Isoperimetrie

În geometrie , isoperimetria este caracteristica a două figuri care au același perimetru .

În problemele clasice de izoperimetrie se cere de obicei să se identifice figura care, cu același perimetru și sub anumite constrângeri, este capabilă să maximizeze aria ; cu același perimetru și laturi, poligoanele regulate sunt cele care maximizează aria, în timp ce cercul este cel care o maximizează în absolut.

Problemă isoperimetrică în plan

Problema clasică isoperimetrică datează din antichitate. Problema poate fi pusă după cum urmează: Dintre toate curbele închise în planul perimetrului fix, care curbă (dacă există) maximizează aria regiunii incluse? Se poate arăta că această problemă este echivalentă cu a privi printre curbele închise din plan, având în vedere aria regiunii incluse, cea care (dacă există) minimizează perimetrul.

Problema este legată conceptual de principiul acțiunii minime în fizică și poate fi reformulată după cum urmează: care este principiul acțiunii care cuprinde cea mai mare zonă cu cel mai mic efort?

Filozoful și omul de știință din secolul al XV-lea, cardinalul Nicola Cusano , a considerat rotația , prin care se generează cercul , procesul care reflectă cel mai bine în lumea empirică procesul prin care a fost generat universul. Astronomul și astrologul german Kepler a folosit principiul isoperimetric în discutarea morfologiei sistemului solar în Mysterium Cosmographicum ( The Cosmographic Mystery , 1596 ).

Deși cercul pare a fi o soluție evidentă a problemei, dovedirea acestui fapt este destul de dificilă. Primul pas către soluție a fost făcut de savantul geometriei Jakob Steiner în 1838 folosind o metodă geometrică ulterioară numită simetrizare Steiner . Steiner a arătat că, dacă soluția există, atunci trebuie să fie un cerc. Dovada lui Steiner a fost completată ulterior de alți matematicieni.

Steiner a început cu câteva construcții geometrice ușor de înțeles; de exemplu, se poate arăta că orice curbă închisă care include o regiune care nu este chiar convexă poate fi modificată pentru a include o zonă mai mare, „rotind” zonele concavă pentru a le face convexe. De asemenea, se poate arăta că orice curbă închisă care nu este simetrică poate fi deformată pentru a include o zonă mai mare. Forma care este perfect convexă și simetrică este cercul, deși aceasta nu este o dovadă riguroasă a teoremei izoperimetrice (vezi linkurile externe).

Teorema este de obicei formulată sub forma unei inegalități care leagă perimetrul de aria unei curbe închise în plan. Dacă P este perimetrul curbei și A este aria regiunii închise de curbă, inegalitatea are forma

4\pi A\leq P^{2}.

{\ displaystyle 4 \ pi A \ leq P ^ {2}.}

{\ displaystyle 4 \ pi A \ leq P ^ {2}.}

În cazul unui cerc cu rază r avem A = π r ² și P = 2π r , iar înlocuind acestea în inegalitate vedem că cercul, printre toate curbele perimetrului fix, maximizează aria. De fapt, cercul este singura curbă care maximizează aria.

Există zeci de dovezi ale inegalității clasice; mai multe dintre ele sunt discutate în articolul lui Triberg (vezi bibliografia). În 1901 Hurwitz a dat o dovadă analitică a inegalității izoperimetrice bazată pe seria Fourier și pe teorema lui Green .

Formulările moderne ale problemelor izoperimetrice sunt în termeni de geometrie sub-Riemanniană ; în mod specific, problema Dido își găsește expresia în termenii grupului Heisenberg : având în vedere un arc care leagă două puncte, „înălțimea” z a unui punct din grupul Heisenberg corespunde zonei subtendute de arc.

Teorema izoperimetrică este generalizată la spații de dimensiuni mai mari: domeniul cu volum fix și suprafață minimă este întotdeauna sfera. Acest rezultat generalizat a fost dovedit de De Giorgi pentru toate seturile de perimetru finit.

Problema lui Dido

Problema Dido este o problemă geometrică clasică a izoperimetriei.

Același subiect în detaliu: problema lui Dido .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Isoperimetrie

linkuri externe

Treiberg: Mai multe dovezi ale inegalității izoperimetrice ( PDF ), su math.utah.edu .
Teorema izoperimetrică , la cut-the-knot.org .
Di Meglio, G. (2010) The Classical Isoperimetric Problem: History and Myth , Matematici.it Magazine n. 13, pp. 15-21.
Fusco: Problema clasică isoperimetrică , pe docenti.unina.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy