Pe măsură ce gradul seriei trunchiate Taylor crește, se apropie de funcția dată ( teorema lui Bernstein ). Această figură arată sin (x) și aproximările lui Taylor, polinoame de gradul 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 și 13 .
Funcția sinusoidală aproximativă cu o serie Taylor de gradul 7.
În analiza matematică , seria Taylor a unei funcții într-un punct este reprezentarea funcției ca o serie de termeni calculați din derivatele funcției în sine la punct.
Seria Taylor poartă numele matematicianului englez Brook Taylor, care a publicat câteva studii despre seria power în 1715 . Există de fapt unele precedente istorice: unele cazuri particulare ale acestor serii au fost probabil dezvoltate în secolul al XV-lea de Madhava din Sangamagramma ; opera sa, care poate fi urmărită până la așa-numita școală Kerala , a fost pierdută și ipoteza se bazează pe reconstrucții istorice. Gregory, pe de altă parte, a publicat cu siguranță diverse serii Maclaurin atunci când Taylor nu era încă născut, deși se pare că acesta din urmă nu știa de ele când și-a publicat rezultatele.
Aici {\ displaystyle n!} denotă factorialul de {\ displaystyle n} Și {\ displaystyle f ^ {(n)} (x_ {0})} denotă {\ displaystyle n} -al derivat al {\ displaystyle f} evaluat la punctul {\ displaystyle x_ {0}} . De sine {\ displaystyle x_ {0} = 0} , seria este numită și seria Maclaurin .
Proprietate
Dacă seria Taylor a funcției {\ displaystyle f (x)} converge pentru fiecare {\ displaystyle x} în interval {\ displaystyle (x_ {0} -r, x_ {0} + r)} iar dacă suma sa este egală cu {\ displaystyle f (x)} , această funcție se numește funcție analitică . Pentru a verifica dacă seria converge spre {\ displaystyle f (x)} , este utilizat în mod normal pentru a face estimări ale termenului rămas care apare în teorema lui Taylor . O funcție este analitică dacă și numai dacă poate fi reprezentată printr-o serie de puteri ; coeficienții unei astfel de serii de putere coincid în mod necesar cu cei care apar în formula anterioară pentru seria Taylor.
Consecințele practice ale dezvoltării seriei de putere ale lui Taylor, în cazul în care funcția este analitică, sunt multiple.
Diferențierea și integrarea seriilor de putere se poate face de la un termen la altul și tinde să fie destul de ușoară.
O funcție analitică poate fi extinsă în mod unic la o funcție holomorfă definită pe un disc deschis în planul complex și această posibilitate pune la dispoziție toate instrumentele analizei complexe .
Puteți sparge seria, adică luați doar primele {\ displaystyle n} termeni și obțineți un polinom , numit polinomul lui Taylor , care aproximează funcția cu precizia dorită (luați doar {\ displaystyle n}suficient de mare ) într-un cartier al {\ displaystyle x_ {0}} .
Adesea, operațiile algebrice asupra funcțiilor pot fi efectuate mai rapid pe reprezentările lor prin intermediul seriilor de putere; de exemplu, cea mai simplă dovadă a formulei lui Euler se obține din expansiunea seriei Taylor pentru funcțiile exponențiale, sinus și cosinus. Acest rezultat este fundamentul, de exemplu, al analizei armonice .
Funcții non-analitice
Funcția e -1 / x² se extinde în 0 la o funcție diferențiată la infinit, dar nu analitică : seria Taylor are toți coeficienții nuli, în timp ce funcția nu este funcția nulă.
Nu toate funcțiile care pot fi diferențiate la infinit sunt analitice. Adică există funcții {\ displaystyle f (x)} a cărei serie Taylor converge la o altă funcție decât {\ displaystyle f (x)} . De exemplu, funcția definită în bucăți:
{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} e ^ {- 1 / x ^ {2}} și {\ text {se}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}}
are toate derivatele nule în {\ displaystyle x = 0} , deci seria lui Taylor este seria nulă din {\ displaystyle x_ {0} = 0} iar raza sa de convergență este infinită, dar funcția este diferită de funcția nulă.
Această situație „patologică” specială nu apare în funcțiile holomorfe , adică în funcțiile care pot fi diferențiate într-un mediu complex. În exemplul specific, funcția exp (-1 / z ²) nu poate fi extinsă prin holomorfie în originea câmpului complex.
În lumea reală există și situații mult mai „patologice” decât cea din exemplul anterior. Funcția definită de serie
{\ displaystyle f (x) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {e ^ {- n} \ cos \ left ({n ^ {2} x} \ right)},}
este elegant {\ displaystyle C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} \ right)} , dar seria lui Taylor se dovedește a fi divergentă în fiecare moment {\ displaystyle x_ {0}} diferit de .
Criterii analitice
Există teoreme care constituie condiții suficiente pentru o funcție reală a variabilei reale și a clasei {\ displaystyle C ^ {\ infty}} fii analitic.
O condiție suficientă pentru a se asigura că o clasă funcționează {\ displaystyle C ^ {\ infty}} reprezentată local prin seria sa Taylor este următoarea: dacă există {\ displaystyle k> 0} Și {\ displaystyle M> 0} astfel încât, pentru fiecare {\ displaystyle n} întreg non-negativ are
{\ displaystyle | f ^ {(n)} (x) | \ leq kM ^ {n} \; \; \; \; \ forall x \ in (-r, r)}
asa de
{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n}}
Un caz special al teoremei este atunci când {\ displaystyle M = 1} adică atunci când funcția și toate derivatele sale sunt echilimitate pe {\ displaystyle (-r, r)} .
Seria Laurent este o generalizare a seriei Taylor, care conține termeni {\ displaystyle x ^ {n}} tot cu exponent {\ displaystyle n} negativ. Această serie este deosebit de utilă în analiza complexă, deoarece modelează o funcție holomorfă în jurul unui punct în care nu este definită (adică o singularitate ). Cu toate acestea, seria poate fi folosită și într-un context real, de exemplu pentru a reprezenta funcția f ( x ) = exp (-1 / x ²) în jurul originii.
Teorema lui Taylor face posibilă aproximarea unei funcții prin intermediul unui polinom: cu cât este mai mare gradul polinomului, cu atât este mai bună aproximarea obținută. În termeni mai riguroși, eroarea făcută prin aproximarea unei funcții cu polinomul său Taylor este un infinitesimal de ordine mai mare decât gradul polinomului în sine.
Seria Taylor în mai multe variabile
O dezvoltare Taylor care poate fi considerată o generalizare a celei anterioare poate fi aplicată și funcțiilor mai multor variabile reale sau complexe:
unde este {\ displaystyle \ nabla f (\ mathbf {a})} denotă gradientul funcției și {\ displaystyle Hf (\ mathbf {a})}matricea sa hesiană . Folosind notația multi-index, se scrie seria Taylor pentru mai multe variabile
Funcție exponențială aproximativă cu o secvență Maclaurin
Rezultatul obținut printr-o expansiune Taylor este deci o aproximare a unei funcții, în jurul unui punct {\ displaystyle x_ {0}} cu {\ displaystyle x_ {0}}număr real sau număr complex .
O dezvoltare Taylor în care {\ displaystyle x_ {0}} este egal cu este definită dezvoltarea Maclaurin . Polinomul rezultat este aproximarea ordinii {\ displaystyle n} din {\ displaystyle f (x)} în jurul
{\ displaystyle f (x) = f (0) + f ^ {(1)} (0) x + {{f ^ {(2)} (0)} \ over {2!}} x ^ {2} + {{f ^ {(3)} (0)} \ over {3!}} x ^ {3} + \ cdots + {{f ^ {(n)} (0)} \ over {n!}} x ^ {n} + R_ {n} (x)} .
Următoarele sunt câteva evoluții importante din seria lui Maclaurin. Toate aceste evoluții sunt valabile și pentru subiecte {\ displaystyle x} complex. În unele cazuri, există și convergență în unele puncte ale marginii discului indicat.
{\ displaystyle W_ {0} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} x ^ {n} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <{\ frac {1} {e}}}
Numerele {\ displaystyle B_ {k}} apărând în evoluțiile din {\ displaystyle \ tan (x)} Și {\ displaystyle \ tanh (x)} sunt numerele Bernoulli . Dezvoltarea binomială utilizează coeficienți binomiali . The {\ displaystyle E_ {k}} în dezvoltarea {\ displaystyle \ sec (x)} sunt numerele lui Euler . Simbolul {\ displaystyle n !!} în dezvoltarea binomială indică semifactorialul .
Calcule ale seriei Taylor
Multe metode au fost dezvoltate pentru calcularea seriilor Taylor pentru numeroasele funcții analitice utilizate în matematică și aplicațiile sale. O modalitate este de a utiliza seria Taylor prin definiția sa și de a generaliza forma coeficienților. Un altul procedează la efectuarea manipulărilor formale, cum ar fi substituirea, multiplicarea sau divizarea, adunarea sau scăderea seriilor cunoscute ale lui Taylor pentru a construi seria Taylor de noi funcții, exploatând posibilitățile de manipulare a seriei de putere; în acest context poate fi util să se facă referire la rezultatele referitoare la serii hipergeometrice , polinoame ortogonale și calculul umbral . În unele cazuri, este posibil să se derive seriile Taylor aplicând în mod repetat integrarea pe părți .
De asemenea, trebuie remarcat faptul că instrumentele de astăzi pentru calculul simbolic automat pot fi foarte utile pentru a efectua multe dintre aceste calcule.
Prezentăm acum două exemple de calcule manuale. Să găsim seria Taylor centrată la 0 din funcție
{\ displaystyle f (x) = \ ln {(1+ \ sin {x})}.}
Începe de la considerația că
{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} = x - {x ^ {2} \ over 2} + {x ^ {3} \ over 3} - {x ^ {4} \ over 4} + \ cdots \ quad {\ mbox {per}} \ left | x \ dreapta | <1}
{\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} = x- {x ^ {3} \ peste 3!} + {x ^ {5} \ peste 5!} - \ cdots}
Acum puteți pur și simplu înlocui a doua serie din prima obținând
{\ displaystyle \ left (x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots \ right) - {1 \ over 2} \ left (x- { x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots \ right) ^ {2} + {1 \ over 3} \ left (x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots \ right) ^ {3} - {1 \ over 4} \ left (x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ peste 5!} - \ cdots \ right) ^ {4} + \ cdots}
Dezvoltând un număr adecvat de puteri prin intermediul coeficienților multinomiali obținem primii termeni din seria Taylor necesară:
{\ displaystyle f (x) = x - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {6}} x ^ {3} + \ ldots}
Ca al doilea exemplu, considerăm funcția
{\ displaystyle g (x) = {xe ^ {x} \ over \ sin {x}},}
{\ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots}
{\ displaystyle \ sin {x} = x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots}
În consecință
{\ displaystyle {x \, e ^ {x} \ over \ sin {x}} = {1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots \ over 1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots}.}
Scriem seria de putere necesară în formular
{\ displaystyle c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + \ cdots = {1+ x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots \ over 1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots}.}
Pentru acești coeficienți se găsește
{\ displaystyle 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots =}
{\ displaystyle = \ left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + \ cdots \ right) \ left (1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots \ right)}
{\ displaystyle = c_ {0} - {c_ {0} \ over 3!} x ^ {2} + {c_ {0} \ over 5!} x ^ {4} + c_ {1} x- {c_ { 1} \ over 3!} X ^ {3} + {c_ {1} \ over 5!} X ^ {5} + c_ {2} x ^ {2} - {c_ {2} \ over 3!} X ^ {4} + {c_ {2} \ peste 5!} X ^ {6} + c_ {3} x ^ {3} - {c_ {3} \ peste 3!} X ^ {5} + c_ {4 } x ^ {4} + \ cdots}
{\ displaystyle = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} - {c_ {0} \ over 3!} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} - {c_ {1} \ over 3!} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} - {c_ {2} \ over 3!} x ^ {4} + {c_ {0} \ over 5!} X ^ {4} + \ cdots}
In concluzie
{\ displaystyle 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots =}
{\ displaystyle = c_ {0} + c_ {1} x + \ left (c_ {2} - {c_ {0} \ over 3!} \ right) x ^ {2} + \ left (c_ {3} - {c_ {1} \ over 3!} \ right) x ^ {3} + \ left (c_ {4} - {c_ {2} \ over 3!} + {c_ {0} \ over 5!} \ right ) x ^ {4} + \ cdots}
iar din comparația coeficienților puterilor succesive obținem un sistem infinit de extensibil de ecuații liniare care evident permite identificarea seriei funcției propuse.