Metoda de eliminare Gauss

În matematică , metoda de eliminare Gauss, adesea abreviat MEG, este un algoritm , care este numit după matematicianul german Carl Friedrich Gauss , folosit în algebra liniară pentru determinarea soluțiilor unui sistem de ecuații liniare pentru a calcula rangul ol ' invers de o matrice .

Algoritmul, prin aplicarea unor operațiuni specifice pe rândurile (sau coloanele) acestor operații elementare, reduce matricea într - o formă numită în pași. Matricea în formă esalon face calculul imediat al rangului matricei (care va fi egal cu numărul de pivot ) și rezoluția deosebit de simplă a sistemului liniar asociat.

O extindere a acestei metode, cunoscută ca metoda de eliminare Gauss-Jordan, de german matematicianul Wilhelm Jordan , reduce în continuare matricea într - o formă numită redusă în trepte, de asemenea , permițând pentru a calcula inversa.

Deși este de obicei atribuit Gauss, o primă aplicare a MEG apare deja în secolul al doilea î.Hr. în Jiuzhang SuanShu (nouă capitole privind artele matematice), matematicieni chinezi scrise în timpul dinastiei Han . ^[1]

Matrice completă a coeficienților

Un sistem de ecuații liniare :

\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} X_ {1} + a_ {1,2} X_ {2} + \ cdots + a_ {1, n} X_ {n} & = & B_ {1} \\ a_ {2,1} X_ {1} + a_ {2,2} X_ {2} + \ cdots + a_ {2, n} X_ {n} & = & B_ {2} \ \ & \ vdots & \\ a_ {m, 1} X_ {1} + a_ {m, 2} X_ {2} + \ cdots + a_ {m, n} X_ {n} & = & B_ {m} \ end {matrix}} \ dreapta.}

\ Stângă \ {{\ begin {matrix} a _ {{1,1}} X_ {1} + o _ {{1,2}} X_ {2} + \ cdots + o _ {{1, n}} X_ {n} & = & B_ {1} \\ a _ {{2,1}} X_ {1} + o _ {{2,2}} X_ {2} + \ cdots + o _ {{2, n}} X_ {n} & = & B_ {2} \\ & \ vdots & \\ o _ {{m, 1}} X_ {1} + o _ {{m, 2}} X_ {2} + \ cdots + o _ {{m, n}} X_ {n} & = & B_ {m} \ end {matrix}} \ dreapta.

poate fi reprezentat printr-o matrice:

{\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} & B_ {1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m, 1 } & \ cdots & a_ {m, n} & B_ {m} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} & B_ {1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m, 1 } & \ cdots & a_ {m, n} & B_ {m} \ end {pmatrix}}}

respectiva matrice completă a coeficienților sistemului. Coeficienții sistemului liniar (și , prin urmare, elementele matricei) sunt elementele unui câmp $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ cum ar fi cea a numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau complexe $\mathbb {C} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ Ultima coloană este coloana a termenilor cunoscuți.

Operații elementare pe rând

Operațiile elementare pe rând sunt operații care modifică o matrice într - una din următoarele moduri:

schimbul de două linii;
înmulțirea unui rând cu un număr diferit de zero;
adăugarea unui rând la un multiplu de alt rând.

Rândurile matricei sunt aici înțelese ca vectori ai spațiului vectorial $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ Și, prin urmare, pot fi multiplicate cu un număr sau adăugat, pur și simplu, pe termen lung la termen.

Operațiile rând elementare au următoarea proprietate importantă: dacă este aplicată matricea completă (de exemplu, cu termeni cunoscuți) a unui sistem liniar, nu modifică setul de soluții ale sistemului. Cu alte cuvinte, modificările sistemului, dar soluțiile rămân neschimbate: un vector ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\ Textstyle (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ Textstyle (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ este soluția sistemului inițial dacă și numai dacă aceasta este soluția sistemului la care am aplicat operațiile elementare pe rând.

Pe de altă parte, este ușor de observat că operațiile elementare pe rând aplicate pe matrice completă o concordanță, în modul clasic de exprimare a unui sistem de ecuații (cu bretele), la următoarele operații de pe ecuațiile:

schimba ordinea scrierea a două ecuații;
înmulțirea ambele părți ale unei ecuații de către un număr de zero;
adaugă aceeași cantitate pentru ambele părți ale unei ecuații.

matrice Etapa

O matrice este o matrice în trepte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ având următoarea proprietate: primul element, din stânga, non-zero (dacă este prezent) a unui rând trebuie să fie într-o coloană la dreapta primului element nenul al rândului de mai sus și fiecare rând, toate nule, este sub fiecare linie nu toate nimic. De exemplu, matricea:

{\begin{pmatrix}3&0&4&7\\0&-1&0&0\\0&0&0&5\\0&0&0&0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} }

{\ Begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}

se reduce la trepte, în timp ce matricea:

{\begin{pmatrix}3&0&4&7\\0&8&0&0\\0&6&2&0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ Begin {pmatrix} 3 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & 0 \ end {pmatrix}}

nu este. Primul element diferit de zero pe fiecare linie (dacă este prezent) , se spune ca pivot. De exemplu, matricea în trepte descrisă mai sus are trei pivoți: 3, -1 și 5.

Algoritm Gauss

Algoritmul Gauss transforma orice matrice într-o matrice în trepte prin operații elementare pe rând. Acesta funcționează după cum urmează:

Dacă primul rând are primul element nul, l schimb cu un rând care are primul element nenul. Dacă toate rândurile au primul element nul, du-te la pasul 3.
Pentru fiecare rând $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ cu primul element de nenulă, cu excepția primei ( $i>1$ ${\ Displaystyle i> 1}$ $i> 1$ ), Înmulþiri primul rând de la un coeficient ales, astfel încât suma între primul rând și $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ are primul element nul (deci coeficient = $-A_{i1}/A_{11}$ ${\ Displaystyle -A_ {i1} / A_ {11}}$ $-A _ {{i1}} / A _ {{11}}$ ). A inlocui $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ cu suma doar obținută.
Acum, pe prima coloană toate cifrele, cu excepția, probabil, în primul rând, sunt nule. La acest punct înapoi la punctul 1 , având în vedere submatricea te prin ștergerea primul rând și prima coloană.

Rezultatul algoritmului nu este întotdeauna la fel, depinde de alegerile făcute. In timpul dezvoltarii, este important să se aibă în vedere obiectivul final este de a obține o matrice în trepte.

Un exemplu este prezentat aici:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&3&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin {pmatrix } -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \ end {aliniat}} }

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin {pmatrix } -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \ end {aliniat}} }

Din matricea de pornire am multiplicat primul rând prin -1, a adăugat primul rând cu al doilea (scrierea rezultatului în al doilea rând, în scopul de a obține un zero în prima poziție), înmulțită rândul obținut prin -2 și în final, a adăugat la al treilea rând.

Această procedură, în scris și utilizat ca mai sus, pot fi folosite pentru a rezolva un sistem liniar (prin aplicarea operațiilor elementare pe rând la matricea completă a coeficienților sistemului) sau pentru a calcula rangul unei matrice generic.

În cazul în care doriți să utilizați această metodă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrat generic $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Trebuie să ne trianguleze mai întâi matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ obținerea unei matrice triunghiulare $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , Atunci vom face produsul elementelor de pe diagonala principală prin împărțirea sa $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , acesta este

\det A={\frac {1}{d}}\prod _{i}b_{ii},

{\ Displaystyle \ det A = {\ frac {1} {d}} \ prod _ {i} B_ {ii}}

{\ Displaystyle \ det A = {\ frac {1} {d}} \ prod _ {i} B_ {ii}}

unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ se obține în felul următor: înainte de începerea operației de reducere ea apare $d=1$ ${\ displaystyle d = 1}$ ${\ displaystyle d = 1}$ . Apoi, în funcție de operațiunea de reducere utilizată, următoarele apare:

$d\mapsto -d$ ${\ Displaystyle d \ mapsto -d}$ ${\ Displaystyle d \ mapsto -d}$ dacă aveți schimbarea două linii;
$d\mapsto nd$ ${\ Displaystyle d \ nd mapsto}$ ${\ Displaystyle d \ nd mapsto}$ dacă vă înmulțiți o linie de un număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ non-zero;
$d\mapsto d$ ${\ Displaystyle d \ mapsto d}$ ${\ Displaystyle d \ mapsto d}$ (acesta este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ rămâne neschimbat) dacă adăugați un rând la un multiplu de un alt rând.

Pentru a calcula rangul și determinant, Gauss algoritmul poate fi utilizat și pe coloane.

Mai jos este un exemplu pentru calcularea determinantului pe aceeași matrice de mai sus:

{\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}}}

{\ Begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \ end {pmatrix}} \ to {\ begin {pmatrix} 1 & -1 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end { pmatrix}}

Din matricea de pornire, primul rând înmulțit cu -1 a fost adăugat la al doilea rând pentru a reseta primul element (părăsește primul rând neschimbat); al treilea rând are deja un zero ca prim element de pe stânga, astfel al doilea rând, înmulțită cu -2 a fost adăugat la al treilea rând pentru a reseta al doilea element (lăsând al doilea rând neschimbat). Acum putem calcula cu ușurință determinantul care este produsul elementelor pe diagonala principală, adică este -12 și este același determinant ca și cea a matricei inițiale.

În exemplul anterior în schimb am obține -24 din produsul elementelor diagonale, adică -12 înmulțită cu un factor de 2: acest factor 2 este tocmai produsul $-1\times -2,$ ${\ Displaystyle -1 \ -2 ori,}$ ${\ displaystyle -1 \ -2 ori,}$ factorii prin care rândurile au fost multiplicate în exemplul de mai sus.

Calculul determinantului prin acest procedeu este cel puțin sistemul pretențios cunoscut din punct de vedere computational (creșterea polinom $O(n^{3})$ ${\ displaystyle O (n ^ {3})}$ $O (n ^ 3)$ în loc de factorial $O(n!)$ ${\ displaystyle O (n!)}$ $Pe!)$ ) Și este aplicabilă numai atunci când dimensiunea matricelor devine mare.

Gauss-Jordan algoritm

După ce a redus matricei la trepte, este posibil să se utilizeze o versiune a algoritmului lui Gauss în direcția opusă, adică de jos în sus, pentru a obține o matrice care în fiecare coloană care conține un pivot are doar pivotul ca nenulă număr, (această matrice rezultată este numită o matrice scalat în formă redusă): utilizați doar fiecare rând, începând de la ultima, pentru a elimina toate diferite de zero deasupra pivotului acestui rând. În cele din urmă, din nou, cu mișcări Gaussian (prin linii multiplicatoare), putem obține că fiecare pivot are o valoare de 1.

De exemplu, realizarea algoritmului descris mai sus, avem:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}&\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 0 \ \ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}. \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -6 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 0 \ \ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 0 \\ 0 & 0 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}. \ end {aliniat}}}

soluţii de sistem

Algoritmul Gauss-Jordan transformă matricea coeficienților unui sistem într - o matrice făcută în felul următor: variabilele corespunzătoare coloanele care nu conțin pivot menționat sunt libere; orice altă variabilă apare într-o singură ecuație, și, prin urmare, poate fi exprimată ca o funcție a variabilelor libere și termeni cunoscuți. Spațiul soluție se obține prin atribuirea de valori arbitrare variabilelor libere și calcularea celelalte variabile în consecință.

Dacă termenii cunoscuți $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ sunt toate la zero, setul de soluții este un subspațiu de $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ . În caz contrar, se obține dintr - un subspațiu vectorial prin translație, care este un subspațiu afin .

Inversei unei matrice

Algoritmul Gauss-Jordan este, de asemenea, folosit pentru a găsi (atunci când există) inversul unei matrice. Acesta funcționează după cum urmează: fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice inversabilă . Să considerăm matricea $B=(A|I)$ ${\ Displaystyle B = (A | I)}$ $B = (A | I)$ , cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ linii și $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ coloane, partea construită de partea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și matricea de identitate $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . În acest moment, după efectuarea matricei în trepte cu una sau mai multe etape ale algoritmului Gauss, varianta Gauss-Jordan se aplică la nou $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru a ajunge pe partea stângă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Atâta timp cât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil, coloanele sale sunt independente, și, prin urmare, va conține toate pivotează la sfârșitul algoritmului. Deci, rezultatul va fi o matrice de tip $(I|C)$ ${\ Displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Ei bine matricea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este doar inversul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Următoarele exemple arată că inversul ${\textstyle A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}}$ ${\ Textstyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}$ ${\ Textstyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}$ Și ${\textstyle C={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}}$ ${\ Textstyle C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ Textstyle C = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}$ :

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&2&\|&1&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}&\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&-1&\|&-2&1\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}-2&0&\|&6&-4\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\\&\to {\begin{pmatrix}1&0&\|&-3&2\\0&1&\|&2&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \ \ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & 0 & \ | & 6 & -4 \ \ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end { pmatrix}}. \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ | & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} & \ to {\ begin { pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \ \ 2 & 3 & \ | & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \ | & -2 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & -4 & \ | & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} -2 & 0 & \ | & 6 & -4 \ \ 0 & 4 & \ | & 8 & -4 \ end {pmatrix}} \\ & \ to {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ | & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \ | & 2 & -1 \ end { pmatrix}}. \ end {aliniat}}}

În prima etapă a multiplicat prima linie pentru -2, în al doilea, se adaugă la a doua linie a primului, al treilea a multiplicat a doua linie la -4, în etapa a patra se adaugă la primul rând din al doilea și în cele din urmă „ultimul pas este primul rând este împărțit la -2 , iar al doilea pentru 4. În acest fel, am pornit de la o matrice de $(A|I)$ ${\ Displaystyle (A | I)}$ $(A | I)$ și a ajuns la $(I|C)$ ${\ Displaystyle (I | C)}$ $(I | C)$ . Are asta $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este inversul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietate

Rangul unei matrice este egal cu numărul de pivotare al oricărei matrice obținută din acest pași prin operații elementare pe rând (sau coloana).
Setul de soluții ale sistemului liniar asociat cu matricea nu se schimbă prin operații elementare pe rând.
Pentru a extrage dintr-un set de vectori în $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ un plafon de vectori subset independent , și , prin urmare , de asemenea , o bază de subspatiului generate de acestea, doar aplica algoritmul lui Gauss la matricea obținută prin considerarea ca acești vectori coloane ale matricei. Apoi luați numai acei vectori inițiali pe a cărui coloană în matricea corespunzătoare etapa (la finalul algoritmului) apare un pivot.

Notă

^(EN) utilizarea Istoria matricelor și factorii determinanți ai MacTutor

Bibliografie

(RO) Timothy Gowers, iunie Barrow-verde și Imre Leader, Princeton Companion la matematică, Princeton University Press, 08 septembrie 2008, p. 607, ISBN 978-0-691-11880-2 .
(RO) Bareiss, EH-Integer în multe etape Conservarea Gaussian Eliminare. Raport Argonne National Laboratory-ANL 7213, mai 1966.
(RO) Bareiss, Identitatea EH Sylvester și mai multe trepte , Integer-Conservarea Gaussian Eliminare. Matematica. Calculator. 22, 565-578, 1968.
(RO) Garbow, BS Integer-Conservarea Gaussian Eliminare. Programul P-158 (3600F), Matematică Aplicată Divizia, Argonne National Laboratory, 21 noiembrie 1966.
(RO) Gentle, JE "Gaussian Eliminare." §3.1 în Algebră liniară numerică pentru aplicații în Statistică. Berlin: Springer-Verlag, pp. 87-91, 1998.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimanuale conține texte sau manual metoda de eliminare Gauss

linkuri externe

Un program care calculeaza inversa unei matrice , pe evinive.altervista.org. Accesat 22 iulie 2021 (depusă de către „URL - ul original 22 aprilie 2016).
Interactive sau program automat pentru a utiliza algoritmul Gauss-Jordan , pe ww2.unime.it. Adus de 14 februarie 2008 (depusă de „URL - ul original , la 1 februarie 2008).
(RO) Eliminarea Gaussian pe mathworld
(RO) Eliminarea Gauss-Jordan mathworld
(RO) Eliminarea Gaussian de planetmath
(RO) Xin Gui Fang și George Havas, În cel mai rău caz complexitatea întreg Gaussian eliminare (PDF), în Proceedings of International Symposium 1997 privind calculul simbolic si algebrice ^{[ Link Intrerupt ],} Issac '97, Kihei, Maui, Hawaii, Statele Unite ale Americii, ACM, 1997, pp. 28-31, DOI : 10.1145 / 258,726.258740 , ISBN 0-89791-875-4 .

Controlul autorității	GND (DE) 4156110-7

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[mactutor-1] (EN) utilizarea Istoria matricelor și factorii determinanți ai MacTutor

[1]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema