Teorema spectrală

În algebra liniară și analiza funcțională teorema spectrală se referă la o serie de rezultate legate de operatori liniari sau matrici . În termeni generali, teorema spectrală oferă condiții în care un operator sau o matrice poate fi diagonalizată , adică reprezentată de o matrice diagonală într-o bază .

În dimensiunea finită, teorema spectrală afirmă că fiecare endomorfism simetric al unui spațiu vectorial real cu un produs scalar are o bază ortonormală formată din vectori proprii . În mod echivalent, orice matrice simetrică reală este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice ortogonală .

Într-o dimensiune infinită există formulări diferite. Cel care folosește operatorii de multiplicare stabilește că fiecare operator de multiplicare este un operator autoadjunct (dens definit) și fiecare operator autoadjunct este echivalent unitar cu un operator de multiplicare. ^[1]

Teorema spectrală oferă, de asemenea, o descompunere canonică a spațiului vectorial, numită descompunere spectrală sau descompunere a valorii proprii .

Caz cu dimensiuni finite

Teorema spectrală este în primul rând o teoremă importantă privind spațiile vectoriale (reale sau complexe) de dimensiune finită.

Afirmație

Teorema spectrală poate fi enunțată pentru spații vectoriale reale sau complexe cu un produs scalar. Afirmația este în esență aceeași în ambele cazuri.

Teorema în cazul real poate fi interpretată și ca cazul particular al versiunii complexe. Ca multe alte rezultate în algebră liniară , teorema poate fi enunțată în două forme diferite: folosind limbajul hărților sau matricilor liniare . În cazul complex, afirmația pentru spațiile vectoriale complexe cu un produs hermitian este analogă cu cea reală, dar sub ipoteze mai slabe: în loc de autoadjuncție, este suficient să se solicite ca operatorul să fie normal , adică să comute cu propriul adjunct .

Caz real

Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un endomorfism pe un spațiu vectorial real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de dimensiunea n , cu un produs scalar pozitiv definit . Atunci $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este autoadjunct dacă și numai dacă există o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ realizat din vectori proprii pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . ^[2] Endomorfism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este deci diagonalizabil .

O versiune echivalentă a teoremei, enunțată cu matrici, afirmă că orice matrice simetrică reală este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice ortogonală . ^[3]

Ca o consecință a teoremei, pentru orice matrice simetrică $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ există o matrice ortogonală $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ (adică astfel încât $M^{T}M=I$ ${\ displaystyle M ^ {T} M = I}$ ${\ displaystyle M ^ {T} M = I}$ ) și o matrice diagonală $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ prin urmare: ^[4]

D=M^{-1}SM=M^{T}SM\

{\ displaystyle D = M ^ {- 1} SM = M ^ {T} SM \}

D = M ^ {{- 1}} SM = M ^ {T} SM \

În special, valorile proprii ale unei matrici simetrice sunt reale.

Caz complex

Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un operator liniar pe un spațiu vectorial complex $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de dimensiune n , înzestrată cu un produs hermitian , adică cu o formă hermitiană definită pozitivă. Atunci $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un operator normal dacă și numai dacă există o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ realizat din vectori proprii pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . ^[5]

În limbajul matricial, teorema afirmă că fiecare matrice normală este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice unitară . Cu alte cuvinte, pentru orice matrice normală $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ există o matrice unitară $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și o diagonală $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ pentru care:

D=U^{-1}HU=\,^{t}\!{\bar {U}}HU

{\ displaystyle D = U ^ {- 1} HU = \, ^ {t} \! {\ bar {U}} HU}

D = U ^ {{- 1}} HU = \, ^ {t} \! {\ Bar U} HU

Prin urmare, un operator este normal dacă și numai dacă este diagonalizabil unitar.

Ca corolar, rezultă că operatorul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este autoadjunct dacă și numai dacă baza ortonormală are numai valori proprii reale , în timp ce dacă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este unitar modulul valorilor proprii este 1.

În special, valorile proprii ale unei matrice hermitiene sunt reale, în timp ce cele ale unei matrice unitare sunt de modul 1.

Demonstrație

Pentru a demonstra teorema spectrală este suficient să luăm în considerare cazul complex și, pentru a demonstra existența unei baze auto-vectoriale, folosim principiul inducției pe dimensiunea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Dacă dimensiunea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este egal cu 1 nu este nimic de dovedit. Să presupunem că afirmația este valabilă pentru spațiile vectoriale de dimensiune n - 1: vrem să arătăm că acest lucru implică validitatea teoremei pentru spațiile de dimensiune n . Atâta timp cât $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este un câmp închis algebric , polinomul caracteristic al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ are cel puțin o rădăcină: prin urmare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ are cel puțin o valoare proprie $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ și un vector propriu $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ referitoare la această valoare proprie. Luați în considerare spațiul:

W={\mathcal {L}}(v)^{\perp }

{\ displaystyle W = {\ mathcal {L}} (v) ^ {\ perp}}

{\ displaystyle W = {\ mathcal {L}} (v) ^ {\ perp}}

format din vectorii de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ortogonal a $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ . $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ are dimensiune $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ , întrucât cele două subspații sunt în sumă directă .

Endomorfism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ trimite $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ în sine, adică $T(W)\subseteq W$ ${\ displaystyle T (W) \ subseteq W}$ ${\ displaystyle T (W) \ subseteq W}$ . Într-adevăr, imaginea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este ortogonală la $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ :

\langle v,T(w)\rangle =\langle T^{*}(v),w\rangle =\langle {\overline {\lambda }}v,w\rangle ={\overline {\lambda }}\langle v,w\rangle =0\qquad \forall w\in W

{\ displaystyle \ langle v, T (w) \ rangle = \ langle T ^ {*} (v), w \ rangle = \ langle {\ overline {\ lambda}} v, w \ rangle = {\ overline {\ lambda}} \ langle v, w \ rangle = 0 \ qquad \ forall w \ in W}

{\ displaystyle \ langle v, T (w) \ rangle = \ langle T ^ {*} (v), w \ rangle = \ langle {\ overline {\ lambda}} v, w \ rangle = {\ overline {\ lambda}} \ langle v, w \ rangle = 0 \ qquad \ forall w \ in W}

fiind $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ ortogonal prin ipoteză.

Restricția $T_{|W}$ ${\ displaystyle T_ {| W}}$ ${\ displaystyle T_ {| W}}$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ la $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este încă un endomorfism normal al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ :

\langle T^{*}(w),v\rangle =\langle w,T(v)\rangle =\lambda \langle w,v\rangle =0\qquad \forall w\in W

{\ displaystyle \ langle T ^ {*} (w), v \ rangle = \ langle w, T (v) \ rangle = \ lambda \ langle w, v \ rangle = 0 \ qquad \ forall w \ in W}

{\ displaystyle \ langle T ^ {*} (w), v \ rangle = \ langle w, T (v) \ rangle = \ lambda \ langle w, v \ rangle = 0 \ qquad \ forall w \ in W}

Atâta timp cât $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ are dimensiune $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ putem aplica ipoteza inductivă pentru $T_{|W}$ ${\ displaystyle T_ {| W}}$ ${\ displaystyle T_ {| W}}$ , și să presupunem că există o bază ortonormală a vectorilor ei proprii. De cand $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ poate fi presupus a fi o normă unitară, $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ iar baza ortonormală a $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ constituie o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , așa cum a solicitat.

În cazul în care $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ambele autoadjuncte, toate valorile sale proprii se arată a fi reale. Într-adevăr, fie el $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un vector propriu pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu valoare proprie $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . Fiind $T=T^{*}$ ${\ displaystyle T = T ^ {*}}$ ${\ displaystyle T = T ^ {*}}$ avem:

{\overline {\lambda }}\langle x,x\rangle =\langle Tx,x\rangle =\langle x,Tx\rangle =\lambda \langle x,x\rangle

{\ displaystyle {\ overline {\ lambda}} \ langle x, x \ rangle = \ langle Tx, x \ rangle = \ langle x, Tx \ rangle = \ lambda \ langle x, x \ rangle}

{\ displaystyle {\ overline {\ lambda}} \ langle x, x \ rangle = \ langle Tx, x \ rangle = \ langle x, Tx \ rangle = \ lambda \ langle x, x \ rangle}

Rezultă că $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este la fel ca și conjugatul său și, prin urmare, este real. Acest lucru ne permite să considerăm teorema spectrală afirmată în cazul real ca un corolar al celui complex.

În schimb, să presupunem că există o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ compus din vectori proprii ai $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Apoi matricea care reprezintă operatorul în raport cu această bază este diagonală, din care rezultă că $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Este normal.

Caz infinit-dimensional

Cazul infinit-dimensional constituie o generalizare a cazului anterior și există diferite formulări ale teoremei în funcție de clasa operatorilor care trebuie luați în considerare. Principala distincție se referă la operatorii limitați și nelimitați.

Pentru un operator compact, teza teoremei spectrale este în esență aceeași ca și în cazul dimensiunii finite, atât în cazul real, cât și în cazul complex: există o bază ortonormală a spațiului formată din vectori proprii ai operatorului și fiecare valoare proprie este reală . În dovadă, punctul crucial este să arătăm existența a cel puțin unui vector propriu. Nu este posibil să ne bazăm pe determinanți pentru a arăta existența valorilor proprii și, prin urmare, apelăm la un argument al maximizării variaționale .

Dacă considerăm un operator mai general limitat , comportamentul poate fi foarte diferit de cel găsit în dimensiunile finite. Operatorul nu poate avea nici vectori proprii, nici valori proprii, chiar și în cazul complex. De exemplu, operatorul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe spațiul L ^p $L^{2}[0,1]$ ${\ displaystyle L ^ {2} [0,1]}$ ${\ displaystyle L ^ {2} [0,1]}$ definit ca:

S(\varphi )(t)=t\cdot \varphi (t)

{\ displaystyle S (\ varphi) (t) = t \ cdot \ varphi (t)}

{\ displaystyle S (\ varphi) (t) = t \ cdot \ varphi (t)}

este continuu și nu are vectori proprii.

Putem extinde în continuare discuția considerând că operatorul care înmulțește fiecare funcție cu o funcție fixă măsurabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este limitat și autoadjunct, dar are vectori proprii doar pentru alegeri foarte particulare ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Având deci un spațiu de măsurare $(X,\Sigma ,\mu )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ numeric aditiv și cu o funcție măsurabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la valori reale pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , un operator de multiplicare este un operator $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a formei:

[T\psi ](x)=f(x)\psi (x)\quad

{\ displaystyle [T \ psi] (x) = f (x) \ psi (x) \ quad}

{\ displaystyle [T \ psi] (x) = f (x) \ psi (x) \ quad}

al cărui domeniu este spațiul funcțional $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ pentru care se află membrul din dreapta al relației anterioare $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ . Teorema stabilește apoi că fiecare operator autoadjunct este echivalent unitar cu un operator de multiplicare. În special, un operator unitar $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este unitar echivalent cu înmulțirea cu o funcție $f\in L^{2}(\mu )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (\ mu)}$ $f \ în L ^ {2} (\ mu)$ măsurabilă în raport cu sigma-algebră a unui spațiu de măsurare finit $(X,\mu )$ ${\ displaystyle (X, \ mu)}$ $(X, \ mu)$ cu măsură Borel $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

În cazul general, care include și operatori nelimitați, pentru fiecare operator autoadjunct $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ acționând asupra spațiului Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ există un operator unitar care construiește o hartă izomorfă izometrică a $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ in spatiu $L^{2}(M,\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {2} (M, \ mu)}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (M, \ mu)}$ , unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este reprezentat ca un operator de multiplicare.

Operatori limitați

Teorema spectrală afirmă că un operator mărginit și autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un operator de multiplicare.

În mod echivalent, există o familie de măsuri $\{\mu _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mu _ {n} \}}$ $\ {\ mu _ {n} \}$ pe $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ și un operator unitar :

U:H\to \bigoplus _{n=1}^{N}L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu _{n})

{\ displaystyle U: H \ to \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n})}

U: H \ to \ bigoplus _ {{n = 1}} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n})

astfel încât: ^[6]

(UAU^{-1}\psi )_{n}(\lambda )=\lambda \psi _{n}(\lambda )\

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ psi) _ {n} (\ lambda) = \ lambda \ psi _ {n} (\ lambda) \}

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ psi) _ {n} (\ lambda) = \ lambda \ psi _ {n} (\ lambda) \}

cu:

\psi =\{\psi _{n}(\lambda )\}\in \bigoplus _{n=1}^{N}L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu _{n})

{\ displaystyle \ psi = \ {\ psi _ {n} (\ lambda) \} \ in \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n})}

\ psi = \ {\ psi _ {n} (\ lambda) \} \ in \ bigoplus _ {{n = 1}} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ { n})

O astfel de scriere a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește reprezentarea spectrală a operatorului.

Ca corolar, rezultă că există o măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe un spațiu de măsurare $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și există un operator unitar:

U:H\to L^{2}(M,d\mu )

{\ displaystyle U: H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

U: H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)

astfel încât: ^[7]

(UAU^{-1}f)(x)=F(x)f(x)\

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} f) (x) = F (x) f (x) \}

(UAU ^ {{- 1}} f) (x) = F (x) f (x) \

pentru o funcție măsurabilă limitată și cu valoare reală $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Operatori nelimitați

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator nelimitat și autoadjunct pe un spațiu Hilbert separabil $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ condominiu $D(A)$ ${\ displaystyle D (A)}$ ${\ displaystyle D (A)}$ . Apoi, există un spațiu de măsurare $(M,\mu )$ ${\ displaystyle (M, \ mu)}$ ${\ displaystyle (M, \ mu)}$ , unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură finită, un operator unitar :

U:H\to L^{2}(M,d\mu )

{\ displaystyle U: H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

U: H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)

și există o funcție $f:M\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ măsurabil aproape peste tot astfel încât: ^[8]

$\psi \in D(A)$ ${\ displaystyle \ psi \ în D (A)}$ ${\ displaystyle \ psi \ în D (A)}$ dacă și numai dacă:

f(.)(U\psi )(.)\in L^{2}(M,d\mu )

{\ displaystyle f (.) (U \ psi) (.) \ în L ^ {2} (M, d \ mu)}

{\ displaystyle f (.) (U \ psi) (.) \ în L ^ {2} (M, d \ mu)}

De sine $\phi \in U[D(A)]$ ${\ displaystyle \ phi \ în U [D (A)]}$ ${\ displaystyle \ phi \ în U [D (A)]}$ asa de:

(UAU^{-1}\phi )(x)=f(x)\phi (x)\

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ phi) (x) = f (x) \ phi (x) \}

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ phi) (x) = f (x) \ phi (x) \}

Mulți operatori liniari importanți întâlniți în analiză , cum ar fi operatorii diferențiali , nu sunt delimitați. În special, fiecare operator diferențial cu coeficienți constanți este echivalent unitar cu un operator de multiplicare, iar operatorul unitar care implementează această echivalență este transformata Fourier .

Descompunerea spectrală

Același subiect în detaliu: Teoria spectrală și Diagonalizabilitatea .

Teorema spectrală oferă condițiile pentru care este posibilă diagonalizarea unui operator în raport cu o bază ortonormală. Atunci când acest lucru este posibil în cazul finit dimensional, vectorii proprii ortogonale reciproc corespund valori proprii distincte și prin urmare eigenspaces sunt în sumă directă . Prin urmare, un operator normal poate fi scris ca o combinație liniară de proiectoare ortogonale pe spațiile egale, ai căror coeficienți sunt valorile proprii relative la fiecare spațiu egigen.

În cazul infinit-dimensional, normalitatea și, în special, auto-ajustabilitatea, nu garantează diagonalizarea. În general, un operator normal nu mai poate fi scris ca o combinație liniară de proiectoare ortogonale. Cu toate acestea, prin măsurarea cu valori ale proiectorului este posibil să se obțină o scriere integrală care să permită descrierea operatorului în funcție de spectrul său.

Caz cu dimensiuni finite

Același subiect în detaliu: Proiecția ortogonală .

Ca o consecință a teoremei spectrale, atât în cazul real, cât și în cazul complex, teorema descompunerii spectrale afirmă că spațiile egale ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sunt ortogonali și în sumă directă :

V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}

{\ displaystyle V = V _ {\ lambda _ {1}} \ oplus \ ldots \ oplus V _ {\ lambda _ {k}}}

V = V _ {{\ lambda _ {1}}} \ oplus \ ldots \ oplus V _ {{\ lambda _ {k}}}

În mod echivalent, avem:

T=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{k}P_{\lambda _{k}}\qquad P_{\lambda }P_{\mu }=\delta _{\lambda \mu }P_{\mu }\quad

{\ displaystyle T = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {k} P _ {\ lambda _ {k}} \ qquad P _ {\ lambda} P _ {\ mu} = \ delta _ {\ lambda \ mu} P _ {\ mu} \ quad}

{\ displaystyle T = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {k} P _ {\ lambda _ {k}} \ qquad P _ {\ lambda} P _ {\ mu} = \ delta _ {\ lambda \ mu} P _ {\ mu} \ quad}

cu $\delta _{\lambda \mu }$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ lambda \ mu}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ lambda \ mu}}$ Delta Kronecker e $P_{\lambda }$ ${\ displaystyle P _ {\ lambda}}$ $P _ {\ lambda}$ proiecția ortogonală pe $V_{\lambda }$ ${\ displaystyle V _ {\ lambda}}$ $V _ {\ lambda}$ . Mai mult, dacă:

\sum _{j\in A}P_{j}={\textrm {id}}_{V}

{\ displaystyle \ sum _ {j \ in A} P_ {j} = {\ textrm {id}} _ {V}}

{\ displaystyle \ sum _ {j \ in A} P_ {j} = {\ textrm {id}} _ {V}}

cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ set contabil, setul de proiectoare $\{P_{j}\}_{j\in A}$ ${\ displaystyle \ {P_ {j} \} _ {j \ în A}}$ ${\ displaystyle \ {P_ {j} \} _ {j \ în A}}$ este ortogonală și completă. Descompunerea spectrală este un caz special al descompunerii Schur . Este, de asemenea, un caz special de descompunere a valorii singulare .

Caz infinit-dimensional

Același subiect în detaliu: măsurarea valorii proiectorului .

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator normal mărginit definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Teorema descompunerii spectrale pentru operatorii normali afirmă că există o singură măsură la valorile proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ astfel încât:

A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} zdP ^ {A} (x, y) \ qquad z: = (x, y) \ to x + iy \ in \ mathbb {C} \ quad ( x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} zdP ^ {A} (x, y) \ qquad z: = (x, y) \ to x + iy \ in \ mathbb {C} \ quad ( x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}

unde este $\sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})$ ${\ displaystyle \ sigma (A) = {\ mbox {supp}} (P ^ {A})}$ $\ sigma (A) = {\ mbox {supp}} (P ^ {A})$ este spectrul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Se spune că $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ este măsura evaluată de proiector asociată cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

În special, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator autoadjunct, se poate defini o măsură cu valori limitate ale proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ asociat cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ În felul următor:

P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)\qquad (\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A) \ qquad (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f ( \ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ in H}

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A) \ qquad (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f ( \ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ in H}

pentru fiecare funcție limitată măsurabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și, în acest caz, avem:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} \ qquad f (A) = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) dP ^ {A}}

A = \ int _ {{\ sigma (A)}} \ lambda dP ^ {A} \ qquad f (A) = \ int _ {{\ sigma (A)}} f (\ lambda) dP ^ {A}

Formula din stânga se numește diagonalizarea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . ^[9]

Deși este posibil să se definească în mod unic un operator autoadjunct (sau, mai general, un operator normal) $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pornind de la o măsurare cu valori ale proiectorului și de la cealaltă dacă este posibilă diagonalizarea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin intermediul unei măsurători limitate a valorii proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ asa de $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ este măsura cu valorile proiectorului asociate în mod unic cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Operatori nelimitați

Același subiect în detaliu: transformarea Cayley .

Luați în considerare un operator autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este limitat. Prin transformarea Cayley $U(A)$ ${\ displaystyle U (A)}$ $U (A)$ asociat cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

U(A)=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\qquad A=\mathbf {i} (I+U(A))(I-U(A))^{-1}

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1} \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A)) (IU (A)) ^ {- 1}}

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1} \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A)) (IU (A)) ^ {- 1}}

este posibil să se definească, pornind de la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , o măsurare la valorile proiectorului $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ în felul următor:

P^{A}(\Omega ):=P^{U(A)}(U(\Omega ))\qquad \Omega \subset \sigma (A)

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {U (A)} (U (\ Omega)) \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A)}

P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {{U (A)}} (U (\ Omega)) \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A)

Întregul $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un borelian cuprins în spectrul (real) $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Și $U(\Omega )$ ${\ displaystyle U (\ Omega)}$ $U (\ Omega)$ este rezultatul obținut prin aplicarea transformării Cayley pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Se arată că dacă funcția de identitate , definită pe $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ , este elegant $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ cu privire la măsură $(x,P^{A}(\Omega )x)$ ${\ displaystyle (x, P ^ {A} (\ Omega) x)}$ $(x, P ^ {A} (\ Omega) x)$ , asa de $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ definește o măsură la valorile proiectorului $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ .

În special, este posibil să scrieți:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda )

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda)}

A = \ int _ {{\ sigma (A)}} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda)

Chiar și în cazul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ corespondența nu limitată între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar o măsură cu valori ale proiectorului este biunivocă.

Notă

^ (EN) VI Sobolev, Operatori echivalenți unitar , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
^ S. Lang , pagina 245 .
^ S. Lang , p. 248 .
^ S. Lang , pagina 246 .
^ S. Lang , pagina 251 .
^ Reed, Simon , pagina 227 .
^ Reed, Simon , Pagina 221 .
^ Reed, Simon , pagina 261 .
^ Reed, Simon , p. 234 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Valter Moretti, Teoria spectrală și Mecanica cuantică; With a Introduction to the Algebraic Formulation , 2ª ed., Berlin, Springer, 2013, ISBN 978-88-470-2834-0 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) VI Sobolev, Operatori echivalenți unitar , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.

[2] S. Lang , pagina 245 .

[3] S. Lang , p. 248 .

[4] S. Lang , pagina 246 .

[5] S. Lang , pagina 251 .

[6] Reed, Simon , pagina 227 .

[7] Reed, Simon , Pagina 221 .

[8] Reed, Simon , pagina 261 .

[9] Reed, Simon , p. 234 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema