Funcția de bază 13 a lui Conway

Funcția de bază 13 a lui Conway este o funcție construită de matematicianul britanic John H. Conway . Funcția satisface teza teoremei valorii intermediare fără a fi continuă .

Ţintă

Teorema valorii intermediare afirmă că fiecare funcție continuă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe un interval real îndeplinește următoarea proprietate: dacă $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ sunt două puncte din interval astfel încât $f(a)<f(b)$ ${\ displaystyle f (a) <f (b)}$ ${\ displaystyle f (a) <f (b)}$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un număr real astfel încât $f(a)<x<f(b)$ ${\ displaystyle f (a) <x <f (b)}$ ${\ displaystyle f (a) <x <f (b)}$ apoi există un $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ între $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât $f(c)=x$ ${\ displaystyle f (c) = x}$ ${\ displaystyle f (c) = x}$ .

Funcția de bază 13 a lui Conway este o funcție discontinuă în orice punct care satisface încă teza teoremei. Singurele exemple cunoscute anterior au avut discontinuități doar în unele puncte izolate: un exemplu este funcția

f(x)=\sin {\frac {1}{x}}.

{\ displaystyle f (x) = \ sin {\ frac {1} {x}}.}

{\ displaystyle f (x) = \ sin {\ frac {1} {x}}.}

definit pe întreaga linie reală prin impunerea valorii la zero $f(0)=0$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ . Această funcție îndeplinește, de asemenea, teza teoremei și este de origine discontinuă.

Definiție

Funcția de bază 13 a lui Conway este o funcție $f:(0,1)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: (0,1) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: (0,1) \ to \ mathbb {R}}$ definit astfel.

Indicați cu $\{0,1,2,\ldots ,9,A,B,C\}$ ${\ displaystyle \ {0,1,2, \ ldots, 9, A, B, C \}}$ ${\ displaystyle \ {0,1,2, \ ldots, 9, A, B, C \}}$ cifrele de la bază $13$ ${\ displaystyle 13}$ $13$ și ia în considerare reprezentarea

a_{\dots }a_{m},a_{m+1}\dots a_{n}\dots

{\ displaystyle a _ {\ dots} a_ {m}, a_ {m + 1} \ dots a_ {n} \ dots}

{\ displaystyle a _ {\ dots} a_ {m}, a_ {m + 1} \ dots a_ {n} \ dots}

din $x\in (0,1)$ ${\ displaystyle x \ in (0,1)}$ ${\ displaystyle x \ in (0,1)}$ în această bază (reprezentare care este unică dacă excludem cazul unor secvențe infinite de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ). Atunci $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ dacă nu există un index $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ astfel încât:

$a_{j}\in \{B,C\};$ ${\ displaystyle a_ {j} \ in \ {B, C \};}$ ${\ displaystyle a_ {j} \ in \ {B, C \};}$
$a_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9,A\}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9, A \}}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9, A \}}$ pentru $i>j;$ ${\ displaystyle i> j;}$ ${\ displaystyle i> j;}$
există doar unul $k>j$ ${\ displaystyle k> j}$ ${\ displaystyle k> j}$ astfel încât $a_{k}=A.$ ${\ displaystyle a_ {k} = A.}$ ${\ displaystyle a_ {k} = A.}$

În acest caz este definit $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ plasarea

f(x):=\pm a_{j+1}\ldots a_{k-1},a_{k+1}a_{k+2}\ldots

{\ displaystyle f (x): = \ pm a_ {j + 1} \ ldots a_ {k-1}, a_ {k + 1} a_ {k + 2} \ ldots}

{\ displaystyle f (x): = \ pm a_ {j + 1} \ ldots a_ {k-1}, a_ {k + 1} a_ {k + 2} \ ldots}

în baza 10 , unde este semnul $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ de sine $a_{j}=C$ ${\ displaystyle a_ {j} = C}$ ${\ displaystyle a_ {j} = C}$ Și $-$ ${\ displaystyle -}$ $-$ de sine $a_{j}=B$ ${\ displaystyle a_ {j} = B}$ ${\ displaystyle a_ {j} = B}$ .

Proprietate

Important este de remarcat că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definită în acest fel satisface inversul teoremei valorii intermediare, dar nu este continuă în niciun punct. De fapt, în fiecare interval închis și limitat $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cuprins în $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ , $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ își asumă orice valoare reală și deci în special orice valoare între $f(a)$ ${\ displaystyle f (a)}$ $face)$ Și $f(b)$ ${\ displaystyle f (b)}$ $f (b)$ . Pentru a vedea acest lucru, rețineți că fiecare $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ poți scrie în bază $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ ca

c=\pm b_{1}\dots b_{l},b_{l+1}\ldots

{\ displaystyle c = \ pm b_ {1} \ dots b_ {l}, b_ {l + 1} \ ldots}

{\ displaystyle c = \ pm b_ {1} \ dots b_ {l}, b_ {l + 1} \ ldots}

pentru oportun $b_{r}\in \{0,\dots ,9\}$ ${\ displaystyle b_ {r} \ in \ {0, \ dots, 9 \}}$ ${\ displaystyle b_ {r} \ in \ {0, \ dots, 9 \}}$ . În plus, este ușor să vedeți ce numere a căror expansiune se bazează $13$ ${\ displaystyle 13}$ $13$ Și

c=b_{0}b_{1}\dots b_{l}Ab_{l+1}\dots

{\ displaystyle c = b_ {0} b_ {1} \ dots b_ {l} Ab_ {l + 1} \ dots}

{\ displaystyle c = b_ {0} b_ {1} \ dots b_ {l} Ab_ {l + 1} \ dots}

(Unde

b_{0}=C,

{\ displaystyle b_ {0} = C,}

{\ displaystyle b_ {0} = C,}

de sine

c>0,

{\ displaystyle c> 0,}

{\ displaystyle c> 0,}

Și

b_{0}=B

{\ displaystyle b_ {0} = B}

{\ displaystyle b_ {0} = B}

in caz contrar)

sunt dense în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și în special există cel puțin una dintre ele, $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , care este inclus în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Prin urmare, putem concluziona observând că din definiția lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ da ai $f(d)=c.$ ${\ displaystyle f (d) = c.}$ ${\ displaystyle f (d) = c.}$

Bibliografie

Agboola, Adebisi, Prelegere. Math CS 120 , Universitatea din California, Santa Barbara, 17 decembrie 2005.

Elemente conexe

Teorema lui Darboux

linkuri externe

Maurizio Codogno, funcția de bază 13 a lui Conway , pe Il Post , 3 august 2010. Accesat la 3 iunie 2016 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy