Glosar de combinatorie

Acest glosar combinatoric colectează termeni și concepte legate de această ramură importantă a matematicii. Pentru fiecare articol este furnizată o definiție sau o explicație foarte scurtă și este citat articolul Wikipedia, la care ar trebui să se facă trimitere pentru tratamentul complet al subiectului.

Index
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z ?

LA

Algoritm lacom

Algoritm care caută cea mai bună soluție, din punct de vedere global, a unei probleme prin alegerea, pas cu pas, a celor mai promițătoare soluții din punct de vedere local

Același subiect în detaliu: algoritm Greedy .

Aproximare Stirling

Sinonim cu formula lui Stirling

C.

Calcul combinatorial

Numită și Matematică Combinatorială sau pur și simplu Combinatorică .

Ramură a matematicii care studiază metodele și algoritmii pentru a grupa și / sau a ordona, în conformitate cu reguli și proceduri particulare, seturi finite de obiecte și pentru a număra configurațiile rezultate

Același subiect în detaliu: Combinatorica .

Calculul umbral

Notare care permite tratarea identităților pe secvențe numerice având în vedere indicii componentelor ca și cum ar fi exponenți. Această metodă, deși lipsită de fundații complete și riguroase, se dovedește adesea eficientă.

Legat de coeficientul binomial , în prezent calculul umbral este utilizat în principal pentru studiul secvențelor Sheffer

Același subiect în detaliu: calculul Umbral .

Ciclu

Permutare specială care, luând unele obiecte dintr-un set mai mare ordonat, le mută pe fiecare în locul următorului (ultimul este mutat în locul primului), lăsând neschimbată poziția tuturor celorlalte.

Același subiect în detaliu: Permutarea .

Coeficient binomial

Funcția variabilă cu două numere întregi n> 0 și 0 ≤ k ≤ n , definite ca

C(n;k)={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}={n \choose k}

{\ displaystyle C (n; k) = {\ frac {n!} {k! \ cdot \ left (nk \ right)!}} = {n \ alege k}}

C (n; k) = {\ frac {n!} {K! \ Cdot \ left (n-k \ right)!}} = {N \ alege k}

(unde n ! este factorialul lui n ). Coeficientul binomial poate fi calculat și cu triunghiul lui Tartaglia .

Pe lângă faptul că este important în dezvoltarea puterilor binomiale , în ceea ce privește combinatoria, coeficientul binomial este strâns legat de numărul de combinații simple

Același subiect în detaliu: Coeficientul binomial .

Coeficient binomial simetric

Varianta coeficientului binomial cu două variabile simetrice (întregi și pozitive) în argumentele lor. Poate fi exprimat ca

{\mbox{cbins}}(h,k)={h+k \choose h}\qquad \qquad {n \choose h}={\mbox{cbins}}(h,n-h)

{\ displaystyle {\ mbox {cbins}} (h, k) = {h + k \ alege h} \ qquad \ qquad {n \ alege h} = {\ mbox {cbins}} (h, nh)}

{\ mbox {cbins}} (h, k) = {h + k \ alege h} \ qquad \ qquad {n \ alege h} = {\ mbox {cbins}} (h, n-h)

Este o funcție capabilă să enumere configurații discrete echivalente ale unui sistem

Același subiect în detaliu: Coeficientul simetric binomial .

Coeficientul multinomial

Generalizarea coeficientului binomial la orice număr de variabile întregi pozitive Dacă n este un număr pozitiv e

k_{1},...,k_{m}

{\ displaystyle k_ {1}, ..., k_ {m}}

k_ {1}, ..., k_ {m}

cu

k_{1}+...+k_{m}=n

{\ displaystyle k_ {1} + ... + k_ {m} = n}

k_ {1} + ... + k_ {m} = n

sunt numere întregi non-negative, coeficientul multinomial este definit ca

{n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}:={\frac {n!}{k_{1}!\cdot \dots \cdot k_{m}!}}

{\ displaystyle {n \ choose k_ {1}, \ dots, k_ {m}}: = {\ frac {n!} {k_ {1}! \ cdot \ dots \ cdot k_ {m}!}}}

{n \ alege k_ {1}, \ dots, k_ {m}}: = {\ frac {n!} {k_ {1}! \ cdot \ dots \ cdot k_ {m}!}}

Coeficientul multinomial este legat de dezvoltarea puterilor polinoamelor și, în ceea ce privește combinatoria, este strict legat de numărul de permutări ale n obiecte din care

k_{1}

{\ displaystyle k_ {1}}

k_ {1}

egali unul cu celălalt,

k_{2}

{\ displaystyle k_ {2}}

k_ {2}

egale între ele etc.

Același subiect în detaliu: Coeficientul multinomial .

Combinatorie enumerativă

Sinonim pentru Enumerare

Combinatorial

Sinonim al geometriei combinatorii

Combinaţie

Combinațiile de n obiecte a k a k sunt modalitățile prin care se poate grupa (sau alege sau extrage) k obiecte (cu k mai puțin de n ) la un moment dat din n inițial. Cu alte cuvinte, ele reprezintă subseturile de cardinalitate k ale unui set de cardinalitate n> k . Combinațiile sunt considerate diferite numai dacă au o compoziție diferită (adică ordinea în care sunt alese obiectele nu contează).

Combinațiile de n obiecte luate k la un moment dat pot fi:

- combinații simple
  dacă fiecare element nu poate fi repetat; în practică, fiecare obiect ales nu mai este luat în considerare pentru alegerile ulterioare. Numărul de combinații simple de n obiecte luate de la k la k este egal cu coeficientul binomial n și k :

C_{n,k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose k}

{\ displaystyle C_ {n, k} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}} = {n \ alege k}}

C _ {{n, k}} = {\ frac {n!} {(N-k)! K!}} = {N \ alege k}

- combinații cu repetare
  dacă fiecare element poate fi ales de mai multe ori. Numărul lor este egal cu coeficientul binomial al lui (n + k - 1) și k :

C'_{n,k}=C_{n+k-1,k}={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!k!}}

{\ displaystyle C '_ {n, k} = C_ {n + k-1, k} = {n + k-1 \ alege k} = {\ frac {(n + k-1)!} {(n -1)! K!}}}

C '_ {n, k} = C_ {n + k-1, k} = {n + k-1 \ alege k} = {\ frac {(n + k-1)!} {(N-1) ! k!}}

Același subiect în detaliu: Combinație .

Constanta Gauss-Kuzmin-Wirsing

Constanta matematică utilizată în studiul eficienței algoritmului lui Euclid pentru calculul celui mai mare divizor comun . Nu se știe dacă este sau nu un număr rațional ; este aproximativ 0.3036630029 ...

Același subiect în detaliu: constanta Gauss-Kuzmin-Wirsing .

D.

Delta Kronecker

Funcționează în două variabile întregi care este 1 dacă valorile variabilelor coincid și 0 dacă nu. De obicei este reprezentat cu δ _{i, j} ; prin urmare, este definit ca:

\delta _{i,j}:=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}i=j\\0&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ delta _ {i, j}: = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} i = j \\ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

\ delta _ {{i, j}}: = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} i = j \\ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrix}} \ right.

Folosit pentru a reprezenta formule referitoare la matrice sau, în orice caz, seturi de numere exprimate prin doi indici: de exemplu, matricea de identitate poate fi definită ca:

\delta _{i,j}

{\ displaystyle \ delta _ {i, j}}

{\ displaystyle \ delta _ {i, j}}

cu

i,j=1,2,...,n\,

{\ displaystyle i, j = 1,2, ..., n \,}

{\ displaystyle i, j = 1,2, ..., n \,}

Același subiect în detaliu: Delta Kronecker .

Demutarea

O dismutație este o permutație în care niciun element nu rămâne fix. Se poate arăta că numărul dismutațiilor a n elemente este

\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\frac {n!}{k!}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left (-1 \ right) ^ {k} {\ frac {n!} {k!}}}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} \ left (-1 \ right) ^ {k} {\ frac {n!} {k!}}

Același subiect în detaliu: Demisie (matematică) .

Aranjament

Dispozițiile n obiectelor a k a k sunt modalitățile ordonate în care k obiecte pot fi aranjate la un moment dat, alese dintre n inițiale; două aranjamente sunt considerate diferite dacă au cel puțin un obiect diferit sau aceleași obiecte diferă în ordinea în care sunt aranjate.

Dispunerile de n obiecte luate k la un moment dat pot fi:

- prevederi simple
  dacă fiecare element nu poate fi repetat; în practică, fiecare obiect ales nu mai este luat în considerare pentru alegerile ulterioare: în acest caz, prin urmare, k trebuie să fie mai mic decât n . Cu alte cuvinte, aranjamentele simple reprezintă subseturile ordonate de cardinalitate k ale unui set de cardinalitate n> k .

Numărul de aranjamente simple de n obiecte luate de la k la k este egal cu

{\frac {n!}{(n-k)!}}

{\ displaystyle {\ frac {n!} {(nk)!}}}

{\ frac {n!} {(n-k)!}}

- prevederi cu repetare
  dacă fiecare element poate fi repetat de mai multe ori: în acest caz k poate fi mai mare decât n .

Numărul de aranjamente cu repetarea a n obiecte luate de la k la k este egal cu n ^k

Același subiect în detaliu: Aranjament .

ȘI

Enumerare

Ramură a matematicii care se ocupă de metodologii și tehnici de numărare a obiectelor în sens abstract

Același subiect în detaliu: Enumerare (matematică) .

F.

Factorială

Funcție discretă definită pentru numere întregi care nu sunt negative.

Dacă n este un număr întreg pozitiv , un factorial de n (sau n factorial) este definit ca produsul primelor n numere întregi pozitive. Factorialul lui n este notat cu n ! . Este definibil recursiv ca

n!=(n-1)!n

{\ displaystyle n! = (n-1)! n}

n! = (n-1)! n

În concordanță cu funcția gamma a lui Euler , care, într-un anumit sens, extinde conceptul de factorial la numere complexe , presupunem 0! = 1

Același subiect în detaliu: Factorial .

Dublu factorial

Sinonim cu semifactorial

Cvadruplă factorială

Cvadruplul factorial al unui număr natural n nu este multifactorial , ci este dat de expresie

{\frac {(2n)!}{n!}}

{\ displaystyle {\ frac {(2n)!} {n!}}}

{\ frac {(2n)!} {n!}}

Factorial în creștere

Dacă x este un număr real (sau mai general un element al unui inel ), factorialul în creștere al lui x cu n factori este produsul

x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)

{\ displaystyle x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x + k-1)}

x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} (x + k-1)

.

Dacă x este un număr întreg pozitiv, identitatea deține:

x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\,{\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}

{\ displaystyle x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = \, {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}}

x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = \, {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}

Același subiect în detaliu: factorial în creștere .

Factorial de creștere de bază q

Dacă q și x sunt variabile reale sau complexe și n este un număr natural , factorul de bază crescător q în x relativ la n este produsul a n factori

(x;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k}x)

{\ displaystyle (x; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-q ^ {k} x)}

(x; q) _ {n} = \ prod _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} (1-q ^ {k} x)

În mod similar, puteți defini factorialul de creștere de bază q în x față de infinit cu un factor de producție similar infinit

Același subiect în detaliu: factorial de creștere de bază q .

Factor în scădere

Dacă x este un număr real (sau mai general un element al unui inel ), factorialul descrescător al lui x cu n factori este produsul

x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)

{\ displaystyle x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x-k + 1)}

x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} (x-k + 1)

.

Dacă x și n <x sunt numere întregi pozitive, identitatea deține:

x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\,{\frac {x!}{(x-n)!}}

{\ displaystyle x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \, {\ frac {x!} {(xn)!}}}

x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \, {\ frac {x!} {(x-n)!}}

.

Același subiect în detaliu: factorial în creștere .

Formula lui Faulhaber

Formula generală care exprimă suma puterilor numerelor întregi succesive. Se folosește de numerele Bernoulli

Același subiect în detaliu: Suma de puteri a numerelor întregi succesive .

Formula lui Stirling

Formula care oferă o valoare aproximativă a factorialului numerelor mari. În practică afirmă că

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

{\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \; \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}}

n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \; \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {{n}}

Același subiect în detaliu: Aproximarea Stirling .

Funcția E a lui MacRobert

Generalizarea seriei hipergeometrice exprimată în funcție de funcția Meijer G , dar mai puțin generală decât cea din urmă

Același subiect în detaliu: funcția E a lui MacRobert .

Funcția Gamma Euler

De asemenea, numită pur și simplu „funcție Gamma”, este o funcție definită într- un câmp complex , continuu pe numere reale pozitive, care extinde conceptul de factorial la numere complexe . De fapt, în funcția Gamma, pentru orice valoare z complexă, excluzând numerele întregi negative, relația de recursie este valabilă

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)

{\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z)}

\ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z)

, tipic factorialului. Pentru orice non-negativ întreg n - avem

(n+1)!=(n+1)n!

{\ displaystyle (n + 1)! = (n + 1) n!}

(n + 1)! = (n + 1) n!

deci, pentru numerele întregi pozitive, avem

\Gamma (n)=(n-1)!

{\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)!}

\ Gamma (n) = (n-1)!

Același subiect în detaliu: funcția Gamma .

Funcția Meijer G.

Funcție definită în câmp complex . Scopul său este de a defini o funcție generală care conține ca cazuri particulare majoritatea funcțiilor speciale , similar cu ceea ce fac funcția hipergeometrică și funcția E a lui MacRobert . Definiția funcției Meijer G implică o integrală într-un câmp complex

Același subiect în detaliu: funcția Meijer G.

Funcția Mertens

Funcție care asociază fiecărui număr întreg pozitiv n suma valorilor funcției Mobius de la 1 la n :

M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)

{\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}

M (n) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} \ mu (k)

unde μ (k) denotă funcția Möbius

Același subiect în detaliu: funcția Mertens .

Funcția Möbius

Funcție definită pe numere naturale care le clasifică în funcție de modul în care pot fi descompuse în factori primi , notate cu μ ( n ), este o funcție cu trei valori:

- -1 dacă n este descompozibil într-un număr impar de factori primi distincti;
- 0 dacă are unul sau mai mulți factori primi repetați;
- +1 dacă n poate fi împărțit într-un număr par de factori primi distincti

Același subiect în detaliu: funcția Möbius .

Funcția de partiție

O funcție care asociază fiecărui număr natural n numărul de moduri în care n poate fi scris ca suma numerelor naturale, fără a lua în considerare ordinea adunărilor.

Fiecare secvență de acte care formează numărul n , în ordine crescătoare, se numește "partiție a lui n "

Același subiect în detaliu: partiția unui număr întreg .

Funcția simetrică

O funcție multivariată este simetrică dacă este invariantă sub orice permutare a argumentelor sale. Lipsește o teorie completă privind funcțiile simetrice nepolinomiale.

O altă definiție, care nu este identică cu cea anterioară, identifică o funcție simetrică ca limită a inelelor de polinoame simetrice în n variabile ca n toate ' infinite . Util în combinație pentru a studia relațiile dintre polinoamele simetrice

Același subiect în detaliu: Funcția simetrică .

G.

Geometrie combinatorie

Sinonim cu geometrie discretă

Geometrie discretă

Ramură a matematicii care studiază mulțimi finite sau numărabile și relațiile lor de ordine și apartenență

Același subiect în detaliu: geometrie discretă și geometrie combinatorie .

Grup simetric

Grupul simetric al unui set este grupul tuturor permutărilor elementelor sale

Același subiect în detaliu: Grup simetric .

THE

Identitate combinatorie

Aplicarea la combinatorică a conceptului general de identitate matematică (egalitatea între două expresii valabile pentru toate valorile variabilelor).

În special, identitățile combinatorii se referă la egalitatea cardinalității a două seturi

Același subiect în detaliu: identitatea combinatorie .

Hiperfactorial

Hiperfactorialul unui număr natural n este produsul tuturor numerelor naturale mai mici sau egale cu n , fiecare ridicat la puterea egală cu numărul în sine:

H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}=H(n-1)\cdot n^{n}

{\ displaystyle H (n) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k} = 1 ^ {1} \ cdot 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {3} \ cdots (n- 1) ^ {n-1} \ cdot n ^ {n} = H (n-1) \ cdot n ^ {n}}

H (n) = \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} k ^ {k} = 1 ^ {1} \ cdot 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {3} \ cdots (n-1 ) ^ {{n-1}} \ cdot n ^ {n} = H (n-1) \ cdot n ^ {n}

Hiperfactorialul produce numere mult mai mari decât factorialul (primele sunt: 1, 4, 108, 27648)

Același subiect în detaliu: Hyperfactorial .

M.

Matricea Hadamard

Matricea pătrată de ordinul n cu toate elementele egale cu +1 sau -1 , al căror invers este egal cu transpunerea împărțit la n . În mod echivalent se poate spune, în locul ultimei afirmații, că rândurile matricei formează un set de vectori ortogonali reciproc.

Folosit pentru crearea de coduri pentru corectarea erorilor și în calculele statistice.

Același subiect în detaliu: matricea lui Hadamard .

Matricea rară

Matrice în care „aproape toate” elementele sunt nule (unde „aproape toate” depind de context)

Același subiect în detaliu: matrice rară .

Matroid

Structură matematică (în general de cardinalitate finită) căreia îi putem aplica un concept de independență care este o generalizare a independenței liniare definite pentru spațiile vectoriale

Același subiect în detaliu: Matroid .

Multifactorial

Funcție, derivată din factorială . Multifactorială unui număr natural n cu etapa k (k- th factorial) este produsul n și a numerelor precedente cu etapa k (adică: n - k, n - 2k, etc.). Este indicat în general cu

n!^{(k)}

{\ displaystyle n! ^ {(k)}}

n! ^ {{(k)}}

; factorialul dublu ( k = 2 ) este în general notat cu

n!!

{\ displaystyle n !!}

n !!

, iar cel triplu ( k = 3 ) cu

n!!!

{\ displaystyle n !!!}

n !!!

În mod formal este definit de formula recursivă

n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{se }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{se }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle n! ^ {(k)} = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, \ qquad \ qquad \ && {\ mbox {se}} 0 \ leq n <k; \\ n (nk) ! ^ {(k)}, && {\ mbox {se}} n \ geq k. \ quad \ \ \, \ end {matrix}} \ right.}

n! ^ {{(k)}} = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, \ qquad \ qquad \ && {\ mbox {se}} 0 \ leq n <k; \\ n (nk)! ^ {{(k)}}, && {\ mbox {se}} n \ geq k. \ quad \ \ \, \ end {matrix}} \ right.

Același subiect în detaliu: Factorial .

Nu.

Notare multi-index

Notare matematică care permite extinderea, simplificându-le, multe formule de combinatorică (dar nu numai) la cazul multidimensional. De exemplu, dat doi vectori n- dimensionali ai numerelor naturale

M=(m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n})

{\ displaystyle M = (m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {n})}

M = (m _ {{1}}, m _ {{2}}, \ ldots, m _ {{n}})

Și

K=(k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n})

{\ displaystyle K = (k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n})}

K = (k _ {{1}}, k _ {{2}}, \ ldots, k _ {{n}})

, notația

M\,!

{\ displaystyle M \ ,!}

M \,!

trebuie considerat echivalent cu

m_{1}!m_{2}!\ldots m_{n}!

{\ displaystyle m_ {1}! m_ {2}! \ ldots m_ {n}!}

m _ {{1}}! m _ {{2}}! \ ldots m _ {{n}}!

, Și

{M \choose K}={\frac {M!}{(M-K)!\,K!}}={m_{1} \choose k_{1}}{m_{2} \choose k_{2}}\ldots {m_{n} \choose k_{n}}

{\ displaystyle {M \ choose K} = {\ frac {M!} {(MK)! \, K!}} = {m_ {1} \ choose k_ {1}} {m_ {2} \ choose k_ { 2}} \ ldots {m_ {n} \ alege k_ {n}}}

{M \ choose K} = {\ frac {M!} {(MK)! \, K!}} = {M _ {{1}} \ choose k _ {{1}}} {m _ {{2 }} \ choose k _ {{2}}} \ ldots {m _ {{n}} \ choose k _ {{n}}}

Notația multi-index, pentru care sunt definite unele reguli de compoziție, este utilă în diferite domenii ale matematicii, cum ar fi calculul în mai multe variabile , ecuația diferențială parțială și teoria distribuției

Același subiect în detaliu: notația multi-index .

Numere Bernoulli

Secvența numerelor raționale definite recursiv: numărul m Bernoulli

B_{m}

{\ displaystyle B_ {m}}

B_ {m}

este rădăcina ecuației liniare

\sum _{i=0}^{m}{m+1 \choose {i}}B_{i}=0\quad

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m} {m + 1 \ alege {i}} B_ {i} = 0 \ quad}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {m} {m + 1 \ alege {i}} B_ {i} = 0 \ quad

având plasat

B_{0}=1~.

{\ displaystyle B_ {0} = 1 ~.}

B_ {0} = 1 ~.

Polinoamele Bernoulli sunt asociate numerelor Bernoulli care pot fi considerate ca o generalizare a acestora

Același subiect în detaliu: numerele Bernoulli .

Numere catalane

Secvența numerelor întregi care reprezintă numărul de moduri în care un poligon convex poate fi împărțit în triunghiuri (cu laturile care coincid cu cele ale poligonului însuși) Mai precis al n- lea număr de catalană

C_{n}

{\ displaystyle C_ {n}}

C_ {n}

reprezintă numărul de triunghiuri în care poate fi împărțit un poligon de n + 2 laturi.

Secvența numerelor catalane este definită de expresie

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}\qquad {\mbox{ per }}n=0,1,2,...

{\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} {2n \ choose n} \ qquad {\ mbox {per}} n = 0,1,2, ...}

C_ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} {2n \ alege n} \ qquad {\ mbox {per}} n = 0,1,2, ...

Același subiect în detaliu: numărul catalan .

Numere Fibonacci

Secvența numerelor întregi obținute recursiv, fiecare element fiind obținut prin adăugarea celor două elemente anterioare și presupunând că primele două numere Fibonacci sunt ambele egale cu 1. Mai precis:

F ₁ = 1

F ₂ = 1

F _n = F _{n -1} + F _{n -2} pentru n> 2

Același subiect în detaliu: secvența Fibonacci .

Numere stirling de primul și al doilea fel

Numere întregi asociate cu o pereche de numere naturale . Numerele Stirling sunt de două specii diferite, definite după cum urmează:

- Numere stirling de primul fel
  $s(n,k)$ ${\ displaystyle s (n, k)}$ $s (n, k)$ sunt coeficienții expansiunii polinomiale a factorului descrescător al lui x cu n factori:

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\sum _{k=1}^{n}s(n,k)x^{k}

{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} s (n, k) x ^ {k}}

(x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} s (n, k) x ^ { k}

- Numere stirling de al doilea fel
  $S(n,k)$ ${\ displaystyle S (n, k)}$ $S (n, k)$ reprezintă numărul de partiții constând din k subseturi ale unui set cu n elemente. Următoarele două relații sunt:

\sum _{k=0}^{n}S(n,k)(x)_{k}=x^{n}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) (x) _ {k} = x ^ {n}}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} S (n, k) (x) _ {k} = x ^ {n}

;

B_{n}=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)

{\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} S (n, k)}

B_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} S (n, k)

unde B _n este nth numărul Bell

Același subiect în detaliu: numerele Stirling .

Număr armonic

Numerele armonice sunt numerele raționale obținute prin adăugarea inverselor tuturor numerelor naturale mai mici decât un număr dat. Mai precis al n - lea număr armonic

H_{n}

{\ displaystyle H_ {n}}

H_ {n}

este suma

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\ldots +{\frac {1}{n}}

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} \ ldots + {\ frac {1} {n}}}

1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} \ ldots + {\ frac {1} {n}}

Același subiect în detaliu: numărul armonic .

Numărul Gödel

Un număr natural , utilizat în logica matematică , care este asociat cu fiecare șir al unui limbaj formal . Se bazează pe factorizarea primă

Același subiect în detaliu: numărul Gödel .

P.

Partiția unui număr întreg

Consultați Funcția de partiție

Permutare

O permutare a n obiecte este un mod de a ordona aceleași obiecte. O permutare este generată, de exemplu, atunci când se amestecă un pachet de cărți de joc sau când se execută o anagramă a unui cuvânt (permutarea literelor care îl compun).

Dacă un set este compus din n obiecte distincte, atunci numărul de permutări posibile este

n!

{\ displaystyle n!}

n!

.

Viceversa dacă există elemente egale între ele (

n_{1}

{\ displaystyle n_ {1}}

n_ {1}

de un fel,

n_{2}

{\ displaystyle n_ {2}}

n_ {2}

de alt tip,….

n_{k}

{\ displaystyle n_ {k}}

n_ {k}

de încă un alt tip) numărul permutărilor este egal cu coeficientul multinomial

{n \choose n_{1},\dots ,n_{k}}={\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}}

{\ displaystyle {n \ choose n_ {1}, \ dots, n_ {k}} = {\ frac {n!} {n_ {1}! \ cdots n_ {k}!}}}

{n \ alege n_ {1}, \ dots, n_ {k}} = {\ frac {n!} {n_ {1}! \ cdots n_ {k}!}}

Același subiect în detaliu: Permutarea .

Permutare completă

Sinonim cu dismutarea

Permutație alternativă

De asemenea, numită permutare alternativă este o permutare a n numere în care primul element este mai mic decât al doilea și toate elementele au o valoare care nu este inclusă între precedent și următor. De exemplu, cele cinci permutări alternative ale lui {1, 2, 3, 4} sunt:

- - 1, 3, 2, 4
  - 1, 4, 2, 3
  - 2, 3, 1, 4
  - 2, 4, 1, 3
  - 3, 4, 1, 2

Același subiect în detaliu: permutare alternativă .

Permutarea în zigzag

Sinonim pentru permutare alternativă

Primorial

Funcție discretă definită pentru numere întregi care nu sunt negative.

Primorialul unui număr n (în general notat cu notația n # ) este produsul tuturor numerelor prime mai mici sau egale cu n

Același subiect în detaliu: Primorial .

Principiul sertarelor

Principiul sertarului afirmă că dacă am n obiecte de inserat în k containere, unde k <n , atunci neapărat va exista cel puțin un container cu un număr de obiecte egal cu numărul întreg imediat mai mare decât raportul n / k . În special, dacă k = n + 1 , atunci un container va conține cel puțin două obiecte. Principiul este banal, dar aplicațiile și consecințele sale pot fi neașteptate

Același subiect în detaliu: Principiul sertarului .

Principiul incluziunii-excluderii

Formula matematică care permite calcularea cardinalității unui set considerat ca unirea altor mulțimi, cunoscând cardinalitatea intersecțiilor acestuia din urmă.

Același subiect în detaliu: Principiul incluziunii-excluderii .

Problema lui Iosif

Numită și permutarea lui Iosif , este o problemă veche legată de un istoric roman.

Având în vedere n obiecte ordonate în mod circular (următorul ultim este primul), unul este ales și șters; apoi k - 1 obiecte sunt omise și k-th este eliminat. Aceasta continuă până când rămâne un singur obiect. Problema este de a determina, dat fiind n și k , ce obiect rămâne

Același subiect în detaliu: problema lui Joseph .

Î

Piața magică

Un pătrat magic este o matrice pătrată de numere întregi toate diferite unele de altele astfel încât suma numerelor prezente în fiecare rând, în fiecare coloană și în ambele diagonale dă întotdeauna același număr.

Același subiect în detaliu: pătrate magice .

Pătrat latin

Un pătrat latin este o matrice pătrată a laturii n care în fiecare casetă conține un simbol, ales dintre n simboluri date, astfel încât fiecare dintre ele să apară o singură dată și o singură dată în fiecare rând și în fiecare coloană.

Același subiect în detaliu: pătrate latine .

Pătrat grecesc latin

Varianta pătratului latin în care fiecare cutie a unei matrice pătrate a laturii n conține o pereche de simboluri, alese din două seturi de n elemente, astfel încât fiecare simbol să apară o singură dată și o singură dată în fiecare rând și în fiecare coloană și că fiecare perechea apare o singură dată.

Același subiect în detaliu: pătrate latine .

R.

Regula lui Golomb

O riglă a lui Golomb poate fi imaginată ca o serie de crestături pe o riglă, plasate la distanțe complete (în orice unitate de măsură) una de cealaltă, astfel încât fiecare pereche de crestături să fie la o distanță diferită de toate celelalte. Dacă un conducător Golomb are crestături așezate în așa fel încât este posibil să „măsoare” toate distanțele întregi de la una la lungimea sa, se spune că este perfectă

Același subiect în detaliu: Regula lui Golomb .

S.

Deranjat

Sinonim cu dismutarea

Semi-factorial

Funcție discretă definită pe numere întregi care nu sunt negative. Semifactorialul unui număr par este produsul tuturor numerelor pare mai mici sau egale cu cel dat; în mod similar, semifactorialul unui număr impar este produsul tuturor numerelor impare mai mici sau egale cu cel dat.

Semifactorialul este indicat cu n !!

Relația dintre factorial și semifactorial poate fi exprimată prin identitate:

n!=n!!(n-1)!!

{\ displaystyle n! = n !! (n-1) !!}

n! = n !! (n-1) !!

Lo stesso argomento in dettaglio: Fattoriale .

Sequenza di Sheffer

Sequenza polinomiale per i cui componenti p _n (x) vale una uguaglianza del tipo Q p _n (x) = np _n-1 (x)p per qualche operatore shift-covariante Q

Lo stesso argomento in dettaglio: Sequenza di Sheffer .

Sequenza di tipo binomiale

Sequenza polinomiale per i cui componenti valgono le uguaglianze

p_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).

p_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{nk}(y).

p_{n}(x,y)=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{{n-k}}(y).

Il loro insieme è contenuto propriamente nell'insieme delle sequenze di Sheffer

Lo stesso argomento in dettaglio: Sequenza di tipo binomiale .

Serie formale di potenze

Una serie formale di potenze è un polinomio in una variabile con un numero infinito di termini. Differisce dalla serie di potenze perché non ci si preoccupa della sua convergenza , ma solo della successione dei suoi coefficienti .

Il concetto è estendibile a polinomi in più variabili

Lo stesso argomento in dettaglio: Serie formale di potenze e Serie formali di potenze in più variabili .

Serie ipergeometrica

Una serie ipergeometrica è una serie di potenze in una variabile x in cui il rapporto fra i coefficienti di due qualunque potenze adiacenti è una funzione razionale dell'esponente della potenza stessa

Lo stesso argomento in dettaglio: Serie ipergeometrica .

Simbolo di Levi Civita

Simbolo che si usa soprattutto nel calcolo tensoriale per rappresentare le permutazioni di un insieme di tre elementi

Lo stesso argomento in dettaglio: Simbolo di Levi-Civita .

Sistema di indipendenza

Famiglia (non vuota) di insiemi in cui, se l'insieme A appartiene alla famiglia e B è sottoinsieme di A, allora anche l'insieme B appartiene alla famiglia. Gli insiemi della famiglia si chiamano indipendenti , gli altri si chiamano dipendenti

Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di indipendenza .

Struttura di indipendenza

Sinonimo di matroide

Successione di Fibonacci

Vedere Numeri di Fibonacci

Successione di interi

Funzione che ad ogni numero naturale associa un numero intero . Esempi di successioni di interi sono i numeri di Fibonacci , i numeri di Catalan , i numeri figurati , ecc.

Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di interi .

Superfattoriale

Definizione di N. Sloane e S. Plouffe : il superfattoriale di un numero naturale n è il prodotto dei primi n fattoriali. Per esempio il superfattoriale di 4 è

\mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288

\mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288

{\mathrm {sf}}(4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288

.

Secondo questa definizione la sequenza dei superfattoriali inizia con: 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ...

Definizione di C. Pickover : il superfattoriale di un numero naturale n è dato dall'espressione:

n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}},

n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}},

n{\mathrm {S}}\!\!\!\!\!\;\,{!}\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{{n!}^{{{\cdot }^{{{\cdot }^{{{\cdot }^{{n!}}}}}}}}}}}\\n!\end{matrix}},

Pertanto secondo questa definizione la sequenza dei superfattoriali inizia con

1\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=1

1\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=1

1{\mathrm {S}}\!\!\!\!\!\;\,{!}=1

2\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=2^{2}=4

2\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=2^{2}=4

2{\mathrm {S}}\!\!\!\!\!\;\,{!}=2^{2}=4

3\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}

3\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}

3{\mathrm {S}}\!\!\!\!\!\;\,{!}=6^{{6^{{6^{{6^{{6^{6}}}}}}}}}

T

Teorema binomiale

Il teorema binomiale (chiamato anche formula o binomio di Newton ) esprime lo sviluppo della potenza n -ma di un binomio . Considerato il binomio

(a+b)

{\displaystyle (a+b)}

(a+b)

, allora il teorema binomiale afferma che

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{nk}b^{k}

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}

dove

{a \choose b}

{a \choose b}

{a \choose b}

rappresenta il coefficiente binomiale , che vale

{\frac {a!}{b!\cdot \left(a-b\right)!}}

{\frac {a!}{b!\cdot \left(ab\right)!}}

{\frac {a!}{b!\cdot \left(a-b\right)!}}

(

n!

{\displaystyle n!}

n!

è il fattoriale di n ):

Il teorema vale per i numeri reali , i complessi , e in generale vale in ogni anello commutativo .

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema binomiale .

Teorema del ballottaggio

Soluzione dell'omonimo problema che calcola la probabilità che durante una elezione fra due soli candidati, quello che alla fine risulta vincitore sia in ogni momento in vantaggio sull'altro

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del ballottaggio .

Teorema di Wick

Metodo per ridurre uno sviluppo in derivate di ordine superiore a un problema di calcolo combinatorio

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Wick .

Teoria dei crivelli

Insieme di tecniche aritmetiche per valutare la cardinalità di insiemi di interi con particolari caratteristiche

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria dei crivelli .

Teoria dei disegni

Teoria che permette di descrivere in modo matematico formale le proprietà dei disegni a blocchi. Un disegno viene considerato come una coppia di insiemi, quello dei vertici e quello dei blocchi. Si basa sulla teoria dei gruppi finiti.

La teoria ha applicazioni in problemi vari come la tassellatura di una superficie

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria dei disegni .

Triangolo di Pascal

Sinonimo di Triangolo di Tartaglia

Triangolo di Tartaglia

Algoritmo per calcolare i coefficienti binomiali di un binomio di qualunque grado

Lo stesso argomento in dettaglio: Triangolo di Tartaglia .

Trinomio di Newton

Estensione del teorema binomiale a trinomi del tipo

(a+b+c)^{n}

(a+b+c)^{n}

(a+b+c)^{n}

Lo stesso argomento in dettaglio: Coefficiente multinomiale .

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica