Măsurați logaritmic concav

În matematică , o măsură Borel μ într-un spațiu euclidian n - dimensional R ⁿ se spune că este logaritmic concav dacă, având în vedere două subseturi compacte A și B din R ^n, λ este dat astfel încât $0<\lambda <1$ ${\ displaystyle 0 <\ lambda <1}$ ${\ displaystyle 0 <\ lambda <1}$ , da

\mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },

{\ displaystyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda},}

{\ displaystyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda},}

unde λ A + (1 - λ ) B denotă suma Minkowski a λ A și (1 - λ ) B. ^[1]

Exemple

Inegalitatea Brunn-Minkowski afirmă că măsura Lebesgue este logaritmic concavă. Restricția măsurii Lebesgue la orice set convex este, de asemenea, logaritmic concavă.

Dintr-o teoremă Borell, ^[2] avem o măsură care este logaritmic concavă dacă și numai dacă are o densitate față de măsura Lebesgue pe un hiperplan afinar și această densitate este o funcție logaritmic concavă . Prin urmare, fiecare măsură gaussiană este logaritmic concavă.

Inegalitatea Prékopa-Leindler arată că convoluția măsurilor logaritmice concavă este logaritmic concavă.

Notă

^ A. Prékopa , Măsuri concave logaritmice și subiecte conexe , în programarea stochastică (Proc. Internat. Conf., Univ. Oxford, Oxford, 1974) , London-New York, Academic Press, 1980, pp. 63-82, MR 0592596 .
^ Borell, C., Convex set functions in d -space , in Period. Matematica. Hungar. , vol. 6, nr. 2, 1975, pp. 111–136, DOI : 10.1007 / BF02018814 , MR 0404559 .

Elemente conexe

Funcție logaritmic concavă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] A. Prékopa , Măsuri concave logaritmice și subiecte conexe , în programarea stochastică (Proc. Internat. Conf., Univ. Oxford, Oxford, 1974) , London-New York, Academic Press, 1980, pp. 63-82, MR 0592596 .

[2] Borell, C., Convex set functions in d -space , in Period. Matematica. Hungar. , vol. 6, nr. 2, 1975, pp. 111–136, DOI : 10.1007 / BF02018814 , MR 0404559 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy