Punct de discontinuitate

În matematică , în special în analiză , se numește punctul de discontinuitate al unei funcții cu valoare reală $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ un punct aparținând domeniului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în care funcția nu este continuă ^[1] . Noțiunea de punct de discontinuitate poate fi ușor extins la cazul în care funcția nu este definită în punctul în sine, ci într - o vecinătate a acesteia (astfel încât este posibil să se definească dreapta și la stânga limitele ^[2] ).

În cazul unei singure funcții variabile $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ $f: [a, b] \ to \ mathbb {R}$ , asta înseamnă un punct $x_{0}\in (a,b)$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$ $x_0 \ in (a, b)$ este de discontinuitate dacă și numai dacă starea nu este verificată:

\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x) = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x) = f (x_ {0 })}

\ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{-}}}} f (x) = \ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{+}}}} f (x) = f (x_ {0})

.

În funcție de modul în care această condiție eșuează, punctele de discontinuitate sunt grupate în trei familii, numite specii :

discontinuitatea de primul fel : limita dreaptă și limita stângă pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ există finite, dar sunt diferite între ele (funcția are un „salt” finit în punctul de abscisă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ) ^[2] ;
discontinuitatea de al doilea fel : cel puțin una dintre cele două limite pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este infinit (pozitiv sau negativ) sau nu există (în acest din urmă caz vorbim și de discontinuitate esențială ) ^[3] ;
discontinuitatea de al treilea fel (sau eliminabilă ): există limite egale și finite la dreapta și la stânga pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , dar valoarea lor este diferită de valoarea lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ sau $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este definit în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ^[4] .

Discontinuitatea de primul fel (sau salt)

Este $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ .

Un punct $x_{0}\in X$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în X}$ $x_0 \ în X$ este de primă discontinuitate pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în cazul în care stânga și dreapta limitele pentru FOR funcția exit $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și ambele sunt terminate, dar sunt diferite. Atunci sunt valabile toate următoarele condiții:

$\exists \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=:f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {-}) \ în \ mathbb {R}}$ $\ există \ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{-}}}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {{-}}) \ în {\ mathbb {R}}$
$\exists \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=:f(x_{0}^{+})\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {+}) \ în \ mathbb {R}}$ $\ există \ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{+}}}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {{+}}) \ în {\ mathbb {R}}$
$f(x_{0}^{-})\neq f(x_{0}^{+})$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-}) \ neq f (x_ {0} ^ {+})}$ $f (x_ {0} ^ {{-}}) \ neq f (x_ {0} ^ {{+}})$

Discontinuitatea este denumită în mod obișnuit „salt”, deoarece aspectul graficului este cel al unui salt în punctul discontinuității. Cantitatea se mai numește „salt” $f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {+}) - f (x_ {0} ^ {-})}$ $f (x_ {0} ^ {{+}}) - f (x_ {0} ^ {{-}})$ ^[3] .

Exemple

Salt discontinuitatea.

Functia

f(x)=\operatorname {sgn}(x):={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\0&{\text{ se }}x=0\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = \ operatorname {sgn} (x): = {\ begin {cases} {\ frac {x} {| x |}} & {\ text {se}} x \ neq 0 \, \\ 0 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}}

f (x) = \ operatorname {sgn} (x): = {\ begin {cases} {\ frac {x} {| x |}} & {\ text {se}} x \ neq 0 \, \\ 0 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}

întotdeauna deține 1 pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pozitiv și -1 pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ negativ, și apoi face un "salt" în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ (unde este 0).

În exemplul prezentat în figură, funcția este definită după cum urmează:

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ se }}x<x_{0}\\0&{\mbox{ se }}x=x_{0}\\2-(x-x_{0})^{2}&{\mbox{ se }}x>x_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {se}} x <x_ {0} \\ 0 & {\ mbox {se}} x = x_ {0} \ \ 2- (x-x_ {0}) ^ {2} & {\ mbox {se}} x> x_ {0} \ end {cases}}}

f (x) = {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {se}} x <x_ {0} \\ 0 & {\ mbox {se}} x = x_ {0} \\ 2 - (x-x_ {0}) ^ {2} & {\ mbox {se}} x> x_ {0} \ end {cases}}

Al doilea fel (sau esențial) discontinuitate

Este $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ .

Un punct $x_{0}\in X$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în X}$ $x_0 \ în X$ este de discontinuitate de al doilea fel pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ când limita funcției pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din dreapta și / sau din stânga este infinit sau nu există. Cu alte cuvinte, atunci când se aplică una dintre următoarele condiții:

$\not \exists \left(\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\vee \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\right)$ ${\ displaystyle \ not \ există \ left (\ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x) \ vee \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f ( x) \ dreapta)}$ $\ not \ există \ left (\ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{-}}}} f (x) \ vee \ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{+} }}} f (x) \ dreapta)$
$\left(\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\vee \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\right)\notin \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ left (\ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x) \ vee \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x) \ right ) \ notin \ mathbb {R}}$ $\ left (\ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{-}}}} f (x) \ vee \ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{+}}}} f (x) \ right) \ notin {\ mathbb {R}}$

În primul caz, discontinuitatea este, de asemenea, numită esențială . Unii definesc, de asemenea, un „punct de discontinuitate de al doilea fel” ca un punct care nu aparține domeniului funcției, ci care este acumularea acesteia ( $x_{0}\in X^{\prime }\setminus X$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în X ^ {\ prime} \ setminus X}$ $x_ {0} \ in X ^ {{\ prime}} \ setminus X$ ) și pentru care se aplică una dintre condițiile de mai sus (de exemplu, ${\frac {1}{x}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$ ${\ frac {1} {x}}$ sau $\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$ $\ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)$ , ale cărei limite pentru $x\to 0$ ${\ displaystyle x \ to 0}$ $x \ la 0$ sunt respectiv infinite și inexistente) ^[3] . Cu toate acestea, strict vorbind, o funcție ar trebui definită ca „continuă” sau „discontinuă” numai în punctele care aparțin setului său de definiție și, în acest sens, funcții precum cele menționate sunt continue în întregul domeniu (în ambele cazuri, împreună $(-\infty ,0)\,\cup (0,+\infty )$ ${\ displaystyle (- \ infty, 0) \, \ cup (0, + \ infty)}$ $(- \ infty, 0) \, \ cup (0, + \ infty)$ .

Exemple

Discontinuitatea de al doilea fel.

Un exemplu cu limita infinită este funcția

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\mbox{ se }}x\neq 0\\\alpha &{\mbox{ se }}x=0,\quad \alpha \in \mathbb {R} \end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {x}} & {\ mbox {se}} x \ neq 0 \\\ alpha & {\ mbox {se}} x = 0, \ quad \ alpha \ in \ mathbb {R} \ end {cases}}}

f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {x}} & {\ mbox {se}} x \ neq 0 \\\ alpha & {\ mbox {se}} x = 0, \ quad \ alpha \ in {\ mathbb {R}} \ end {cases}}

Un exemplu în care limita nu există este prezentat în figură și este funcția

f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-x_{0}}}&{\mbox{ se }}x<x_{0}\\0&{\mbox{ se }}x=x_{0}\\{\frac {0.1}{x-x_{0}}}&{\mbox{ se }}x>x_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-x_ {0}}} & {\ mbox {se}} x <x_ {0} \\ 0 & { \ mbox {se}} x = x_ {0} \\ {\ frac {0.1} {x-x_ {0}}} și {\ mbox {se}} x> x_ {0} \ end {cases}}}

f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-x_ {0}}} și {\ mbox {se}} x <x_ {0} \\ 0 & {\ mbox { se}} x = x_ {0} \\ {\ frac {0.1} {x-x_ {0}}} și {\ mbox {se}} x> x_ {0} \ end {cases}}

Discontinuitatea de al treilea tip (sau eliminabilă)

Este $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ .

Un punct $x_{0}\in X$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în X}$ $x_0 \ în X$ este de discontinuitate de al treilea fel pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ când limita dreaptă a funcției pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este același cu cel din stânga, cu ambele valori finite, dar valoarea lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ nu coincide cu aceste limite. Cu alte cuvinte, atunci când se aplică toate condițiile următoare:

$\exists \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=:f(x_{0}^{-})\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {-}) \ în \ mathbb {R}}$ $\ există \ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{-}}}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {{-}}) \ în {\ mathbb {R}}$
$\exists \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=:f(x_{0}^{+})\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {+}) \ în \ mathbb {R}}$ $\ există \ lim _ {{x \ to x_ {0} ^ {{+}}}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {{+}}) \ în {\ mathbb {R}}$
$f(x_{0}^{-})=f(x_{0}^{+})\neq f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-}) = f (x_ {0} ^ {+}) \ neq f (x_ {0})}$ $f (x_ {0} ^ {{-}}) = f (x_ {0} ^ {{+}}) \ neq f (x_ {0})$

Discontinuitatea se mai numește eliminabilă , deoarece este suficientă „ajustarea” valorii $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în felul următor:

f^{*}(x):={\begin{cases}f(x)&{\mbox{ se }}x\neq x_{0}\\f(x_{0}^{-})&{\mbox{ se }}x=x_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle f ^ {*} (x): = {\ begin {cases} f (x) & {\ mbox {se}} x \ neq x_ {0} \\ f (x_ {0} ^ {-} ) și {\ mbox {se}} x = x_ {0} \ end {cases}}}

f ^ {{*}} (x): = {\ begin {cases} f (x) & {\ mbox {se}} x \ neq x_ {0} \\ f (x_ {0} ^ {{-} }) & {\ mbox {se}} x = x_ {0} \ end {cases}}

pentru a face funcția continuă la punct.

Există unii care definesc un punct de „discontinuitate eliminabilă” chiar și atunci când nu aparține domeniului funcției, ci este de acumulare pentru funcție și în jurul căruia funcția își asumă o limită finită și egală de la stânga la dreapta ^{[4 ]} .

Exemple

Eliminare discontinuitate.

Functia

f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\mbox{ se }}x\neq 0\\\ell &{\mbox{ se }}x=0,\quad \ell \in \mathbb {R} \end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin (x)} {x}} & {\ mbox {se}} x \ neq 0 \\\ ell & {\ mbox {se }} x = 0, \ quad \ ell \ in \ mathbb {R} \ end {cases}}}

f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin (x)} x} & {\ mbox {se}} x \ neq 0 \\\ ell & {\ mbox {se}} x = 0 , \ quad \ ell \ in {\ mathbb {R}} \ end {cases}}

poate fi extins la o funcție continuă în posendo $\ell =f(x_{0}^{-})=f(x_{0}^{+})=1$ ${\ displaystyle \ ell = f (x_ {0} ^ {-}) = f (x_ {0} ^ {+}) = 1}$ $\ ell = f (x_ {0} ^ {{-}}) = f (x_ {0} ^ {{+}}) = 1$ (a se vedea limita semnificativă pentru calcularea limitei). Pentru orice altă alegere de $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ , funcția va avea o discontinuitate care poate fi eliminată în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Un alt exemplu, a cărui figură este prezentată lateral, este reprezentat de funcție

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ se }}x<x_{0}\\0&{\mbox{ se }}x=x_{0}\\2-x&{\mbox{ se }}x>x_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {se}} x <x_ {0} \\ 0 & {\ mbox {se}} x = x_ {0} \ \ 2-x & {\ mbox {se}} x> x_ {0} \ end {cases}}}

f (x) = {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {se}} x <x_ {0} \\ 0 & {\ mbox {se}} x = x_ {0} \\ 2 - x & {\ mbox {se}} x> x_ {0} \ end {cases}}

cu $x_{0}=1$ ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$

Același subiect în detaliu: funcția Dirichlet și delta Dirac .

Notă

^ Rudin , p. 94.
^ ^a ^b Soardi , p. 190.
^ ^a ^b ^c Soardi , p. 191.
^ ^a ^b Soardi , p. 192.

Bibliografie

P. Soardi, Analiză matematică (ediție nouă) , Novara, Città Studi Edizioni, 2010, ISBN 978-88-251-7359-8 .
( EN ) W. Rudin, Principiile analizei matematice , AA Arthur, SL Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X .
Despre caracteristicile curbelor plane ca locuri de încălcare a principiului discontinuității , teza de diplomă de Pavel Florenskij, mistic și om de știință rus.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rudin , p. 94.

[Soardi-2] Soardi , p. 190.

[Soardi191-3] Soardi , p. 191.

[Soardi192-4] Soardi , p. 192.

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy