Seria Taylor

Pe măsură ce gradul seriei trunchiate Taylor crește, se apropie de funcția dată ( teorema lui Bernstein ). Această figură arată sin (x) și aproximările lui Taylor, polinoame de gradul 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 și 13 .

Funcția sinusoidală aproximativă cu o serie Taylor de gradul 7.

În analiza matematică , seria Taylor a unei funcții într-un punct este reprezentarea funcției ca o serie de termeni calculați din derivatele funcției în sine la punct.

Istorie

Seria Taylor poartă numele matematicianului englez Brook Taylor, care a publicat câteva studii despre seria power în 1715 . Există de fapt unele precedente istorice: unele cazuri particulare ale acestor serii au fost probabil dezvoltate în secolul al XV-lea de Madhava din Sangamagramma ; opera sa, care poate fi urmărită până la așa-numita școală Kerala , a fost pierdută și ipoteza se bazează pe reconstrucții istorice. Gregory, pe de altă parte, a publicat cu siguranță diverse serii Maclaurin atunci când Taylor nu era încă născut, deși se pare că acesta din urmă nu știa de ele când și-a publicat rezultatele.

Definiție

Seria Taylor a unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ definit într-un interval deschis $(x_{0}-r,x_{0}+r)$ ${\ displaystyle (x_ {0} -r, x_ {0} + r)}$ ${\ displaystyle (x_ {0} -r, x_ {0} + r)}$ valorile în timp real sau complex și infinit diferențiate sunt seria de putere

f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})^{1}+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+{\frac {f'''(x_{0})}{3!}}(x-x_{0})^{3}+\cdots ,

{\ displaystyle f (x_ {0}) + {\ frac {f '(x_ {0})} {1!}} (x-x_ {0}) ^ {1} + {\ frac {f' '( x_ {0})} {2!}} (x-x_ {0}) ^ {2} + {\ frac {f '' '(x_ {0})} {3!}} (x-x_ {0 }) ^ {3} + \ cdots,}

{\ displaystyle f (x_ {0}) + {\ frac {f '(x_ {0})} {1!}} (x-x_ {0}) ^ {1} + {\ frac {f' '( x_ {0})} {2!}} (x-x_ {0}) ^ {2} + {\ frac {f '' '(x_ {0})} {3!}} (x-x_ {0 }) ^ {3} + \ cdots,}

care poate fi scris mai compact ca

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n }.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n }.}

Aici $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ denotă factorialul de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $f^{(n)}(x_{0})$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x_ {0})}$ denotă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -al derivat al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ evaluat la punctul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . De sine $x_{0}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ $x_ {0} = 0$ , seria este numită și seria Maclaurin .

Proprietate

Dacă seria Taylor a funcției $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ converge pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în interval $(x_{0}-r,x_{0}+r)$ ${\ displaystyle (x_ {0} -r, x_ {0} + r)}$ ${\ displaystyle (x_ {0} -r, x_ {0} + r)}$ iar dacă suma sa este egală cu $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , această funcție se numește funcție analitică . Pentru a verifica dacă seria converge spre $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , este utilizat în mod normal pentru a face estimări ale termenului rămas care apare în teorema lui Taylor . O funcție este analitică dacă și numai dacă poate fi reprezentată printr-o serie de puteri ; coeficienții unei astfel de serii de putere coincid în mod necesar cu cei care apar în formula anterioară pentru seria Taylor.

Consecințele practice ale dezvoltării seriei de putere ale lui Taylor, în cazul în care funcția este analitică, sunt multiple.

Diferențierea și integrarea seriilor de putere se poate face de la un termen la altul și tinde să fie destul de ușoară.
O funcție analitică poate fi extinsă în mod unic la o funcție holomorfă definită pe un disc deschis în planul complex și această posibilitate pune la dispoziție toate instrumentele analizei complexe .
Puteți sparge seria, adică luați doar primele $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termeni și obțineți un polinom , numit polinomul lui Taylor , care aproximează funcția cu precizia dorită (luați doar $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ suficient de mare ) într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .
Adesea, operațiile algebrice asupra funcțiilor pot fi efectuate mai rapid pe reprezentările lor prin intermediul seriilor de putere; de exemplu, cea mai simplă dovadă a formulei lui Euler se obține din expansiunea seriei Taylor pentru funcțiile exponențiale, sinus și cosinus. Acest rezultat este fundamentul, de exemplu, al analizei armonice .

Funcții non-analitice

Funcția e ^{-1 / x²} se extinde în 0 la o funcție diferențiată la infinit, dar nu analitică : seria Taylor are toți coeficienții nuli, în timp ce funcția nu este funcția nulă.

Nu toate funcțiile care pot fi diferențiate la infinit sunt analitice. Adică există funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ a cărei serie Taylor converge la o altă funcție decât $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . De exemplu, funcția definită în bucăți:

f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{se }}x\neq 0\\0&{\text{se }}x=0\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} e ^ {- 1 / x ^ {2}} și {\ text {se}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} e ^ {- 1 / x ^ {2}} și {\ text {se}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {se}} x = 0 \ end {cases}}}

are toate derivatele nule în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , deci seria lui Taylor este seria nulă din $x_{0}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ iar raza sa de convergență este infinită, dar funcția este diferită de funcția nulă.

Această situație „patologică” specială nu apare în funcțiile holomorfe , adică în funcțiile care pot fi diferențiate într-un mediu complex. În exemplul specific, funcția exp (-1 / z ²) nu poate fi extinsă de holomorfie în originea câmpului complex.

În lumea reală există și situații mult mai „patologice” decât cea din exemplul anterior. Funcția definită de serie

f(x)=\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{e^{-n}\cos \left({n^{2}x}\right)},

{\ displaystyle f (x) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {e ^ {- n} \ cos \ left ({n ^ {2} x} \ right)},}

{\ displaystyle f (x) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {e ^ {- n} \ cos \ left ({n ^ {2} x} \ right)},}

este elegant $C^{\infty }\left(\mathbb {R} \right)$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} \ right)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} \ right)}$ , dar seria lui Taylor se dovedește a fi divergentă în fiecare moment $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ diferit de .

Criterii analitice

Există teoreme care constituie condiții suficiente pentru o funcție reală a variabilei reale și a clasei $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ fii analitic.

O condiție suficientă pentru a se asigura că o clasă funcționează $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ este reprezentată local de seria sa Taylor este următoarea: dacă există $k>0$ ${\ displaystyle k> 0}$ $k> 0$ Și $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ astfel încât, pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ număr întreg negativ are

|f^{(n)}(x)|\leq kM^{n}\;\;\;\;\forall x\in (-r,r)

{\ displaystyle | f ^ {(n)} (x) | \ leq kM ^ {n} \; \; \; \; \ forall x \ in (-r, r)}

| f ^ {(n)} (x) | \ leq kM ^ n \; \; \; \; \ forall x \ in (-r, r)

asa de

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n}}

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n

Un caz special al teoremei este atunci când $M=1$ ${\ displaystyle M = 1}$ $M = 1$ adică atunci când funcția și toate derivatele sale sunt echilimitate pe $(-r,r)$ ${\ displaystyle (-r, r)}$ $(-r, r)$ .

Seria Laurent

Același subiect în detaliu: seria Laurent .

Seria Laurent este o generalizare a seriei Taylor, care conține termeni $x^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ $x ^ n$ tot cu exponent $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ negativ. Această serie este deosebit de utilă în analiza complexă, deoarece modelează o funcție holomorfă în jurul unui punct în care nu este definită (adică o singularitate ). Cu toate acestea, seria poate fi utilizată și într-un context real, de exemplu pentru a reprezenta funcția f ( x ) = exp (-1 / x ²) în jurul originii.

Teorema lui Taylor

Același subiect în detaliu: teorema lui Taylor .

Teorema lui Taylor face posibilă aproximarea unei funcții prin intermediul unui polinom: cu cât este mai mare gradul polinomului, cu atât este mai bună aproximarea obținută. În termeni mai riguroși, eroarea făcută prin aproximarea unei funcții cu polinomul său Taylor este un infinitesimal de ordine mai mare decât gradul polinomului în sine.

