Integrală Henstock-Kurzweil

În analiza matematică , integralul Henstock-Kurzweil este o posibilă definiție a unei integrale pentru o funcție a unei variabile reale . Conceptul a fost introdus independent de Ralph Henstock și Jaroslaw Kurzweil începând cu 1957 .

Este, de asemenea, cunoscut ca o integrală de ecartament sau ca o integrală Riemann generalizată , deoarece definiția sa este reportată ca o generalizare a celei a integralei Riemann .

Introducere istorică

Chiar și după definiția integrală a lui Lebesgue , a fost imposibil să se afirme validitatea generală a celei de-a doua teoreme fundamentale a calculului integral : au rămas, de fapt, unele funcții care posedau primitive, dar care nu erau integrabile, chiar și la intervale limitate de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ; acest lucru se referea în mod evident la funcții cu un comportament destul de "patologic", cum ar fi o funcție care are o asimptotă verticală într-un punct. Problema nu a fost neglijabilă pentru implicațiile sale în studiul ecuațiilor diferențiale .

Primul care s-a interesat de această întrebare a fost Arnaud Denjoy , care în 1912 a reușit să ofere o definiție a integralului care să îndeplinească pe deplin această cerință, adică astfel încât următoarea afirmație să fie adevărată:

Dacă o funcție

f\colon [a,b]\to \mathbb {R}

${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ este diferențiat, atunci derivata sa este integrabilă și se menține

\int _{a}^{b}\!f'(x)\,\mathrm {d} x=f(b)-f(a).

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! f '(x) \, \ mathrm {d} x = f (b) -f (a).}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! f '(x) \, \ mathrm {d} x = f (b) -f (a).}

De fapt, acest rezultat generalizează teoremele corespunzătoare cu privire la Riemann și Lebesgue deoarece integrabilitatea derivatei este o teză, nu o ipoteză. Cu toate acestea, definiția sa a fost deosebit de complicată, deoarece a folosit noțiunea de inducție transfinită pentru a gestiona singularitățile care au intrat în joc.

Doar doi ani mai târziu, Oskar Perron a dat o altă definiție care a rezolvat și problema „integrabilității derivaților”. Integrala sa a fost dată în termeni de funcții majore și minore, cu un limbaj extrem de diferit de cel al lui Denjoy, totuși s-a demonstrat că cele două definiții sunt echivalente: fiecare funcție integrabilă Denjoy este integrabilă Perron cu aceeași valoare ca integrala si invers.

În cele din urmă, în anii 1950 , britanicul Ralph Henstock și cehul Jaroslaw Kurzweil au dat independent o nouă definiție a integralului, care exploatează o ușoară generalizare a definiției lui Riemann. Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu cea a lui Denjoy, dar este formulată într-un mod care este în mod clar mai familiar și mai ușor de înțeles decât celelalte.

Definiție

Definiția originală este dată pentru funcții $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ definit pe intervale compacte cu valori reale . Ca și în cazul integralei Riemann, lucrăm cu partiții ale intervalului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Spre deosebire de acesta din urmă, însă, alegerea punctelor din interiorul fiecărui sub-interval al partiției nu este arbitrară, ci trebuie să satisfacă o altă ipoteză de regularitate. De fapt, numai partițiile vor fi admisibile pentru a forma o sumă Riemann $\{I_{j}\}$ ${\ displaystyle \ {I_ {j} \}}$ ${\ displaystyle \ {I_ {j} \}}$ asta, împreună cu o serie de puncte de alegere $t_{j}\in I_{j}$ ${\ displaystyle t_ {j} \ în I_ {j}}$ ${\ displaystyle t_ {j} \ în I_ {j}}$ , îndeplinește un criteriu numit di $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate , ^[1] care este menționată ca

I_{j}\subset (t_{j}-\delta (t_{j}),t_{j}+\delta (t_{j})),

{\ displaystyle I_ {j} \ subset (t_ {j} - \ delta (t_ {j}), t_ {j} + \ delta (t_ {j})),}

{\ displaystyle I_ {j} \ subset (t_ {j} - \ delta (t_ {j}), t_ {j} + \ delta (t_ {j})),}

unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este o funcție strict pozitivă definită pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Cuplul $(\{t_{j}\},\{I_{j}\})$ ${\ displaystyle (\ {t_ {j} \}, \ {I_ {j} \})}$ ${\ displaystyle (\ {t_ {j} \}, \ {I_ {j} \})}$ puncte de alegere-sub-intervale o partiție punctată este apelată de dragul conciziei $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - sfârșit și funcție $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ un gabarit .

În acest moment se poate spune că:

Functia

f\colon [a,b]\to \mathbb {R}

${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ are integralul Henstock-Kurzweil egal cu valoarea

LA

${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă pentru fiecare

\varepsilon >0

${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există o funcție de măsurare

\delta

${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ astfel încât fiecare partiție indicată de

[a,b]

${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$

\delta

${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -fine satisfac

\left|\sum _{j=1}^{n}(f(t_{j})\cdot |I_{j}|)-A\right|<\varepsilon .

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = 1} ^ {n} (f (t_ {j}) \ cdot | I_ {j} |) -A \ right | <\ varepsilon.}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = 1} ^ {n} (f (t_ {j}) \ cdot | I_ {j} |) -A \ right | <\ varepsilon.}

Primul termen al inegalității de mai sus este exact suma Riemann a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ referitoare la puncte $t_{j}$ ${\ displaystyle t_ {j}}$ ${\ displaystyle t_ {j}}$ iar la intervale $I_{j}$ ${\ displaystyle I_ {j}}$ $I_ {j}$ ( $|I_{j}|$ ${\ displaystyle | I_ {j} |}$ ${\ displaystyle | I_ {j} |}$ reprezintă măsura intervalului $I_{j}$ ${\ displaystyle I_ {j}}$ $I_ {j}$ ). Observăm de fapt că această definiție este aproape aceeași cu cea a lui Riemann; diferențele se limitează la substituirea unei constante $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ pozitiv cu o funcție pozitivă și condiția „ plasă mai mică decât $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ "cu cea a" $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate ".

Această generalizare, care ar putea părea ușoară, este de fapt fundamentală, deoarece corespunde ideii de a putea defini un $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ pentru fiecare punct al $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și deci la posibilitatea unei aproximări mai bune a comportamentului funcției, în zone în care are un comportament mai „patologic” deoarece este foarte oscilator sau pentru că are o asimptotă , prin intermediul partițiilor mai rafinate local.

Observare

Definiția se bazează pe proprietatea $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - finețea unei partiții ascuțite, dar absența totală a ipotezelor despre funcție $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ ar putea ridica îndoieli cu privire la existența partițiilor $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - se termină pentru ecartamentul „bizar”. Din fericire, o lemă datorată lui Pierre Cousin , chiar din secolul anterior și, prin urmare, nu este legată de teoria integrării, asigură că partițiile $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -amenzi există pentru fiecare funcție pozitivă $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Demonstrarea acestui rezultat nu este banală, deoarece implică completitudinea realelor , deci aceasta poate fi caracterizată ca o mică slăbiciune a teoriei.

Proprietate

Așa cum s-a spus în introducere, această teoremă satisface o versiune generală a teoremei fundamentale a calculului : Dacă o funcție este diferențiată , atunci derivata ei este integrabilă și îndeplinește formula fundamentală a calculului. Există, totuși, alte proprietăți interesante pe care le îndeplinește: în primul rând, extinde integrala Riemann, deoarece este ușor de înțeles analizând similaritatea definițiilor. Mult mai puțin simplu, dar poate mai important, este că integralul Henstock-Kurzweil extinde și integralul Lebesgue, asigurând astfel o bază foarte largă de funcții integrabile, care include multe funcții de mare importanță în aplicații.

Mai mult, teoremele monotone și de convergență dominate sunt valabile pentru integrala Lebesgue. Cu toate acestea, o diferență față de aceasta din urmă este că integrabilitatea unei funcții nu implică valoarea valorii sale absolute . De fapt, se întâmplă că, dacă o funcție este integrabilă, modulul său este, de asemenea, integrabil dacă și numai dacă funcția sa integrală este de variație limitată . Din această limitare derivă o latură negativă a teoriei din prima analiză, și anume că spațiul funcțional al funcțiilor integrabile pe un anumit domeniu este într-adevăr un spațiu vector , dar nu s-a găsit nicio normă care să-l facă al lui Banach . Utilizat în special pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ se dovedește a fi norma Alexiewicz

\sup \left\{\left|\int _{a}^{x}f\right|,a<x\leq b\right\}.

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\ left | \ int _ {a} ^ {x} f \ right |, a <x \ leq b \ right \}.}

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\ left | \ int _ {a} ^ {x} f \ right |, a <x \ leq b \ right \}.}

Această funcție satisface proprietățile unei norme atunci când două funcții egale sunt identificate aproape peste tot (altfel este o seminormă ), ca în teoria lui Lebesgue.

Integrare pe intervale nelimitate

Construcția lui Henstock și Kurzweil rezolvă, de asemenea, o altă latură negativă a integralei Riemann, și anume problema integrării necorespunzătoare : de fapt, oferind o definiție adecvată a gabaritului pe un interval nelimitat, apare următorul rezultat:

De sine

f\colon [a,+\infty ]\to \mathbb {R}

${\ displaystyle f \ colon [a, + \ infty] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, + \ infty] \ to \ mathbb {R}}$ poate fi integrat pe orice interval limitat

[a,c]

${\ displaystyle [a, c]}$ $[B.C]$ , atunci poate fi integrat în orice

[a,+\infty ]

${\ displaystyle [a, + \ infty]}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty]}$ dacă și numai dacă există limita

\lim _{c\to +\infty }\int _{a}^{c}f

${\ displaystyle \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f}$ ${\ displaystyle \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f}$ . În acest caz, se aplică egalitatea

\int _{a}^{+\infty }f=\lim _{c\to +\infty }\int _{a}^{c}f.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f = \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f = \ lim _ {c \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f.}

Trebuie subliniat faptul că formula anterioară, care a fost o definiție în integrala Riemann, este o teză în această teorie. Această teoremă (care poate fi adaptată și pentru celălalt tip de integrală necorespunzătoare) se datorează lui Heinrich Hake .

Notă

^ Termenul englez , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate , ar putea fi tradusă în italiană pur și simplu cu $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate, dar această versiune hibridă a „finitudinii” a prins, care nu are nicio legătură cu acest concept.

Bibliografie

R. Henstock, Teoria integrării , Butterworths, Londra, 1963.
R. Henstock, Integrarea în spațiile produselor, inclusiv integrarea Wiener și Feynman , Proc. London Math. Soc., 27 (1973), 317-344.
R. Henstock, Prelegeri despre teoria integrării , World Scientific Publications, Singapore, 1988.
J. Kurzweil, Ecuații diferențiale ordinare generalizate și dependență continuă de un parametru , cehă. Matematica. J. 82 (1957), 418-449.
P. Muldowney, O teorie generală a integrării în spații funcționale , Pitman Research Notes in Mathematics 53, Longmans, 1987.
P. Muldowney, Subiecte de probabilitate folosind integrarea Riemann generalizată , Math. Proc. R. Ir. Acad., 99A (1999) (1), 39-50.
CW Swartz, Introduction to Gauge Integrals , World Scientific Publications, Singapore, 2001.
R. Gordon, Integralele din Lebesgue, Denjoy, Perron și Henstock , Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 1994.
RG Bartle, O teorie modernă a integrării , Grad. Stud. Math., Vol. 32, Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 2001.

Elemente conexe

linkuri externe

http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/letter/ Scrisoare deschisă către editorii de manuale pentru a adopta integralul Henstock-Kurzweil în locul integratului Riemann în cursurile introductive, semnat de diferiți reprezentanți ai cercetării în teren, inclusiv Henstock însuși

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Termenul englez , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate , ar putea fi tradusă în italiană pur și simplu cu $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -finitate, dar această versiune hibridă a „finitudinii” a prins, care nu are nicio legătură cu acest concept.

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy