Integrarea prin substituție

În calcul , integrarea prin substituție este un instrument important pentru determinarea integralelor nedefinite și a integralelor definite și constă într-o schimbare a variabilei pentru a rescrie integralul într-o formă mai simplă ^[1] . Este echivalent cu regula de derivare a compoziției funcțiilor .

Metoda

Este $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ o funcție integrabilă pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , Și $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ o funcție diferențiată continuu definită pe interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ deschis. Să presupunem că există $\alpha ,\beta \in I$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ în I}$ $\ alpha, \ beta \ în I$ astfel încât $\alpha <\beta$ ${\ displaystyle \ alpha <\ beta}$ $\ alpha <\ beta$ ; de sine $\phi '>0$ ${\ displaystyle \ phi '> 0}$ ${\ displaystyle \ phi '> 0}$ în intervalul considerat atunci $\phi ([\alpha ,\beta ])=[a,b]$ ${\ displaystyle \ phi ([\ alpha, \ beta]) = [a, b]}$ $\ phi ([\ alpha, \ beta]) = [a, b]$ Și $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$ ${\ displaystyle \ phi (\ alpha) = a, \ phi (\ beta) = b}$ $\ phi (\ alpha) = a, \ phi (\ beta) = b$ . Prin urmare, avem ^[2] :

\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t))\phi '(t)\;\mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} f (\ phi (t)) \ phi '( t) \; \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} f (\ phi (t)) \ phi '( t) \; \ mathrm {d} t.}

Dar dacă $\phi '<0$ ${\ displaystyle \ phi '<0}$ ${\ displaystyle \ phi '<0}$ asa de $\phi (\alpha )=b,\phi (\beta )=a$ ${\ displaystyle \ phi (\ alpha) = b, \ phi (\ beta) = a}$ ${\ displaystyle \ phi (\ alpha) = b, \ phi (\ beta) = a}$ . Asa de:

\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\beta }^{\alpha }f(\phi (t))\phi '(t)\;\mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {\ beta} ^ {\ alpha} f (\ phi (t)) \ phi '( t) \; \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {\ beta} ^ {\ alpha} f (\ phi (t)) \ phi '( t) \; \ mathrm {d} t.}

Prin urmare, în general:

\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t))|\phi '(t)|\;\mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} f (\ phi (t)) | \ phi ' (t) | \; \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} f (\ phi (t)) | \ phi ' (t) | \; \ mathrm {d} t.}

Această formulă este cel mai bine amintită folosind formalismul lui Leibniz : relația $x=\phi (t)$ ${\ displaystyle x = \ phi (t)}$ ${\ displaystyle x = \ phi (t)}$ Oportunitati $\mathrm {d} x/\mathrm {d} t=\phi '(t)$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x / \ mathrm {d} t = \ phi '(t)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x / \ mathrm {d} t = \ phi '(t)}$ și deci consecința formală $\mathrm {d} x=\phi '(t)\;\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ phi '(t) \; \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ phi '(t) \; \ mathrm {d} t}$ . Cu toate acestea, aceasta trebuie considerată o simplă tehnică mnemonică și nu constituie o regulă strictă; de fapt, dacă uitați modulul atunci când aplicați formula în calculul integralelor definite, puteți întâlni erori. Un exemplu în acest sens ar putea fi aplicarea substituției $kx=t$ ${\ displaystyle kx = t}$ ${\ displaystyle kx = t}$ la următoarea integrală,

\int _{-\infty }^{\infty }{\sin(kx) \over x}\;\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }{\sin(t) \over t}\operatorname {sgn}(k)\;\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (kx) \ over x} \; \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (t) \ over t} \ operatorname {sgn} (k) \; \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (kx) \ over x} \; \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (t) \ over t} \ operatorname {sgn} (k) \; \ mathrm {d} t}

unde am folosit asta ${\left\vert {dx \over dt}\right\vert }={\left\vert {1 \over k}\right\vert }$ ${\ displaystyle {\ left \ vert {dx \ over dt} \ right \ vert} = {\ left \ vert {1 \ over k} \ right \ vert}}$ ${\ displaystyle {\ left \ vert {dx \ over dt} \ right \ vert} = {\ left \ vert {1 \ over k} \ right \ vert}}$ .

Dacă uitați să introduceți formularul atunci când aplicați formula, rezultă:

\int _{-\infty }^{\infty }{\sin(kx) \over x}\;\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }{\sin(t) \over t}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (kx) \ over x} \; \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (t) \ over t} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (kx) \ over x} \; \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ sin (t) \ over t} \ mathrm {d} t}

unde, însă, lipsește contribuția dată de semnul lui $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Prin urmare, se poate deduce că înlocuirea fără un modul poate duce la calcule eronate.

Formula este utilizată pentru a transforma integralul unei funcții în integrala altuia în perspectiva că aceasta este mai ușor de determinat. Formula poate fi utilizată pentru a simplifica o integrală dată, fie „de la stânga la dreapta”, fie „de la dreapta la stânga”.

Regula de substituție poate fi, de asemenea, utilizată pentru a determina diverse integrale nedeterminate . Alegeți o relație între $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , care determină contribuția $\phi '(t)$ ${\ displaystyle \ phi '(t)}$ ${\ displaystyle \ phi '(t)}$ să fie inserat în integral pentru a face schimbarea variabilei corectă conform regulii

$\int _{}^{}f(x)\;\mathrm {d} x=\int _{}^{}f(\phi (t))\phi '(t)\;\mathrm {d} t.$ ${\ displaystyle \ int _ {} ^ {} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {} ^ {} f (\ phi (t)) \ phi '(t) \; \ mathrm {d} t.}$ ${\ displaystyle \ int _ {} ^ {} f (x) \; \ mathrm {d} x = \ int _ {} ^ {} f (\ phi (t)) \ phi '(t) \; \ mathrm {d} t.}$

Deoarece nu există extreme de integrare, forma aplicată $\phi '(t)$ ${\ displaystyle \ phi '(t)}$ ${\ displaystyle \ phi '(t)}$ nu intră în joc. Dacă este posibil să se determine noua integrală nedeterminată, trebuie efectuată ulterior substituirea opusă.

Regula de substituție pentru mai multe variabile

De asemenea, puteți utiliza substituirea atunci când integrați funcții în mai multe variabile. Aici funcția de înlocuire $(v_{1},\ldots ,v_{n})=\phi (u_{1},\ldots ,u_{n})$ ${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = \ phi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$ ${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = \ phi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$ Acesta trebuie să fie injectiv și diferențiat cu continuitate, iar diferențialele sunt transformate conform formulei

\mathrm {d} v_{1}\cdots \mathrm {d} v_{n}=|\det(\operatorname {D} \phi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,\mathrm {d} u_{1}\cdots \mathrm {d} u_{n},

{\ displaystyle \ mathrm {d} v_ {1} \ cdots \ mathrm {d} v_ {n} = | \ det (\ operatorname {D} \ phi) (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) | \, \ mathrm {d} u_ {1} \ cdots \ mathrm {d} u_ {n},}

{\ displaystyle \ mathrm {d} v_ {1} \ cdots \ mathrm {d} v_ {n} = | \ det (\ operatorname {D} \ phi) (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) | \, \ mathrm {d} u_ {1} \ cdots \ mathrm {d} u_ {n},}

unde este $\det(\operatorname {D} \phi )$ ${\ displaystyle \ det (\ operatorname {D} \ phi)}$ ${\ displaystyle \ det (\ operatorname {D} \ phi)}$ denotă determinantul matricei iacobiene care conține derivatele parțiale ale $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Această formulă exprimă faptul că valoarea absolută a determinantului vectorilor dați este egală cu volumul paralelipipedului format.

Mai precis, formula pentru schimbarea variabilelor este specificată în următoarea afirmație.

Teorema

Lasa-i sa fie

U, V.

{\ displaystyle U, V}

U, V

deschise se instalează

\mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

\ mathbb {R} ^ {n}

Și

\phi :U\to V

{\ displaystyle \ phi: U \ to V}

{\ displaystyle \ phi: U \ to V}

o funcție diferențială bijectivă cu derivate parțiale continue. Apoi pentru orice funcție cu valori reale

f

{\ displaystyle f}

f

pe

V.

{\ displaystyle V}

V.

poate fi integrat

\int _{V}f(\mathbf {v} )\,\mathrm {d} \mathbf {v} =\int _{U}f(\phi (\mathbf {u} ))\left|\det(\operatorname {D} \phi )(\mathbf {u} )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {u} ,

{\ displaystyle \ int _ {V} f (\ mathbf {v}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} = \ int _ {U} f (\ phi (\ mathbf {u})) \ left | \ det (\ operatorname {D} \ phi) (\ mathbf {u}) \ right | \, \ mathrm {d} \ mathbf {u},}

{\ displaystyle \ int _ {V} f (\ mathbf {v}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} = \ int _ {U} f (\ phi (\ mathbf {u})) \ left | \ det (\ operatorname {D} \ phi) (\ mathbf {u}) \ right | \, \ mathrm {d} \ mathbf {u},}

Exemple

Luați în considerare integralul:

\int \tan(x)\;\mathrm {d} x=\int {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\;\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \; \ mathrm {d} x = \ int {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} \; \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ int \ tan (x) \; \ mathrm {d} x = \ int {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} \; \ mathrm {d} x}

;

Prin plasare

t=\cos(x)

{\ displaystyle t = \ cos (x)}

{\ displaystyle t = \ cos (x)}

, asa de

\mathrm {{d}t \over {d}x} =-\sin(x)

{\ displaystyle \ mathrm {{d} t \ over {d} x} = - \ sin (x)}

{\ displaystyle \ mathrm {{d} t \ over {d} x} = - \ sin (x)}

avem:

\int -{\frac {1}{t}}d(t)=-\ln(\left\vert t\right\vert )+C=-\ln(\left\vert \cos(x)\right\vert )+C.

{\ displaystyle \ int - {\ frac {1} {t}} d (t) = - \ ln (\ left \ vert t \ right \ vert) + C = - \ ln (\ left \ vert \ cos (x ) \ dreapta \ vert) + C.}

{\ displaystyle \ int - {\ frac {1} {t}} d (t) = - \ ln (\ left \ vert t \ right \ vert) + C = - \ ln (\ left \ vert \ cos (x ) \ dreapta \ vert) + C.}

Fie integralul:

\int _{0}^{2}t\cos(t^{2}+1)\;\mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} t \ cos (t ^ {2} +1) \; \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} t \ cos (t ^ {2} +1) \; \ mathrm {d} t.}

Folosind înlocuitor $x=t^{2}+1$ ${\ displaystyle x = t ^ {2} +1}$ ${\ displaystyle x = t ^ {2} +1}$ , primesti $\left\vert {dx \over dt}\right\vert =2t$ ${\ displaystyle \ left \ vert {dx \ over dt} \ right \ vert = 2t}$ ${\ displaystyle \ left \ vert {dx \ over dt} \ right \ vert = 2t}$ pentru $t\geq 0$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ $t \ geq 0$ prin urmare

\int _{0}^{2}t\cos(t^{2}+1)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}\cos(t^{2}+1)2t\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(x)\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} t \ cos (t ^ {2} +1) \; \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2} \ cos (t ^ {2} +1) 2t \; \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ int _ {1} ^ {5} \ cos (x) \; \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} (\ sin (5) - \ sin (1)).}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} t \ cos (t ^ {2} +1) \; \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2} \ cos (t ^ {2} +1) 2t \; \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ int _ {1} ^ {5} \ cos (x) \; \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} (\ sin (5) - \ sin (1)).}

Aici se folosește regula de substituție „de la dreapta la stânga”. Observați cum limita inferioară $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ se transformă în $x=0^{2}+1=1$ ${\ displaystyle x = 0 ^ {2} + 1 = 1}$ ${\ displaystyle x = 0 ^ {2} + 1 = 1}$ iar limita superioară $t=2$ ${\ displaystyle t = 2}$ ${\ displaystyle t = 2}$ în $x=2^{2}+1=5.$ ${\ displaystyle x = 2 ^ {2} + 1 = 5.}$ ${\ displaystyle x = 2 ^ {2} + 1 = 5.}$

Calculând în schimb integralul nedefinit:

\int t\cos(t^{2}+1)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\int \cos(t^{2}+1)2t\;\mathrm {d} t\ =

{\ displaystyle \ int t \ cos (t ^ {2} +1) \; \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ int \ cos (t ^ {2} +1) 2t \; \ mathrm {d} t \ =}

{\ displaystyle \ int t \ cos (t ^ {2} +1) \; \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ int \ cos (t ^ {2} +1) 2t \; \ mathrm {d} t \ =}

={\frac {1}{2}}\int \cos(x)\;\mathrm {d} x\,={\frac {1}{2}}\sin(x)+C={\frac {1}{2}}\sin(t^{2}+1)+C.

{\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ int \ cos (x) \; \ mathrm {d} x \, = {\ frac {1} {2}} \ sin (x) + C = {\ frac {1} {2}} \ sin (t ^ {2} +1) + C.}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ int \ cos (x) \; \ mathrm {d} x \, = {\ frac {1} {2}} \ sin (x) + C = {\ frac {1} {2}} \ sin (t ^ {2} +1) + C.}

Rețineți că înlocuirea inițială a fost inversată în ultimul pas $x=t^{2}+1.$ ${\ displaystyle x = t ^ {2} +1.}$ ${\ displaystyle x = t ^ {2} +1.}$

Pentru a calcula integralul:

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x}

trebuie să utilizați formula de la stânga la dreapta: este necesară înlocuirea $x=\sin(t)$ ${\ displaystyle x = \ sin (t)}$ $x = \ sin (t)$ , $\;\mathrm {\left\vert {{d}x \over {d}t}\right\vert } =\left\vert \cos(t)\right\vert \ =\cos(t)\,\;$ ${\ displaystyle \; \ mathrm {\ left \ vert {{d} x \ over {d} t} \ right \ vert} = \ left \ vert \ cos (t) \ right \ vert \ = \ cos (t) \, \;}$ ${\ displaystyle \; \ mathrm {\ left \ vert {{d} x \ over {d} t} \ right \ vert} = \ left \ vert \ cos (t) \ right \ vert \ = \ cos (t) \, \;}$ , la fel de ${\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}=\cos(t)$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (t)}} = \ cos (t)}$ ${\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (t)}} = \ cos (t)$ ; ultima egalitate se menține de atunci $\cos(t)$ ${\ displaystyle \ cos (t)}$ ${\ displaystyle \ cos (t)}$ este pozitiv în intervalul considerat.

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}\cos(t)\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\,\cos ^{2}(t)\;\mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} { 2}} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (t)}} \ cos (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2 }} \, \ cos ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} { 2}} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (t)}} \ cos (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2 }} \, \ cos ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t.}

Integrala rezultată poate fi calculată realizând o integrare pe părți sau mai simplu efectuând o simplă substituție $t'=t-{\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle t '= t - {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle t '= t - {\ frac {\ pi} {2}}}$ (o traducere a axei $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ) și folosind paritatea funcției:

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(t)\;\mathrm {d} t=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}\cos ^{2}(t-{\frac {\pi }{2}})\;\mathrm {d} t=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}\sin ^{2}(t)\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}(t)\;\mathrm {d} t\qquad \qquad \qquad

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {- {\ frac {\ pi } {2}}} ^ {0} \ cos ^ {2} (t - {\ frac {\ pi} {2}}) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {- {\ frac {\ pi} {2}}} ^ {0} \ sin ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t \ qquad \ qquad \ qquad}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {- {\ frac {\ pi } {2}}} ^ {0} \ cos ^ {2} (t - {\ frac {\ pi} {2}}) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {- {\ frac {\ pi} {2}}} ^ {0} \ sin ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t \ qquad \ qquad \ qquad}

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)\right]\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\;\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}},

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ left [\ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t) \ right] \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \; \ mathrm {d} t = {\ frac {\ pi} {2}},}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ left [\ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t) \ right] \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \; \ mathrm {d} t = {\ frac {\ pi} {2}},}

de la care:

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(t)\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {1} { \ sqrt {1-x ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {4}}.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {2} (t) \; \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {1} { \ sqrt {1-x ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {4}}.}

Notă

^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol. 5 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-86500-7 . p.1881
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.557

Bibliografie

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol. 5 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-86500-7 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 .

Elemente conexe

Pentru o listă de integrale, consultați Tabelele integrale

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol. 5 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-86500-7 . p.1881

[2] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.557

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy