Succesiune (matematică)

În analiza matematică , o succesiune sau o secvență de șiruri nesfârșite sau nesfârșite poate fi definită intuitiv, deoarece o listă ordonată constă dintr-un număr infinit de obiecte numărabile, termenii respectivi ai succesiunii, printre care este posibil să se distingă un prim, un al doilea, un al treilea și în general un al n-lea termen pentru fiecare număr natural n . Spre deosebire de ceea ce se întâmplă pentru seturile numărabile , pentru o succesiune este relevantă ordinea în care sunt găsite obiectele și același obiect poate apărea de mai multe ori: termeni diferiți pot coincide. Aceste caracteristici sunt foarte asemănătoare cu cele care disting un n ordonat ordonat de un set format din n elemente; de fapt, o secvență poate fi considerată și extensia infinită a unui n ordonat ordonat.

Secvențele sunt utilizate în calcul , care face o utilizare extinsă a conceptului de limită a unei secvențe . Acestea joacă un rol fundamental în definirea setului de numere reale și în toată analiza matematică , deoarece reprezintă o bază pentru studiul funcțiilor în câmpul real: de fapt, fiind domeniul lor $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ din subgrupul de numere naturale al $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ (vă puteți gândi cu ușurință că acestea sunt reprezentate într-un grafic $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ X $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , adică o funcție sau o aplicație care combină numerele naturale cu numerele reale), este mai ușor să operați pe ea pentru a efectua orice operație, decât să gândiți imediat în termeni de numere reale.

Scrierea formală

Scrierea formală a secvențelor este variată și se modifică în funcție de faptul dacă sunt luate în considerare în discursuri generale, atribuibile unei abordări axiomatice sau dacă sunt luate în considerare secvențe specifice sau calculabile. Deoarece termenii unei secvențe sunt infinite, ele nu pot fi de fapt scrise în mod explicit și, prin urmare, sunt utilizate diferite dispozitive. De exemplu, pentru a reprezenta o secvență, scriem adesea doar câțiva termeni inițiali urmate de puncte de suspensie:

a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots

{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}, \ cdots}

{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}, \ cdots}

În cazul finit, diferența dintre un n -pla ordonat și un set este evidențiată folosind paranteze rotunde (sau paranteze unghiulare) pentru n -pla și paranteze buclate pentru set: chiar și în cazul infinit este util să utilizați paranteze rotunde (sau unghiular) pentru a delimita o succesiune. Acest obicei, însă, nu s-a stabilit complet în literatura matematică, unde prin tradiție și secvențele sunt delimitate cu paranteze (chiar dacă această notație generează confuzie ușoară). Ambele notații:

\{a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots )

{\ displaystyle \ {a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}, \ cdots \} \ qquad (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}, \ cdots)}

{\ displaystyle \ {a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}, \ cdots \} \ qquad (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}, \ cdots)}

pot fi făcute mai succint indicând doar termenul generic $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ și mulțimea în care n variază: $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ {a_ {n} \} _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ sau $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ . Uneori, când întregul este implicat, este pur și simplu scris $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ .

Uneori, în cazul unei secvențe specifice, este necesar să se dea o indicație utilizabilă pentru termenul generic. În general, acest lucru poate fi dat de un algoritm. În cazuri simple, este posibil să se dea o expresie care depinde de n sau care depinde de unii termeni anteriori ai secvenței. De exemplu, secvența numerelor pare este scrisă astfel:

0,2,4,\cdots ,2n,\cdots :=(2n)_{n\in \mathbb {N} }

{\ displaystyle 0,2,4, \ cdots, 2n, \ cdots: = (2n) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

0,2,4, \ cdots, 2n, \ cdots: = (2n) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}

Secvența ale cărei termeni de la al treilea sunt obținute prin adăugarea celor două precedente (numite secvență Fibonacci ) pot fi scrise după cum urmează:

(0,1,\cdots ,a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\cdots )

{\ displaystyle (0,1, \ cdots, a_ {n} = a_ {n-1} + a_ {n-2}, \ cdots)}

(0,1, \ cdots, a_ {n} = a _ {{n-1}} + a _ {{n-2}}, \ cdots)

O expresie ceva mai elaborată se găsește pentru numerele catalane, a căror succesiune poate fi exprimată prin relația de recurență a lui Segner după cum urmează:

(1,\cdots ,C_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-1-i},\cdots )

{\ displaystyle (1, \ cdots, C_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} C_ {i} C_ {n-1-i}, \ cdots)}

(1, \ cdots, C_ {n} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} C_ {i} C _ {{n-1-i}}, \ cdots)

În aceste moduri obținem toate informațiile necesare pentru a calcula câți termeni ai succesiunii sunt doriți. Intr-adevar:

dacă 'n -m termen $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este exprimată în dependență de n , că dependența definește direct o funcție care asociază termenul n- mo cu numărul întreg n generic;
dar dacă termenul 'n -m $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este exprimat în dependență de unii termeni anteriori ai secvenței și dacă sunt date valorile unui număr suficient de termeni inițiali, atunci funcția care asociază $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ a n rămâne implicit definit de o relație de recurență .

Pentru a defini pe deplin o secvență calculabilă, este, prin urmare, necesar să se poată determina $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ pentru fiecare n , astfel încât în cele din urmă este necesar să aveți - într-un fel - toate informațiile necesare pentru a defini în mod unic o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ astfel încât $a_{n}=f(n)$ ${\ displaystyle a_ {n} = f (n)}$ $a_ {n} = f (n)$ . Și întrucât o singură funcție este asociată cu fiecare secvență de termeni, secvența poate fi identificată cu funcția însăși.

Definiție

În mod formal, o succesiune de elemente ale unui set dat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o aplicație din ansamblu $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ de numere naturale în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

f:\mathbb {N} \to A

{\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ to A}

f: {\ mathbb {N}} \ la A

Elementul $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ a succesiunii este deci imaginea :

a_{n}=f(n)

{\ displaystyle a_ {n} = f (n)}

a_ {n} = f (n)

a numărului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în funcție de funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi, de exemplu, ansamblul numerelor reale .

Printre cele mai utilizate secvențe în matematică se află secvențe formate din numere reale simple sau complexe , numite secvențe numerice , sau constând din funcții , numite secvențe de funcții . De asemenea, folosim secvențe compuse din alte obiecte matematice, cum ar fi matrici (matricile identitare ale dimensiunii $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ ), figuri geometrice (poligoane regulate, piramide regulate) sau de structuri (grupuri ciclice de ordine succesive, spații vectoriale $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ).

Limita unei secvențe

Același subiect în detaliu: Limita unei secvențe .

Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un spațiu topologic . Un punct $l\in T$ ${\ displaystyle l \ in T}$ $l \ în T$ se numește limita unei succesiuni $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ dacă și numai dacă pentru fiecare cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ există un număr natural $N\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ $N \ in \ mathbb {N}$ astfel încât:

x_{n}\in U\quad \forall n>N

{\ displaystyle x_ {n} \ în U \ quad \ forall n> N}

x_ {n} \ în U \ quad \ forall n> N

De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un spațiu Hausdorff , deci fiecare secvență admite cel mult o singură limită $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Dacă există o astfel de limită, aceasta poate fi scrisă după cum urmează:

\lim _{n\to \infty }x_{n}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = l}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} x_ {n} = l

Având în vedere limita unei secvențe numerice $(a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in {\ mathbb {N}}}}$ $(a_ {n}) _ {{n \ in {{\ mathbb N}}}}$ , secvențele pot fi împărțite în trei categorii:

O secvență se numește convergentă dacă:

\exists l\in \mathbb {R} \,\lim _{n\to \infty }a_{n}=l

{\ displaystyle \ există l \ in \ mathbb {R} \, \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = l}

\ există l \ în {\ mathbb R} \, \ lim _ {{n \ to \ infty}} a_ {n} = l

Se spune că o secvență este divergentă dacă:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\pm \infty

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ pm \ infty}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} a_ {n} = \ pm \ infty

Se spune că o succesiune este neregulată sau nedeterminată dacă:

\not \exists \lim _{n\to \infty }a_{n}

{\ displaystyle \ not \ există \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}}

\ not \ există \ lim _ {{n \ to \ infty}} a_ {n}

.

Cel mai simplu exemplu de secvență convergentă este o secvență constantă, adică o secvență în care $a_{n}=k$ ${\ displaystyle a_ {n} = k}$ $a_ {n} = k$ pentru fiecare n ; un alt exemplu este succesiunea $1/n$ ${\ displaystyle 1 / n}$ $1 / nr$ , care tinde la 0.

O secvență divergentă simplă este $a_{n}=n$ ${\ displaystyle a_ {n} = n}$ $a_ {n} = n$ , sau mai general orice secvență ai cărei termeni sunt valorile unui polinom $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ , sau în care $a_{n}=P(n)$ ${\ displaystyle a_ {n} = P (n)}$ $a_ {n} = P (n)$ .

O secvență nedeterminată „clasică” este secvența $a_{n}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ $a_ {n} = (- 1) ^ {n}$ : „sare” continuu de la -1 la +1 și invers, fără a se stabiliza spre nicio valoare. Alte exemple mai sofisticate sunt succesiunea $a_{n}=\sin n$ ${\ displaystyle a_ {n} = \ sin n}$ $a_ {n} = \ sin n$ , ca multe secvențe care derivă din funcții aritmetice , cum ar fi $a_{n}=\sigma (n)$ ${\ displaystyle a_ {n} = \ sigma (n)}$ $a_ {n} = \ sigma (n)$ , unde am folosit funcția sigma .

Există, de asemenea, definiții alternative ale limitelor pentru secvențe nedeterminate, de exemplu convergența în medie. Alte proceduri de acest fel sunt suma lui Hölder a unui rang dat, suma lui Cesaro a unui rang dat).

Secvența funcțiilor

Același subiect în detaliu: Secvența funcțiilor .

Având un set $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ de funcții între două mulțimi fixe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , o secvență de funcții este o aplicație din setul de numere naturale din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , care se asociază cu fiecare număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ o functie $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ . Secvența este de obicei indicată cu unul dintre următoarele două simboluri:

\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\quad (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }

{\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, \ quad (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

\ {f_ {n} \} _ {{n \ in {\ mathbb N}}}, \ quad (f_ {n}) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}

Al doilea simbolism este mai corect deoarece evidențiază faptul că noțiunea de succesiune generalizează pe cea a unui tupl ordonat .

Este important de reținut că în definiție, precum și în enunțarea multor teoreme și proprietăți, nu este necesar să presupunem că domeniul funcțiilor este un set structurat. Numai acolo unde este necesar se va înțelege, după caz, un spațiu topologic , metric etc.

Valori la un punct fix

S-a remediat un element $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , succesiunea:

(f_{n}(x_{0}))_{n\in \mathbb {N} }

{\ displaystyle (f_ {n} (x_ {0})) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

(f_ {n} (x_ {0})) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}

a valorilor asumate de funcțiile din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Este o succesiune de elemente ale codomainului $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Cand $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este un set numeric, cum ar fi setul de numere reale , aceasta este o secvență numerică .

Abordare intuitivă și probleme teoretice

Secvențele nu sunt simple seturi de elemente, deoarece conceptul de set nu contemplă în niciun fel noțiunea de ordine sau prezența elementelor repetate. De exemplu, setul de rezultate obținute prin aruncarea zarurilor este compus din doar șase elemente:

\{1,2,3,4,5,6\}

{\ displaystyle \ {1,2,3,4,5,6 \}}

\ {1,2,3,4,5,6 \}

și rămâne așa chiar și atunci când continuați să aruncați zarurile la nesfârșit, prelungind succesiunea numerelor. În matematică, secvența ordonată a n obiecte este definită și ca ordonată n-pla , astfel încât ceea ce a fost numit secvență finită poate fi numit și ordonat n -pla. Aceasta este o terminologie care este rezervată pentru cazul finit, în timp ce despre „succesiune” se vorbește de obicei în cazul infinit.

Având în vedere o secvență ordonată de obiecte, atunci printre toate acele obiecte este posibil să se identifice un „primul”, un „al doilea” și așa mai departe. Prin urmare, având în vedere orice număr natural n , există o funcție care asociază fiecărui număr natural n un anumit element din mulțimea tuturor obiectelor care pot apărea (posibil repetate) în secvență. Prin urmare, cu fiecare succesiune $(a_{1},a_{2},a_{3}\cdots )$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ cdots)}$ $(a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ cdots)$ a elementelor setului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ funcția care asociază al n-lea termen rămâne asociată univoc $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ anunț n :

f:\mathbb {N} \rightarrow A\qquad f:n\mapsto a_{n}=f(n)

{\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ rightarrow A \ qquad f: n \ mapsto a_ {n} = f (n)}

f: \ mathbb {N} \ rightarrow A \ qquad f: n \ mapsto a_ {n} = f (n)

Termenii $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ sunt valorile pe care funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ presupune că n variază și aparțin intervalului de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Pe de altă parte, nu se poate spune că succesiunea termenilor este imaginea setului de $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ prin $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , deoarece imaginea unui set este un alt set și, ca atare, nu conține informații despre ordonarea elementelor sale și nici nu conține elemente repetate. Deci, dacă asociați o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la o secvență, este necesar să se definească aranjamentul ordonat al termenilor seriei: în general, va fi familia asociată cu funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

De obicei, în matematică, conceptul de funcție este readus la cel al setului, afirmând că o funcție din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este un subset al produsului cartezian $A\times B$ ${\ displaystyle A \ times B}$ $A \ ori B$ . Produsul cartezian $A\times B$ ${\ displaystyle A \ times B}$ $A \ ori B$ este ansamblul de perechi ordonate constând dintr-un element de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și un element de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , deci este legitim să spunem că succesiunea:

(a_{1},a_{2},a_{3}\cdots )

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ cdots)}

(a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ cdots)

pot fi urmărite înapoi la următorul set:

\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),(3,a_{3})\cdots \}

{\ displaystyle \ {(1, a_ {1}), (2, a_ {2}), (3, a_ {3}) \ cdots \}}

\ {(1, a_ {1}), (2, a_ {2}), (3, a_ {3}) \ cdots \}

care este un set de perechi ordonate, adică de secvențe finite a două elemente. Dacă vrem să realizăm proiectul de readucere a tuturor conceptelor fundamentale la conceptul primitiv al întregului, rămâne nevoia de a defini un cuplu ordonat pornind de la conceptul întregului.

Generalizări

În unele cazuri, o funcție dintr-un set numărabil este numită și secvență $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . Numărabilitatea garantează existența unei corespondențe unu-la-unu $\psi ,\psi :\mathbb {N} \to I$ ${\ displaystyle \ psi, \ psi: \ mathbb {N} \ to I}$ $\ psi, \ psi: {\ mathbb {N}} \ to I$ cu $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ , și de aici funcția compusă $\phi (\psi )$ ${\ displaystyle \ phi (\ psi)}$ $\ phi (\ psi)$ este o secvență în sensul definiției anterioare.

Funcțiile de la pot fi, de asemenea, de mare interes $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ (setul de numere întregi relative) în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Aceste obiecte sunt indicate cu notații precum:

\dots ,a_{-m},\dots ,a_{-1},a_{0},a_{1},\dots a_{n}

{\ displaystyle \ dots, a _ {- m}, \ dots, a _ {- 1}, a_ {0}, a_ {1}, \ dots a_ {n}}

\ dots, a _ {{- m}}, \ dots, a _ {{- 1}}, a_ {0}, a_ {1}, \ dots a_ {n}

și se numesc secvențe bilaterale .

Putem considera apoi secvențe cu 2 indici: acestea pot fi considerate matrici infinite . Secvențele cu 3 sau mai mulți indici pot fi de asemenea utile și se poate lua în considerare și setul de secvențe cu orice număr întreg de indici.

Exemple

Iată câteva exemple de succesiuni:

$\phi (n)=n^{2}$ ${\ displaystyle \ phi (n) = n ^ {2}}$ $\ phi (n) = n ^ {2}$ , ale cărei elemente sunt:

\{\phi (n)\}_{n}=\{0,1,4,9,16,\ldots \}\qquad S=\mathbb {N}

{\ displaystyle \ {\ phi (n) \} _ {n} = \ {0,1,4,9,16, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {N}}

\ {\ phi (n) \} _ {n} = \ {0,1,4,9,16, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {N}

$\phi (n)=i^{n}$ ${\ displaystyle \ phi (n) = i ^ {n}}$ $\ phi (n) = i ^ {n}$ , ale cărei elemente sunt:

\{\phi (n)\}_{n}=\{1,i,-1,-i,\ldots \}\qquad S=\mathbb {C}

{\ displaystyle \ {\ phi (n) \} _ {n} = \ {1, i, -1, -i, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {C}}

{\ displaystyle \ {\ phi (n) \} _ {n} = \ {1, i, -1, -i, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {C}}

$\phi (n)=1/(n-1)$ ${\ displaystyle \ phi (n) = 1 / (n-1)}$ $\ phi (n) = 1 / (n-1)$ , ale cărei elemente sunt:

\{\phi (n)\}_{n\geq 2}=\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots \}\qquad S=\mathbb {Q}

{\ displaystyle \ {\ phi (n) \} _ {n \ geq 2} = \ {1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {Q}}

\ {\ phi (n) \} _ {{n \ geq 2}} = \ {1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {Q}

$\phi _{g}(n)=q^{n}$ ${\ displaystyle \ phi _ {g} (n) = q ^ {n}}$ $\ phi _ {g} (n) = q ^ {n}$ , ale cărei elemente sunt:

\{\phi _{g}(n)\}_{n}=\{1,q,q^{2},\ldots \}\qquad S=\mathbb {R}

{\ displaystyle \ {\ phi _ {g} (n) \} _ {n} = \ {1, q, q ^ {2}, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {R}}

\ {\ phi _ {g} (n) \} _ {n} = \ {1, q, q ^ {2}, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {R}

$\quad \phi (n)=\sum _{i=0}^{n}\phi _{g}(n)$ ${\ displaystyle \ quad \ phi (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ phi _ {g} (n)}$ $\ quad \ phi (n) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} \ phi _ {g} (n)$ , ale cărei elemente sunt:

\{\phi (n)\}=\{1,1+q,1+q+q^{2},\ldots \}\qquad S=\mathbb {R}

{\ displaystyle \ {\ phi (n) \} = \ {1,1 + q, 1 + q + q ^ {2}, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {R}}

\ {\ phi (n) \} = \ {1,1 + q, 1 + q + q ^ {2}, \ ldots \} \ qquad S = \ mathbb {R}

Acesta este un exemplu de succesiune de sume parțiale , în special a unei sume parțiale geometrice.

Bibliografie

Paolo Marcellini și Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis One. Versiune simplificată pentru cursuri de studii noi , Napoli , Liguori Editore , 2016, ISBN 978-88-20-73383-4 .
Nicola Fusco , Paolo Marcellini și Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis Two. Versiune simplificată pentru cursuri de studii noi , Napoli , Liguori Editore , 2001, ISBN 88-207-3137-1 .
(EN) Edward B. Saff și Arthur David Snider, capitolul 2.1 , în Fundamentals of Complex Analysis, 2003, ISBN 0-13-907874-6 .
(EN) James R. Munkres, capitolele 1 și 2 , în Topologie, ISBN 0-13-181629-2 .
( EN ) Sergei K. Lando, 7.4 Secvențe multiplicative , în Prelegeri despre funcții generatoare , AMS, ISBN 0-8218-3481-9 .
( EN ) Edward Gaughan, 1.1 Secvențe și convergență , în Introducere în analiză , AMS (2009), ISBN 0-8218-4787-2 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere succesive

linkuri externe

( EN ) Succesiunea , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) LD Kudryavtsev, Secvență , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
Enciclopedie on-line a secvențelor întregi , pe oeis.org .
( EN ) Enciclopedia on-line a secvențelor întregi , la oeis.org .
( EN ) Journal of Integer Sequences (gratuit)
(EN) Secvență , în PlanetMath .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 39374 · LCCN (EN) sh85120145 · GND (DE) 4017790-7 · BNF (FR) cb121105993 (dată) · BNE (ES) XX533577 (dată) · NDL (EN, JA) 01.207.024

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy