Funcția matrice

În algebra liniară , conceptul de funcție poate fi extins la matrici pătrate de orice ordin n prin asocierea unei serii Maclaurin la fiecare funcție, reducându-l la o sumă infinită de puteri ale matricilor:

f(A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}A^{k}.

{\ displaystyle f (A) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}} A ^ {k}.}

{\ displaystyle f (A) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}} A ^ {k}.}

Din care este deja clar că o funcție de matrice pătrată este o matrice de același ordin ale cărei elemente sunt constituite printr-o combinație liniară a funcției elementelor matricei de pornire, în timp ce în general funcțiile elementului corespunzător al matricei de plecare. Funcțiile matriciale sunt utilizate în special pentru rezolvarea sistemelor diferențiale , dintre care cele mai simple sunt sisteme diferențiale de ordinul întâi , în a căror soluție apar în special matricea exponențială și matricea de putere.

Limitarea seriei

Mulțumim teoremei Hamilton-Cayley sub forma:

A^{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A^{k},

{\ displaystyle A ^ {n} = - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k},}

{\ displaystyle A ^ {n} = - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k},}

putem reduce procedura de la calculul puterilor matriciale de la infinit dat de definiție la cel de $n-2$ ${\ displaystyle n-2}$ $n-2$ puteri (identitatea și matricea în sine nu sunt trivial necalculate), chiar dacă complică coeficienții: înmulțindu-se de mai multe ori la dreapta și la stânga semnului egal cu matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este ușor să verificați dacă fiecare putere $A^{n+k}$ ${\ displaystyle A ^ {n + k}}$ ${\ displaystyle A ^ {n + k}}$ se poate exprima ca o combinație liniară numai a celei dintâi $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ matrici.

f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A^{k}.

{\ displaystyle f (A) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k}.}

{\ displaystyle f (A) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k}.}

Identificarea coeficienților seriei finite

Se poate observa că fiecare valoare proprie $\lambda _{j}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ $\ lambda _ {j}$ a matricei de pornire $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ anulează, prin definiție, polinomul caracteristic, deci în mod analog cu ceea ce se întâmplă pentru matrice:

f(\lambda _{j})=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}\lambda _{j}^{k},

{\ displaystyle f (\ lambda _ {j}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} \ lambda _ {j} ^ {k},}

{\ displaystyle f (\ lambda _ {j}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} \ lambda _ {j} ^ {k},}

Prin urmare, scriind această relație pentru fiecare valoare proprie, obținem un sistem liniar a cărui matrice este un pătrat al tipului Vandermonde de $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ linii și $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ coloane, care, totuși, nu sunt inversabile atunci când există $h<n$ ${\ displaystyle h <n}$ ${\ displaystyle h <n}$ valori proprii distincte deoarece unele au multiplicitate $n_{j}>1$ ${\ displaystyle n_ {j}> 1}$ ${\ displaystyle n_ {j}> 1}$ cu $\sum _{j=1}^{h}n_{j}=n$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {h} n_ {j} = n}$ $\ sum_ {j = 1} ^ h n_j = n$ , deoarece se repetă liniile corespunzătoare:

([(\lambda _{j}^{k})]^{T})(\alpha _{k})=(f(\lambda _{j})),\qquad 0\leq k\leq n-1,\,1\leq j\leq h.

{\ displaystyle ([(\ lambda _ {j} ^ {k})] ^ {T}) (\ alpha _ {k}) = (f (\ lambda _ {j})), \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h.}

{\ displaystyle ([(\ lambda _ {j} ^ {k})] ^ {T}) (\ alpha _ {k}) = (f (\ lambda _ {j})), \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h.}

Metoda de interpolare polinomială este apoi utilizată pentru a constrânge sistemul suficient, recurgând la derivatele succesive până la $(n_{j}-1)$ ${\ displaystyle (n_ {j} -1)}$ ${\ displaystyle (n_ {j} -1)}$ -th:

(\alpha _{k})=([(\lambda _{j}^{k})^{(i)}]^{T})^{-1}\,(f^{(i)}(\lambda _{j})),\qquad 0\leq k\leq n-1,\,1\leq j\leq h,\,0\leq i\leq n_{j}-1.

{\ displaystyle (\ alpha _ {k}) = ([(\ lambda _ {j} ^ {k}) ^ {(i)}] ^ {T}) ^ {- 1} \, (f ^ {( i)} (\ lambda _ {j})), \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h, \, 0 \ leq i \ leq n_ {j} -1. }

{\ displaystyle (\ alpha _ {k}) = ([(\ lambda _ {j} ^ {k}) ^ {(i)}] ^ {T}) ^ {- 1} \, (f ^ {( i)} (\ lambda _ {j})), \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h, \, 0 \ leq i \ leq n_ {j} -1. }

Aceasta este o matrice inversabilă a $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ linii și $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ coloane care definesc în mod unic coeficienții și permit calculul acestora. Pentru o mai mare simplitate a înțelegerii, se oferă forma extinsă:

{\begin{bmatrix}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\\...\\...\\...\\\alpha _{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&...&\lambda _{1}^{n-1}\\0&1&2\lambda _{1}&...&(n-1)\lambda _{1}^{n-2}\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&{\frac {(n-1)!}{(n-n_{1})!}}\lambda _{1}^{n-n_{1}}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&...&\lambda _{2}^{n-1}\\0&1&2\lambda _{2}&...&(n-1)\lambda _{2}^{n-2}\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&{\frac {(n-1)!}{(n-n_{2})!}}\lambda _{1}^{n-n_{2}}\\...&...&...&...&...\\1&\lambda _{h}&\lambda _{h}^{2}&...&\lambda _{h}^{n-1}\\0&1&2\lambda _{h}&...&(n-1)\lambda _{h}^{n-2}\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&{\frac {(n-1)!}{(n-n_{h})!}}\lambda _{1}^{n-n_{h}}\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f(\lambda _{1})\\f^{(1)}(\lambda _{1})\\...\\f^{(n_{1}-1)}(\lambda _{1})\\f(\lambda _{2})\\f^{(1)}(\lambda _{2})\\...\\f^{(n_{2}-1)}(\lambda _{2})\\...\\f(\lambda _{h})\\f^{(1)}(\lambda _{h})\\...\\f^{(n_{h}-1)}(\lambda _{h})\\\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} \\\ alpha _ {1} \\ ... \\ ... \\ ... \\\ alpha _ {n-1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda _ {1} & \ lambda _ {1} ^ {2} & ... & \ lambda _ {1} ^ {n-1} \\ 0 & 1 & 2 \ lambda _ {1} & ... & (n-1) \ lambda _ {1} ^ {n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & {\ frac {(n-1)!} {(N-n_ {1})!}} \ Lambda _ {1} ^ {n-n_ { 1}} \\ 1 & \ lambda _ {2} & \ lambda _ {2} ^ {2} & ... & \ lambda _ {2} ^ {n-1} \\ 0 & 1 & 2 \ lambda _ {2} & ... & (n-1) \ lambda _ {2} ^ {n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & {\ frac {(n-1)!} {(N-n_ {2})!}} \ Lambda _ {1} ^ {n-n_ {2}} \\. .. & ... & ... & ... & ... \\ 1 & \ lambda _ {h} & ​​\ lambda _ {h} ^ {2} & ... & \ lambda _ { h} ^ {n-1} \\ 0 & 1 & 2 \ lambda _ {h} & ​​... & (n-1) \ lambda _ {h} ^ {n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & {\ frac {(n -1)!} {(N-n_ {h})!} } \ Lambda _ {1} ^ {n-n_ {h}} \\\ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} f (\ lambda _ {1}) \\ f ^ {( 1)} (\ lambda _ {1}) \\ ... \\ f ^ {(n_ {1} -1)} (\ lambda _ {1}) \\ f (\ lambda _ {2}) \ \ f ^ {(1)} (\ lambda _ {2}) \\ ... \\ f ^ {(n_ {2} -1)} (\ lambda _ {2}) \\ ... \\ f (\ lambda _ {h}) \\ f ^ {(1)} (\ lambda _ {h}) \\ ... \\ f ^ {(n_ {h} -1)} (\ lambda _ { h}) \\\ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} \\\ alpha _ {1} \\ ... \\ ... \\ ... \\\ alpha _ {n-1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda _ {1} & \ lambda _ {1} ^ {2} & ... & \ lambda _ {1} ^ {n-1} \\ 0 & 1 & 2 \ lambda _ {1} & ... & (n-1) \ lambda _ {1} ^ {n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & {\ frac {(n-1)!} {(N-n_ {1})!}} \ Lambda _ {1} ^ {n-n_ { 1}} \\ 1 & \ lambda _ {2} & \ lambda _ {2} ^ {2} & ... & \ lambda _ {2} ^ {n-1} \\ 0 & 1 & 2 \ lambda _ {2} & ... & (n-1) \ lambda _ {2} ^ {n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & {\ frac {(n-1)!} {(N-n_ {2})!}} \ Lambda _ {1} ^ {n-n_ {2}} \\. .. & ... & ... & ... & ... \\ 1 & \ lambda _ {h} & ​​\ lambda _ {h} ^ {2} & ... & \ lambda _ { h} ^ {n-1} \\ 0 & 1 & 2 \ lambda _ {h} & ​​... & (n-1) \ lambda _ {h} ^ {n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & {\ frac {(n -1)!} {(N-n_ {h})!} } \ Lambda _ {1} ^ {n-n_ {h}} \\\ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} f (\ lambda _ {1}) \\ f ^ {( 1)} (\ lambda _ {1}) \\ ... \\ f ^ {(n_ {1} -1)} (\ lambda _ {1}) \\ f (\ lambda _ {2}) \ \ f ^ {(1)} (\ lambda _ {2}) \\ ... \\ f ^ {(n_ {2} -1)} (\ lambda _ {2}) \\ ... \\ f (\ lambda _ {h}) \\ f ^ {(1)} (\ lambda _ {h}) \\ ... \\ f ^ {(n_ {h} -1)} (\ lambda _ { h}) \\\ end {bmatrix}}.}

