Matricea transpusă

În matematică , matricea transpusă a unei matrici este matricea obținută prin schimbul rândurilor sale cu coloane. A fost introdus în 1858 de matematicianul britanic Arthur Cayley . ^[1]

Definiție

Transpunerea unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea $A^{T}$ ${\ displaystyle A ^ {T}}$ $A ^ {T}$ al cărui element generic cu indici $(i,j)$ ${\ displaystyle (i, j)}$ $(i, j)$ este elementul cu indici $(j,i)$ ${\ displaystyle (j, i)}$ $(j, i)$ a matricei originale. În simboluri:

\left(A^{T}\right)_{ij}=A_{ji}\qquad \forall A\in \mathbf {K} ^{m,n}\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n

{\ displaystyle \ left (A ^ {T} \ right) _ {ij} = A_ {ji} \ qquad \ forall A \ in \ mathbf {K} ^ {m, n} \ quad 1 \ leq i \ leq m , \ quad 1 \ leq j \ leq n}

\ left (A ^ {T} \ right) _ {{ij}} = A _ {{ji}} \ qquad \ forall A \ in {\ mathbf {K}} ^ {{m, n}} \ quad 1 \ leq i \ leq m, \ quad 1 \ leq j \ leq n

cu $\mathbf {K} ^{m,n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} ^ {m, n}}$ ${\ mathbf {K}} ^ {{m, n}}$ spațiul vectorial al matricelor de dimensiune n . În practică, matricea transpusă trebuie înțeleasă ca o matrice în care coloanele devin rânduri și rândurile devin coloane.

Operația de transpunere este definită atât pe matrice pătrate cât și dreptunghiulare și, prin urmare, și pe vectori . În special, un vector coloană transpus este un vector rând și invers.

O matrice care coincide cu propria sa transpunere se numește matrice simetrică și trebuie să fie o matrice pătrată. Un scalar poate fi văzut ca un caz special al unei matrici simetrice 1 × 1 și, prin urmare, este invariant la transpunere. Prin urmare, deși, în general, dați două matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ de dimensiuni adecvate avem că:

(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\neq A^{T}B^{T}

{\ displaystyle (AB) ^ {T} = B ^ {T} A ^ {T} \ neq A ^ {T} B ^ {T}}

(AB) ^ {T} = B ^ {T} A ^ {T} \ neq A ^ {T} B ^ {T}

operatorul de transpunere este liniar , adică având doi scalari $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , se aplică următoarele:

(kA+lB)^{T}=(kA)^{T}+(lB)^{T}=kA^{T}+lB^{T}

{\ displaystyle (kA + lB) ^ {T} = (kA) ^ {T} + (lB) ^ {T} = kA ^ {T} + lB ^ {T}}

(kA + lB) ^ {T} = (kA) ^ {T} + (lB) ^ {T} = kA ^ {T} + lB ^ {T}

Mai general, datele scalare N $k_{i}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ $k_ {i}$ și N matrice $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ de dimensiuni egale, se aplică următoarele:

\left(\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}\right)^{T}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}^{T}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} A_ {i} \ right) ^ {T} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} A_ {i} ^ {T}}

\ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{N}} k_ {i} A_ {i} \ right) ^ {T} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{N} } k_ {i} A_ {i} ^ {T}

unde este $\sum$ ${\ displaystyle \ sum}$ $\ sum$ indică o însumare .

Proprietate

Se aplică următoarele proprietăți:

Transpunerea transpunerii este matricea însăși:

\left(A^{T}\right)^{T}=A

{\ displaystyle \ left (A ^ {T} \ right) ^ {T} = A}

\ left (A ^ {T} \ right) ^ {T} = A

Transpunerea sumei a două matrice este egală cu suma celor două matrice transpuse:

(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}

{\ displaystyle (A + B) ^ {T} = A ^ {T} + B ^ {T}}

(A + B) ^ {T} = A ^ {T} + B ^ {T}

Ordinea matricilor este inversată prin multiplicare:

\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}

{\ displaystyle \ left (AB \ right) ^ {T} = B ^ {T} A ^ {T}}

\ left (AB \ right) ^ {T} = B ^ {T} A ^ {T}

Acest rezultat poate fi extins cu ușurință la cazul mai general, în care sunt considerate mai multe matrici:

\left(ABC\dots XYZ\right)^{T}=Z^{T}Y^{T}X^{T}\dots C^{T}B^{T}A^{T}

{\ displaystyle \ left (ABC \ dots XYZ \ right) ^ {T} = Z ^ {T} Y ^ {T} X ^ {T} \ dots C ^ {T} B ^ {T} A ^ {T} }

\ left (ABC \ dots XYZ \ right) ^ {T} = Z ^ {T} Y ^ {T} X ^ {T} \ dots C ^ {T} B ^ {T} A ^ {T}

De sine $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este un scalar, transpunerea unui scalar este scalarul nemodificat:

(cA)^{T}=cA^{T}

{\ displaystyle (cA) ^ {T} = cA ^ {T}}

(cA) ^ {T} = cA ^ {T}

În cazul matricelor pătrate , determinantul transpunerii este egal cu determinantul matricei inițiale:

\det(A^{T})=\det(A)

{\ displaystyle \ det (A ^ {T}) = \ det (A)}

\ det (A ^ {T}) = \ det (A)

Produsul scalar dintre doi vectori de coloană $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ poate fi calculat ca:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} ,

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} ^ {T} \ mathbf {b},}

{\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {b}} = {\ mathbf {a}} ^ {T} {\ mathbf {b}},

care poate fi scris folosind notația lui Einstein precum

a_{i}b^{i}

{\ displaystyle a_ {i} b ^ {i}}

a_ {i} b ^ {i}

.

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atunci are doar elemente reale $A^{T}A$ ${\ displaystyle A ^ {T} A}$ $A ^ {T} A$ este o matrice simetrică semidefinită pozitivă .
Transpunerea unei matrice inversabile este încă inversabilă, iar inversul său este transpunerea inversului matricei inițiale: $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ ${\ displaystyle (A ^ {T}) ^ {- 1} = (A ^ {- 1}) ^ {T}}$ $(A ^ {T}) ^ {{- 1}} = (A ^ {{- 1}}) ^ {T}$
De sine $A^{T}=A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {T} = A ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle A ^ {T} = A ^ {- 1}}$ apoi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice ortogonală
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice pătrată, atunci valorile sale proprii sunt egale cu valorile proprii ale transpunerii sale.

Transpunerea hărților liniare

Același subiect în detaliu: Spațiu dual și bază duală .

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ sunt două spații vectoriale de dimensiune finită pe același câmp și $f:V\to W$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ $f: V \ to W$ este o aplicație liniară , putem defini aplicația duală a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ca harta $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$ ${\ displaystyle f ^ {*}: W ^ {*} \ to V ^ {*}}$ $f ^ {*}: W ^ {*} \ to V ^ {*}$ între spațiile duale $W^{*}$ ${\ displaystyle W ^ {*}}$ $W ^ {*}$ Și $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ definit de:

f^{*}:\varphi \mapsto \varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{*}

{\ displaystyle f ^ {*}: \ varphi \ mapsto \ varphi \ circ f \ qquad \ forall \ varphi \ in W ^ {*}}

f ^ {*}: \ varphi \ mapsto \ varphi \ circ f \ qquad \ forall \ varphi \ in W ^ {*}

Setați două baze $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ respectiv, se arată că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea asociată cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în ceea ce privește aceste baze, atunci matricea asociată cu $f^{*}$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $f ^ {*}$ cu privire la bazele duale ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este transpunerea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Orice aplicație liniară $f:V\to V^{*}$ ${\ displaystyle f: V \ to V ^ {*}}$ $f: V \ to V ^ {*}$ care hărți în spațiu dual definește o formă biliniară $B:V\times V\to F$ ${\ displaystyle B: V \ times V \ to F}$ $B: V \ times V \ to F$ prin relație:

B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )

{\ displaystyle B (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = f (\ mathbf {v}) (\ mathbf {w})}

B ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = f ({\ mathbf v}) ({\ mathbf w})

Prin definirea transpunerii acestei funcții ca formă biliniară $^{t}B$ ${\ displaystyle ^ {t} B}$ $^ {t} B$ dată de harta transpusă $^{t}f:V^{**}\to V^{*}$ ${\ displaystyle ^ {t} f: V ^ {**} \ to V ^ {*}}$ $^ {t} f: V ^ {{**}} \ to V ^ {*}$ :

^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )

{\ displaystyle ^ {t} B (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = ^ {t} f (\ mathbf {v}) (\ mathbf {w})}

^ {t} B ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = ^ {t} f ({\ mathbf v}) ({\ mathbf w})

găsești asta $B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle B (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = ^ {t} B (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $B ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = ^ {t} B ({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ .

Exemple

$A={\begin{pmatrix}2&4&8\\3&2&0\\5&3&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\quad A^{T}={\begin{pmatrix}2&3&5&0\\4&2&3&1\\8&0&1&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 3 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ quad A ^ {T} = {\ begin {pmatrix} 2 & 3 & 5 & 0 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 8 & 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$ $A = {\ begin {pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 3 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ quad A ^ {T} = {\ începe {pmatrix} 2 & 3 & 5 & 0 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 8 & 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$ ${\ begin {pmatrix} 1 & 2 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, {\ begin {pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \ end {pmatrix}}}$ ${\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, {\ begin {pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \ sfârșit {pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}\;$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, {\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \ end {pmatrix}} \;}$ ${\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, {\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \ end {pmatrix}} \;$

${\begin{pmatrix}1&2&8\\3&4&3\\5&6&1\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\\8&3&1\end{pmatrix}}\;$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 3 & 4 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, { \ begin {pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 1 \ end {pmatrix}} \;}$ ${\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 8 \\ 3 & 4 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \ end {pmatrix}} ^ {T} \! \! \; \! = \, {\ begin { pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 1 \ end {pmatrix}} \;$

Ideea de calcul: rotiți matricea cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic, apoi schimbați primul rând cu ultimul, al doilea cu penultimul etc. (în primul exemplu, după rotirea matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ 90 °, rândul 2 rămâne neschimbat, în timp ce rândurile 1 și 3 sunt schimbate).

Alternativ: imaginați-vă o axă diagonală începând de la primul element din stânga sus și continuând în jos spre dreapta (45 °); apoi „oglindește” matricea folosind-o ca axă de simetrie.

Alternativ din nou: fixați o direcție de citire a matricei (de exemplu, pe rânduri sau pe coloane) și ceea ce în matrice era primul rând, în transpunerea sa devine prima coloană; ceea ce a fost al doilea rând devine a doua coloană și așa mai departe.

Notă

^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17-37. Transpunerea (sau „transpunerea”) este definită la pagina 31.

Bibliografie

( EN ) FR [FR Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reeditare (1959) pp. 19

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) OA Ivanova, Transposed matrix , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17-37. Transpunerea (sau „transpunerea”) este definită la pagina 31.

[1]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema