Conjectura primelor gemene

Conjectura primă twin este o celebră problemă nerezolvată în teoria numerelor cu privire la numerele prime . A fost propus pentru prima dată de Euclid în jurul anului 300 î.Hr. și afirmă:

Există numere prime infinite

p

${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât, de asemenea

p+2

${\ displaystyle p + 2}$ ${\ displaystyle p + 2}$ este un număr prim .

Două numere prime care diferă cu 2 sunt numite prime gemene . Mulți teoreticieni ai numerelor au încercat să demonstreze această presupunere . Majoritatea matematicienilor cred că această presupunere este adevărată, bazată în primul rând pe dovezi numerice și pe raționamente euristice privind distribuția probabilistică a numerelor prime.

În 1849 de Polignac a formulat o presupunere mai generală : pentru orice număr natural $k,$ ${\ displaystyle k,}$ ${\ displaystyle k,}$ există perechi infinite de numere prime care diferă prin $2k.$ ${\ displaystyle 2k.}$ ${\ displaystyle 2k.}$ Cazul $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ corespunde exact conjecturii primelor gemene.

De-a lungul anilor s-au obținut unele rezultate parțiale, dintre care cel mai recent (2013) arată că există numere prime infinite, astfel încât distanța lor este un număr mai mic sau egal cu 264.

Rezultate parțiale

În 1915 Viggo Brun a dovedit că suma reciprocelor primelor gemene este convergentă. Acest faimos rezultat a fost prima aplicare a sitei lui Brun și a reprezentat o etapă importantă în dezvoltarea teoriei moderne a sitei .

În 1940 , Erdős a demonstrat că există o constantă $c<1$ ${\ displaystyle c <1}$ ${\ displaystyle c <1}$ și numere prime infinite $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât

p'-p<c\cdot \ln p,

{\ displaystyle p'-p <c \ cdot \ ln p,}

{\ displaystyle p'-p <c \ cdot \ ln p,}

unde este $p^{'}$ ${\ displaystyle p '}$ $p '$ indică următorul număr prim $p .$ ${\ displaystyle p.}$ ${\ displaystyle p.}$

Acest rezultat a fost ulterior îmbunătățit; în 1986 Helmut Maier a dovedit că se poate folosi o constantă $c<0,25.$ ${\ displaystyle c <0,25.}$ ${\ displaystyle c <0,25.}$ În 2004 Daniel Goldston și Cem Yıldırım au demonstrat că constanta poate fi îmbunătățită a $c=0,085786\ldots$ ${\ displaystyle c = 0,085786 \ ldots}$ ${\ displaystyle c = 0,085786 \ ldots}$ În 2005 Goldston, Pintz și Yıldırım au arătat că există o alegere $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ arbitrar mic ^[1] ^[2] ; de fapt, dacă presupunem conjectura Elliott-Halberstam , ele demonstrează că există infinități $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât cel puțin două dintre $n,n+2,n+6,n+8,n+12,n+18,n+20$ ${\ displaystyle n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18, n + 20}$ ${\ displaystyle n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18, n + 20}$ sunt primii.

În 1966 , Chen Jingrun a demonstrat că există numere prime infinite $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât $p+2$ ${\ displaystyle p + 2}$ ${\ displaystyle p + 2}$ este fie o primă, fie un semiprimo (adică produsul a două prime). Abordarea pe care a adoptat-o este tipică teoriei sitelor și i-a permis să trateze conjectura primă twin și conjectura Goldbach în moduri similare.

Prin definirea unui număr prim al lui Chen un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât $p+2$ ${\ displaystyle p + 2}$ ${\ displaystyle p + 2}$ fie un prim, fie un semiprim , Terence Tao și Ben Green au demonstrat în 2005 că există triplete infinite ale primelor Chen în progresie aritmetică .

Zhang Yitang , un matematician chino - american activ în domeniul teoriei numerelor , în aprilie 2013 a publicat un articol în revista Annals of Mathematics în care demonstrează că există perechi infinite de primi la mai puțin de 70 de milioane unul de altul. ^[3] Munca ulterioară a unor matematicieni precum Terence Tao , Scott Morrison și Andrew Sutherland, împreună cu noua abordare a tânărului James Maynard, au condus la rafinarea dovezilor, reducând decalajul dintre primii de la 70 de milioane la 264. ^[4]

Conjectura Hardy-Littlewood

Există, de asemenea, o generalizare a conjecturii gemene, numită conjectura Hardy-Littlewood (de la GH Hardy și John Littlewood ), care se referă la distribuția primelor gemene, similar teoremei numărului prim . Indicăm cu $\pi _{2}(x)$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} (x)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} (x)}$ numărul primilor $p\leq x$ ${\ displaystyle p \ leq x}$ ${\ displaystyle p \ leq x}$ astfel încât $p+2$ ${\ displaystyle p + 2}$ ${\ displaystyle p + 2}$ este primul. Definim constanta numerelor prime gemene $C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ ca

C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0,66016118158468695739278121100145\ldots

{\ displaystyle C_ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} {\ frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} \ approx 0,66016118158468695739278121100145 \ ldots}

{\ displaystyle C_ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} {\ frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} \ approx 0,66016118158468695739278121100145 \ ldots}

unde produsul se extinde asupra tuturor numerelor prime $p\geq 3.$ ${\ displaystyle p \ geq 3.}$ ${\ displaystyle p \ geq 3.}$ Atunci conjectura afirmă că

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}},

{\ displaystyle \ pi _ {2} (x) \ sim 2C_ {2} \ int _ {2} ^ {x} {dt \ over (\ ln t) ^ {2}},}

{\ displaystyle \ pi _ {2} (x) \ sim 2C_ {2} \ int _ {2} ^ {x} {dt \ over (\ ln t) ^ {2}},}

în sensul că câtul dintre cele două expresii tinde să $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ cand $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Tinde să $+\infty .$ ${\ displaystyle + \ infty.}$ ${\ displaystyle + \ infty.}$

Această presupunere poate fi justificată (dar nu dovedită) presupunând că $1/\ln t$ ${\ displaystyle 1 / \ ln t}$ ${\ displaystyle 1 / \ ln t}$ descrieți funcția densității distribuției prime, o presupunere sugerată de teorema numărului prim. Dovezile numerice ale conjecturii Hardy-Littlewood sunt destul de puternice.

Notă

^ [math / 0505300] Există mici goluri între primele
^ [math / 0506067] Decalaje mici între primele sau aproape primele
^ (EN) YITANG ZHANG, Buonded gaps între primii (PDF), în Annals of Mathematics, 2013.
^ (EN) Polymath8b, IX Large quadratic programmes , în What's new, 21 februarie 2014. Accesat la 30 septembrie 2018.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Există infinit de mulți gemeni primari - R. Arenstorf - dovada lui Arenstorf, retractată la 8 iunie 2004.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] [math / 0505300] Există mici goluri între primele

[2] [math / 0506067] Decalaje mici între primele sau aproape primele

[3] (EN) YITANG ZHANG, Buonded gaps între primii (PDF), în Annals of Mathematics, 2013.

[4] (EN) Polymath8b, IX Large quadratic programmes , în What's new, 21 februarie 2014. Accesat la 30 septembrie 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor