factorizarea

In polinom x ^ 2 + cx + d, setați a + b = c și ab = d, poate fi luat ca (x + a) (x + b)

În matematică , factorizarea sau factorizarea unui număr sau un alt obiect matematic constă în reprezentarea lor ca produs al mai multor factori, de obicei , mai mici sau mai simple și mai mult de aceeași natură. De exemplu $3\times 5$ ${\ Displaystyle 3 \ 5 ori}$ ${\ displaystyle 3 \ 5 ori}$ este o factorizare a întregului $15$ ${\ Displaystyle 15}$ $15$ . In schimb $(x-2)(x+2)$ ${\ Displaystyle (x-2) (x + 2)}$ ${\ displaystyle (x-2) (x + 2)}$ este o factorizare a polinomului $x^{2}-4.$ ${\ Displaystyle x ^ {2} -4.}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} -4.}$

Factorizare nu este , în general , considerată semnificativă în seturi numerice având o operație de diviziune, cum ar fi reale sau complexe numere , din moment ce orice $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate fi scris ca trivial $(xy)\times (1/y)$ ${\ Displaystyle (xy) \ ori (1 / y)}$ ${\ displaystyle (xy) \ ori (1 / y)}$ pentru fiecare $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ non-zero. În orice caz, un factorizare util pentru numere raționale și raționale funcții pot fi obținute prin reducerea acestora cu termenii și condițiile lor cele mai mici și , ulterior , prin factoring lor numărătorii și numitorii .

Factorizarea întregi a fost deja utilizat de vechii matematicieni greci: Apollonius din Perga , Arhimede , Euclid , etc. Noi datorăm Euclid teorema fundamentală a aritmeticii care prevede că fiecare număr întreg pozitiv poate fi descompus într - un produs de numere prime , care este, numere care nu pot fi luate în continuare în alte numere întregi mai mari decât 1, și că acest produs este unic ^[1] în cazul în care ordinea factorilor este neglijată. Factorizarea este un proces algoritmică de diviziuni succesive pentru a obține factorii unice și , prin urmare , pot să apară metaforic ca inversul multiplicare, dar dificultatea acestui proces crește enorm , cu un număr mare și tocmai această dificultate , care este exploatată de către sistemele moderne de criptare RSA .

Factorizarea unui polinom a fost de asemenea studiat timp de secole. In algebra elementară , factoring un polinom este redus la problema găsirii sale rădăcini și apoi găsirea factorilor al căror produs este egal cu polinomul. Un polinom cu coeficienți întregi se bucură , de asemenea , proprietatea similară cu cea a teorema fundamentală a aritmetică, cu diferența că fiecare dintre factorii săi se numește un polinom ireductibil . Un polinom cu un necunoscut și complex coeficientii admite un singur factorizare în produsul polinoamelor liniare (adică de un grad), un caz particular al teoremei fundamentale a algebrei . Polinoame Integer sunt fundamentale pentru algebra computațională . Există algoritmi de calcul eficiente pentru calculul complet al unui inel polinom cu raționale coeficienți (vezi descompunerea polinoamelor ).

Un inel comutativ care are o factorizare unic este numit un singur domeniu factorizare . Există sisteme de numere , cum ar fi anumite inele de numere întregi algebrice , care nu sunt domenii cu un singur factorizarea. Cu toate acestea, ele satisfac proprietatea mai slabă de a fi un domeniu Dedekind : idealurile recunosc factoring unic în prim idealuri .

Factorizarea se poate referi la un concept mai general de rupere jos un obiect matematic într-un produs de obiecte mai mici sau mai simple. De exemplu, fiecare funcție poate fi luate în considerare în componența unei funcții surjective cu o funcție injectivă . Matricele au mai multe tipuri de produse factorizarea în matrice. De exemplu, fiecare matrice are o factorizare LUP unic care constă din produsul unui inferior matrice triunghiular $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , Având toate elementele diagonalei egală cu 1, pentru o matrice triunghiulară superior $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și pentru o matrice de permutare $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Numere întregi

Din teorema fundamentală a aritmeticii avem că fiecare număr întreg mai mare decât 1 are o factorizare unica in numere prime , care este, în numere întregi care nu pot fi la rândul lor factori de corecție în numere întregi mai mari decât unitatea.

Pentru a calcula factorizarea unui număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Este nevoie de un algoritm pentru a găsi un divizor $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dacă nu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ să fie mai întâi. În cazul în care se constată un divizor, repetarea algoritmului factorului $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ / $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ în cele din urmă se va încheia odată cu finalizarea factorizarea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . ^[2]

Pentru a găsi un separator $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , În cazul în care acesta există, trebuie doar să verificați toate valorile $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ astfel încât $1<q$ ${\ Displaystyle 1 <q}$ ${\ Displaystyle 1 <q}$ Și $q^{2}\leq n$ ${\ Q displaystyle ^ {2} \ leq n}$ ${\ Q displaystyle ^ {2} \ leq n}$ . De fapt, dacă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este divizorul lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $r^{2}>n$ ${\ R displaystyle ^ {2}> n}$ ${\ R displaystyle ^ {2}> n}$ , asa de $q=n/r$ ${\ Displaystyle q = n / r}$ ${\ Displaystyle q = n / r}$ este divizorul lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât $q^{2}\leq n$ ${\ Q displaystyle ^ {2} \ leq n}$ ${\ Q displaystyle ^ {2} \ leq n}$ .

Dacă încercați valorile $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ în ordine crescătoare, primul împărțitor găsit este în mod necesar un număr prim, și cofactor $r=n/q$ ${\ Displaystyle r = n / q}$ ${\ Displaystyle r = n / q}$ nu poate avea un divizor mai mică $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Pentru a obține factorizarea completă, prin urmare, este suficient să se repete algoritmul în căutarea unui divizor de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ nu mai puțin decât $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ și nu este mai mare decât ${\sqrt {r}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {r}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {r}}}$ .

Nu este necesar să se verifice toate valorile $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ să aplice metoda. În principiu, este suficient să încercați cu prim divizori. Pentru a face acest lucru, este necesar să existe un tabel de numere prime, probabil obținute cu sita Eratostene . Având în vedere că metoda dată factorizării este în esență aceeași ca și pentru sită, este în general mai eficient să caute un divizor numai pentru acele numere pentru care nu este clar imediat dacă acestea sunt prime sau nu. În mod normal, vom continua cu divizorii 2,3,5 și numerele $>5$ ${\ Displaystyle> 5}$ ${\ Displaystyle> 5}$ , Care au ca cifră a unităților 1,3,7,9 și că suma cifrelor $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ nu este un multiplu de 3.

Această metodă funcționează bine pentru factoring întregi mici, dar este ineficient pentru numere întregi mari. De exemplu, Pierre de Fermat nu a putut să descopere că Fermat șaselea număr

1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4.294.967.297

{\ Displaystyle 1 + 2 ^ {2 ^ {5}} = 1 + 2 ^ {32} = 4.294.967.297}

{\ Displaystyle 1 + 2 ^ {2 ^ {5}} = 1 + 2 ^ {32} = 4.294.967.297}

aceasta nu este o primă. De fapt, aplicarea metodei raportate ar necesita mai mult de 10 000 de diviziuni, pentru că numărul de 10 cifre.

Există algoritmi mai eficiente, dar nu suficient încă. În stadiul actual al tehnicii, chiar și cu cele mai puternice calculatoare, este încă nu este posibil să factor un număr care are 500 de cifre și este produsul a două numere prime alese la întâmplare. Această incapacitate asigură securitatea pe care criptarea RSA , se bazează sistemul, care este utilizat pe scară largă pentru protecția comunicațiilor pe internet.

Exemplu

Pentru factorul $n=1386$ ${\ Displaystyle n = 1386}$ ${\ Displaystyle n = 1386}$ într-un produs de premiere:

Începeți cu divizare de 2 (n este chiar) și $n=2\cdot 693$ ${\ Displaystyle n = 2 \ cdot 693}$ ${\ Displaystyle n = 2 \ cdot 693}$ . Continuați cu 693, și 2 ca prim candidat împărțitor.
693 este impar (2 nu este divizor ei), dar este multiplu de 3: ne $693=3\cdot 231$ ${\ Displaystyle 693 = 3 \ cdot 231}$ ${\ Displaystyle 693 = 3 \ cdot 231}$ Și $n=2\cdot 3\cdot 231.$ ${\ N displaystyle = 2 \ cdot 3 \ cdot 231.}$ ${\ N displaystyle = 2 \ cdot 3 \ cdot 231.}$ Continuați cu 231, și 3 ca prim candidat împărțitor.
231 este, de asemenea, un multiplu de 3: obținem $231=3\cdot 77$ ${\ Displaystyle 231 = 3 \ cdot 77}$ ${\ Displaystyle 231 = 3 \ cdot 77}$ , prin urmare $p=2\cdot 3^{2}\cdot 77.$ ${\ Displaystyle p = 2 \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 77.}$ ${\ Displaystyle p = 2 \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 77.}$ Continuați cu 77, și 3 ca prim candidat împărțitor.
77 nu este un multiplu de 3, pentru că suma cifrelor este de 14, care nu este un multiplu de 3. De asemenea, nu este un multiplu de 5, deoarece unitățile de cifre este 7. Următoarea divizorul să caute este, prin urmare, 7. Noi obține $77=7\cdot 11,$ ${\ Displaystyle 77 = 7 \ cdot 11}$ ${\ Displaystyle 77 = 7 \ cdot 11}$ prin urmare $p=2\cdot 3^{2}\cdot 7\cdot 11.$ ${\ Displaystyle p = 2 \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11.}$ ${\ Displaystyle p = 2 \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11.}$ Este ușor de verificat că 7 este prim. Continuați cu 11, și 7 ca prim candidat împărțitor.
De cand $7^{2}>11,$ ${\ Displaystyle 7 ^ {2}> 11}$ ${\ Displaystyle 7 ^ {2}> 11}$ procesul este terminat. Prin urmare, 11 este factorizarea prim, și plin în rezultatele prime

1386=2\cdot 3^{2}\cdot 7\cdot 11.

{\ Displaystyle 1386 = 2 \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11.}

{\ Displaystyle 1386 = 2 \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11.}

Expresii

Manipularea expresiilor este baza de algebra . Factoring-ul este una dintre cele mai importante metode de manipulare a expresiilor din mai multe motive. Dacă poate reprezenta o ecuație în formă factorizata $E\cdot F=0$ ${\ Displaystyle E \ cdot F = 0}$ ${\ Displaystyle E \ cdot F = 0}$ , Problema de a rezolva ecuația rupe în două independente (și, de obicei, mai ușor) probleme: $E=0$ ${\ Displaystyle E = 0}$ ${\ Displaystyle E = 0}$ Și $F=0$ ${\ Displaystyle F = 0}$ ${\ Displaystyle F = 0}$ . Într-o expresie factorizata, factorii sunt mult mai simple, și, astfel, oferă o vedere mai bună a problemei. De exemplu:

x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc

{\ Displaystyle x ^ {3} -ax ^ {2} -bx ^ {2} Cx ^ {2} + ABX + ACX + BCX-abc}

{\ Displaystyle x ^ {3} -ax ^ {2} -bx ^ {2} Cx ^ {2} + ABX + ACX + BCX-abc}

care conține 16 înmulțiri, 4 și 3 adăugări scăderi, pot fi luate într-o expresie mult mai simplă

(x-a)(x-b)(x-c),

{\ Displaystyle (xa) (xb) (xc)}

{\ Displaystyle (x-a) (x-b) (x-c)}

cu doar trei înmulțiri și trei scăderi. Mai mult, forma factorizata indică deja care sunt rădăcinile $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ polinomului.

Factoring nu este întotdeauna posibil, și când este, factori nu sunt întotdeauna mai simple. De exemplu, $x^{10}-1$ ${\ Displaystyle x ^ {10} -1}$ ${\ Displaystyle x ^ {10} -1}$ acesta poate fi luat in doi factori ireductibili $x-1$ ${\ Displaystyle x-1}$ ${\ Displaystyle x-1}$ Și $x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1.$ ${\ Displaystyle x ^ {9} + x ^ {8} + \ cdots + x ^ {2} + x + 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {9} + x ^ {8} + \ cdots + x ^ {2} + x + 1}$

Diferite metode au fost dezvoltate pentru a găsi factorizations, unele sunt descrise mai jos.

Solutia de ecuatii algebrice poate fi văzută ca o problemă factorizare polinom. De fapt, teorema fundamentală a algebrei poate fi exprimată după cum urmează: orice polinom în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de gradul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu complexe coeficienți poate fi luate în considerare în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ factori liniari $x-a_{i},$ ${\ Displaystyle x-a_ {i}}$ ${\ Displaystyle x-a_ {i}}$ cu $i=1,...,n$ ${\ Displaystyle i = 1, ..., n}$ ${\ Displaystyle i = 1, ..., n}$ , unde $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt rădăcinile polinomului. ^[3] Deși structura factorizarea este cunoscută în aceste cazuri, $x-a_{i}$ ${\ Displaystyle x-a_ {i}}$ ${\ Displaystyle x-a_ {i}}$ , În general , nu poate fi calculată în funcție de radicali (adică prin rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -lea), prin teorema Abel-Ruffini . In multe cazuri , cel mai bun care se poate face este de a calcula aproximative valori ale rădăcinilor cu algoritmi adecvați.

Istoria factorizarea expresiilor

Utilizarea sistematică a manipulări algbric pentru a simplifica expresii (mai precis ecuațiile ) pot fi datate din secolul al 9 - lea, cu Al-Khwarizmi lui Scurt de lucru privind calculul Mutare și fiind Collect cu denumirea cu două tipuri de manipulări. ^[4]

Cu toate acestea, chiar și pentru soluțiile de doua ecuații de gradul , metoda factorizare nu a fost utilizată înainte de Harriot activitate al publicat în 1631, ani de zece după moartea sa. ^[5]

În cartea sa Artis Analyticae Praxis anunț Aequationes Algebraicas Resolvendas, Harriot atrage tabele pentru adunare, scădere, înmulțire și diviziunea monoamele , binomi și trinomials . Mai târziu, într-o a doua secțiune, el stabilește ecuația $aa-ba+ca=+bc$ ${\ Displaystyle aa-ba + ca = + bc}$ ${\ Displaystyle aa-ba + ca = + bc}$ și arată că aceasta are forma unei multiplicare a indicat anterior, oferind factorizarea sale $(a-b)(a+c)$ ${\ Displaystyle (ab) (a + c)}$ ${\ Displaystyle (a-b) (a + c)}$ . ^[6]

metode generale

Următoarele metode se aplică pentru orice expresie care este formată din sume sau care pot fi transformate în sume. Prin urmare, acestea sunt adesea aplicate polinoame, chiar și atunci când termenii sumelor care nu sunt monoamele, ci produse de variabile și constante.

factorii comuni

Acesta poate fi cazul în care toți termenii sumei sunt formate din produse și că unii factori sunt comune pentru toți termenii. În acest caz, proprietatea distributiv permite acestora de colectare la un total de factor comun . În cazul în care există mai mulți factori comuni, este convenabil de a colecta lor factor de cea mai mare comună (GCD) ca un factor comun .

De exemplu, ^[7]

6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y)

{\ Displaystyle 6x ^ {3} y ^ {2} + 8x ^ {4} y ^ {3} -10x ^ {5} y ^ {3} = 2x ^ {3} y ^ {2} (3 + 4xy -5x ^ {2} y)}

{\ Displaystyle 6x ^ {3} y ^ {2} + 8x ^ {4} y ^ {3} -10x ^ {5} y ^ {3} = 2x ^ {3} y ^ {2} (3 + 4xy -5x ^ {2} y)}

deoarece 2 este MCD de 6, 8, 10, și $x^{3}y^{2}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} y ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} y ^ {2}}$ împarte toți termenii.

Gruparea

Gruparea Term vă permite să utilizați alte metode de factorizare.

De exemplu, pentru factorul

4x^{2}+20x+3xy+15y,

{\ Displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15Y,}

{\ Displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15Y,}

observăm că primii doi termeni au factorul în comun $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , Iar ultimele două au factorul în comun $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Prin urmare

4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).

{\ Displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15Y = (4x ^ {2} + 20x) + (3xy + 15Y) = 4x (x + 5) + 3y (x + 5).}

{\ Displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15Y = (4x ^ {2} + 20x) + (3xy + 15Y) = 4x (x + 5) + 3y (x + 5).}

Apoi, factorul comun este evident $x+5,$ ${\ Displaystyle x + 5,}$ ${\ Displaystyle x + 5,}$ prin urmare

4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).

{\ Displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15Y = (4x + 3y) (x + 5).}

{\ Displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15Y = (4x + 3y) (x + 5).}

În general, această metodă funcționează pentru sume de patru termeni care sunt rezultatul produsului a două polinoame . În unele cazuri, nu frecvente, chiar și în exemplele mai complicate.

Adunare și scădere de termeni

Uneori , gruparea anumitor termeni apare ca parte dintr - un produs remarcabil . În acest caz, este util să adăugați termenii care lipsesc și în același timp, le scade pentru a nu modifica valoarea expresiei. O utilizare tipică este metoda de completare pătrat pentru a obține o formă pătratică .

Un alt exemplu este factoringul de $x^{4}+1$ ${\ Displaystyle x ^ {4} +1}$ ${\ Displaystyle x ^ {4} +1}$ . Dacă introduce unitatea imaginară ${\sqrt {-1}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ ${\ Sqrt {-1}}$ , În mod obișnuit notată cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , Se obține o diferență de pătrate

x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).

{\ Displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {2} + i) (x ^ {2} -i).}

{\ Displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {2} + i) (x ^ {2} -i).}

Dacă doriți , de asemenea , o factorizare cu reale coeficienți, puteți adăuga și scădere $2x^{2}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ . Prin gruparea trei termeni putem recunoaște pătratul unui binom

x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-(x{\sqrt {2}})^{2}=(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1)(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1).

{\ Displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} + 2x ^ {2} +1) -2x ^ {2} = (x ^ {2} +1) ^ {2} - (x { \ sqrt {2}}) ^ {2} = (x ^ {2} + x {\ sqrt {2}} + 1) (x ^ {2} -x {\ sqrt {2}} + 1).}

{\ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} + 2x ^ {2} +1) -2x ^ {2} = (x ^ {2} +1) ^ {2} - (x { \ sqrt {2}}) ^ {2} = (x ^ {2} + x {\ sqrt {2}} + 1) (x ^ {2} -x {\ sqrt {2}} + 1).}

De asemenea, prin scăderea și adăugarea $2x^{2}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ factorizarea se obține

x^{4}+1=(x^{4}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+(x{\sqrt {2}})^{2}=(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1)(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1).

{\ Displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} -2x ^ {2} +1) + 2x ^ {2} = (x ^ {2} -1) ^ {2} + (x { \ sqrt {2}}) ^ {2} = (x ^ {2} + x {\ sqrt {-2}} - 1) (x ^ {2} -x {\ sqrt {-2}} - 1) .}

{\ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} -2x ^ {2} +1) + 2x ^ {2} = (x ^ {2} -1) ^ {2} + (x { \ sqrt {2}}) ^ {2} = (x ^ {2} + x {\ sqrt {-2}} - 1) (x ^ {2} -x {\ sqrt {-2}} - 1) .}

Aceste factorizations lucrează nu numai cu numere complexe, dar , de asemenea , pentru orice domeniu de numere , în cazul în care una dintre valorile -1, 2, -2 este un pătrat. Într - un câmp finit , produsul a două numere, care nu sunt pătrate, este un pătrat; acest lucru implică faptul că polinomul $x^{4}+1$ ${\ Displaystyle x ^ {4} +1}$ ${\ Displaystyle x ^ {4} +1}$ , Care este ireductibil în domeniul întregi, devine reductibilă modulo un prim. De exemplu,

x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x + 1) ^ {4} {\ pmod {2}};}

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x + 1) ^ {4} {\ pmod {2}};}

x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},\qquad

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x ^ {2} + x-1) (x ^ {2} -X-1) {\ pmod {3}}, \ prototipurilor}

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x ^ {2} + x-1) (x ^ {2} -X-1) {\ pmod {3}}, \ prototipurilor}

atâta timp cât

1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};

{\ Displaystyle 1 ^ {2} \ echiv -2 {\ pmod {3}};}

{\ Displaystyle 1 ^ {2} \ echiv -2 {\ pmod {3}};}

x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},\qquad

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x ^ {2} +2) (x ^ {2} -2) {\ pmod {5}}, \ prototipurilor}

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x ^ {2} +2) (x ^ {2} -2) {\ pmod {5}}, \ prototipurilor}

atâta timp cât

2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};

{\ Displaystyle 2 ^ {2} \ echiv -1 {\ pmod {5}};}

{\ Displaystyle 2 ^ {2} \ echiv -1 {\ pmod {5}};}

x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},\qquad

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x ^ {2} + 3x + 1) (x ^ {2} -3x + 1) {\ pmod {7}}, \ prototipurilor}

{\ Displaystyle x ^ {4} +1 \ echiv (x ^ {2} + 3x + 1) (x ^ {2} -3x + 1) {\ pmod {7}}, \ prototipurilor}

atâta timp cât

3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.

{\ Displaystyle 3 ^ {2} \ echiv 2 {\ pmod {7}}.}

{\ Displaystyle 3 ^ {2} \ echiv 2 {\ pmod {7}}.}

Produse notabile

Multe identități reprezintă o egalitate între o sumă și un produs. Metodele anterioare pot scoate în evidență partea suma unei identități care poate fi apoi înlocuită cu produsul său.

Identități în formă generalizată (prin variabile $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ reprezentând părți ale expresiei inițiale să fie integrate). ^[8]

Dovada diferenței dintre cele două pătrate și două cuburi

Diferența dintre cele două pătrate

E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)

{\ Displaystyle E ^ {2} -F ^ {2} = (E + F) (EF)}

{\ Displaystyle E ^ {2} -F ^ {2} = (E + F) (E-F)}

De exemplu,

{\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} -x ^ {2} + 2xy-y ^ {2} \\ & = (a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}) - (x ^ {2} -2xy + y ^ {2}) \\ & = (a + b) ^ {2} - (xy) ^ {2} \\ & = (a + b + xy) (a + b-x + y). \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} -x ^ {2} + 2xy-y ^ {2} \\ & = (a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}) - (x ^ {2} -2xy + y ^ {2}) \\ & = (a + b) ^ {2} - (xy) ^ {2} \\ & = (a + b + xy) (a + b-x + y). \ end {aliniat}}}

Suma / diferență de două cuburi

E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})

{\ Displaystyle E ^ {3} + F ^ {3} = (E + F) (E ^ {2} -ef + F ^ {2})}

{\ Displaystyle E ^ {3} + F ^ {3} = (E + F) (E ^ {2} -ef + F ^ {2})}

E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})

{\ Displaystyle E ^ {3} -F ^ {3} = (EF) (E ^ {2} + EF + F ^ {2})}

{\ Displaystyle E ^ {3} -F ^ {3} = (EF) (E ^ {2} + EF + F ^ {2})}

Diferența dintre cele două puteri de gradul al patrulea

{\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} E ^ {4} -F ^ {4} & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E ^ {2} -F ^ {2}) \\ & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E + F) (EF) \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} E ^ {4} -F ^ {4} & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E ^ {2} -F ^ {2}) \\ & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E + F) (EF) \ end {aliniat}}}

Suma / diferență de două valori la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ putere -lea

În următoarele identitățile factorii sunt adesea factorizable ei înșiși.

Diferența cu chiar exponent

E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})

{\ Displaystyle E ^ {2n} -F ^ {2n} = (E ^ {n} + F ^ {n}) (E ^ {n} -F ^ {n})}

{\ Displaystyle E ^ {2n} -F ^ {2n} = (E ^ {n} + F ^ {n}) (E ^ {n} -F ^ {n})}

Diferența, cu orice exponent

E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})

{\ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (EF) (E ^ {n-1} + E ^ {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} + \ cdots + EF ^ {n-2} + F ^ {n-1})}

{\ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (EF) (E ^ {n-1} + E ^ {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} + \ cdots + EF ^ {n-2} + F ^ {n-1})}

Acesta este un exemplu de mai mulți factori decât suma care urmează să fie luate.

Suma cu exponent impar

E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) (E ^ {n-1} ^ -R {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} - \ cdots -ef ^ {n-2} + F ^ {n-1})}

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) (E ^ {n-1} ^ -R {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} - \ cdots -ef ^ {n-2} + F ^ {n-1})}

(Obținut prin schimb

F.

{\ displaystyle F}

F.

cu

-F

{\ Displaystyle -F}

{\ Displaystyle -F}

în formula anterioară)

Suma cu chiar exponent

Dacă exponentul este o putere de 2, expresia nu poate, în general, să fie luate fără a utiliza numere complexe (dacă

ȘI

{\ displaystyle E}

ȘI

Și

F.

{\ displaystyle F}

F.

conțin numere complexe pot să nu fie adevărat). De sine

n

{\ displaystyle n}

n

are un divizor ciudat, care este, în cazul în care

n=pq

{\ displaystyle n = pq}

{\ displaystyle n = pq}

cu

p

{\ displaystyle p}

p

ciudat, puteți

utilizați formula de mai sus ( „Suma cu exponent impar“) și se aplică $(E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.$ ${\ Displaystyle (E ^ {q}) ^ {p} + (F ^ {q}) ^ {p}.}$ ${\ Displaystyle (E ^ {q}) ^ {p} + (F ^ {q}) ^ {p}.}$

Trinomials și formule cubice

{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniate} & x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} +2 (xy + yz + xz) = (x + y + z) ^ {2} \\ & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -3xyz = (x + y + z) (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -XY-xz -YZ) \\ & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} (+ z y) + 3y ^ {2} (x + z) + 3z ^ {2 } (x + y) + 6xyz = (x + y + z) ^ {3} \\ & x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} = (x ^ { 2} + xy + ^ {2}) (x ^ {2} -XY + y ^ y end {2}). \ {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniate} & x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} +2 (xy + yz + xz) = (x + y + z) ^ {2} \\ & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -3xyz = (x + y + z) (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -XY-xz -YZ) \\ & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} (+ z y) + 3y ^ {2} (x + z) + 3z ^ {2 } (x + y) + 6xyz = (x + y + z) ^ {3} \\ & x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} = (x ^ { 2} + xy + ^ {2}) (x ^ {2} -XY + y ^ y end {2}). \ {aliniat}}}

evoluții binom

dezvoltarea binom până la a patra putere

În teorema binomială sunt ușor de recunoscut forme pe baza prezentului întregi de studii mici:

a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}

{\ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = (a + b) ^ {2}}

{\ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = (a + b) ^ {2}}

a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}

{\ Displaystyle a ^ {2} -2ab + b ^ {2} = (ab) ^ {2}}

{\ Displaystyle a ^ {2} -2ab + b ^ {2} = (a-b) ^ {2}}

a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}

{\ Displaystyle a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3}}

{\ Displaystyle a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3}}

a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}

{\ Displaystyle a ^ {3} -3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} -b ^ {3} = (ab) ^ {3}}

{\ Displaystyle a ^ {3} -3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} -b ^ {3} = (a-b) ^ {3}}

În general, coeficienții de evoluțiile

(a+b)^{n}

{\ displaystyle (a + b) ^ {n}}

(a + b) ^ {n}

Și

(a-b)^{n}

{\ Displaystyle (ab) ^ {n}}

{\ Displaystyle (a-b) ^ {n}}

sunt coeficienții binomiali , care apar în

n

{\ displaystyle n}

n

rând al -lea Pascal e triunghi .

Rădăcini de unitate

Radacinile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -ths ale unității sunt acele numere complexe fiecare dintre care este rădăcina polinomului $x^{n}-1.$ ${\ displaystyle x ^ {n} -1.}$ $x ^ {n} -1.$ . Prin urmare, acestea sunt numerele

e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}},

{\ Displaystyle e ^ {2ik \ pi / n} = \ cos {\ tfrac {2 \ pi k} {n}} + i \ păcat {\ tfrac {2 \ pi k} {n}}}

{\ Displaystyle e ^ {2ik \ pi / n} = \ cos {\ tfrac {2 \ pi k} {n}} + i \ păcat {\ tfrac {2 \ pi k} {n}}}

pentru $k=0,\ldots ,n-1.$ ${\ K displaystyle = 0, \ ldots, n-1.}$ ${\ K displaystyle = 0, \ ldots, n-1.}$

Din care rezultă că pentru fiecare pereche de expresii $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , avem:

E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right),

{\ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (EF) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E-Fe ^ {2ik \ pi / n} \ dreapta), }

{\ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (EF) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E-Fe ^ {2ik \ pi / n} \ dreapta), }

E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)\pi /n}\right),\qquad {\text{se }}n{\text{ è pari}},

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ stânga (E-Fe ^ {(2k + 1) \ pi / n} \ dreapta) , \ prototipurilor {\ text {if}} n {\ text {este chiar}},}

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ stânga (E-Fe ^ {(2k + 1) \ pi / n} \ dreapta) , \ prototipurilor {\ text {if}} n {\ text {este chiar}},}

E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right),\qquad {\text{se }}n{\text{ è dispari}}.

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E + Fe ^ {2ik \ pi / n} \ dreapta ), \ prototipurilor {\ text {if}} n {\ text {este impar}}.}

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E + Fe ^ {2ik \ pi / n} \ dreapta ), \ prototipurilor {\ text {if}} n {\ text {este impar}}.}

În cazul în care ambele sunt expresii reale, și sunt dorite factori reali, fiecare pereche de complexe conjugate factori trebuie să fie înlocuite cu produsele sale. Deoarece complexul conjugat al $e^{i\alpha }$ ${\ Displaystyle e ^ {i \ alpha}}$ ${\ Displaystyle e ^ {i \ alpha}}$ Și $e^{-i\alpha },$ ${\ Displaystyle e ^ {- i \ alpha}}$ ${\ Displaystyle e ^ {- i \ alpha}}$ Și

\left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},

{\ Displaystyle \

la

stânga (a-fi ^ {i \ alpha} \ dreapta) \

la

stânga (a-fi ^ {- i \ alpha} \ dreapta) = a ^ {2} -ab \ stânga (e ^ {i \ alpha} + e ^ {- i \ alpha} \ dreapta) + b ^ {2} e ^ {i \ alpha} e ^ {- i \ alpha} = a ^ {2} -2ab \ cos \, \ alpha + b ^ {2},}

{\ Displaystyle \ la stânga (a-fi ^ {i \ alpha} \ dreapta) \ la stânga (a-fi ^ {- i \ alpha} \ dreapta) = a ^ {2} -ab \ stânga (e ^ {i \ alpha} + e ^ {- i \ alpha} \ dreapta) + b ^ {2} e ^ {i \ alpha} e ^ {- i \ alpha} = a ^ {2} -2ab \ cos \, \ alpha + b ^ {2},}

avem următoarele factorizations reale (trecem de la unul la altul prin substituirea $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ cu $n-k$ ${\ displaystyle nk}$ ${\ Displaystyle n-k}$ sau cu $n+1-k$ ${\ Displaystyle n + 1-k}$ ${\ Displaystyle n + 1-k}$ Și aplicând obișnuitele formule trigonometrice :

{\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} E ^ {2n} -F ^ {2n} & = (EF) (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E ^ { 2} -2EF \ cos \ {\ tfrac {k \ pi} {n}} + F ^ {2} \ dreapta) \\ & = (EF) (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E ^ {2} + 2ef \ cos \ {\ tfrac {k \ pi} {n}} + F ^ {2} \ dreapta) \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} E ^ {2n} -F ^ {2n} & = (EF) (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E ^ { 2} -2EF \ cos \ {\ tfrac {k \ pi} {n}} + F ^ {2} \ dreapta) \\ & = (EF) (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ stânga (E ^ {2} + 2ef \ cos \ {\ tfrac {k \ pi} {n}} + F ^ {2} \ dreapta) \ end {aliniat}}}

{\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} E ^ {2n} + F ^ {2n} & = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ stânga (E ^ {2} + 2ef \ cos \, {\ tfrac {(2k-1) \ pi} {2n}} + F ^ {2} \ dreapta) \\ & = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ stânga (E ^ {2} -2EF \ cos \, {\ tfrac {\ pi (2k-1)} {2n}} + F ^ {2} \ dreapta) \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} E ^ {2n} + F ^ {2n} & = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ stânga (E ^ {2} + 2ef \ cos \, {\ tfrac {(2k-1) \ pi} {2n}} + F ^ {2} \ dreapta) \\ & = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ stânga (E ^ {2} -2EF \ cos \, {\ tfrac {\ pi (2k-1)} {2n}} + F ^ {2} \ dreapta) \ end {aliniat}}}

Cele cosinusului care apar în aceste factorizations sunt numere algebrice , care pot fi exprimate în termeni de radicali (posibil deoarece lor grupă Galois este ciclic); Cu toate acestea, aceste expresii radicale sunt prea complicat de folosit, cu excepția valorilor mici $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . De exemplu,

a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}),

{\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} - {\ sqrt {2}} ab + b ^ {2}) (a ^ {2} + {\ sqrt {2} } ab + b ^ {2})}

{\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} - {\ sqrt {2}} ab + b ^ {2}) (a ^ {2} + {\ sqrt {2} } ab + b ^ {2})}

a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),

{\ Displaystyle a ^ {5} -b ^ {5} = (ab) \ stânga (a ^ {2} + {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ { 2} \ dreapta) \ stânga (a {{\ frac {1} 2 + + {\ sqrt {5}}} ^ {2}} ab + b ^ {2} \ dreapta)}

{\ Displaystyle a ^ {5} -b ^ {5} = (ab) \ stânga (a ^ {2} + {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ { 2} \ dreapta) \ stânga (a {{\ frac {1} 2 + + {\ sqrt {5}}} ^ {2}} ab + b ^ {2} \ dreapta)}

a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right).

{\ Displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} = (a + b) \ stânga (a ^ {2} - {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} \ dreapta) \ stânga (a ^ {2} -. {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} \ dreapta)}

{\ Displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} = (a + b) \ stânga (a ^ {2} - {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} \ dreapta) \ stânga (a ^ {2} -. {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} \ dreapta)}

Factorizarea cu coeficienți raționali este adesea de dorit. Acestea implică polinoame cyclotomic . Pentru a obține factorizations raționale de sume și diferențe sau de puteri, o notație pentru omogenizarea unui polinom este necesar : dacă $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$ ${\ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n}}$ ${\ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n}}$ , Omogenizarea acestuia este de două variabile polinomul ${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}$ ${\ Displaystyle {\ overline {P}} (x, y) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} y + \ cdots + a_ {n} y ^ {n }}$ ${\ Displaystyle {\ overline {P}} (x, y) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} y + \ cdots + a_ {n} y ^ {n }}$ . Atunci înțelegi

E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),

{\ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = \ prod _ {k \ mid n} {\ overline {Q}} _ {n} (E, F),}

{\ Displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = \ prod _ {k \ mid n} {\ overline {Q}} _ {n} (E, F),}

E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = \ _ prod {k \ mid 2n, k \ nu \ mid n} {\ overline {Q}} _ {n} (E, F),}

{\ Displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = \ _ prod {k \ mid 2n, k \ nu \ mid n} {\ overline {Q}} _ {n} (E, F),}

în cazul în care produsele se referă la toate divizori $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , tu urasti $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ care nu sunt divizori de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Și $Q_{n}(x)$ ${\ Displaystyle qjndex {n} (x)}$ ${\ Displaystyle qjndex {n} (x)}$ este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cyclotomic polinomul-lea.

De exemplu:

a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),

{\ Displaystyle a ^ {6} -b ^ {6} = {\ overline {Q}} _ {1} (a, b) {\ overline {Q}} _ {2} (a, b) {\ overline {Q}} _ {3} (a, b) {\ overline {Q}} _ {6} (a, b) = (ab) (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ { 2}) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}

{\ Displaystyle a ^ {6} -b ^ {6} = {\ overline {Q}} _ {1} (a, b) {\ overline {Q}} _ {2} (a, b) {\ overline {Q}} _ {3} (a, b) {\ overline {Q}} _ {6} (a, b) = (ab) (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ { 2}) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}

a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),

{\ Displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = {\ overline {Q}} _ {4} (a, b) {\ overline {Q}} _ {12} (a, b) = (a ^ {2} + b ^ {2}) (a ^ {4} -a ^ {2} b ^ {2} + b ^ {4})}

a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),

poiché i divisori di 6 sono 1,2,3,6, ei divisori di 12 che non dividono 6 sono 4 e 12.

Polinomi

Per i polinomi la fattorizzazione è strettamente legata al problema della soluzione di una equazione algebrica . Un'equazione algebrica ha la forma

P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,

P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,

P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,

dove $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ è un polinomio in $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ con $a_{0}\neq 0$ $a_{0}\neq 0$ $a_{0}\neq 0$ . Una soluzione di questa equazione (chiamata anche radice del polinomio) è un valore $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ tale che

P(r)=0.

{\displaystyle P(r)=0.}

P(r)=0.

Se $P(x)=Q(x)R(x)$ ${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)}$ $P(x)=Q(x)R(x)$ è una fattorizzazione di $P(x)=0$ ${\displaystyle P(x)=0}$ $P(x)=0$ come prodotto di due polinomi, allora le radici di $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ sono l'unione delle radici di $Q(x)$ ${\displaystyle Q(x)}$ $Q(x)$ e quelle di $R(x)$ ${\displaystyle R(x)}$ $R(x)$ . Per cui la soluzione di $P(x)=0$ ${\displaystyle P(x)=0}$ $P(x)=0$ è ridotta ai più semplici problemi di risolvere $Q(x)=0$ ${\displaystyle Q(x)=0}$ $Q(x)=0$ e $R(x)=0$ ${\displaystyle R(x)=0}$ $R(x)=0$ .

All'opposto, il teorema del fattore asserisce che se $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ è una radice di $P(x)=0$ ${\displaystyle P(x)=0}$ $P(x)=0$ , allora $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ può essere fattorizzato come

P(x)=(x-r)Q(x),

{\displaystyle P(x)=(xr)Q(x),}

P(x)=(x-r)Q(x),

dove $Q(x)$ ${\displaystyle Q(x)}$ $Q(x)$ è il quoziente di una divisione euclidea (vedi regola di Ruffini ) di $P(x)=0$ ${\displaystyle P(x)=0}$ $P(x)=0$ per il fattore lineare $x-r$ ${\displaystyle xr}$ $x-r$ .

Se i coefficienti di $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ sono reali o complessi, il teorema fondamentale dell'algebra afferma che $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ ha una radice reale o complessa. Utilizzando ricorsivamente il teorema del fattore , risulta che

P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),

P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),

P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),

dove $r_{1},\ldots ,r_{n}$ $r_{1},\ldots ,r_{n}$ $r_{1},\ldots ,r_{n}$ sono le radici reali o complesse di $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ , con alcune di esse anche ripetute. Tale fattorizzazione completa è unica.

Se i coefficienti di $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ sono reali, in generale si preferisce che anche la fattorizzazione abbia coefficienti reali. In questo caso, nella fattorizzazione completa possono esserci fattori quadratici . Questa fattorizzazione può facilmente essere dedotta dalla fattorizzazione completa precedente. Infatti, se $r=a+ib$ ${\displaystyle r=a+ib}$ $r=a+ib$ è una radice non reale di $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ , allora il suo complesso coniugato $s=a-ib$ ${\displaystyle s=a-ib}$ $s=a-ib$ è anch'esso una radice di $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ . Per cui, il prodotto

(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}

(xr)(xs)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}

(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}

è un fattore di $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ con coefficienti reali. Ripetendo l'operazione per tutti i fattori non reali si ottiene una fattorizzazione con fattori reali lineari o quadratici.

Per calcolare questi fattori, reali o complessi, occorre trovare le radici del polinomio, che possono non essere esatte, ma solo approssimate tramite algoritmi di calcolo delle radici .

In pratica, molte equazioni algebriche di interesse hanno coefficienti interi o razionali e si desidera lo stesso per la fattorizzazione. Ilteorema fondamentale dell'aritmetica può essere generalizzato a questo caso, in quanto i polinomi con coefficienti interi o razionali hanno anch'essi la proprietà di avere un'unica fattorizzazione. Più precisamente, ogni polinomio con coefficienti razionali può essere fattorizzato nel prodotto

P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),

P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),

P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),

dove $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ è un numero razionale e $P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)$ $P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)$ $P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)$ sono polinomi variabili a coefficienti interi che sono polinomi irriducibili e primitivi ; ciò significa che nessuno dei $P_{i}(x)$ $P_{i}(x)$ $P_{i}(x)$ può essere scritto come prodotto di due polinomi (con coefficienti interi) che non siano 1 o -1 (gli interi sono considerati come polinomi di grado zero). Inoltre, questa fattorizzazione è unica a meno dell'ordine e del segno dei fattori.

Ci sono efficienti algoritmi per calcolare le fattorizzazioni, utilizzati dalla maggior parte dei calcolatori algebrici . Si veda scomposizione dei polinomi . Sfortunatamente questi algoritmi sono troppo complicati da utilizzare sulla carta. A parte il calcolo euristico sopra accennato, solo pochi metodi si prestano a un calcolo manuale, e sono per polinomi di grado minore, con pochi coefficienti maggiori di zero. I principali di questi metodi sono descritti qui di seguito.

Fattorizzazione in parte primitiva e contenuto

Ogni polinomio a coefficienti razionali può essere fattorizzato in un unico modo come prodotto di un numero razionale e un polinomio a coefficienti interi primitivo (cioè l'MCD dei coefficienti è 1) e ha un coefficiente positivo iniziale (coefficiente del termine con il grado più elevato). Ad esempio:

-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1),

-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1),

-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1),

{\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6).

{\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6).

{\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6).

In questa fattorizzazione, il numero razionale è detto contenuto e il polinomio primitivo è detto parte primitiva . Il calcolo di questa fattorizzazione può essere fatto come segue:

Ridurre i coeficienti a un comune denominatore, per ottenere il quoziente intero $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ di un polinomio a coefficienti interi.
Raccogliere a fattore comune l'MCD $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ dei coefficienti di questo polinomio per ottenere la parte primitiva, essendo il contenuto $p/q$ ${\displaystyle p/q}$ $p/q$ .
Se necessario, cambiare di segno $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ e tutti i coefficienti della parte primitiva.

Questa fattorizzazione può portare a un'espressione più estesa di quella originale (tipicamente quando ci sono molti denominatori interi coprimi ), ma ciò nonostante la parte primitiva è generalmente più facile da manipolare per ulteriori fattorizzazioni.

Utilizzo del teorema del fattore

Il teorema del fattore afferma che se $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ è una radice di un polinomio

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

con $P(r)=0$ ${\displaystyle P(r)=0}$ $P(r)=0$ , allora esiste una fattorizzazione

P(x)=(x-r)Q(x),

{\displaystyle P(x)=(xr)Q(x),}

P(x)=(x-r)Q(x),

dove

Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},

Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},

Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},

con $a_{0}=b_{0}$ $a_{0}=b_{0}$ $a_{0}=b_{0}$ . Il risultato della divisione lunga di un polinomio o quella sintetica è allora:

b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.

b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.

b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.

Tutto questo può essere utile quando si conosce o si intuisce qual è la radice del polinomio.

Ad esempio, per $P(x)=x^{3}-3x+2,$ $P(x)=x^{3}-3x+2,$ $P(x)=x^{3}-3x+2,$ si può facilmente vedere che la somma dei coefficienti è 0, per cui $r=1$ ${\displaystyle r=1}$ $r = 1$ è la radice. Siccome $r+0=1$ ${\displaystyle r+0=1}$ $r+0=1$ e $r^{2}+0r-3=-2$ $r^{2}+0r-3=-2$ $r^{2}+0r-3=-2$ , si ha

x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).

x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).

x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).

Radici razionali

Per i polinomi a coeffienti razionali, si può cercare le sue radici razionali. La precedente fattorizzazione parte primitiva-contenuto riduce il problema della ricerca di radici razionali al caso di polinomi a coefficienti interi non aventi un MCD > 1.

Se $x={\tfrac {p}{q}}$ $x={\tfrac {p}{q}}$ $x={\tfrac {p}{q}}$ è una radice razionale di detto polinomio

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

il teorema del fattore mostra che si ha la fattorizzazione

P(x)=(qx-p)Q(x),

{\displaystyle P(x)=(qx-p)Q(x),}

P(x)=(qx-p)Q(x),

dove ambedue i fattori hanno coefficienti interi (il fatto che $Q$ ${\displaystyle Q}$ $Q$ ha coefficienti interi risulta dalla formula sopraccitata del quoziente di $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ diviso per $x-p/q$ ${\displaystyle xp/q}$ $x-p/q$ ).

La comparazione dei coefficienti di grado $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ con i coefficienti costanti dell'uguaglianza sopra, mostra che se ${\tfrac {p}{q}}$ ${\tfrac {p}{q}}$ ${\tfrac {p}{q}}$ è una radice razionale, in forma ridotta, allora $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ è un divisore di $a_{0}$ $a_{0}$ $a_{0}$ e $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ è un divisore di $a_{n}$ $a_{n}$ $a_{n}$ . Perciò c'è un numero finito di possibilità per $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ e $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ , che possono essere sistematicamente esaminate. ^[9]

Ad esempio, se il polinomio

P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6

P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6

P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6

ha radici razionali ${\tfrac {p}{q}}$ ${\tfrac {p}{q}}$ ${\tfrac {p}{q}}$ con $q>0$ ${\displaystyle q>0}$ $q>0$ , allora $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ deve dividere 6; cioè $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$ $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$ $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$ e $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ deve dividere 2, quindi $q\in \{1,2\}$ $q\in \{1,2\}$ $q\in \{1,2\}$ . Inoltre, se $x<0$ ${\displaystyle x<0}$ $x<0$ , i termini del polinomio sono negativi, e perciò una radice non può essere negativa. Si deve quindi avere

{\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.

{\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.

{\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.

Un calcolo diretto mostra che solo ${\tfrac {3}{2}}$ ${\tfrac {3}{2}}$ ${\tfrac {3}{2}}$ è una radice, per cui non possono esserci altre radici razionali. Applicando il teorema del fattore si arriva finalmente alla fattorizzazione

$2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$ $2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$ $2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$

Metodo quadratico AC

Questo metodo può essere adatto ai polinomi quadratici detto metodo AC di fattorizzazione. ^[10]

Si consideri il polinomio quadratico

P(x)=ax^{2}+bx+c

P(x)=ax^{2}+bx+c

P(x)=ax^{2}+bx+c

con coefficienti interi. Se esso ha una radice razionale, il suo denominatore deve essere un divisore di $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e può essere scritto possibilmente come una frazione riducibile ${\tfrac {r}{a}}$ ${\tfrac {r}{a}}$ ${\tfrac {r}{a}}$ . Tramite le formule di Viète , l'altra radice è

-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}}

-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}}

-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}}

con $s=-(b+r)$ ${\displaystyle s=-(b+r)}$ $s=-(b+r)$ . Quindi anche la seconda radice è razionale, e la seconda formula di Viète porta a

{\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},

{\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},

{\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},

cioè

rs=ac,\quad {\text{e}}\quad r+s=-b.

rs=ac,\quad {\text{e}}\quad r+s=-b.

rs=ac,\quad {\text{e}}\quad r+s=-b.

Controllando tutte le coppie di interi il cui prodotto è $a c$ ${\displaystyle ac}$ $ac$ si ottengono, se esistono, le radici razionali.

Ad esempio, consideriamo il polinomio quadratico

6x^{2}+13x+6.

6x^{2}+13x+6.

6x^{2}+13x+6.

Analizzando i possibili fattori di $ac=36$ ${\displaystyle ac=36}$ $ac=36$ si trova $4+9=13=b$ ${\displaystyle 4+9=13=b}$ $4+9=13=b$ , danno le radici

-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{e}}\quad -{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}}

-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{e}}\quad -{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}}

-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{e}}\quad -{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}}

e la fattorizzazione

6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).

6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).

6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).

Utilizzo di formule per le radici dei polinomi

Qualsiasi polinomio quadratico a un'incognita $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ può essere fattorizzato con la formula quadratica:

ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),

ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),

ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),

dove $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ e $\beta$ $\beta$ $\beta$ sono le due radici del polinomio.

Se $a, b, c$ ${\displaystyle a,b,c}$ $a,b,c$ sono variabili reali, i fattori sono anch'essi reali se e solo se il discriminante $b^{2}-4ac$ $b^{2}-4ac$ $b^{2}-4ac$ è positivo. Altrimenti, il polinomio non può essere fattorizzato in fattori reali variabili.

La formula è valida quando i coefficienti appartengono a una caratteristica del campo numerico diversa da due, e in particolare, per coefficienti di un campo finito con un numero dispari di elementi. ^[11]

Ci sono pure formule per le radici dei polinomi cubici e quartici che sono, in generale, troppo complicate per un uso pratico. Il teorema di Abel-Ruffini afferma che non possono esserci formule generali per le radici di polinomi di grado cinque o superiore.

Utilizzo delle relazioni tra radici

Può capitare che si conosca qualche relazione tra le radici di un polinomio ei suoi coefficienti. L'uso di questa conoscenza può aiutare il lavoro di fattorizzazione del polinomio e la ricerca della sue radici. La teoria di Galois è basata su uno studio sistematico di queste relazioni che includono le formule di Viète .

Qui ci limitiamo a considerare il caso più semplice di due radici $x_{1}$ $x_{1}$ $x_1$ e $x_{2}$ $x_{2}$ $x_2$ di un polinomio $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ che soddisfa la relazione

x_{2}=Q(x_{1}),

x_{2}=Q(x_{1}),

x_{2}=Q(x_{1}),

dove $Q$ ${\displaystyle Q}$ $Q$ è un polinomio.

Questo implica che $x_{1}$ $x_{1}$ $x_1$ è una radice comune a $P(Q(x))$ ${\displaystyle P(Q(x))}$ $P(Q(x))$ e $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ , è quindi una radice del polinomio MCD di questi due polinomi. Da ciò segue che questo MCD è un fattore variabile di $P(x).$ ${\displaystyle P(x).}$ $P(x).$ La divisione dei polinomi consente il calcolo dell'MCD.

Ad esempio, ^[12] se si conosce o si intuisce che: $P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$ $P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$ $P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$ ha due radici la cui somma è zero, si può applicare l'algoritmo euclideo a $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ e $P(-x)$ ${\displaystyle P(-x)}$ $P(-x)$ . Il primo passo della divisione consiste nell'aggiungere $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ a $P(-x)$ ${\displaystyle P(-x)}$ $P(-x)$ ottenendo il resto di

-10(x^{2}-16).

-10(x^{2}-16).

-10(x^{2}-16).

Poi, dividendo $P(x)$ ${\displaystyle P(x)}$ $P(x)$ per $x^{2}-16$ $x^{2}-16$ $x^{2}-16$ ottenendo zero come nuovo resto, e $x-5$ ${\displaystyle x-5}$ $x-5$ come quoziente, arrivando così alla completa fattorizzazione

x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).

x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).

x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).

Domini a fattorizzazione unica

Gli interi ei polinomi di un campo condividono la proprietà della fattorizzazione unica, cioè, ogni elemento diverso da zero può essere fattoirizzato in un prodotto di un elemento invertibile (una unità , $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$ nel caso degli interi) e un prodotto di elementi irriducibili (numeri primi nel caso degli interi), e questa fattorizzazione è unica a meno dell'ordine degli elementi e dello spostamento delle unità tra i fattori. I domini di integrità che condividono questa proprietà sono detti domini a fattorizzazione unica (UFD).

L'MCD esiste negli UFD, e di converso, ogni dominio di integrità, nei quali esiste l'MCD, è un UFD. Ogni dominio ad ideali principali è un UFD.

Un dominio euclideo è un dominio di integrità nel quale è definita una divisione euclidea simile a quella degli interi. Ogni dominio euclideo è un dominio di ideali principale, e perciò un UFD.

In un dominio euclideo, la divisione euclidea consente la definizione di un algoritmo euclideo per il calcolo dell'MCD. Tuttavia, ciò non implica l'esistenza di un algoritmo di fattorizzazione. C'è un esempio esplicito di un campo $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ in cui non può esistere qualsiasi algoritmo di fattorizzazione nel dominio euclideo $F[x]$ ${\displaystyle F[x]}$ $F[x]$ dei polinomi a una incognita di $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ .

Ideali

Nella teoria dei numeri algebrici , lo studio delle equazioni diofantee indusse i matematici, durante il XIX secolo, a introdurre una generalizzazione dei numeri interi detti interi algebrici . Il primo anello di interi algebrici preso in considerazione fu l' intero gaussiano e l' intero di Eisenstein , che condividono con gli interi usuali la proprietà di essere dominio ad ideali principali , aventi perciò la proprietà della fattorizzazione unica .

Sfortunatamente, la maggior parte degli algebrici interi si rivelarono subito come non principali e senza una fattorizzazione unica. Il più semplice di essi è $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],$ nel quale

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),

e tutti questi generi di fattori sono irriducibili.

Questa mancanza di un'unica fattorizzazione è una delle maggiori difficoltà per la soluzione delle equazioni diofantee. Per esempio, molte dimostrazioni errate dell' ultimo teorema di Fermat (probabilmente quelle dello stesso Pierre de Fermat ) erano basate sull'implicita ipotesi della fattorizzazione unica.

Questa difficoltà fu risolta da Dedekind , che dimostrò che gli anelli degli interi algebrici hanno un'unica fattorizzazione in ideali : in questi anelli ogni ideale è il prodotto di primi ideali , e questa fattorizzazione è unica. I domini di integrità che possiedono questa proprietà di fattorizzazione unica sono ora detti domini di Dedekind . Essi hanno molte proprietà interessanti che li rendono fondamentali nella teoria dei numeri algebrici.

Matrici

Gli anelli di matrici sono non commutativi e non hanno un'unica fattorizzazione: ci sono, in generale, molti modi di scrivere una matrice come prodotto di matrici. Per cui il problema della fattorizzazione consiste nel trovare fattori di un tipo specifico. Per esempio, la decomposizione LU porta a una matrice risultante dal prodotto di una matrice triangolare inferiore (L) per una matrice triangolare superiore (U). Siccome ciò non è sempre possibile, in generale, si prova la decomposizione LUP avente una matrice di permutazione come terzo fattore.

Si veda la decomposizione di una matrice per i tipi più comuni di fattorizzazione di matrici.

Una matrice logica rappresenta una relazione binaria , e la moltiplicazione di matrici corrisponde a una composizione di relazioni . Scomporre una relazione tramite fattorizzazione serve a dare un profilo alla natura della relazione, come per esempio una relazione difunzionale .

Note

^ A. Facchini, Algebra e matematica discreta , Decibel Zanichelli, 2000, p. 28, ISBN 88-08-09739-0 .
^ ( EN ) H. Hardy, An Introduction to the Theory of Numbers , Oxford Science Publications, 1980, ISBN 978-0198531715 .
^ Klein , pp. 101–102
^ L'algebra nella matematica islamica – NUOVA STORIA VISUALE – NEW VISUAL HISTORY matematica-islamica/
^ In ( EN ) V. Sanford, A Short History of Mathematics , Read Books, 2008, ISBN 9781409727101 . , l'autore nota "Vista la presente enfasi data alla soluzione delle equazioni quadratiche mediante fattorizzazione, è interessante notare che questo metodo non era in uso prima del lavoro del 1631 di Harriot".
^ frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas
^ Fite , p. 19
^ Selby , p. 101
^ Dickson , p. 27
^ Stover, Christopher AC Method - Mathworld Archiviato il 12 novembre 2014 in Internet Archive .
^ In un campo con caratteristica 2, si ha 2 = 0, e la formula porta ad una divisione per zero.
^ Burnside e Panton , p. 38

Voci correlate

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 30495 · LCCN ( EN ) sh85046844 · BNF ( FR ) cb122865337 (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] A. Facchini, Algebra e matematica discreta , Decibel Zanichelli, 2000, p. 28, ISBN 88-08-09739-0 .

[2] ( EN ) H. Hardy, An Introduction to the Theory of Numbers , Oxford Science Publications, 1980, ISBN 978-0198531715 .

[3] Klein , pp. 101–102

[4] L'algebra nella matematica islamica – NUOVA STORIA VISUALE – NEW VISUAL HISTORY matematica-islamica/

[5] In ( EN ) V. Sanford, A Short History of Mathematics , Read Books, 2008, ISBN 9781409727101 . , l'autore nota "Vista la presente enfasi data alla soluzione delle equazioni quadratiche mediante fattorizzazione, è interessante notare che questo metodo non era in uso prima del lavoro del 1631 di Harriot".

[6] rontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas

[7] Fite , p. 19

[8] Selby , p. 101

[9] Dickson , p. 27

[10] Stover, Christopher AC Method - Mathworld Archiviato il 12 novembre 2014 in Internet Archive .

[11] In un campo con caratteristica 2, si ha 2 = 0, e la formula porta ad una divisione per zero.

[12] Burnside e Panton , p. 38

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]