Procedură

Pe baza considerațiilor făcute, calculul unei funcții matriciale constă din următorii șase pași elementari:

identificarea seriei MacLaurin asociate funcției;
calcularea valorilor proprii ale matricei originale;
calculul funcției acestor valori proprii , și în cazul valorilor proprii cu multiplicitate n _j a valorilor asumate și de derivatele până la $n_{j}$ ${\ displaystyle n_ {j}}$ $n_ {j}$ -alea inclusă;
calcularea coeficienților de putere ca soluție a sistemului Vandermonde liniar neomogen de mai sus;
calculul puterilor matricei originale ca produs sau mult mai rapid folosind teorema Hamilton-Cayley ;
calculul combinației liniare a acestor puteri cu coeficienții deja calculați.

Exemplu de aplicație

Să calculăm sinusul matricei:

\sin {\begin{bmatrix}\pi &0\\{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{\begin{bmatrix}\pi &0\\{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}^{2n+1}}{(2n+1)!}}.

{\ displaystyle \ sin {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} {4}} & {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} {4}} & {\ frac { \ pi} {2}} \ end {bmatrix}} ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}.}

{\ displaystyle \ sin {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} {4}} & {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} {4}} & {\ frac { \ pi} {2}} \ end {bmatrix}} ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}.}

Valorile proprii se dovedesc a fi $\lambda _{1}=\pi$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ pi}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ pi}$ cu multiplicitate $n_{1}=1$ ${\ displaystyle n_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle n_ {1} = 1}$ Și $\lambda _{2}=-\pi /2$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = - \ pi / 2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = - \ pi / 2}$ cu multiplicitate $n_{2}=1$ ${\ displaystyle n_ {2} = 1}$ ${\ displaystyle n_ {2} = 1}$ prin urmare, coeficienții sunt:

{\begin{bmatrix}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\pi \\1&-{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathrm {\sin } \pi \\\mathrm {\sin(} -{\frac {\pi }{2}})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\-{\frac {2}{\pi }}\end{bmatrix}},

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} \\\ alpha _ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ pi \\ 1 & - {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {\ sin} \ pi \\\ mathrm {\ sin (} - {\ frac {\ pi} {2 }}) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 \\ - {\ frac {2} {\ pi}} \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} \\\ alpha _ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ pi \\ 1 & - {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {\ sin} \ pi \\\ mathrm {\ sin (} - {\ frac {\ pi} {2 }}) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 \\ - {\ frac {2} {\ pi}} \ end {bmatrix}},}

prin urmare, se dovedește că:

\sin {\begin{bmatrix}\pi &0\\{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}-{\frac {2}{\pi }}{\begin{bmatrix}\pi &0\\{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\frac {1}{2}}&1\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle \ sin {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} {4}} & {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} = 2 {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} - {\ frac {2} {\ pi}} {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} { 4}} & {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ - {\ frac {1} {2}} & 1 \ end {bmatrix }}.}

{\ displaystyle \ sin {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} {4}} & {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} = 2 {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} - {\ frac {2} {\ pi}} {\ begin {bmatrix} \ pi & 0 \\ {\ frac {\ pi} { 4}} & {\ frac {\ pi} {2}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ - {\ frac {1} {2}} & 1 \ end {bmatrix }}.}

Puterea matricei

Puterea matricei necesară pentru calcularea oricărei alte funcții devine, de asemenea, mult mai rapidă pe baza considerentelor anterioare, cu cât este mai mică ordinea matricei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu privire la exponent $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și, în general, este convenabil cu privire la efectuarea tuturor multiplicărilor simple necesare atunci când $n<x+1$ ${\ displaystyle n <x + 1}$ ${\ displaystyle n <x + 1}$ .

În realitate, pentru exponenții întregi este încă mult mai rapid să se exploateze teorema Hamilton-Cayley direct; totuși, acest sistem permite generalizarea definiției puterii pentru a admite un exponent complex :

A^{x}=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A^{k},

{\ displaystyle A ^ {x} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k},}

{\ displaystyle A ^ {x} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k},}

unde în acest caz coeficienții sunt:

(\alpha _{k})=([(\lambda _{j}^{k})^{(i)}]^{T})^{-1}\,(\prod _{m=x-i+1}^{x}m\,\lambda _{j}^{x-i}),\qquad 0\leq k\leq n-1,\,1\leq j\leq h,\,0\leq i\leq n_{j}-1.

{\ displaystyle (\ alpha _ {k}) = ([(\ lambda _ {j} ^ {k}) ^ {(i)}] ^ {T}) ^ {- 1} \, (\ prod _ { m = xi + 1} ^ {x} m \, \ lambda _ {j} ^ {xi}), \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h, \, 0 \ leq i \ leq n_ {j} -1.}

{\ displaystyle (\ alpha _ {k}) = ([(\ lambda _ {j} ^ {k}) ^ {(i)}] ^ {T}) ^ {- 1} \, (\ prod _ { m = xi + 1} ^ {x} m \, \ lambda _ {j} ^ {xi}), \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h, \, 0 \ leq i \ leq n_ {j} -1.}

De exemplu, vrem să calculăm:

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{x},

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {x},}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {x},}

de la valoarea proprie $\lambda _{1}=1$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 1}$ are multiplicitate $n_{1}=2$ ${\ displaystyle n_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle n_ {1} = 2}$ , matricea Vandermonde coincide cu matricea originală:

{\begin{bmatrix}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}\\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{x}\\x\lambda _{1}^{x-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-x\\x\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} \\\ alpha _ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda _ {1} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} ^ {x} \\ x \ lambda _ {1} ^ {x-1} \ end {bmatrix}} = {\ începe {bmatrix} 1-x \\ x \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} \\\ alpha _ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ lambda _ {1} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} ^ {x} \\ x \ lambda _ {1} ^ {x-1} \ end {bmatrix}} = {\ începe {bmatrix} 1-x \\ x \ end {bmatrix}}}

prin urmare:

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{x}={\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {x} = {\ begin {bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {x} = {\ begin {bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

De exemplu, putem admite cu ușurință că:

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{\pi }={\begin{bmatrix}1&\pi \\0&1\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {\ pi} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ pi \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} .}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {\ pi} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ pi \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} .}

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 54100

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema