Să luăm în considerare două serii cu termeni non-negativi {\ displaystyle \ sum a_ {n}} Și {\ displaystyle \ sum b_ {n}} astfel încât {\ displaystyle \ a_ {n}}{\ displaystyle \ leq}{\ displaystyle \ b_ {n}} :
Acest criteriu este utilizat pentru a demonstra că seria armonică generalizată este divergentă pentru α ≤ 1.
Demonstrație
Având în vedere succesiunea sumelor parțiale {\ displaystyle (S_ {n})} din {\ displaystyle \ sum a_ {n}} , unde este {\ displaystyle (S_ {n})} crește monoton: {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} S_ {n} = \ sup {S_ {n}}} .
La fel cu {\ displaystyle (T_ {n})} succesiunea unor sume parțiale de {\ displaystyle \ sum b_ {n}} : {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} T_ {n} = \ sup {T_ {n}}} .
Avem asta: {\ displaystyle \ sum a_ {n} = \ sup {S_ {n}} \ leq \ sum b_ {n} = \ sup {T_ {n}}} , unde nu se poate exclude faptul că și extremele superioare își pot asuma valoarea {\ displaystyle + \ infty} .
Ceea ce se afirmă în criteriu urmează imediat.
Al doilea criteriu de comparație sau comparație asimptotică
Dați două serii unor termeni pozitivi {\ displaystyle \ sum a_ {n}} Și {\ displaystyle \ sum b_ {n}}
de sine {\ displaystyle \ sum b_ {n}} este convergent și {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l} , unde este {\ displaystyle l} există și este terminat atunci {\ displaystyle \ sum a_ {n}} este convergent;
de sine {\ displaystyle \ sum b_ {n}} este divergent și {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> 0} (de asemenea {\ displaystyle + \ infty} ), asa de {\ displaystyle \ sum a_ {n}} este divergent.
Criteriul de comparație asimptotică este util pentru a arăta că seria armonică generalizată este convergentă pentru {\ displaystyle \ alpha> 1} .
Demonstrație
De cand {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l, 0 <l <+ \ infty} , prin definiția limitei de succesiune avem că:
dacă iau {\ displaystyle \ varepsilon = 1} , atunci am: {\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - l \ right | <1} , care poate fi rescris: {\ displaystyle (l-1) b_ {n} <a_ {n} <(l + 1) b_ {n}} .
Prin urmare din moment ce {\ displaystyle \ sum b_ {n}} converge, de asemenea {\ displaystyle \ sum (l-1) b_ {n}} Și {\ displaystyle \ sum (l + 1) b_ {n}} converg, de asemenea, în consecință {\ displaystyle \ sum a_ {n}} converge.
În mod similar pentru {\ displaystyle \ sum b_ {n}} divergent.
Comparație cu seria geometrică: criterii derivate și estimarea restului
Pentru a aplica direct criteriile de comparație, trebuie luate în considerare două serii, dintre care una are un caracter cunoscut (adică se știe dacă converge sau nu), în timp ce cealaltă are un caracter care trebuie evaluat pe baza comparației. Una dintre cele două serii acționează, așadar, ca o serie de referință.
Dar dacă ca serie de referință {\ displaystyle \ sum b_ {n}} reparăm o anumită serie și comparăm o serie generică {\ displaystyle \ sum a_ {n}} cu seria fixă, atunci - după fixarea uneia dintre serii - criteriul comparației este redus la condiții în termeni {\ displaystyle a_ {n}} . Se obțin astfel o serie de criterii derivate, care se referă în mod explicit la o singură serie al cărei caracter urmează să fie stabilit, dar care totuși „implică” o comparație cu seria de referință stabilită. Atunci când se aplică aceste criterii, este important să rețineți care este seria „implicită”, deoarece, evident, estimarea criteriului derivat nu poate fi mai rafinată decât cea care ar fi obținută dintr-o comparație directă a seriei studiate cu cea de referință.
Una dintre cele mai utile serii ca serie de referință pentru comparație este seria geometrică, adică succesiunea sumelor parțiale ale puterilor unui argument dat:
Prin aplicarea criteriilor de comparație la comparația cu această serie, se pot obține următoarele criterii derivate:
Criteriul rădăcină (sau Cauchy)
Să luăm în considerare o serie cu termeni non-negativi {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n}} pentru care există o limită {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ sqrt [{n}] {a}} _ {n} = k} .
Personajul seriei este:
convergent dacă {\ displaystyle k \, <\, 1}
divergent dacă {\ displaystyle k \,> \, 1}
caracterul seriei nu poate fi stabilit {\ displaystyle k = 1}
Demonstrație
Doar observați că dacă {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ sqrt [{n}] {a}} _ {n} = k <1} atunci putem seta un {\ displaystyle k '} între {\ displaystyle k} și 1 astfel încât pentru toți {\ displaystyle n} mai mare decât un anumit {\ displaystyle N} suficient de mari termenii secvenței sunt mai mici decât {\ displaystyle k '} :
Apoi aplicând criteriul comparației dintre serii {\ displaystyle \ sum a_ {n}} iar seria geometrică {\ displaystyle \ sum k '^ {n}} avem că seria converge.
De sine {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ sqrt [{n}] {a}} _ {n} = k> 1} atunci există {\ displaystyle N} astfel încât pentru fiecare {\ displaystyle n> N} da ai {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a_ {n}}}> 1} de la care {\ displaystyle a_ {n}> 1} . De cand {\ displaystyle a_ {n}} seria nu tinde la 0
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {\ beta} a ^ {n} \ \ \ \ \ \ beta \ in \ mathbb {R}, \ a> 0} .
Aplicând criteriul rădăcină avem:
{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {n ^ {\ beta} a ^ {n}}} = n ^ {\ beta \ over n} a} .
Dar
{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} n ^ {\ beta \ over n} a = a}
după cum se poate deduce cu ușurință trecând la logaritm:
{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} e ^ {\ log n ^ {\ beta \ over n} + \ log a} = \ lim _ {n \ to \ infty} e ^ {{\ beta \ peste n} \ log n + \ log a} = e ^ {\ log a} = a}
Prin urmare {\ displaystyle \ \ forall \ beta \ in \ mathbb {R}} de sine {\ displaystyle \ a <1} seria converge, în timp ce dacă {\ displaystyle \ a> 1} seria divergă.
Pentru {\ displaystyle \ a = 1} seria devine seria armonică generalizată cu {\ displaystyle \ \ alpha = - \ beta} care divergă dacă {\ displaystyle \ \ beta \ geq -1} și converge dacă {\ displaystyle \ \ beta <-1} .
Criteriul raportului (sau al lui d'Alembert)
Să luăm în considerare o serie cu termeni pozitivi {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n}} astfel încât limita să existe {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {a_ {n + 1} \ over a_ {n}} = k} . Această serie:
converge, dacă {\ displaystyle k \, <\, 1} ;
divergă, dacă {\ displaystyle k \,> \, 1} ;
are un comportament care nu poate fi stabilit prin acest criteriu, dacă {\ displaystyle k = 1} .
De sine {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {a_ {n + 1} \ over a_ {n}} = k <1} , putem seta un număr {\ displaystyle k '\ in (k, 1)} astfel încât, pentru toți {\ displaystyle n} mai mare decât un anumit {\ displaystyle N} suficient de mare, raportul dintre doi termeni succesivi este mai mic decât {\ displaystyle k '} .
Întrucât această relație este valabilă pentru toți {\ displaystyle n} mai mult decât {\ displaystyle N} , pornind de la un termen generic {\ displaystyle a_ {n}} putem lucra înapoi până la {\ displaystyle N + 1} :
Dacă nu este o constantă multiplicativă (amintiți-vă că {\ displaystyle N} este un număr), secvența {\ displaystyle a_ {n}} rezultă minoritatea succesiunii puterilor de {\ displaystyle k '} , care este convergent, fiind {\ displaystyle k '<1} . În consecință, pentru primul criteriu al comparației , seria de {\ displaystyle a_ {n}} converge.
Cazul II
Fiind {\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {a_ {n + 1} \ over a_ {n}} = k> 1} , ia în considerare un număr {\ displaystyle k '\ in (1, k)} . Există atunci o valoare {\ displaystyle N} astfel încât
{\ displaystyle \ forall n> N, \ \ {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}}> k '> 1}
Coada seriei de {\ displaystyle a_ {n}} este mai mare decât o serie geometrică care este corectă {\ displaystyle k '> 1} și care este, prin urmare, divergent:
În consecință, folosind primul criteriu al comparației , și seria {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n}} este divergent.
Estimarea restului
Comparația cu seria geometrică face deosebit de ușoară evaluarea „restului”, adică eroarea făcută prin calcularea sumei unei serii, oprindu-se la {\ displaystyle N} -al doilea termen:
De fapt, să presupunem că avem o serie {\ displaystyle \ sum a_ {n}} astfel încât dă o anumită {\ displaystyle N} în continuare termenii {\ displaystyle a_ {n}} sunt mai mici decât termenii unei serii geometrice de argumente {\ displaystyle k} astfel încât {\ displaystyle -1 <k <1} dacă nu o constantă multiplicativă {\ displaystyle C} :
Atunci nu doar seria {\ displaystyle \ sum a_ {n}} converge, dar avem și:
{\ displaystyle R_ {N} = \ sum _ {n = N + 1} ^ {\ infty} a_ {n} <C \ sum _ {n = N + 1} ^ {\ infty} k ^ {n} = C {\ frac {k ^ {N + 1}} {1-k}}}
Această expresie simplifică și mai mult în cazul în care comparația seriei {\ displaystyle \ sum a_ {n}} cu seria geometrică se obține prin intermediul criteriului raportului. În acest caz, de fapt, așa cum se arată în dovadă, există o anumită constantă {\ displaystyle k '<1} și un anumit întreg {\ displaystyle N} suficient de mare încât:
{\ displaystyle \ forall n> N, a_ {n} <\ left ({\ frac {a_ {N + 1}} {k '^ {N + 1}}} \ right) k' ^ {n} \; }
Prin urmare, putem aplica formula pentru restul găsit anterior, cu constanta multiplicativă {\ displaystyle C = {\ frac {a_ {N + 1}} {k '^ {N + 1}}}} , obținând:
Prin urmare, în cazurile în care se aplică criteriul relației, restul {\ displaystyle N} -alea din seria de estimat este limitată, cu excepția cazului în care este o constantă multiplicativă, de către {\ displaystyle (N + 1)} -al doilea termen al seriei. Aceasta este o relație foarte importantă pentru seria de funcții.
Să luăm în considerare o serie {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n}} în termeni pozitivi, pentru care există o limită {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} n \ left ({{a_ {n}} \ over {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) = l} ;
de sine {\ displaystyle l> 1} seria converge, în timp ce dacă {\ displaystyle l <1} seria divergă; de sine {\ displaystyle l = 1} criteriul nu ajută la clarificarea comportamentului său.
Demonstrație
Demonstrăm divergența
De cand {\ displaystyle l <1} prin definiția limitei secvențelor vom avea:
{\ displaystyle \ există \ alpha \ în N: \ forall n \ geq \ alpha \ Rightarrow n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) <1}
Luați în considerare un număr întreg{\ displaystyle N} și o funcție continuă non-negativă {\ displaystyle f} definit pe intervalul nelimitat {\ displaystyle [N, + \ infty)} , în care scade monoton . Apoi seria
{\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n)}
{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}
s-a terminat.
Observație: dacă integrala necorespunzătoare este finită, atunci metoda dă și un majorant și o minoritate
{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}
pentru serie.
Demonstrație
Dovada folosește teorema comparației dintre termen {\ displaystyle f (n)} cu integralul lui {\ displaystyle f} pe intervale {\ displaystyle [n-1, n)} Și {\ displaystyle [n, n + 1)} , respectiv.
Atâta timp cât {\ displaystyle f} scade, știm asta
{\ displaystyle f (x) \ leq f (n) \ quad {\ text {pentru fiecare}} x \ în [n, \ infty)}
Și
{\ displaystyle f (n) \ leq f (x) \ quad {\ text {pentru fiecare}} x \ în [N, n].}
Prin urmare, pentru fiecare număr întreg {\ displaystyle n \ geq N} ,
{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx \ leq \ int _ {n} ^ {n + 1} f (n) \, dx = f (n)}
și, pentru fiecare număr întreg {\ displaystyle n \ geq N + 1} ,
{\ displaystyle f (n) = \ int _ {n-1} ^ {n} f (n) \, dx \ leq \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx.}
Din suma pe toate {\ displaystyle n} din {\ displaystyle N} la un număr întreg major {\ displaystyle M} , se deduce din inegalitățile anterioare că
{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx = \ sum _ {n = N} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx} _ {\ leq \, f (n)} \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}
Și
{\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ sum _ {n = N + 1} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n-1 } ^ {n} f (x) \, dx} _ {\ geq \, f (n)} = f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}
Combinând rezultatele pe care le avem
{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}
Încordarea {\ displaystyle M} până la infinit, urmează atât teorema, cât și estimarea valorii seriei.
Seriile cu termeni de semn alternativ sunt serii cu termeni reali astfel încât doi termeni consecutivi să aibă semne opuse. Serialul {\ displaystyle \ sum (-1) ^ {n} a_ {n}} Prin urmare, este vorba de un semn alternativ, de fapt:
pentru n chiar termenul este pozitiv;
pentru ciudat n termenul este negativ.
Pentru aceste serii, se aplică următorul criteriu Leibniz :
Având în vedere seria de termeni alternanți {\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {n = 0} ^ {N} (- 1) ^ {n} a_ {n}} , dacă succesiunea {\ displaystyle | a_ {n} |} este definitiv pozitiv, descrescător și tinde, adică:
Criteriul Dirichlet pentru serii generalizează criteriul Leibniz. Lasa-i sa fie {\ displaystyle \ {a_ {n} \}} Și {\ displaystyle \ {b_ {n} \}} două succesiuni. De sine {\ displaystyle a_ {n}} monoton tinde să {\ displaystyle 0} , și dacă seria de {\ displaystyle b_ {n}} este limitat, adică dacă