Matricea Hankel

În algebra liniară , o matrice Hankel este o matrice pătrată cu diagonale constante (panta pozitivă), de exemplu;

{\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \\\ end {bmatrix}}}

În termeni matematici:

a_{i,j}=a_{i-1,j+1}

{\ displaystyle a_ {i, j} = a_ {i-1, j + 1}}

{\ displaystyle a_ {i, j} = a_ {i-1, j + 1}}

Matricea Hankel este strict conectată la matricea Toeplitz : de fapt poate fi obținută inversând ordinea rândurilor sale sau inversând ordinea coloanelor sale.

Un operator Hankel pe un spațiu Hilbert este un operator reprezentat într-o bază ortonormală de o matrice Hankel de dimensiune infinită $(a_{i,j})_{i,j\geq 0}$ ${\ displaystyle (a_ {i, j}) _ {i, j \ geq 0}}$ ${\ displaystyle (a_ {i, j}) _ {i, j \ geq 0}}$ , unde este $a_{i,j}$ ${\ displaystyle a_ {i, j}}$ ${\ displaystyle a_ {i, j}}$ depinde doar de $i+j$ ${\ displaystyle i + j}$ $i + j$ . Matricea Hankel poartă numele matematicianului german Hermann Hankel (1839-1873).

Transformarea lui Hankel

Transformata Hankel este numele care este adesea dat transformării unei secvențe, în care secvența transformată corespunde determinantului matricei Hankel, adică secvența $\{h_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {h_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {h_ {n} \}}$ este transformata Hankel a secvenței $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ unde este

h_{n}=\det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}

{\ displaystyle h_ {n} = \ det (b_ {i + j}) _ {0 \ leq i, j \ leq n}}

{\ displaystyle h_ {n} = \ det (b_ {i + j}) _ {0 \ leq i, j \ leq n}}

Acum, $a_{i,j}=b_{i+j}$ ${\ displaystyle a_ {i, j} = b_ {i + j}}$ ${\ displaystyle a_ {i, j} = b_ {i + j}}$ este matricea Hankel a secvenței $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ . Transformata Hankel este invariantă față de transformarea binomială a unei secvențe. Adică dacă scrii

c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}

{\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} b_ {k}}

{\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} b_ {k}}

ca transformare binomială a secvenței $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ , apoi se dovedește

\det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}=\det(c_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}

{\ displaystyle \ det (b_ {i + j}) _ {0 \ leq i, j \ leq n} = \ det (c_ {i + j}) _ {0 \ leq i, j \ leq n}}

{\ displaystyle \ det (b_ {i + j}) _ {0 \ leq i, j \ leq n} = \ det (c_ {i + j}) _ {0 \ leq i, j \ leq n}}

Matrici Hankel pentru sisteme de identificare

Matricile Hankel se formează atunci când, observând o secvență de date de ieșire, este necesară realizarea unei condiții spațiale subiacente sau a unui model Markov ascuns. Descompunerea cu o singură valoare a Matricei Hankel oferă un mijloc pentru calcularea matricilor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , care definesc realizarea statului.

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4159080-6

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema