Teorema lui Sylvester

În algebra liniară , teorema lui Sylvester permite clasificarea produselor scalare pe un spațiu vectorial dimensional finit prin intermediul unui invariant numeric, care în cazul real este semnătura în timp ce în cazul complex este rangul .

Teorema

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial de dimensiune n pe câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ numere reale sau complexe , pe care este definit un produs scalar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , adică oformă biliniară simetrică .

Două produse scalare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ sunt numite izometrice (sau congruente ) dacă sunt conectate printr-o izometrie sau dacă există un automorfism $T:V\to V$ ${\ displaystyle T: V \ to V}$ $T: V \ to V$ , Adică un bijectiv de transformare liniară , astfel încât:

\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\psi (T(\mathbf {v} ),T(\mathbf {w} ))\quad \forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = \ psi (T (\ mathbf {v}), T (\ mathbf {w})) \ quad \ forall \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ în V}

\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = \ psi (T ({\ mathbf v}), T ({\ mathbf w})) \ quad \ forall {\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ în V

Doi transportatori $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ Și $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt ortogonale pentru $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ de sine $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = 0}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = 0$ , și radicalul lui $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este subspațiul vectorial dat de vectorii care sunt ortogonali față de orice vector. Gradul de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este n minus dimensiunea radicalului, în timp ce un vector $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este izotrop dacă $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) = 0}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf v}) = 0$ .

O bază ortogonală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în comparație cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este o bază vectorială $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}$ care sunt două câte două ortogonale. Considera $K=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ $K = {\ mathbb {R}}$ și definiți semnătura bazei ca triada $(i_{+},i_{-},i_{0})$ ${\ displaystyle (i _ {+}, i _ {-}, i_ {0})}$ $(i _ {+}, i _ {-}, i_ {0})$ de numere întregi, unde:

$i_{+}$ ${\ displaystyle i _ {+}}$ $eu _ {+}$ este numărul de vectori $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ a bazei pentru care $\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})>0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v} _ {i}, \ mathbf {v} _ {i})> 0}$ $\ phi ({\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {i})> 0$ .
$i_{-}$ ${\ displaystyle i _ {-}}$ $_ {-}$ este numărul de vectori $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ a bazei pentru care $\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})<0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v} _ {i}, \ mathbf {v} _ {i}) <0}$ $\ phi ({\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {i}) <0$ .
$i_{0}$ ${\ displaystyle i_ {0}}$ $i_ {0}$ este numărul de vectori $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ a bazei pentru care $\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v} _ {i}, \ mathbf {v} _ {i}) = 0}$ $\ phi ({\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {i}) = 0$ .

O astfel de definiție nu ar avea sens $K=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ $K = {\ mathbb {C}}$ , deoarece $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ nu are ordine naturală.

Afirmație

Există două versiuni ale teoremei lui Sylvester: una pentru câmpul real și una pentru cel complex.

Teorema adevărată a lui Sylvester afirmă că dacă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un produs scalar pe spațiul vectorial real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de dimensiunea n , atunci:

Există o bază ortogonală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pentru $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .
Două baze ortogonale pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ au aceeași semnătură, care deci depinde doar de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .
Două produse scalare cu aceeași semnătură sunt congruente.

Semnătura este deci un invariant complet pentru izometrie (congruență): două spații vectoriale reale cu produs scalar sunt izometrice (congruente) dacă și numai dacă au aceeași semnătură.

Versiunea complexă afirmă că dacă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un produs scalar pe spațiul vectorial complex $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de dimensiunea n , atunci:

Există o bază ortogonală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pentru $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .
Două baze ortogonale pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ conțin același număr de vectori izotropi , egal cu dimensiunea radicalului, de care depinde deci doar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .
Două produse scalare cu același rang sunt congruente.

În cazul complex, rangul este deci un invariant complet pentru izometrie (congruență).

Bibliografie

( RO ) DJH Garling, algebre Clifford. O introducere , London Mathematical Society Student Texts, vol. 78, Cambridge, Cambridge University Press , 2011, ISBN 978-1-107-09638-7 , Zbl 1235.15025 .
( EN ) Norman, CW, Algebra universitară , Oxford University Press , 1986, pp. 360–361, ISBN 0-19-853248-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Legea lui Sylvester despre PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema