Dimensiunea isoperimetrică

În matematică , dimensiunea isoperimetrică a unei varietăți este o noțiune de dimensiune care încearcă să înțeleagă modul în care comportamentul pe scară largă al varietății seamănă cu cel al unui spațiu euclidian (spre deosebire de dimensiunea topologică sau dimensiunea Hausdorff care compară comportamentele locale cu cele ale Spațiul euclidian).

În spațiul euclidian, inegalitatea izoperimetrică afirmă că dintre toate corpurile cu un volum fix, sfera are cea mai mică zonă. La alte soiuri este de obicei dificil să găsești corpul cu cea mai mică suprafață și acesta este motivul pentru care se introduce dimensiunea isoperimetrică. Întrebarea care se pune este care este aproximativ suprafața minimă, indiferent de corpul care se bucură de această proprietate.

Definiție formală

Se spune că o varietate M satisface o inegalitate izoperimetrică d-dimensională dacă pentru fiecare set deschis D în M cu muchie regulată satisface

\mathrm {area} \,(\partial D)\geq C\mathrm {vol} \,(D)^{(d-1)/d}

{\ displaystyle \ mathrm {area} \, (\ partial D) \ geq C \ mathrm {vol} \, (D) ^ {(d-1) / d}}

{\ displaystyle \ mathrm {area} \, (\ partial D) \ geq C \ mathrm {vol} \, (D) ^ {(d-1) / d}}

,

unde vol și aria s se referă la noțiunile obișnuite de volum și zonă pe un distribuitor, sau mai exact, dacă distribuitorul are n dimensiuni topologice, vol se referă la volumul n- dimensional și aria la volumul dimensional n-1 . Aici C reprezintă o constantă care nu depinde de D (dar poate depinde de varietate și de d ).

Dimensiunea izoperimetrică a lui M este limita superioară a tuturor d astfel încât M să satisfacă o inegalitate izoperimetrică d- dimensională.

Exemple

Un spațiu euclidian d- dimensional are dimensiunea isoperimetrică d . Aceasta este problema izoperimetrică cunoscută; așa cum s-a discutat mai sus, pentru un spațiu euclidian, constanta C este cunoscută tocmai deoarece minimul este atins pentru sferă.

Un cilindru infinit (adică produsul cartezian al unui cerc unitar și al liniei reale ) are o dimensiune topologică două, dar una de dimensiune isoperimetrică. De fapt, înmulțirea oricărui soi cu un soi compact nu modifică dimensiunea isoperimetrică (se schimbă doar valoarea constantei C ). Orice varietate compactă are o dimensiune izoperimetrică zero.

Dimensiunea izoperimetrică poate fi, de asemenea, mai mare decât dimensiunea topologică. Cel mai simplu exemplu este sala de gimnastică infinită din junglă , care are dimensiunea topologică două și dimensiunea izoperimetrică trei. A se vedea [1] pentru imagini și surse pentru Mathematica .

Planul hiperbolic are dimensiunea topologică două și o dimensiune izoperimetrică infinită. De fapt, planul hiperbolic are o constantă Cheeger pozitivă. Aceasta înseamnă că satisface inegalitatea

\mathrm {area} \,(\partial D)\geq C\mathrm {vol} \,(D)

{\ displaystyle \ mathrm {area} \, (\ partial D) \ geq C \ mathrm {vol} \, (D)}

{\ displaystyle \ mathrm {area} \, (\ partial D) \ geq C \ mathrm {vol} \, (D)}

ceea ce implică în mod evident că dimensiunea izoperimetrică este infinită.

Dimensiunea isoperimetrică a graficelor

Mărimea izoperimetrică a graficelor este definită în mod similar. Nu este nevoie de măsurători de suprafață și volum: numărați doar punctele. Pentru fiecare subset A se definește G $\partial A$ ${\ displaystyle \ partial A}$ ${\ displaystyle \ partial A}$ ca set de vârfuri în $G\setminus A$ ${\ displaystyle G \ setminus A}$ ${\ displaystyle G \ setminus A}$ cu un vecin în A. O inegalitate izoperimetrică d- dimensională este acum definită de

|\partial A|\geq C|A|^{(d-1)/d}.

{\ displaystyle | \ partial A | \ geq C | A | ^ {(d-1) / d}.}

{\ displaystyle | \ partial A | \ geq C | A | ^ {(d-1) / d}.}

Exemplele de mai sus se aplică în mod similar graficelor. Mărimea izoperimetrică a fiecărui grafic închis este zero. Dimensiunea izoperimetrică a unei rețele d- dimensionale este d . În general, dimensiunea izoperimetrică este păstrată prin cvasi-izometrii , atât prin cvasi-izometrii între varietăți, între grafice, cât și prin cvasi-izometrii care aduc varietăți în grafice, cu definițiile lor respective. În mod vag, aceasta înseamnă că un grafic care seamănă cu o varietate dată (în același mod în care grila seamănă cu spațiul euclidian) are aceeași dimensiune isoperimetrică ca și galeria. Un copac binar infinit complet are dimensiunea isoperimetrică ∞.

Consecințele izoperimetriei

O simplă integrare pe r (sau sumă în cazul graficelor) arată că o inegalitate isoperimetrică d- dimensională implică o creștere a volumului :

\mathrm {vol} \,B(x,r)\geq Cr^{d}

{\ displaystyle \ mathrm {vol} \, B (x, r) \ geq Cr ^ {d}}

{\ displaystyle \ mathrm {vol} \, B (x, r) \ geq Cr ^ {d}}

unde B ( x , r ) denotă sfera razelor r centrată în x în distanța Riemanniană sau în distanță pentru grafice . În general, inversul nu este adevărat, adică chiar și creșterea uniformă exponențială a volumului nu garantează o oarecare inegalitate izoperimetrică. Un exemplu simplu îl are luând graficul Z (adică toate numerele întregi cu laturile cuprinse între n și n + 1) care se conectează la vârf n un arbore binar de lungime completă | n |. Ambele proprietăți (creștere exponențială și dimensiune izoperimetrică zero) sunt ușor de demonstrat.

O excepție interesantă este cazul grupurilor . Se pare că un grup cu creștere polinomială de ordinul d are dimensiunea isoperimetrică d . Acest lucru rezultă atât în cazul grupurilor Lie, cât și în cazul graficului Cayley al unui grup generat finit.

O teoremă a lui Varopoulos conectează izoperimetric dimensiunea unui grafic la rata de scurgere este o mers aleatoriu (mers aleatoriu) pe grafic. Se pare ca

Teorema Varopoulos: Dacă G este un grafic care satisface o inegalitate izoperimetrică d-dimensională atunci

p_{n}(x,y)\leq Cn^{-d/2}

{\ displaystyle p_ {n} (x, y) \ leq Cn ^ {- d / 2}}

{\ displaystyle p_ {n} (x, y) \ leq Cn ^ {- d / 2}}

unde este $p_{n}(x,y)$ ${\ displaystyle p_ {n} (x, y)}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x, y)}$ este probabilitatea ca o plimbare aleatorie pe G pornind de la G să fie în y după n trepte, iar C este o constantă.

Bibliografie

Isaac Chavel, Isoperimetric Inequalities: Differential geometric and analyse persepectives , Cambridge university press, Cambridge, UK (2001), ISBN 0-521-80267-9
N. Th. Varopoulos, Inegalități isoperimetrice și lanțuri Markov , J. Funct. Anal. 63: 2 (1985), 215-239.
Thierry Coulhon și Laurent Saloff-Coste, Isopérimétrie pour les groupes et les variétés , Rev. Mat. Iberoamericana 9: 2 (1993), 293-314.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy