Descompunerea polară

În matematică , în special în algebra liniară și analiza funcțională , descompunerea polară a unei matrice sau a unui operator liniar continuu este o factorizare analogă formei polare a unui număr complex .

Descompunerea unei matrice

Descompunerea polară a unei matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o factorizare a formei:

A=UP

{\ displaystyle A = UP}

{\ displaystyle A = UP}

unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o matrice unitară și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este o matrice hermitiană semidefinită pozitivă . Intuitiv, această descompunere separă matricea într-o componentă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ care dilată spațiul de-a lungul unui set de axe ortonormale și a unei componente $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ reprezentând o rotație. Descompunerea conjugatului complex ${\overline {A}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline {A}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este dat de ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}} = {\ overline {U}} {\ overline {P}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}} = {\ overline {U}} {\ overline {P}}}$ .

Este o descompunere care este întotdeauna posibilă. De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice inversabilă , descompunerea este unică e $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este pozitiv definit. Am notat asta:

\det A=\det U\,\det P=re^{i\theta }

{\ displaystyle \ det A = \ det U \, \ det P = re ^ {i \ theta}}

{\ displaystyle \ det A = \ det U \, \ det P = re ^ {i \ theta}}

dă descompunerea corespunzătoare a determinantului de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , De cand $\det P=r=|\det A|$ ${\ displaystyle \ det P = r = | \ det A |}$ ${\ displaystyle \ det P = r = | \ det A |}$ Și $\det U=e^{i\theta }$ ${\ displaystyle \ det U = e ^ {i \ theta}}$ ${\ displaystyle \ det U = e ^ {i \ theta}}$ .

Matricea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este întotdeauna unic și este dat de:

P={\sqrt {A^{*}A}}

{\ displaystyle P = {\ sqrt {A ^ {*} A}}}

{\ displaystyle P = {\ sqrt {A ^ {*} A}}}

unde este $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ este transpunerea conjugată a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atunci este inversabil $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este dat de:

U=AP^{-1}

{\ displaystyle U = AP ^ {- 1}}

{\ displaystyle U = AP ^ {- 1}}

Relativ la descompunerea la valori singulare $A=W\Sigma V^{*}$ ${\ displaystyle A = W \ Sigma V ^ {*}}$ ${\ displaystyle A = W \ Sigma V ^ {*}}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , avem:

P=V\Sigma V^{*}\qquad U=WV^{*}

{\ displaystyle P = V \ Sigma V ^ {*} \ qquad U = WV ^ {*}}

{\ displaystyle P = V \ Sigma V ^ {*} \ qquad U = WV ^ {*}}

ceea ce confirmă că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este pozitiv definit și $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este unitar.

De asemenea, se poate descompune $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sub forma:

A=P'U

{\ displaystyle A = P'U}

{\ displaystyle A = P'U}

unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este la fel și ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ este dat de:

P'=UPU^{-1}={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}

{\ displaystyle P '= UPU ^ {- 1} = {\ sqrt {AA ^ {*}}} = W \ Sigma W ^ {*}}

{\ displaystyle P '= UPU ^ {- 1} = {\ sqrt {AA ^ {*}}} = W \ Sigma W ^ {*}}

Matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este normal dacă și numai dacă $P'=P$ ${\ displaystyle P '= P}$ ${\ displaystyle P '= P}$ . Atunci, $U\Sigma =\Sigma U$ ${\ displaystyle U \ Sigma = \ Sigma U}$ ${\ displaystyle U \ Sigma = \ Sigma U}$ și este posibilă diagonalizarea $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ cu o matrice care comută cu $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ și care este similar cu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ prin intermediul unei matrici unitare.

Descompunerea unui operator liniar

Descompunerea polară a matricilor este generalizată în cazul operatorilor liniari limitați . Spus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator liniar mărginit între spațiile Hilbert , descompunerea sa polară este o factorizare canonică $A=UP$ ${\ displaystyle A = UP}$ ${\ displaystyle A = UP}$ ca produs al unei izometrii parțiale $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și un operator autoadjunct non-negativ $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pentru care nucleul coincide cu nucleul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Motivul pentru care $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o izometrie parțială și nu un operator de unitate, este dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este schimbarea unilaterală în sus $l^{2}(\mathbb {N} )$ ${\ displaystyle l ^ {2} (\ mathbb {N})}$ ${\ displaystyle l ^ {2} (\ mathbb {N})}$ asa de $|A|=(A^{*}A)^{1/2}=I$ ${\ displaystyle | A | = (A ^ {*} A) ^ {1/2} = I}$ ${\ displaystyle | A | = (A ^ {*} A) ^ {1/2} = I}$ , astfel, dacă $A=U|A|$ ${\ displaystyle A = U | A |}$ ${\ displaystyle A = U | A |}$ asa de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ trebuie să fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , care nu este unitar.

Existența descompunerii polare este o consecință a lemei lui Douglas: dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt operatori delimitați pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $A^{*}A\leq B^{*}B$ ${\ displaystyle A ^ {*} A \ leq B ^ {*} B}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A \ leq B ^ {*} B}$ , atunci există o contracție $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât $A=CB$ ${\ displaystyle A = CB}$ ${\ displaystyle A = CB}$ . În plus, $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este unic dacă $\ker(B^{*})\subset \ker(C)$ ${\ displaystyle \ ker (B ^ {*}) \ subset \ ker (C)}$ ${\ displaystyle \ ker (B ^ {*}) \ subset \ ker (C)}$ . Operatorul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ poate fi definit prin relația:

C(Bh)\equiv Ah\qquad \forall h\in H

{\ displaystyle C (Bh) \ equiv Ah \ qquad \ forall h \ in H}

{\ displaystyle C (Bh) \ equiv Ah \ qquad \ forall h \ in H}

și poate fi extins atât la închiderea imaginii $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , atât la complementul ortogonal al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Lema este valabilă și în acest caz, deoarece $A^{*}A\leq B^{*}B$ ${\ displaystyle A ^ {*} A \ leq B ^ {*} B}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A \ leq B ^ {*} B}$ implica $\ker(A)\subset \ker(B)$ ${\ displaystyle \ ker (A) \ subset \ ker (B)}$ ${\ displaystyle \ ker (A) \ subset \ ker (B)}$ . În special, dacă $A^{*}A=B^{*}B$ ${\ displaystyle A ^ {*} A = B ^ {*} B}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A = B ^ {*} B}$ asa de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o izometrie parțială care este unică dacă $\ker(B^{*})\subset \ker(C)$ ${\ displaystyle \ ker (B ^ {*}) \ subset \ ker (C)}$ ${\ displaystyle \ ker (B ^ {*}) \ subset \ ker (C)}$ .

În general, pentru orice operator limitat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle A ^ {*} A = (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}} (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle A ^ {*} A = (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}} (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}}}

și din lemă avem:

A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle A = U (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle A = U (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}}}

pentru unele izometrii parțiale $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . De sine $P=(A^{*}A)^{1/2}$ ${\ displaystyle P = (A ^ {*} A) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle P = (A ^ {*} A) ^ {1/2}}$ se obține descompunerea polară $A=UP$ ${\ displaystyle A = UP}$ ${\ displaystyle A = UP}$ .

Operatori nelimitați

În cazul în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator închis , dens definit între spații Hilbert complexe, dar care nu este delimitat, atunci există încă o descompunere polară (unică):

A=U|A|

{\ displaystyle A = U | A |}

{\ displaystyle A = U | A |}

unde este $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ $| A |$ este un operator autoadjunct non-negativ care poate fi nelimitat și care posedă același domeniu ca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , in timp ce $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o izometrie parțială care dispare pe complementul ortogonal al imaginii lui $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ $| A |$ .

Cuaternionii

Descompunerea polară a cuaternionilor $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ depinde de "sfera" $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ ${\ displaystyle \ lbrace xi + yj + zk \ în H: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ lbrace xi + yj + zk \ în H: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ rbrace}$ de rădăcini pătrate de -1: dat a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ pe sferă și un unghi $-\pi <a\leq \pi$ ${\ displaystyle - \ pi <a \ leq \ pi}$ ${\ displaystyle - \ pi <a \ leq \ pi}$ , versorul $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ ${\ displaystyle e ^ {ar} = \ cos (a) + r \ \ sin (a)}$ ${\ displaystyle e ^ {ar} = \ cos (a) + r \ \ sin (a)}$ este pe 3-sfera lui $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Pentru $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ Și $a=\pi$ ${\ displaystyle a = \ pi}$ ${\ displaystyle a = \ pi}$ , vectorul unitar este 1 sau -1 în funcție de care $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ tu alegi. Standardul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ a unui cuaternion $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este distanța euclidiană a $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ de la origine. Când un cuaternion nu este doar un număr real, atunci există o singură descompunere polară:

q=te^{ar}

{\ displaystyle q = te ^ {ar}}

{\ displaystyle q = te ^ {ar}}

Bibliografie

(EN) Conway, JB: Un curs de analiză funcțională. New York: Springer 1990
(EN) Douglas, RG: Cu privire la majorarea, factorizarea și includerea în gamă a operatorilor în spațiul Hilbert. Proc. Amer. Matematica. Soc. 17 , 413-415 (1966)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Descompuneri polare pe www.continuummechanics.org , pe continuummechanics.org .
( EN ) Aplicația calculatorului de descompunere pe www.continuummechanics.org , pe continuummechanics.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema