Standard Matrix

În matematică , o normă matricială este extinderea naturală la matrice a conceptului de normă definit pentru vectori .

Definiție

O normă spațială vectorială $K^{m\times n}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ matrici de elemente în câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o funcție $\|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |: K ^ {m \ times n} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |: K ^ {m \ times n} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ astfel încât pentru fiecare pereche de matrici $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ iar pentru fiecare urcare $\lambda \in K$ ${\ displaystyle \ lambda \ în K}$ $\ lambda \ în K$ apare:

$\|A\|=0$ ${\ displaystyle \ | A \ | = 0}$ ${\ displaystyle \ | A \ | = 0}$ dacă și numai dacă $A=0$ ${\ displaystyle A = 0}$ $A = 0$ ( matrice nulă )
$\|\lambda A\|=|\lambda |\|A\|$ ${\ displaystyle \ | \ lambda A \ | = | \ lambda | \ | A \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ lambda A \ | = | \ lambda | \ | A \ |}$
$\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ ${\ displaystyle \ | A + B \ | \ leq \ | A \ | + \ | B \ |}$ ${\ displaystyle \ | A + B \ | \ leq \ | A \ | + \ | B \ |}$

Prin urmare, recunoaștem exact aceleași proprietăți ale normelor vectoriale; aceasta reflectă faptul că spațiul matricei este izomorf pentru spațiul vector $K^{mn}$ ${\ displaystyle K ^ {mn}}$ ${\ displaystyle K ^ {mn}}$ (de exemplu prin intermediul aplicației care trimite o matrice în vectorul care conține rândurile sale unul după altul) și, prin urmare, o normă matricială trebuie să aibă cel puțin aceleași proprietăți ca o normă vectorială.

În plus, dacă $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ , adică matricile sunt pătrate , se cere în general ca și proprietatea de sub-multiplicativitate să fie satisfăcută:

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ ${\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |}$ ${\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |}$

Dacă submultiplicarea este adevărată, este imediat clar că pentru matricea de identitate este adevărată $\|I\|=\|I\cdot I\|\leq \|I\|\|I\|\Rightarrow \|I\|\geq 1$ ${\ displaystyle \ | I \ | = \ | I \ cdot I \ | \ leq \ | I \ | \ | I \ | \ Rightarrow \ | I \ | \ geq 1}$ ${\ displaystyle \ | I \ | = \ | I \ cdot I \ | \ leq \ | I \ | \ | I \ | \ Rightarrow \ | I \ | \ geq 1}$ .

Spaţiu $K^{n\times n}$ ${\ displaystyle K ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle K ^ {n \ times n}}$ echipat cu o normă sub-multiplicativă, este un exemplu de algebră Banach .

Normă indusă

Dacă se dă o regulă pe $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ ( $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ vor fi numere reale sau numere complexe ), care să se distingă cu $|\cdot |$ ${\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ , atunci o normă este definită pe $K^{m\times n}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ , numită normă indusă , în acest fel:

\|A\|=\sup _{|x|=1}|Ax|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|Ax|}{|x|}}

{\ displaystyle \ | A \ | = \ sup _ {| x | = 1} | Ax | = \ sup _ {x \ neq 0} {\ frac {| Ax |} {| x |}}}

{\ displaystyle \ | A \ | = \ sup _ {| x | = 1} | Ax | = \ sup _ {x \ neq 0} {\ frac {| Ax |} {| x |}}}

Coincide cu norma de transformare liniară $A:x\mapsto Ax$ ${\ displaystyle A: x \ mapsto Ax}$ ${\ displaystyle A: x \ mapsto Ax}$ asociat matricei, văzut ca un operator liniar continu între spațiile Banach , care este dat în analiza funcțională .

În cazul pătratului, această regulă este sub-multiplicativă dacă este utilizată același tip de regulă este în domeniul atât în codomain . De exemplu, dacă pentru vectori folosim una dintre normele p obținem norme, care vor fi numite întotdeauna norme p , definite după cum urmează:

\|A\|_{p}=\sup _{|x|_{p}=1}|Ax|_{p}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ sup _ {| x | _ {p} = 1} | Ax | _ {p}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ sup _ {| x | _ {p} = 1} | Ax | _ {p}}

In caz $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ , norma se mai numește și norma de funcționare .

Proprietate

Pentru o normă indusă este întotdeauna adevărat că $\|I\|=1$ ${\ displaystyle \ | I \ | = 1}$ ${\ displaystyle \ | I \ | = 1}$ este asta $|Ax|\leq \|A\||x|$ ${\ displaystyle | Ax | \ leq \ | A \ || x |}$ ${\ displaystyle | Ax | \ leq \ | A \ || x |}$ . Pentru orice normă, dacă se întâmplă acest lucru, atunci se spune că norma este compatibilă cu norma $|\cdot |$ ${\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ .

Pentru unele valori particulare ale $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ se arată că unele identități care facilitează calculul sunt valabile:

\|A\|_{1}=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|

{\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ max _ {j = 1, \ ldots, n} \ sum _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij} |}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ max _ {j = 1, \ ldots, n} \ sum _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij} |}

\|A\|_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|

{\ displaystyle \ | A \ | _ {\ infty} = \ max _ {i = 1, \ ldots, m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} |}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {\ infty} = \ max _ {i = 1, \ ldots, m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} |}

Urmează imediat că $\|A\|_{1}=\|A^{t}\|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ | A ^ {t} \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ | A ^ {t} \ | _ {\ infty}}$ ; astfel, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetric $\|A\|_{1}=\|A\|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ | A \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ | A \ | _ {\ infty}}$ . În plus, dacă $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ este valabil:

\|A\|_{2}={\sqrt {\rho (A^{*}A)}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = {\ sqrt {\ rho (A ^ {*} A)}}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = {\ sqrt {\ rho (A ^ {*} A)}}}

unde este $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ este transpunerea conjugată a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ( transpunerea în cazul real) e $\rho (A^{*}A)$ ${\ displaystyle \ rho (A ^ {*} A)}$ ${\ displaystyle \ rho (A ^ {*} A)}$ este raza spectrală a $A^{*}A$ ${\ displaystyle A ^ {*} A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} A}$ , care este maximul dintre valorile sale proprii în valoare absolută . Cazul $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ se mai numește și norma spectrală . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetric, atunci egalitatea se reduce la:

\|A\|_{2}=\rho (A)

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ rho (A)}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ rho (A)}

De asemenea, este întotdeauna valabil că:

\|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {\ | A \ | _ {1} \ | A \ | _ {\ infty}}}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {\ | A \ | _ {1} \ | A \ | _ {\ infty}}}}

Orice normă indusă satisface inegalitatea:

\|A\|\geq \rho (A)

{\ displaystyle \ | A \ | \ geq \ rho (A)}

{\ displaystyle \ | A \ | \ geq \ rho (A)}

și este valabil, de asemenea, că:

\lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A)

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ | A ^ {r} \ | ^ {1 / r} = \ rho (A)}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ | A ^ {r} \ | ^ {1 / r} = \ rho (A)}

Standard compatibil

O normă matricială $\|\cdot \|_{ab}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {ab}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {ab}}$ pe $K^{m\times n}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ $K ^ {m \ ori n}$ se spune că este compatibil cu o normă vectorială $\|\cdot \|_{a}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {a}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {a}}$ pe $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ și o normă vectorială $\|\cdot \|_{b}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {b}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {b}}$ pe $K^{m}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ de sine:

\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{ab}\|x\|_{a}

{\ displaystyle \ | Ax \ | _ {b} \ leq \ | A \ | _ {ab} \ | x \ | _ {a}}

{\ displaystyle \ | Ax \ | _ {b} \ leq \ | A \ | _ {ab} \ | x \ | _ {a}}

pentru fiecare $A\in K^{m\times n}$ ${\ displaystyle A \ în K ^ {m \ times n}}$ ${\ displaystyle A \ în K ^ {m \ times n}}$ și pentru fiecare $x\in K^{n}$ ${\ displaystyle x \ în K ^ {n}}$ ${\ displaystyle x \ în K ^ {n}}$ . Toate normele induse sunt compatibile prin definiție.

Alte standarde

De asemenea, sunt răspândite regulile care evaluează matricea „componentă cu componentă”, adică echivalând-o cu vectorul având intrările matricei ca componente. De exemplu, normele p vectoriale pentru matrici, care vor fi numite întotdeauna norme p (dar care sunt distincte de normele p induse), sunt:

\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} | ^ {p} \ dreapta) ^ {1 / p}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} | ^ {p} \ dreapta) ^ {1 / p}}

Deoarece sunt în esență norme vectoriale, aceste norme p sunt sub-multiplicative.

Ca și înainte, cazul $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ își asumă o anumită importanță: se mai numește norma Frobenius și poate fi definită și ca:

\|A\|_{2}=\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {{\mbox{tr}}(A*A^{T})}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ | A \ | _ {F} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n } | a_ {ij} | ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ mbox {tr}} (A * A ^ {T})}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {\ min \ {m, n \}} \ sigma _ {i} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ | A \ | _ {F} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n } | a_ {ij} | ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ mbox {tr}} (A * A ^ {T})}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {\ min \ {m, n \}} \ sigma _ {i} ^ {2}}}}

unde este ${\mbox{tr}}(A*A^{T})$ ${\ displaystyle {\ mbox {tr}} (A * A ^ {T})}$ ${\ displaystyle {\ mbox {tr}} (A * A ^ {T})}$ este urma lui $A*A^{T}$ ${\ displaystyle A * A ^ {T}}$ ${\ displaystyle A * A ^ {T}}$ Și $\sigma _{i}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ $\ sigma _ {i}$ sunt valorile singulare ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

O proprietate singulară a normei Frobenius este că dacă cu $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ denotăm coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , atunci se menține următoarea egalitate:

\|A\|_{F}^{2}=\|A_{1}\|_{2}^{2}+\|A_{2}\|_{2}^{2}+\ldots +\|A_{n}\|_{2}^{2}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {F} ^ {2} = \ | A_ {1} \ | _ {2} ^ {2} + \ | A_ {2} \ | _ {2} ^ {2} + \ ldots + \ | A_ {n} \ | _ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {F} ^ {2} = \ | A_ {1} \ | _ {2} ^ {2} + \ | A_ {2} \ | _ {2} ^ {2} + \ ldots + \ | A_ {n} \ | _ {2} ^ {2}}

Standarde echivalente

Pentru fiecare pereche de norme matriciale $\|\cdot \|_{p}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}$ Și $\|\cdot \|_{q}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {q}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {q}}$ inegalitățile sunt:

c_{1}\|A\|_{p}\leq \|A\|_{q}\leq c_{2}\|A\|_{p}\qquad c_{1},c_{2}>0

{\ displaystyle c_ {1} \ | A \ | _ {p} \ leq \ | A \ | _ {q} \ leq c_ {2} \ | A \ | _ {p} \ qquad c_ {1}, c_ {2}> 0}

{\ displaystyle c_ {1} \ | A \ | _ {p} \ leq \ | A \ | _ {q} \ leq c_ {2} \ | A \ | _ {p} \ qquad c_ {1}, c_ {2}> 0}

adică cele două norme sunt echivalente. Prin urmare, ele induc aceeași topologie pe $K^{m\times n}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ .

Iată câteva exemple de astfel de constante $c_{1},c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ pentru o matrice reală:

$\|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{2}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {2} \ leq \ | A \ | _ {F} \ leq {\ sqrt {n}} \ | A \ | _ {2}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {2} \ leq \ | A \ | _ {F} \ leq {\ sqrt {n}} \ | A \ | _ {2}}$
$\|A\|_{max}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{max}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {max} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {mn}} \ | A \ | _ {max}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {max} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {mn}} \ | A \ | _ {max}}$
${\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ | A \ | _ {\ infty} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {m}} \ | A \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ | A \ | _ {\ infty} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {m}} \ | A \ | _ {\ infty}}$
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {m}}} \ | A \ | _ {1} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {n}} \ | A \ | _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {m}}} \ | A \ | _ {1} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {n}} \ | A \ | _ {1}}$

unde este $\|A\|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {\ infty}}$ reprezintă norma infinită indusă e $\|A\|_{max}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {max}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {max}}$ norma sa uniformă , adică maximul modulelor elementelor sale.

Bibliografie

(EN) James W. Demmel, Algebra liniară numerică aplicată, secțiunea 1.7, SIAM, 1997.
( EN ) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , SIAM, 2000. [1]
( EN ) John Watrous, Theory of Quantum Information , 2.3 Norms of operators , notes notes, University of Waterloo, 2011.
( EN ) Kendall Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis , John Wiley & Sons, Inc 1989
( EN ) Higham, NJ "Matrix Norms". §6.2 în Precizia și stabilitatea algoritmilor numerici . Philadelphia: Soc. Industrial și Appl. Matematică, 1996.
(EN) Horn, RA și Johnson, CR "Norme pentru vectori și matrice." Cap. 5 în Analiza matricială . Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, 1990.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un standard matricial

linkuri externe

Matrix Norm pe PlanetMath
Matrix Norm pe MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema