Distribuție uniformă continuă

Distribuție uniformă continuă ${\mathcal {U}}(a,b)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (a, b)}$ ${\ mathcal {U}} (a, b)$ pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$a,b\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ $a, b \ in {\ mathbb {R}}$ $a<b\$ ${\ displaystyle a <b \}$ $a <b \$
A sustine	$S=[a,b]\$ ${\ displaystyle S = [a, b] \}$ $S = [a, b] \$
Funcția de densitate	${\frac {1}{b-a}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {ba}}}$ ${\ frac {1} {b-a}}$ pe $S\$ ${\ displaystyle S \}$ $S \$
Funcția de distribuție	${\frac {x-a}{b-a}}$ ${\ displaystyle {\ frac {xa} {ba}}}$ ${\ frac {x-a} {b-a}}$ pentru $x\in S$ ${\ displaystyle x \ în S}$ $x \ în S$
Valorea estimata	${\frac {a+b}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ frac {a + b} {2}}$
Median	${\frac {a+b}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ frac {a + b} {2}}$
Varianța	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {(ba) ^ {2}} {12}}}$ ${\ frac {(b-a) ^ {2}} {12}}$
Indicele de asimetrie
Curios	$-{\frac {6}{5}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {6} {5}}}$ $- {\ frac {6} {5}}$
Entropie	$\log(b-a)\$ ${\ displaystyle \ log (ba) \}$ $\ log (b-a) \$
Funcție generatoare de momente	${\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {bt} -e ^ {at}} {bt-at}}}$ ${\ frac {e ^ {{bt}} - e ^ {{at}}} {bt-at}}$
Funcția caracteristică	${\frac {e^{ibt}-e^{iat}}{ibt-iat}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {ibt} -e ^ {iat}} {ibt-iat}}}$ ${\ frac {e ^ {{ibt}} - e ^ {{iat}}} {ibt-iat}}$
Manual

În teoria probabilității, distribuția continuă uniformă este o distribuție continuă a probabilității care este uniformă pe un set, adică atribuie aceeași probabilitate tuturor punctelor aparținând unui interval dat [a, b] conținut în set.

Definiție

Distribuție uniformă continuă ${\mathcal {U}}(S)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (S)}$ ${\ mathcal {U}} (S)$ pe un set măsurabil S , de măsură finită diferită de zero, este o distribuție de probabilitate care atribuie tuturor subseturilor de S cu aceeași măsură aceeași probabilitate de apariție.

Densitatea sa de probabilitate este un multiplu al funcției indicator a setului S ,

f(x)={\frac {1}{\mu (S)}}\ 1_{S}={\begin{cases}1/\mu (S)&x\in S\\0&x\not \in S\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ mu (S)}} \ 1_ {S} = {\ begin {cases} 1 / \ mu (S) & x \ in S \\ 0 & x \ not \ in S \ end {cases}}}

f (x) = {\ frac {1} {\ mu (S)}} \ 1_ {S} = {\ begin {cases} 1 / \ mu (S) & x \ în S \\ 0 & x \ not \ in S \ end {cases}}

unde este $\mu (S)$ ${\ displaystyle \ mu (S)}$ $\ mu (S)$ este măsura mulțimii S.

În special, fiecare subset A măsurabil al lui S are o probabilitate de apariție proporțională cu măsura sa:

P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (S)}}

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (S)}}}

P (A) = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (S)}}

.

Pe un interval

Distribuția uniformă continuă este de obicei definită pe un interval $S=[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle S = [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ $S = [a, b] \ subset {\ mathbb {R}}$ ; în acest caz este indicat ${\mathcal {U}}(a,b)={\mathcal {U}}([a,b])$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (a, b) = {\ mathcal {U}} ([a, b])}$ ${\ mathcal {U}} (a, b) = {\ mathcal {U}} ([a, b])$ .

Densitatea sa de probabilitate este

f(x)={\frac {1}{b-a}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {ba}}}

f (x) = {\ frac {1} {b-a}}

pe

[a,b]

{\ displaystyle [a, b]}

[a, b]

.

Ca un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ în plus, intervalul unitar este adesea luat $I=[0,1]$ ${\ displaystyle I = [0,1]}$ $I = [0,1]$ , care poate fi întotdeauna urmărit înapoi la cazul anterior printr-o transformare liniară sau luând în considerare variabila aleatorie $Y=a+(b-a)X$ ${\ displaystyle Y = a + (ba) X}$ $Y = a + (b-a) X$ in loc de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În special, variabila aleatorie 1-X urmează aceeași distribuție ${\mathcal {U}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (0,1)}$ ${\ mathcal {U}} (0,1)$ .

În acest caz densitatea probabilității devine

f(x)=1

{\ displaystyle f (x) = 1}

f (x) = 1

pe

THE

{\ displaystyle I}

THE

,

funcția de distribuție este

F(x)=x

{\ displaystyle F (x) = x}

F (x) = x

pe

THE

{\ displaystyle I}

THE

,

și probabilitatea unui interval $[x_{1},x_{2}]\subset I$ ${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {2}] \ subset I}$ $[x_ {1}, x_ {2}] \ subset I$ este egală cu lungimea sa:

P([x_{1},x_{2}])=x_{2}-x_{1}\

{\ displaystyle P ([x_ {1}, x_ {2}]) = x_ {2} -x_ {1} \}

P ([x_ {1}, x_ {2}]) = x_ {2} -x_ {1} \

(în cazul general probabilitatea unui interval este proporțională cu lungimea acestuia).

Pentru calcularea probabilităților, valorile unice f (0) și f (1) sunt irelevante: este suficient ca densitatea probabilității să rămână neschimbată aproape peste tot . Uneori sunt setate egale cu 0, luând funcția de a indica intervalul deschis $]0,1[$ ${\ displaystyle] 0.1 [}$ $] 0,1 [$ , sau 1/2, luând funcția dreptunghi drept densitate de probabilitate (în acest caz distribuția se mai numește distribuție dreptunghiulară ).

Caracteristici

Dacă X este o variabilă aleatorie de distribuție uniformă ${\mathcal {U}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (0,1)}$ ${\ mathcal {U}} (0,1)$ , asa de $Y=a+(b-a)X$ ${\ displaystyle Y = a + (ba) X}$ $Y = a + (b-a) X$ este o variabilă aleatorie de distribuție uniformă ${\mathcal {U}}(a,b)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (a, b)}$ ${\ mathcal {U}} (a, b)$ , ale cărei caracteristici se obțin cu ușurință din cele ale lui X.

Cele două variabile aleatorii au

speranță matematică

E[X]={\frac {1}{2}},\qquad E[Y]=a+(b-a)E[X]={\frac {a+b}{2}}

{\ displaystyle E [X] = {\ frac {1} {2}}, \ qquad E [Y] = a + (ba) E [X] = {\ frac {a + b} {2}}}

E [X] = {\ frac {1} {2}}, \ qquad E [Y] = a + (b-a) E [X] = {\ frac {a + b} {2}}

;

varianță

{\text{Var}}(X)={\frac {1}{12}},\qquad {\text{Var}}(Y)=(a-b)^{2}{\text{Var}}(X)={\frac {(a-b)^{2}}{12}}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {1} {12}}, \ qquad {\ text {Var}} (Y) = (ab) ^ {2} {\ text {Var }} (X) = {\ frac {(ab) ^ {2}} {12}}}

{\ text {Var}} (X) = {\ frac {1} {12}}, \ qquad {\ text {Var}} (Y) = (ab) ^ {2} {\ text {Var}} ( X) = {\ frac {(ab) ^ {2}} {12}}

;

funcție caracteristică

\phi _{X}(t)=E[e^{itX}]={\frac {e^{it}-1}{it}},\qquad \phi _{Y}(t)=e^{iat}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{ibt}-e^{iat}}{ibt-iat}}

{\ displaystyle \ phi _ {X} (t) = E [e ^ {itX}] = {\ frac {e ^ {it} -1} {it}}, \ qquad \ phi _ {Y} (t) = e ^ {iat} g_ {X} ((ba) t) = {\ frac {e ^ {ibt} -e ^ {iat}} {ibt-iat}}}

\ phi _ {X} (t) = E [e ^ {{itX}}] = {\ frac {e ^ {{it}} - 1} {it}}, \ qquad \ phi _ {Y} (t ) = e ^ {{iat}} g_ {X} ((ba) t) = {\ frac {e ^ {{ibt}} - e ^ {{iat}}} {ibt-iat}}

;

funcție generatoare de moment

g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {e^{t}-1}{t}},\qquad g_{Y}(t)=e^{at}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}

{\ displaystyle g_ {X} (t) = E [e ^ {tX}] = {\ frac {e ^ {t} -1} {t}}, \ qquad g_ {Y} (t) = e ^ { la} g_ {X} ((ba) t) = {\ frac {e ^ {bt} -e ^ {la}} {bt-la}}}

g_ {X} (t) = E [e ^ {{tX}}] = {\ frac {e ^ {t} -1} {t}}, \ qquad g_ {Y} (t) = e ^ {{ la}} g_ {X} ((ba) t) = {\ frac {e ^ {{bt}} - e ^ {{la}}} {bt-la}}

;

Din momentul generării funcției obținem (pentru Y mai general) momentele simple

\mu _{n}(Y)={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}

{\ displaystyle \ mu _ {n} (Y) = {\ frac {b ^ {n + 1} -a ^ {n + 1}} {(n + 1) (ba)}}}

\ mu _ {n} (Y) = {\ frac {b ^ {{n + 1}} - a ^ {{n + 1}}} {(n + 1) (b-a)}}

;

ca variabila aleatorie centrata $Y-E[Y]$ ${\ displaystyle YE [Y]}$ $Y-E [Y]$ urmează o distribuție uniformă $[-{\tfrac {b-a}{2}},{\tfrac {b-a}{2}}]$ ${\ displaystyle [- {\ tfrac {ba} {2}}, {\ tfrac {ba} {2}}]}$ $[- {\ tfrac {b-a} {2}}, {\ tfrac {b-a} {2}}]$ , momentele centrale ale lui Y se obțin imediat

m_{n}(Y)=\mu _{n}(Y-E[Y])={\begin{cases}{\frac {(b-a)^{n}}{(n+1)2^{n}}}&n=2k\\0&n=2k+1\end{cases}}.

{\ displaystyle m_ {n} (Y) = \ mu _ {n} (YE [Y]) = {\ begin {cases} {\ frac {(ba) ^ {n}} {(n + 1) 2 ^ {n}}} & n = 2k \\ 0 & n = 2k + 1 \ end {cases}}.}

m_ {n} (Y) = \ mu _ {n} (YE [Y]) = {\ begin {cases} {\ frac {(ba) ^ {n}} {(n + 1) 2 ^ {n} }} & n = 2k \\ 0 & n = 2k + 1 \ end {cases}}.

În special, se găsesc indicii de asimetrie și kurtoză

\gamma _{1}(Y)=0,\qquad \gamma _{2}(Y)=-{\frac {6}{5}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} (Y) = 0, \ qquad \ gamma _ {2} (Y) = - {\ frac {6} {5}}}

\ gamma _ {1} (Y) = 0, \ qquad \ gamma _ {2} (Y) = - {\ frac {6} {5}}

.

În cele din urmă, entropia lui Y este

H(Y)=\log(b-a)

{\ displaystyle H (Y) = \ log (ba)}

H (Y) = \ log (b-a)

.

Alte distribuții

Fiecare distribuție de probabilitate univariată (adică pe numere reale) este legată de distribuția uniformă ${\mathcal {U}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (0,1)}$ ${\ mathcal {U}} (0,1)$ . Dacă X urmează distribuția uniformă pe $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ și F este orice funcție de distribuție , luând funcția

F^{-1}(x)=\inf\{y\in \mathbb {R} \colon F(y)\geqslant x\}

{\ displaystyle F ^ {- 1} (x) = \ inf \ {y \ in \ mathbb {R} \ colon F (y) \ geqslant x \}}

{\ displaystyle F ^ {- 1} (x) = \ inf \ {y \ in \ mathbb {R} \ colon F (y) \ geqslant x \}}

puteți defini o variabilă aleatorie

Y=F^{-1}(X)

{\ displaystyle Y = F ^ {- 1} (X)}

Y = F ^ {{- 1}} (X)

care are ca funcție de distribuție F.

De exemplu, $Y=-{\tfrac {\log X}{\lambda }}$ ${\ displaystyle Y = - {\ tfrac {\ log X} {\ lambda}}}$ $Y = - {\ tfrac {\ log X} {\ lambda}}$ urmează distribuția exponențială ${\mathcal {E}}(\lambda )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ lambda)}$ ${\ mathcal {E}} (\ lambda)$ .

În informatică această proprietate se numește metoda de inversare și este utilizată pentru a transforma un generator „aleatoriu” de probe pentru X într-un generator de probe pentru Y.

Suma $X_{1}+X_{2}$ ${\ displaystyle X_ {1} + X_ {2}}$ $X_ {1} + X_ {2}$ a două variabile variabile aleatoare independente cu aceeași distribuție uniformă ${\mathcal {U}}(a,b)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (a, b)}$ ${\ mathcal {U}} (a, b)$ urmează o distribuție triunghiulară simetrică ( distribuția lui Simpson ).

Mai general, distribuția Irwin-Hall descrie suma $X_{1}+...+X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1} + ... + X_ {n}}$ $X_ {1} + ... + X_ {n}$ a n variabile aleatoare variabile independente cu aceeași distribuție uniformă ${\mathcal {U}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (0,1)}$ ${\ mathcal {U}} (0,1)$ .

Distribuția beta $\mathrm {B} (1,1)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (1,1)}$ $\ mathrm {B} (1,1)$ corespunde distribuției uniforme ${\mathcal {U}}(0,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} (0,1)}$ ${\ mathcal {U}} (0,1)$ . Mai mult, dacă X urmează această distribuție uniformă, atunci $Y=1-{\sqrt[{n}]{X}}$ ${\ displaystyle Y = 1 - {\ sqrt [{n}] {X}}}$ $Y = 1 - {\ sqrt [{n}] {X}}$ Urmează distribuția beta $\mathrm {B} (1,n)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (1, n)}$ $\ mathrm {B} (1, n)$ .

Paralela distribuției uniforme continue între distribuțiile discrete este distribuția uniformă discretă , definită pe un set finit S , care atribuie fiecărui subset o probabilitate de apariție egală cu cardinalitatea sa. (Cu alte cuvinte, este aceeași definiție, cu o măsură diferită.)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre distribuția uniformă continuă

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, distribuție uniformă , în MathWorld , Wolfram Research.

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85038543

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică