Minor (algebră liniară)

În matematică , în special în algebra liniară , un minor al unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este determinantul unei matrice pătrate obținută din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ștergerea unor rânduri și / sau coloane ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Minorii sunt un instrument util pentru calcularea rangului unei matrice și, astfel, pentru rezolvarea sistemelor liniare .

Definiție

O submatrică a unei matrice $A_{n\times m}$ ${\ displaystyle A_ {n \ ori m}}$ $A_ {n \ ori m}$ , cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ numere întregi non-negative, este o matrice $B_{r\times s}$ ${\ displaystyle B_ {r \ times s}}$ $B_ {r \ times s}$ , cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ numere întregi astfel încât $0\leq r\leq n$ ${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq n}$ $0 \ leq r \ leq n$ Și $0\leq s\leq m$ ${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq m}$ $0 \ leq s \ leq m$ , obtinut de la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ îndepărtarea $n-r$ ${\ displaystyle nr}$ $n-r$ linii și $m-s$ ${\ displaystyle ms}$ $Domnișoară$ coloane.

Un minor este determinantul unei submatrici (pătrat, adică cu $r=s$ ${\ displaystyle r = s}$ $r = s$ ). Numarul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ se numește ordinul minorului.

Un minor complementar este un minor decât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ obținut prin eliminarea unui singur rând și a unei singure coloane din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Se remarcă imediat că minorii complementari sunt definiți numai prin matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pătrat, altfel matricea rezultată nu ar mai fi pătrată și determinantul său nu ar putea fi calculat. Minorul complementar elementului $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ a unei matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se obține prin îndepărtarea $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea linie și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -a coloană și este indicat cu $A(i,j)$ ${\ displaystyle A (i, j)}$ $A (i, j)$ sau cu $A_{ij}$ ${\ displaystyle A_ {ij}}$ $A _ {{ij}}$ . Dacă minorul complementar $A(i,j)$ ${\ displaystyle A (i, j)}$ $A (i, j)$ se consideră cu semnul $(-1)^{i+j}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {i + j}}$ $(-1) ^ {i + j}$ se numește complement algebric sau cofactor al $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ .

Uneori „minor” înseamnă „submatrică pătrată”, dar această utilizare este mai puțin frecventă și este posibil ca unele rezultate să fie explicate diferit. Aici și în cele ce urmează vom folosi definiția unui minor ca determinant.

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ și sunt $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ un subset de $\{1,\dots ,m\}$ ${\ displaystyle \ {1, \ dots, m \}}$ $\ {1, \ dots, m \}$ cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ elemente și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ un subset de $\{1,\dots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {1, \ dots, n \}}$ $\ {1, \ dots, n \}$ cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ elemente. Indicând cu $[A]_{I,J}$ ${\ displaystyle [A] _ {I, J}}$ $[A] _ {I, J}$ minorul $k\times k$ ${\ displaystyle k \ times k}$ $k \ times k$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care corespunde rândurilor cu index în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și coloane cu index în $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ :

De sine $I=J$ ${\ displaystyle I = J}$ $I = J$ asa de $[A]_{I,J}$ ${\ displaystyle [A] _ {I, J}}$ $[A] _ {I, J}$ se numește minor major (sau dominant ).
Dacă le iei pe primele cu îngrijire $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ linii și $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ coloane atunci minorul principal se numește minor major major (sau minor major major sau minor nord-vest ). Prin urmare, un minor principal este un minor obținut prin eliminarea acestuia $n-r$ ${\ displaystyle nr}$ $n - r$ rânduri și coloane. Pentru o matrice pătrată $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ Sunt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ conducerea minorilor majori.
Pentru o matrice hermitiană , minorii principali pot fi utilizați pentru a verifica dacă matricea este o matrice definitivă pozitivă ; vezi de exemplu criteriul Sylvester .

Proprietate

Rangul unei matrice $A_{m\times n}$ ${\ displaystyle A_ {m \ times n}}$ $A _ {{m \ times n}}$ este egal cu ordinea maximă a unui non-zero mai mic decât $A_{m\times n}$ ${\ displaystyle A_ {m \ times n}}$ $A _ {{m \ times n}}$ . Acest rezultat oferă un instrument frecvent utilizat în calcularea rangului unei matrice, dar nu este foarte eficient pentru tablourile cu un număr mare de rânduri și / sau coloane.

Matricea cofactorului este o matrice importantă asociată cu o matrice pătrată și este definită pornind de la minorii săi complementari.

Având în vedere o matrice cu elemente reale $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ și rang $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , atunci există cel puțin o comandă minoră $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ nu nul și toți minorii minori majori sunt nuli.

Exemplu

Luați în considerare matricea $A_{3\times 4}$ ${\ displaystyle A_ {3 \ ori 4}}$ $A_ {3 \ ori 4}$ :

A_{3\times 4}={\begin{bmatrix}2&-1&5&9\\-12&3&2&0\\1&-1&9&8\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A_ {3 \ times 4} = {\ begin {bmatrix} 2 & -1 & 5 & 9 \\ - 12 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 9 & 8 \ end {bmatrix} }}

A_ {3 \ times 4} = \ begin {bmatrix} 2 & -1 & 5 & 9 \\ -12 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 9 & 8 \ end {bmatrix}

Deci, unele dintre submatricele sale sunt:

B_{1\times 1}={\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}

{\ displaystyle B_ {1 \ times 1} = {\ begin {bmatrix} -12 \ end {bmatrix}}}

B_ {1 \ times 1} = \ begin {bmatrix} -12 \ end {bmatrix}

C_{2\times 3}={\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle C_ {2 \ times 3} = {\ begin {bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ - 12 & 3 & 0 \ end {bmatrix}}}

C_ {2 \ times 3} = \ begin {bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \ end {bmatrix}

D_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-1&9\\3&0\\-1&8\end{bmatrix}}

{\ displaystyle D_ {3 \ times 2} = {\ begin {bmatrix} -1 & 9 \\ 3 & 0 \\ - 1 & 8 \ end {bmatrix}}}

D_ {3 \ times 2} = \ begin {bmatrix} -1 & 9 \\ 3 & 0 \\ -1 & 8 \ end {bmatrix}

E_{3\times 1}={\begin{bmatrix}5\\2\\9\end{bmatrix}}

{\ displaystyle E_ {3 \ times 1} = {\ begin {bmatrix} 5 \\ 2 \\ 9 \ end {bmatrix}}}

E_ {3 \ times 1} = \ begin {bmatrix} 5 \\ 2 \\ 9 \ end {bmatrix}

F_{1\times 4}={\begin{bmatrix}-12&3&2&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle F_ {1 \ times 4} = {\ begin {bmatrix} -12 & 3 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}

F_ {1 \ times 4} = \ begin {bmatrix} -12 & 3 & 2 & 0 \ end {bmatrix}

Minori ai ordinii $r=3$ ${\ displaystyle r = 3}$ $r = 3$ Sunt:

\det {\begin{bmatrix}2&-1&5\\-12&3&2\\1&-1&9\end{bmatrix}}=-7\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\\1&-1&8\end{bmatrix}}=33\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&5&9\\-12&2&0\\1&9&8\end{bmatrix}}=-478\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-1&5&9\\3&2&0\\-1&9&8\end{bmatrix}}=125

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ - 12 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 9 \ end {bmatrix}} = - 7 \ quad, \ quad \ det { \ begin {bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 8 \ end {bmatrix}} = 33 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 2 & 5 & ​​9 \\ - 12 & 2 & 0 \\ 1 & 9 & 8 \ end {bmatrix}} = - 478 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} -1 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 0 \\ - 1 & 9 & 8 \ end {bmatrix}} = 125}

\ det \ begin {bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -12 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 9 \ end {bmatrix} = - 7 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 8 \ end {bmatrix} = 33 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 2 & 5 & 9 \\ -12 & 2 & 0 \\ 1 & 9 & 8 \ end {bmatrix} = - 478 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} -1 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 9 & 8 \ end {bmatrix} = 125

O parte din ordinul minor $r=2$ ${\ displaystyle r = 2}$ $r = 2$ Sunt:

\det {\begin{bmatrix}2&-1\\-12&3\end{bmatrix}}=-6\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&5\\-12&2\end{bmatrix}}=64\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-12&3\\1&-1\end{bmatrix}}=9\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}3&0\\-1&8\end{bmatrix}}=24\dots

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 2 & -1 \\ - 12 & 3 \ end {bmatrix}} = - 6 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 2 & 5 \\ - 12 & 2 \ end {bmatrix}} = 64 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} -12 & 3 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix}} = 9 \ quad, \ quad \ det {\ începe {bmatrix} 3 & 0 \\ - 1 & 8 \ end {bmatrix}} = 24 \ dots}

\ det \ begin {bmatrix} 2 & -1 \\ -12 & 3 \ end {bmatrix} = - 6 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 2 & 5 \\ -12 & 2 \ end {bmatrix } = 64 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} -12 & 3 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} = 9 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 3 & 0 \\ - 1 și 8 \ end {bmatrix} = 24 \ puncte

În cele din urmă, minorii ordinii $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ :

\det {\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}=2\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-1\end{bmatrix}}=-1\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=5\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}9\end{bmatrix}}=9\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}=-12\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}=0\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}8\end{bmatrix}}=8

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 2 \ end {bmatrix}} = 2 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} -1 \ end {bmatrix}} = - 1 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 5 \ end {bmatrix}} = 5 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 9 \ end {bmatrix}} = 9 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix } -12 \ end {bmatrix}} = - 12 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 3 \ end {bmatrix}} = 3 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}} = 0 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}} = 1 \ quad, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} 8 \ end {bmatrix}} = 8 }

\ det \ begin {bmatrix} 2 \ end {bmatrix} = 2 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} -1 \ end {bmatrix} = - 1 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 5 \ end {bmatrix} = 5 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 9 \ end {bmatrix} = 9 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} -12 \ end {bmatrix} = - 12 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 3 \ end {bmatrix} = 3 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix} = 0 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix } 1 \ end {bmatrix} = 1 \ quad, \ quad \ det \ begin {bmatrix} 8 \ end {bmatrix} = 8

Bibliografie

(EN) Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics , p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0
( EN ) Burnside, William Snow și Panton, Arthur William (1886) Teoria ecuațiilor: cu o introducere în teoria formei algebrice binare .
( EN ) Felix Gantmacher, Theory of matrices (prima ediție, limba originală este rusa), Moscova: Editura de Stat a literaturii tehnice și teoretice, 1953, p. 491

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VN Remeslennikov, minor , în Enciclopedia matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Prelegere MIT Linear Algebra despre cofactori la Google Video, de la MIT OpenCourseWare
( EN ) Intrarea PlanetMath a cofactorilor , pe planetmath.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Carrier · subspatiu ( Subspatiul generat ) · Aplicație Liniar ( Core · imagine ) · Base · Dimensiunea · dimensiunea Teorema · Grassmann Formula · sistem liniar · Gauss algoritm · Rouche-Capelli , teorema · Regula lui Cramer · spațiu dual · proiectiv spațiu · afină spațiu · Dimensiune teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema