Identitatea lui Green

Identitățile lui Green , al căror nume se datorează lui George Green , sunt două corolarii teoremei divergenței pentru funcții diferențiale continue și de ordinul doi.

Descriere

Prima identitate a lui Green

Lasa-i sa fie $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ două funcții scalare definite într-o regiune $U\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ , cu $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ derivabil de două ori cu continuitate e $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ derivabil cu continuitate. Având în vedere câmpul vectorial $\mathbf {F} =\psi \nabla \varphi$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ psi \ nabla \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ psi \ nabla \ varphi}$ , cu $\nabla \varphi$ ${\ displaystyle \ nabla \ varphi}$ ${\ displaystyle \ nabla \ varphi}$ gradientul de $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , teorema divergenței arată că: ^[1]

\int _{U}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \ dV=\oint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS

{\ displaystyle \ int _ {U} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ dV = \ oint _ {\ partial U} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \ dS}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ dV = \ oint _ {\ partial U} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \ dS}

unde este $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ este unitatea vectorială de ieșire normală la elementul de suprafață $d S.$ ${\ displaystyle dS}$ ${\ displaystyle dS}$ Și $\partial U$ ${\ displaystyle \ partial U}$ $\ partial U$ suprafața pe care o delimitează $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . De cand:

\mathbf {\nabla } \cdot (\psi \nabla \varphi )=\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ psi \ nabla \ varphi) = \ psi \ nabla ^ {2} \ varphi + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ varphi}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ psi \ nabla \ varphi) = \ psi \ nabla ^ {2} \ varphi + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ varphi}

Prima identitate a lui Green este obținută: ^[2]

\int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \ nabla ^ {2} \ varphi + \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ psi \ left (\ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} \ right) \, dS}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \ nabla ^ {2} \ varphi + \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ psi \ left (\ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} \ right) \, dS}

unde este $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ {2}$ este laplacianul și:

\psi \nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}

{\ displaystyle \ psi \ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} = \ psi {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial n}}}

{\ displaystyle \ psi \ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} = \ psi {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial n}}}

cu $\partial \varphi /\partial n$ ${\ displaystyle \ partial \ varphi / \ partial n}$ ${\ displaystyle \ partial \ varphi / \ partial n}$ derivatul cu privire la direcție $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ . Această teoremă este practic versiunea multidimensională a integrării pe părți , cu $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ iar gradientul de $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ inlocuit cu $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ .

Prima identitate a lui Green este un caz particular al identității mai generale obținute prin teorema divergenței prin substituire $\mathbf {F} =\psi \mathbf {\Gamma }$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ psi \ mathbf {\ Gamma}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ psi \ mathbf {\ Gamma}}$ :

\int _{U}\left(\psi \nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \ nabla \ cdot \ mathbf {\ Gamma} + \ mathbf {\ Gamma} \ cdot \ nabla \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ psi \ left (\ mathbf {\ Gamma} \ cdot \ mathbf {n} \ right) \, dS}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \ nabla \ cdot \ mathbf {\ Gamma} + \ mathbf {\ Gamma} \ cdot \ nabla \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ psi \ left (\ mathbf {\ Gamma} \ cdot \ mathbf {n} \ right) \, dS}

A doua identitate a lui Green

De sine $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ pot fi diferențiate de două ori cu continuitate activată $U\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ Și $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ se poate diferenția cu continuitate, puteți alege $\mathbf {F} =\psi \varepsilon \nabla \varphi -\varphi \varepsilon \nabla \psi$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ psi \ varepsilon \ nabla \ varphi - \ varphi \ varepsilon \ nabla \ psi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ psi \ varepsilon \ nabla \ varphi - \ varphi \ varepsilon \ nabla \ psi}$ și obțineți: ^[2]

\int _{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\varepsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\varepsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi  \over \partial n}-\varphi {\partial \psi  \over \partial n}\right)\,dS

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left [\ psi \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \ nabla \ varphi \ right) - \ varphi \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \ nabla \ psi \ right) \ dreapta] \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ varepsilon \ left (\ psi {\ partial \ varphi \ over \ partial n} - \ varphi {\ partial \ psi \ over \ partial n} \ right) \ , dS}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left [\ psi \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \ nabla \ varphi \ right) - \ varphi \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \ nabla \ psi \ right) \ dreapta] \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ varepsilon \ left (\ psi {\ partial \ varphi \ over \ partial n} - \ varphi {\ partial \ psi \ over \ partial n} \ right) \ , dS}

În cazul particular în care $\varepsilon =1$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 1}$ asa de:

\int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi  \over \partial n}-\varphi {\partial \psi  \over \partial n}\right)dS

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \ nabla ^ {2} \ varphi - \ varphi \ nabla ^ {2} \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ left (\ psi {\ partial \ varphi \ over \ partial n} - \ varphi {\ partial \ psi \ over \ partial n} \ right) dS}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \ nabla ^ {2} \ varphi - \ varphi \ nabla ^ {2} \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ left (\ psi {\ partial \ varphi \ over \ partial n} - \ varphi {\ partial \ psi \ over \ partial n} \ right) dS}

A treia identitate a lui Green

A treia identitate a lui Green derivă din a doua clasare $\varphi =G$ ${\ displaystyle \ varphi = G}$ ${\ displaystyle \ varphi = G}$ , unde este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este funcția verde a laplacianului . Aceasta înseamnă că:

\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {\eta } )

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ eta}) = \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {\ eta})}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ eta}) = \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {\ eta})}

De exemplu în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ avem o soluție de formă:

G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {\eta } \|}

{\ displaystyle G (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ eta}) = {- 1 \ over 4 \ pi \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {\ eta} \ |}}

{\ displaystyle G (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ eta}) = {- 1 \ over 4 \ pi \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {\ eta} \ |}}

A treia identitate afirmă că dacă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este diferențiat de două ori cu continuitate activată $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ asa de:

\int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } )\nabla ^{2}\psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi  \over \partial n}(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\right]\,dS_{\mathbf {y} }

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left [G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) \ nabla ^ {2} \ psi (\ mathbf {y}) \ right] \, dV _ { \ mathbf {y}} - \ psi (\ mathbf {\ eta}) = \ oint _ {\ partial U} \ left [G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) {\ partial \ psi \ over \ partial n} (\ mathbf {y}) - \ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) \ over \ partial n} \ right] \ , dS _ {\ mathbf {y}}}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ left [G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) \ nabla ^ {2} \ psi (\ mathbf {y}) \ right] \, dV _ { \ mathbf {y}} - \ psi (\ mathbf {\ eta}) = \ oint _ {\ partial U} \ left [G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) {\ partial \ psi \ over \ partial n} (\ mathbf {y}) - \ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) \ over \ partial n} \ right] \ , dS _ {\ mathbf {y}}}

În cazul în care $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este o funcție armonică , adică este ea însăși o soluție a ecuației lui Laplace , atunci $\nabla ^{2}\psi =0$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0}$ iar identitatea este simplificată luând forma:

\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}-G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi  \over \partial n}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {\ eta}) = \ oint _ {\ partial U} \ left [\ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta }) \ over \ partial n} -G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) {\ partial \ psi \ over \ partial n} (\ mathbf {y}) \ right] \, dS _ { \ mathbf {y}}}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {\ eta}) = \ oint _ {\ partial U} \ left [\ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta }) \ over \ partial n} -G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) {\ partial \ psi \ over \ partial n} (\ mathbf {y}) \ right] \, dS _ { \ mathbf {y}}}

Al doilea termen din integralul anterior poate fi eliminat prin alegere $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ astfel încât să dispară la granița $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ :

\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\,dS_{\mathbf {y} }

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {\ eta}) = \ oint _ {\ partial U} \ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) \ peste \ partial n} \, dS _ {\ mathbf {y}}}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {\ eta}) = \ oint _ {\ partial U} \ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, \ mathbf {\ eta}) \ peste \ partial n} \, dS _ {\ mathbf {y}}}

Această formă este utilizată pentru a construi soluții la problema condițiilor de frontieră Dirichlet , în timp ce pentru condițiile de frontieră Neumann se folosește funcția Green, gradientul căruia dispare la frontieră.

Notă

^ MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition) , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 .
^ ^a ^b Jackson , Pagina 36 .

Bibliografie

( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Gian Carlo Corazza, Carlo Giacomo Someda, Elements of vector and tensor calculus , Pitagora Editrice, Bologna 1982 pp. 148 ISBN 88-371-0014-0

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition) , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 .

[JDJ-2] Jackson , Pagina 36 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy