simplu caz de mediu liniar, staționar, omogen, nedispersiv și izotrop, permitivitatea electrică și permeabilitatea magnetică sunt reduse la constante (tensori cu toate elementele egale). În acest caz, vectorii de polarizare și magnetizare sunt direct proporționali, în fiecare direcție, respectiv câmpurilor electrice și magnetice, iar gradele de libertate ale ecuațiilor sunt înjumătățite. Le poți aduce și $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ din integrale și derivate.

Trebuie remarcat faptul că cantitățile „fundamentale” sunt $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ , in timp ce $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf H$ acestea trebuie considerate ca instrumente pentru a nu lua în considerare ceea ce se întâmplă în interiorul materialului.

În spațiul liber (adică în lipsa surselor de sarcină și curent) ecuațiile sunt scrise: ^[8]

{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {E} & = - {\ dfrac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {E} & = - {\ dfrac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ end {cases}}}

Derivare

Ecuațiile lui Maxwell, care guvernează fenomenele de propagare ale câmpului electromagnetic , pot fi exprimate atât sub formă locală (diferențială), cât și globală (integrală). Această relație este descrisă mai jos. Ecuații în formă locală sunt liniare diferențiale ecuații în patru variabile, în timp ce în formă globală acestea sunt ecuații integrale : să le raportăm că , prin urmare , este necesar să se aplice teorema lui Stokes în ei bidimensional și trei- dimensionale forme. În cazul particular al câmpurilor care variază într-o manieră sinusoidală de-a lungul timpului, ecuațiile Maxwell pot fi scrise în domeniul frecvenței utilizând transformata Fourier în fiecare membru și obținând o simplificare în tratament și în utilizarea lor specifică.

Principalele instrumente matematice care permit derivarea legăturii dintre forma locală și forma globală sunt două:

Teorema divergenței în cazul tridimensional, care afectează forma legii lui Gauss pentru ambele câmpuri. Teorema afirmă că fluxul unui câmp printr-o suprafață închisă este egal cu integralul pe un volum al cărui limită (unică în spațiul tridimensional) este divergența câmpului în sine:

\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathop {\mathrm {d} V} =\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

{\ displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ mathop {\ mathrm {d} V} = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

{\ displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ mathop {\ mathrm {d} V} = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

Teorema rotorului în cazul bidimensional, care afectează forma legii Faraday-Neumann-Lenz și a legii Ampère-Maxwell . Teorema afirmă că circulația unui câmp este egală cu integrala pe o suprafață pe care o cuprinde (multiplă în spațiu tridimensional) a rotorului câmpului însuși:

\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}

{\ displaystyle \ int _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ int _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}

Ecuațiile lui Maxwell descriu pe scurt toate proprietățile câmpului electromagnetic, iar pentru a obține forma sa integrală din forma locală corespunzătoare este necesar să se aplice teorema lui Green sau teorema divergenței . În cazul particular al câmpurilor care variază într-o manieră sinusoidală în timp, ecuațiile lui Maxwell pot fi scrise în domeniul frecvenței (domeniul fazor ) prin aplicarea transformatei Fourier fiecărui membru și obținerea unei simplificări în tratament și în utilizarea lor specifică.

Teorema fluxului afirmă că fluxul câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu suma sarcinilor conținute în volumul închis de suprafață împărțit la permitivitatea electrică :

\Phi _{(\mathbf {E} ),\partial V}=\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {q}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}\int _{V}\rho \mathop {\mathrm {d} V}

{\ displaystyle \ Phi _ {(\ mathbf {E}), \ partial V} = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = {\ frac { q} {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {V} \ rho \ mathop {\ mathrm {d} V}}

{\ displaystyle \ Phi _ {(\ mathbf {E}), \ partial V} = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = {\ frac { q} {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {V} \ rho \ mathop {\ mathrm {d} V}}

Din teorema divergenței avem, într-un material cu permitivitate electrică uniformă:

\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =\int _{V}\!\nabla \cdot \mathbf {E} \,\operatorname {d} \!V=\int _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon }}\operatorname {d} \!V

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {S} = \ int _ {V} \! \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ operatorname {d} \! V = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}} \ operatorname {d} \! V}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {S} = \ int _ {V} \! \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ operatorname {d} \! V = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}} \ operatorname {d} \! V}

iar prin echivalarea integranzilor din ultima relație obținem forma locală a teoremei fluxului pentru câmpul electric. ^[11]

Legea Faraday-Neumann-Lenz afirmă că variația în timp a fluxului câmpului magnetic legat de un circuit generează o forță electromotivă în circuitul în sine, care se opune variației fluxului: ^[12]

\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {r} =-{\operatorname {d}  \over \operatorname {d} t}\int _{S}\mathbf {B} \operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = - {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} t} \ int _ {S } \ mathbf {B} \ operatorname {d} \ mathbf {S} = - \ int _ {S} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ operatorname {d} \ mathbf { S}}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = - {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} t} \ int _ {S } \ mathbf {B} \ operatorname {d} \ mathbf {S} = - \ int _ {S} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ operatorname {d} \ mathbf { S}}

Unde se presupune că suprafața prin care vrem să calculăm fluxul nu se mișcă în timp, aplicând operatorul diferențial doar vectorului câmpului magnetic.

Aplicarea teoremei lui Kelvin primului membru:

\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {r} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {S}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d } \ mathbf {S}}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d } \ mathbf {S}}

e quindi:

\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \,\operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \,\operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \,\operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

Uguagliando gli integrandi segue la relazione locale.

L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario, qui espresso nella velocità di deriva :

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {J}

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {J}

\nabla \times \mathbf B = \mu \mathbf J

Tale relazione vale solamente nel caso stazionario, dal momento che la divergenza della densità di corrente deve essere nulla (poiché è nullo

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )

\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf B)

): nel caso non stazionario si contraddirebbe infatti l' equazione di continuità per la corrente elettrica . ^[13] Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

\nabla \cdot \mathbf J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)

ottenendo al secondo membro un vettore la cui divergenza si annulla nel caso stazionario, e che può essere così inserito nella legge di Ampère. Il secondo termine è detto densità di corrente di spostamento , esprimibile come prodotto di un tensore densità di spostamento per la velocità:

\rho _{Dij}={\frac {\varepsilon _{i}}{u_{j}}}{\frac {\partial \mathbf {E_{i}} }{\partial t}}

\rho _{Dij}={\frac {\varepsilon _{i}}{u_{j}}}{\frac {\partial \mathbf {E_{i}} }{\partial t}}

\rho_{D ij}= \frac {\varepsilon_i}{u_j} \frac{\partial \mathbf {E_i}}{\partial t}

e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario. ^[14] Inserendo la densità di carica generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère: ^[15] ^[16]

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {u} \left(\rho +\rho _{D}\right)

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {u} \left(\rho +\rho _{D}\right)

\nabla \times \mathbf B = \mu \mathbf u \left(\rho + \rho_D \right)

si ottiene la relazione locale. ^[17] Tale equazione è perfettamente simmetrica rispetto alla precedente equazione, e le due relazioni rappresentano complessivamente il nucleo delle equazioni di Maxwell in quanto da esse è ricavabile l' equazione delle onde , mostrando quindi che il campo elettromagnetico si propaga sotto forma di onde elettromagnetiche .

Il teorema del flusso per il campo magnetico afferma infine che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo. Matematicamente la relazione si ricava applicando l'operatore divergenza a entrambi i membri della legge di Biot-Savart .

Soluzioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziale vettore e Potenziale scalare .

L'equazione di Maxwell che stabilisce che la divergenza di $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ è nulla permette di riscrivere il campo magnetico derivandolo da una funzione potenziale, ossia come il rotore di un campo vettoriale $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ detto potenziale vettore : ^[18]

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Tale relazione è valida ponendo di trovarsi in un dominio semplicemente connesso . Si può allora riscrivere la legge dell'induzione elettromagnetica di Faraday Neumann:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {A}

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {A}

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come:

\nabla \times (\mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} )=0

\nabla \times (\mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} )=0

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il termine tra parentesi è irrotazionale, esso può essere scritto come il gradiente di una funzione scalare, il potenziale scalare $\phi$ $\phi$ $\phi$ : ^[19]

\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi

\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue:

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

I campi $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf E$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ soluzioni delle equazioni di Maxwell si possono dunque esprimere mediante i potenziali: ^[20]

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A}

\mathbf B = \nabla\times\mathbf A \qquad \mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A

Le equazioni di evoluzione dei potenziali si ottengono semplicemente sostituendo i campi $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf E$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ nelle altre due equazioni, ossia nelle equazioni non omogenee che rappresentano la legge del flusso del campo elettrico e la legge di Ampère.

Nel caso i campi si propaghino in un mezzo diverso dal vuoto le quattro equazioni scalari non omogenee possono essere risolte solo conoscendo le relazioni costitutive tra i campi nel vuoto e nella materia, che non sono sempre lineari e dipendono fortemente dalle caratteristiche del materiale. ^[21] Tutte le informazioni sul campo elettromagnetico possono quindi essere date attraverso l'espressione dei potenziali generalizzati, che sono definiti con quattro equazioni scalari, di cui tre per il potenziale vettore e una per il potenziale scalare.

Equazioni per i potenziali

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziali ritardati .

Le equazioni di Maxwell possono essere espresse in termini dei potenziali del campo elettromagnetico . Tale formulazione introduce tuttavia una certa arbitrarietà nella forma dell'espressione dei potenziali: i campi rimangono infatti invariati se i potenziali subiscono una certa gamma di trasformazioni, dette trasformazioni di gauge . Per ottenere una formulazione relativistica, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz , si utilizza il gauge di Lorenz .

Per ricavare le quattro equazioni scalari che definiscono i potenziali generalizzati si procede come segue:

L'equazione del flusso del campo elettrico può essere riscritta come:

\nabla \cdot \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\nabla \cdot \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\nabla \cdot \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial {\mathbf A}}{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon }}

ovvero:

\quad -\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad -\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho}{\varepsilon}

L'equazione di Maxwell che esprime la legge di Ampère in forma generalizzata, invece, si trasforma nel seguente modo:

c^{2}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)

c^{2}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)

c^{2}\nabla \times (\nabla \times {\mathbf A})={\frac {{\mathbf J}}{\varepsilon }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \phi -{\frac {\partial {\mathbf A}}{\partial t}}\right)

ossia, usando l'identità vettoriale

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {C} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {C} )-\nabla ^{2}\mathbf {C}

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {C} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {C} )-\nabla ^{2}\mathbf {C}

\nabla \times ( \nabla \times \mathbf C) = \nabla ( \nabla \cdot \mathbf C) - \nabla^2 \mathbf C

si ha:

\quad -c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {A} +c^{2}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )+{\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}

\quad -c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {A} +c^{2}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )+{\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}

\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\varepsilon}

Tali equazioni sono anche dette equazioni elettrodinamiche , e descrivono la propagazione dei due potenziali. ^[22] Possono tuttavia essere convenientemente trasformate in equazioni disaccoppiate (cioè scritte separatamente per il potenziale scalare e per il potenziale vettore) grazie al margine di arbitrarietà contenuto nella definizione dei potenziali. Infatti, sfruttando il fatto che il rotore di un gradiente è nullo ed eseguendo la seguente trasformazione di gauge:

{\begin{cases}\mathbf {A} \mapsto \mathbf {A} +\nabla \Psi \\\phi \mapsto \phi -{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\\\end{cases}}

{\begin{cases}\mathbf {A} \mapsto \mathbf {A} +\nabla \Psi \\\phi \mapsto \phi -{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\\\end{cases}}

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove $\Psi$ $\Psi$ $\Psi$ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, le equazioni di evoluzione dei potenziali non variano. I nuovi potenziali soddisfano le medesime equazioni dei vecchi potenziali, e in questo modo anche le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. ^[23]

Sfruttando dunque l'invarianza di gauge è possibile scegliere $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ in modo che soddisfi opportune condizioni. Di particolare importanza è la condizione di Lorenz , la quale è ottenuta scegliendo $\Psi$ $\Psi$ $\Psi$ in modo tale che:

\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz, ^[24] che nel caso stazionario (cioè quando $\phi$ $\phi$ $\phi$ non dipende dal tempo) si riduce al gauge di Coulomb , anche detto "gauge trasversale". ^[25]

Se la condizione di Lorenz è soddisfatta le equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate diventano due equazioni disaccoppiate, corrispondenti a quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite: ^[26] ^[27]

\quad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\varepsilon}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu \mathbf {J}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu \mathbf {J}

\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu \mathbf J

In componenti scalari, le equazioni dei potenziali si scrivono esplicitamente come:

{\begin{cases}\nabla ^{2}\phi -\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\displaystyle {\frac {\rho }{\varepsilon }}\\\nabla ^{2}A_{x}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{x}\\\nabla ^{2}A_{y}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{y}\\\nabla ^{2}A_{z}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{z}\\\end{cases}}

{\begin{cases}\nabla ^{2}\phi -\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\displaystyle {\frac {\rho }{\varepsilon }}\\\nabla ^{2}A_{x}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{x}\\\nabla ^{2}A_{y}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{y}\\\nabla ^{2}A_{z}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{z}\\\end{cases}}

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\varepsilon}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu \rho v_x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu \rho v_y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu \rho v_z\\ \end{cases}

Si dimostra inoltre che, dato un particolare problema elettromagnetico perfettamente definito nelle sue condizioni iniziali e condizioni al contorno , la soluzione delle equazioni di Maxwell è unica. Più precisamente, la soluzione delle equazioni d'onda sono i potenziali ritardati, che nel gauge di Lorenz assumono la forma: ^[28]

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } \operatorname d^3 x_0

dove $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ $|\mathbf x - \mathbf x_0|$ è la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume $d^{3}x_{0}$ $d^{3}x_{0}$ $d^3 x_0$ su cui si effettua l'integrazione, e:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c}

è il tempo ritardato.

Equazioni di Jefimenko

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Jefimenko .

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico e il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica $\rho$ $\rho$ $\rho$ e velocità $\mathbf {v}$ $\mathbf {v}$ $\mathbf{v}$ dipendente dal tempo, e si possono derivare a partire dai potenziali ritardati $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ e $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ . ^[29] I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

Utilizzando la relazione:

c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}

c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}

c^2 = \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}

si ottengono le equazioni di Jefimenko rimpiazzando $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ ed $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ con i campi $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf{E}$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{B}$ : ^[30]

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \left[ \left(\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t}\right)(\mathbf{r}-\mathbf{r}') - \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| c^2}\frac{\partial \mathbf{\mathbf J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

{\mathbf {B}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',t_{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}+{\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{2}c}}{\frac {\partial {\mathbf {{\mathbf J}}}({\mathbf {r}}',t_{r})}{\partial t}}\right]\times ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'){\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}'

dove $\mathbf {r} '$ $\mathbf {r} '$ $\mathbf{r}'$ è un punto all'interno della distribuzione di carica , $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{r}$ è un punto nello spazio e:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

t_r = t - \frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{D}$ e $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ hanno la stessa forma. ^[31]

Forma tensoriale relativistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore elettromagnetico .

I potenziali $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ possono essere visti come le componenti di un quadrivettore . Se si forma un quadrivettore $J^{\mu }$ $J^{\mu }$ $J^\mu$ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell si ottiene:

J^{\mu }=(\rho c,\mathbf {J} )=\rho (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}\gamma (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}u^{\mu }

J^{\mu }=(\rho c,\mathbf {J} )=\rho (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}\gamma (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}u^{\mu }

J^{\mu} = (\rho c, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf u) = \rho_0 \gamma(c,\mathbf u) = \rho_0 u^{\mu}

dove $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e $u^{\mu }$ $u^{\mu }$ $u^{\mu}$ rappresenta la quadrivelocità .

Il quadripotenziale è definito come:

A^{\mu }=\left({\frac {V}{c}},\mathbf {A} \right)

A^{\mu }=\left({\frac {V}{c}},\mathbf {A} \right)

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Considerando la definizione di divergenza nello spaziotempo di Minkowski si ha, per quanto visto precedentemente:

\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

Questo fornisce la relazione:

{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

La precedente è la condizione di Lorenz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l' operazione di gauge introdotta in precedenza stabilisce l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ . Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se si considera l' operatore di d'Alembert :

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma:

\Box A^{\mu }=\mu _{0}\rho _{0}u^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }

\Box A^{\mu }=\mu _{0}\rho _{0}u^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }

\Box A^{\mu }=\mu _{0}\rho _{0}u^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf E$ e da uno assiale $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ . Se si pone $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ $F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$ si ottiene il tensore elettromagnetico (sistema internazionale):

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell' elettrodinamica classica .

Forma lagrangiana

La formulazione lagrangiana considera le equazioni in modo trasversale rispetto a quella euleriana. Nello specifico, se si accoppiano le leggi di Gauss generale per l'induzione elettrica e di Ampère-Maxwell a una definizione del campo magnetico, e quelle di Gauss per l'induzione magnetica e di Faraday a una definizione del campo elettrico, si ottiene:

Nome	Forma locale	Forma globale
Legge di Gauss	$\nabla \cdot \mathbf {D} -\rho =0$ $\nabla \cdot \mathbf {D} -\rho =0$ $\nabla \cdot \mathbf{D} - \rho = 0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
Legge di Ampère-Maxwell , Legge di Faraday	${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +\rho \langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}$ ${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +\rho \langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}$ $\frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} - \nabla \times \mathbf{H} + \rho \langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0$	${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}$ ${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}$ $\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \nabla \times \mathbf{E}= \mathbf 0$
Definizione del campo coniugato	$\mathbf {H} +\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ $\mathbf {H} +\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ $\mathbf {H} + \langle \mathbf v \rangle \times \mathbf {D}= \mathbf 0$	$\nabla \times \mathbf {E} -(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times \mathbf {E} -(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times \mathbf {E} - (\nabla \cdot \langle \mathbf v \rangle)\mathbf {B}= \mathbf 0$

Dalle prime due righe di equazioni rispettivamente segue che:

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

\frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} - \nabla \times \mathbf {H} + (\nabla \cdot \mathbf {D})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + \nabla \times \mathbf {E} + (\nabla \cdot \mathbf {B})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0

e imponendo la terza riga di equazioni:

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times (\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} )+(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times (\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} )+(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

\frac{\partial \mathbf {D}} {\partial t} + \nabla \times (\langle \mathbf v \rangle \times \mathbf {D}) + (\nabla \cdot \mathbf {D})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + (\nabla \cdot \langle \mathbf v \rangle)\mathbf {B} + (\nabla \cdot \mathbf {B})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0

quindi sfruttando nella prima la proprietà del doppio prodotto vettoriale e nella seconda la regola di Leibniz otteniamo le leggi di Gauss coniugate, ciascuna un' equazione di conservazione per l'induzione:

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {0}

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {0}

\frac{\partial \mathbf {D}} {\partial t} + (\langle \mathbf v \rangle \cdot \nabla) \mathbf {D} = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + (\langle \mathbf v \rangle \cdot \nabla) \mathbf {B} = \mathbf 0

esprimibile nella derivata lagrangiana :

{\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0} \qquad {\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}

{\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0} \qquad {\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}

\frac{D\mathbf {D}}{Dt} = \mathbf 0 \qquad \frac{D\mathbf {B}} {Dt} = \mathbf 0

infine riconsiderando la definizione del campo coniugato otteniamo le equazioni rispettivamente di Ampère-Maxwell coniugata e di Faraday coniugata, che stabiliscono un bilancio non conservativo per i campi:

{\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad \nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}

{\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad \nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}

\frac{D\mathbf {H}}{Dt} - \frac{D\langle \mathbf v \rangle}{Dt} \times \mathbf {D}= \mathbf 0 \qquad \nabla \times \frac{D\mathbf {E}}{Dt} - (\nabla \cdot \frac{D\langle \mathbf v \rangle} {Dt}) \mathbf {B}= \mathbf 0

In sintesi:

Nome	Forma locale
Legge di Gauss elettrica coniugata	${\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0}$ ${\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0}$ $\frac{D\mathbf {D}}{Dt} = \mathbf 0$
Legge di Faraday coniugata	$\nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times \frac{D\mathbf {E}}{Dt} - (\nabla \cdot \frac{D\langle \mathbf v \rangle} {Dt}) \mathbf {B}= \mathbf 0$
Legge di Gauss magnetica coniugata	${\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}$ ${\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}$ $\frac{D\mathbf {B}}{Dt} = \mathbf 0$
Legge di Ampère-Maxwell coniugata	${\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ ${\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ $\frac{D\mathbf {H}}{Dt} - \frac{D\langle \mathbf v \rangle}{Dt} \times \mathbf {D}= \mathbf 0$

Teorema di dualità

Al secondo membro della terza equazione può essere introdotto un termine di sorgente di densità di corrente magnetica $\mathbf {J} _{H}$ $\mathbf {J} _{H}$ $\mathbf J_H$ in modo da simmetrizzarla con la quarta equazione, e nella seconda equazione un termine di sorgente di densità di carica magnetica $\rho _{H}$ $\rho _{H}$ $\rho_H$ in modo da simmetrizzarla con la prima. Sebbene non siano state sinora osservate sperimentalmente cariche e/o correnti magnetiche, l'utilità di tale modifica consiste infatti nella possibilità di modellare, attraverso le grandezze fittizie, grandezze reali (ad esempio comprendendo come mai una spira percorsa da corrente possa essere una rappresentazione fisica di un dipolo magnetico ). Le equazioni "simmetrizzate" sono:

Nome	Senza monopoli magnetici	Con monopoli magnetici
Legge di Gauss per il campo elettrico:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_E$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_E$
Legge di Gauss per il campo magnetico:	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{H}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{H}$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = \rho_H$
Legge di Faraday per l'induzione:	$\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$ $\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$ $\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = 0$	$\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {J} _{H}$ $\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {J} _{H}$ $\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = - \mathbf J_H$
Legge di Ampere-Maxwell :	$\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf J_E$	$\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf J_E$

Anche la forza di Lorentz diviene simmetrica:

\mathbf {F} =q_{E}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+q_{H}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

\mathbf {F} =q_{E}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+q_{H}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

\mathbf {F} =q_{E}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+q_{H}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

Questo permette di enunciare il cosiddetto teorema di dualità elettromagnetica , per il quale a partire dall'espressione di una grandezza elettrica o magnetica è possibile ottenere l'espressione dell'altra corrispondente. Le sostituzioni da operare sono le seguenti:

{\begin{matrix}\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {H} &\quad \mathbf {D} \rightarrow \mathbf {B} &\quad \mathbf {J} _{E}\rightarrow \mathbf {J} _{H}&\quad \rho _{E}\rightarrow \rho _{H}\\\mathbf {H} \rightarrow -\mathbf {E} &\quad \mathbf {B} \rightarrow -\mathbf {D} &\quad \mathbf {J} _{H}\rightarrow -\mathbf {J} _{E}&\quad \rho _{H}\rightarrow -\rho _{E}\\\qquad &\quad \varepsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \varepsilon &\qquad \end{matrix}}

{\begin{matrix}\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {H} &\quad \mathbf {D} \rightarrow \mathbf {B} &\quad \mathbf {J} _{E}\rightarrow \mathbf {J} _{H}&\quad \rho _{E}\rightarrow \rho _{H}\\\mathbf {H} \rightarrow -\mathbf {E} &\quad \mathbf {B} \rightarrow -\mathbf {D} &\quad \mathbf {J} _{H}\rightarrow -\mathbf {J} _{E}&\quad \rho _{H}\rightarrow -\rho _{E}\\\qquad &\quad \varepsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \varepsilon &\qquad \end{matrix}}

\begin{matrix} \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{H} &\quad \mathbf{D} \rightarrow \mathbf{B} &\quad \mathbf J_E \rightarrow \mathbf J_H &\quad \rho_E \rightarrow \rho_H \\ \mathbf{H} \rightarrow -\mathbf{E} &\quad \mathbf{B} \rightarrow -\mathbf{D} &\quad \mathbf J_H \rightarrow -\mathbf J_E &\quad \rho_H \rightarrow -\rho_E \\ \qquad &\quad \varepsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \varepsilon & \qquad \end{matrix}

Note

^ ^a ^b Jackson , pag. 2 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 351 .
^ Feynman , vol. 2, cap. XXV .
^ ^a ^b ^c John Jackson, Maxwell's equations , su Science Video Glossary , Berkeley Lab.
^ Luca Zilberti, The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines , in IEEE Magnetics Letters , vol. 8, 2017, pp. 1–5, DOI : 10.1109/LMAG.2017.2698038 . URL consultato il 1º febbraio 2021 .
^ Jackson , sezione 6.3 .
^ Principles of physics: a calculus-based text , by RA Serway, JW Jewett, page 809.
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , pag. 456 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 458 .
^ Griffiths , Appendice .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 28 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 353 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 396 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 397 .
^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .
^ JC Slater and NH Frank, Electromagnetism , Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 398 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 502 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 503 .
^ Jackson , pag. 239 .
^ Jackson , pag. 14 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 504 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 514 .
^ Jackson , pag. 241 .
^ Jackson , pag. 242 .
^ Jackson , pag. 240 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 505 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 506 .
^ Griffiths , pp. 566-567 .
^ Jackson , pag. 247 .
^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902

Annotazioni

^ La quantità che ora chiameremmo ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ , con unità di velocità, fu misurata direttamente prima delle equazioni di Maxwell, in un esperimento del 1855 effettuato da Wilhelm Eduard Weber e da Rudolf Kohlrausch . Caricarono una bottiglia di Leida (la forma pù antica di condensatore ), e misurarono la forza elettrostatica associata al potenziale; poi la scaricarono, misurando la forza magnetica dalla corrente nel filo di scarica. Il risultato fu 3,107 × 10 ⁸ m/s , notevolmente vicino alla velocità della luce. Si veda Joseph F. Keithley, The story of electrical and magnetic measurements: from 500 BC to the 1940s , p. 115.

Bibliografia

Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Daniel Fleisch, Guida alle equazioni di Maxwell , Editori Riuniti, 2014, ISBN 978-88-6473-244-2 .
G. Gerosa e P. Lampariello, Lezioni di Campi Elettromagnetici , 2ª ed., Roma, Ingegneria 2000, 2006, ISBN 978-88-86658-36-2 .
( EN ) John D. Jackson, Classical Electrodynamics , 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
( EN ) David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , 4ª ed..
( EN ) James Clerk Maxwell , A Treatise on Electricity and Magnetism , Oxford , Clarendon Press , 1873.
( EN ) Paul Tipler, Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light , 4ª ed., WH Freeman, 1998, ISBN 1-57259-492-6 .
( EN ) Raymond Serway e John Jewett, Physics for Scientists and Engineers , 6ª ed., Brooks Cole, 2003, ISBN 0-534-40842-7 .
( EN ) Wayne M. Saslow, Electricity, Magnetism, and Light , Thomson Learning, 2002, ISBN 0-12-619455-6 . (vedere il capitolo 8 e in particolare le pp. 255–259 per i coefficienti del potenziale)
( EN ) Richard Feynman , Robert Leighton e Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, 2ª ed., Reading , Addison Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9045-6 .
- La fisica di Feynman , traduzione di G. Altarelli, C. Chiuderi, E. Clementel, S. Focardi, S. Franchetti, L. Monari, Giuliano Toraldo di Francia, vol. 2, 2ª ed., Bologna, Zanichelli, 2005, ISBN 978-88-08-14298-6 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikisource contiene una pagina dedicata a equazioni di Maxwell
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su equazioni di Maxwell

Collegamenti esterni

( EN ) Equazioni di Maxwell , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Le equazioni di Maxwell , su electroyou.it .
( EN ) A tensor treatment of Maxwell's equations , su mth.uct.ac.za .
( EN ) Lecture series: Relativity and electromagnetism , su farside.ph.utexas.edu .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 32480 · LCCN ( EN ) sh85082387 · GND ( DE ) 4221398-8 · BNF ( FR ) cb12043257h (data)

Portale Elettromagnetismo

Portale Relatività

[def-1] Jackson , pag. 2 .

[2] Mencuccini, Silvestrini , pag. 351 .

[3] Feynman , vol. 2, cap. XXV .

[VideoGlossary-4] John Jackson, Maxwell's equations , su Science Video Glossary , Berkeley Lab.

[5] Luca Zilberti, The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines , in IEEE Magnetics Letters , vol. 8, 2017, pp. 1–5, DOI : 10.1109/LMAG.2017.2698038 . URL consultato il 1º febbraio 2021 .

[6] Jackson , sezione 6.3 .

[7] Principles of physics: a calculus-based text , by RA Serway, JW Jewett, page 809.

[Mencuccini2010-456-9] Mencuccini, Silvestrini , pag. 456 .

[10] Mencuccini, Silvestrini , pag. 458 .

[:0-11] Griffiths , Appendice .

[12] Mencuccini, Silvestrini , pag. 28 .

[13] Mencuccini, Silvestrini , pag. 353 .

[14] Mencuccini, Silvestrini , pag. 396 .

[15] Mencuccini, Silvestrini , pag. 397 .

[Cloude-16] Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .

[Slater-17] JC Slater and NH Frank, Electromagnetism , Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .

[18] Mencuccini, Silvestrini , pag. 398 .

[19] Mencuccini, Silvestrini , pag. 502 .

[20] Mencuccini, Silvestrini , pag. 503 .

[21] Jackson , pag. 239 .

[22] Jackson , pag. 14 .

[23] Mencuccini, Silvestrini , pag. 504 .

[24] Mencuccini, Silvestrini , pag. 514 .

[25] Jackson , pag. 241 .

[26] Jackson , pag. 242 .

[27] Jackson , pag. 240 .

[28] Mencuccini, Silvestrini , pag. 505 .

[29] Mencuccini, Silvestrini , pag. 506 .

[30] Griffiths , pp. 566-567 .

[31] Jackson , pag. 247 .

[32] Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902

[8] La quantità che ora chiameremmo ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ , con unità di velocità, fu misurata direttamente prima delle equazioni di Maxwell, in un esperimento del 1855 effettuato da Wilhelm Eduard Weber e da Rudolf Kohlrausch . Caricarono una bottiglia di Leida (la forma pù antica di condensatore ), e misurarono la forza elettrostatica associata al potenziale; poi la scaricarono, misurando la forza magnetica dalla corrente nel filo di scarica. Il risultato fu 3,107 × 10 ⁸ m/s , notevolmente vicino alla velocità della luce. Si veda Joseph F. Keithley, The story of electrical and magnetic measurements: from 500 BC to the 1940s , p. 115.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[Nota 1]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]