Seria Taylor în mai multe variabile

O dezvoltare Taylor care poate fi considerată o generalizare a celei anterioare poate fi aplicată și funcțiilor mai multor variabile reale sau complexe:

T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).

{\ displaystyle T (x_ {1}, \ cdots, x_ {d}) = \ sum _ {n_ {1} = 0} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {n_ {d} = 0} ^ { \ infty} {\ frac {(x_ {1} -a_ {1}) ^ {n_ {1}} \ cdots (x_ {d} -a_ {d}) ^ {n_ {d}}} {n_ {1 }! \ cdots n_ {d}!}} \, \ left ({\ frac {\ partial ^ {n_ {1} + \ cdots + n_ {d}} f} {\ partial x_ {1} ^ {n_ { 1}} \ cdots \ partial x_ {d} ^ {n_ {d}}}} \ right) (a_ {1}, \ dots, a_ {d}).}

{\ displaystyle T (x_ {1}, \ cdots, x_ {d}) = \ sum _ {n_ {1} = 0} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {n_ {d} = 0} ^ { \ infty} {\ frac {(x_ {1} -a_ {1}) ^ {n_ {1}} \ cdots (x_ {d} -a_ {d}) ^ {n_ {d}}} {n_ {1 }! \ cdots n_ {d}!}} \, \ left ({\ frac {\ partial ^ {n_ {1} + \ cdots + n_ {d}} f} {\ partial x_ {1} ^ {n_ { 1}} \ cdots \ partial x_ {d} ^ {n_ {d}}}} \ right) (a_ {1}, \ dots, a_ {d}).}

Sau, rearanjând termenii într-o formă care evidențiază gradul fiecăruia:

T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{n_{1}+\cdots +n_{d}=N}{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{N}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).

{\ displaystyle T (x_ {1}, \ cdots, x_ {d}) = \ sum _ {N = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {n_ {1} + \ cdots + n_ {d} = N } {\ frac {(x_ {1} -a_ {1}) ^ {n_ {1}} \ cdots (x_ {d} -a_ {d}) ^ {n_ {d}}} {n_ {1}! \ cdots n_ {d}!}} \, \ left ({\ frac {\ partial ^ {N} f} {\ partial x_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdots \ partial x_ {d} ^ { n_ {d}}}} \ right) (a_ {1}, \ dots, a_ {d}).}

{\ displaystyle T (x_ {1}, \ cdots, x_ {d}) = \ sum _ {N = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {n_ {1} + \ cdots + n_ {d} = N } {\ frac {(x_ {1} -a_ {1}) ^ {n_ {1}} \ cdots (x_ {d} -a_ {d}) ^ {n_ {d}}} {n_ {1}! \ cdots n_ {d}!}} \, \ left ({\ frac {\ partial ^ {N} f} {\ partial x_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdots \ partial x_ {d} ^ { n_ {d}}}} \ right) (a_ {1}, \ dots, a_ {d}).}

Extinderea Taylor trunchiată la ordinea a doua pentru o funcție cu valoare scalară în mai multe variabile poate fi scrisă în următoarea formă compactă

T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}(Hf(\mathbf {a} ))(\mathbf {x} -\mathbf {a} ),

{\ displaystyle T (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {a}) + \ nabla f (\ mathbf {a}) ^ {T} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) + { \ frac {1} {2}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {T} (Hf (\ mathbf {a})) (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}), }

{\ displaystyle T (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {a}) + \ nabla f (\ mathbf {a}) ^ {T} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) + { \ frac {1} {2}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {T} (Hf (\ mathbf {a})) (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}), }

unde este $\nabla f(\mathbf {a} )$ ${\ displaystyle \ nabla f (\ mathbf {a})}$ $\ nabla f (\ mathbf {a})$ denotă gradientul funcției și $Hf(\mathbf {a} )$ ${\ displaystyle Hf (\ mathbf {a})}$ $H f (\ mathbf {a})$ matricea sa hesiană . Folosind notația multi-index, se scrie seria Taylor pentru mai multe variabile

T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {\mathrm {D} ^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}

{\ displaystyle T (\ mathbf {x}) = \ sum _ {| \ alpha | \ geq 0} ^ {} {{\ frac {\ mathrm {D} ^ {\ alpha} f (\ mathbf {a}) } {\ alpha!}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha}}}

{\ displaystyle T (\ mathbf {x}) = \ sum _ {| \ alpha | \ geq 0} ^ {} {{\ frac {\ mathrm {D} ^ {\ alpha} f (\ mathbf {a}) } {\ alpha!}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha}}}

în analogie completă cu cazul variabilei unice.

Seria Maclaurin

Funcție exponențială aproximativă cu o secvență Maclaurin

Rezultatul obținut printr-o expansiune Taylor este, prin urmare, o aproximare a unei funcții, în jurul unui punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ cu $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ număr real sau număr complex .

O dezvoltare Taylor în care $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este egal cu este definită dezvoltarea Maclaurin . Polinomul rezultat este aproximarea ordinii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în jurul

f(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+{{f^{(2)}(0)} \over {2!}}x^{2}+{{f^{(3)}(0)} \over {3!}}x^{3}+\cdots +{{f^{(n)}(0)} \over {n!}}x^{n}+R_{n}(x)

{\ displaystyle f (x) = f (0) + f ^ {(1)} (0) x + {{f ^ {(2)} (0)} \ over {2!}} x ^ {2} + {{f ^ {(3)} (0)} \ over {3!}} x ^ {3} + \ cdots + {{f ^ {(n)} (0)} \ over {n!}} x ^ {n} + R_ {n} (x)}

{\ displaystyle f (x) = f (0) + f ^ {(1)} (0) x + {{f ^ {(2)} (0)} \ over {2!}} x ^ {2} + {{f ^ {(3)} (0)} \ over {3!}} x ^ {3} + \ cdots + {{f ^ {(n)} (0)} \ over {n!}} x ^ {n} + R_ {n} (x)}

.

Următoarele sunt câteva evoluții importante din seria lui Maclaurin. Toate aceste evoluții sunt valabile și pentru subiecte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ complex. În unele cazuri, există și convergență în unele puncte ale marginii discului indicat.

Funcția exponențială și logaritmul natural :

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\text{ per ogni }}x

{\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} \ quad {\ text {pentru fiecare}} x}

{\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} \ quad {\ text {pentru fiecare}} x}

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<1

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} x ^ {n} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <1}

\ ln (1 + x) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {{n-1}}} n} x ^ {n} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <1

Serii geometrice :

{\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<1

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {m}} {1-x}} = \ sum _ {n = m} ^ {\ infty} x ^ {n} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ dreapta | <1}

\ frac {x ^ m} {1-x} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = m} x ^ n \ quad \ text {for} \ left | x \ right | <1

Dezvoltare binomială :

(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha  \choose n}x^{n}\quad {\text{ per ogni }}\left|x\right|<1\quad {\text{ e ogni numero complesso }}\alpha

{\ displaystyle (1 + x) ^ {\ alpha} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ alpha \ alege n} x ^ {n} \ quad {\ text {pentru fiecare}} \ left | x \ right | <1 \ quad {\ text {și orice număr complex}} \ alpha}

(1 + x) ^ \ alpha = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} {\ alpha \ alege n} x ^ n \ quad \ text {pentru fiecare} \ left | x \ right | <1 \ quad \ text {și orice număr complex} \ alfa

unde factorul ${\alpha \choose n}$ ${\ displaystyle {\ alpha \ choose n}}$ ${\ alpha \ alege n}$ reprezintă coeficientul binomial .

Cazuri speciale :

{\sqrt {1+x}}=1+\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k-1)!!}{(2k+2)!!}}x^{k+1}=1+\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+k)}{2{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({2+k})}}x^{k+1}

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = 1+ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {(2k-1) !!} {( 2k + 2) !!}} x ^ {k + 1} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ Gamma ({\ frac { 1} {2}} + k)} {2 {\ sqrt {\ pi}} \, \ Gamma ({2 + k})}} x ^ {k + 1}}

\ sqrt {1 + x} = 1 + \ sum_ {k = 0} ^ \ infty (-1) ^ k \ frac {(2k-1) !!} {(2k + 2) !!} x ^ {k +1} = 1 + \ sum_ {k = 0} ^ \ infty (-1) ^ k \ frac {\ Gamma (\ frac {1} {2} + k)} {2 \ sqrt {\ pi} \, \ Gamma ({2 + k})} x ^ {k + 1}

{\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1+\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k+1)!!}{(2k+2)!!}}x^{k+1}=1+\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}}+k)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({2+k})}}x^{k+1}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x}}} = 1+ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {( 2k + 1) !!} {(2k + 2) !!}} x ^ {k + 1} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {\ Gamma ({\ frac {3} {2}} + k)} {{\ sqrt {\ pi}} \, \ Gamma ({2 + k})}} x ^ {k + 1} }

\ frac {1} {\ sqrt {1 + x}} = 1+ \ sum_ {k = 0} ^ \ infty (-1) ^ {k + 1} \ frac {(2k + 1) !!} {( 2k + 2) !!} x ^ {k + 1} = 1 + \ sum_ {k = 0} ^ \ infty (-1) ^ {k + 1} \ frac {\ Gamma (\ frac {3} {2 } + k)} {\ sqrt {\ pi} \, \ Gamma ({2 + k})} x ^ {k + 1}

Funcții trigonometrice :

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\text{ per ogni }}x

{\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} \ quad {\ text {pentru fiecare}} x}

\ sin x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {(2n + 1)!} x ^ {2n + 1} \ quad \ text {pentru fiecare} X

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\text{ per ogni }}x

{\ displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n} \ quad {\ text {pentru fiecare}} x}

\ cos x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {(2n)!} x ^ {2n} \ quad \ text {pentru fiecare} x

\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ tan x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2n} (- 4) ^ {n} (1-4 ^ {n})} {(2n) !}} x ^ {2n-1} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}}

\ tan x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} (-4) ^ n (1-4 ^ n)} {(2n)!} x ^ {2n-1 } \ quad \ text {for} \ left | x \ right | <\ frac {\ pi} {2}

\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ sec x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} E_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}}

\ sec x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n E_ {2n}} {(2n)!} x ^ {2n} \ quad \ text {per} \ stânga | x \ right | <\ frac {\ pi} {2}

\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<1

{\ displaystyle \ arcsin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <1}

\ arcsin x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(2n)!} {4 ^ n (n!) ^ 2 (2n + 1)} x ^ {2n + 1} \ quad \ text {for} \ left | x \ right | <1

\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<1

{\ displaystyle \ arctan x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} x ^ {2n + 1} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <1}

\ arctan x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} x ^ {2n + 1} \ quad \ text {for} \ left | x \ right | <1

Funcții hiperbolice :

\sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\text{ per ogni }}x

{\ displaystyle \ sinh \ left (x \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} \ quad {\ text {pentru fiecare}} x}

\ sinh \ left (x \ right) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {1} {(2n + 1)!} x ^ {2n + 1} \ quad \ text {pentru fiecare } X

\cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\text{ per ogni }}x

{\ displaystyle \ cosh \ left (x \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n)!}} x ^ {2n} \ quad {\ text { pentru fiecare}} x}

\ cosh \ left (x \ right) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {1} {(2n)!} x ^ {2n} \ quad \ text {for each} x

\tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ tanh \ left (x \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2n} 4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} { (2n)!}} X ^ {2n-1} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}}}

\ tanh \ left (x \ right) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} 4 ^ n (4 ^ n-1)} {(2n)!} x ^ { 2n-1} \ quad \ text {for} \ left | x \ right | <\ frac {\ pi} {2}

\operatorname {arsinh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<1

{\ displaystyle \ operatorname {arsinh} \ left (x \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {4 ^ { n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <1}

\ operatorname {arsinh} \ left (x \ right) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {{2n + 1}} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <1

\operatorname {artanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<1

{\ displaystyle \ operatorname {artanh} \ left (x \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} x ^ {2n + 1} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <1}

\ operatorname {artanh} \ left (x \ right) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {2n + 1}} x ^ {{2n + 1} } \ quad {\ text {for}} \ left | x \ right | <1

Funcția Lambert W :

W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\text{ per }}\left|x\right|<{\frac {1}{e}}

{\ displaystyle W_ {0} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} x ^ {n} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <{\ frac {1} {e}}}

{\ displaystyle W_ {0} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} x ^ {n} \ quad {\ text {per}} \ left | x \ right | <{\ frac {1} {e}}}

Numerele $B_{k}$ ${\ displaystyle B_ {k}}$ $B_ {k}$ apărând în evoluțiile din $\tan(x)$ ${\ displaystyle \ tan (x)}$ $\ tan (x)$ Și $\tanh(x)$ ${\ displaystyle \ tanh (x)}$ ${\ displaystyle \ tanh (x)}$ sunt numerele Bernoulli . Dezvoltarea binomială utilizează coeficienți binomiali . The $E_{k}$ ${\ displaystyle E_ {k}}$ $E_ {k}$ în dezvoltarea $\sec(x)$ ${\ displaystyle \ sec (x)}$ ${\ displaystyle \ sec (x)}$ sunt numerele lui Euler . Simbolul $n!!$ ${\ displaystyle n !!}$ $n !!$ în dezvoltarea binomială indică semifactorialul .

Calcule ale seriei Taylor

Multe metode au fost dezvoltate pentru calcularea seriilor Taylor pentru numeroasele funcții analitice utilizate în matematică și aplicațiile sale. O modalitate este de a utiliza seria Taylor prin definiția sa și de a generaliza forma coeficienților. Un altul procedează la efectuarea manipulărilor formale, cum ar fi substituirea, multiplicarea sau divizarea, adunarea sau scăderea unor serii cunoscute ale lui Taylor pentru a construi seria Taylor de noi funcții, exploatând posibilitățile de manipulare a seriei de putere; în acest context poate fi util să se facă referire la rezultatele referitoare la serii hipergeometrice , polinoame ortogonale și calculul umbral . În unele cazuri, este posibil să se derive seriile Taylor aplicând în mod repetat integrarea pe părți .

De asemenea, trebuie remarcat faptul că instrumentele de astăzi pentru calculul simbolic automat pot fi foarte utile pentru a efectua multe dintre aceste calcule.

Prezentăm acum două exemple de calcule manuale. Să găsim seria Taylor centrată la 0 din funcție

f(x)=\ln {(1+\sin {x})}.

{\ displaystyle f (x) = \ ln {(1+ \ sin {x})}.}

f (x) = \ ln {(1+ \ sin {x})}.

Începe de la considerația că

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}+\cdots \quad {\mbox{ per }}\left|x\right|<1

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} = x - {x ^ {2} \ over 2} + {x ^ {3} \ over 3} - {x ^ {4} \ over 4} + \ cdots \ quad {\ mbox {per}} \ left | x \ dreapta | <1}

\ ln (1 + x) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} x ^ n = x - {x ^ 2 \ over 2} + {x ^ 3 \ over 3} - {x ^ 4 \ over 4} + \ cdots \ quad \ mbox {per} \ left | x \ right | <1

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots

{\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} = x- {x ^ {3} \ peste 3!} + {x ^ {5} \ peste 5!} - \ cdots}

\ sin x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {(2n + 1)!} x ^ {2n + 1} = x - {x ^ 3 \ peste 3!} + {x ^ 5 \ peste 5!} - \ cdots

Acum puteți pur și simplu înlocui a doua serie din prima obținând

\left(x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots \right)-{1 \over 2}\left(x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots \right)^{2}+{1 \over 3}\left(x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots \right)^{3}-{1 \over 4}\left(x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots \right)^{4}+\cdots

{\ displaystyle \ left (x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots \ right) - {1 \ over 2} \ left (x- { x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots \ right) ^ {2} + {1 \ over 3} \ left (x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots \ right) ^ {3} - {1 \ over 4} \ left (x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ peste 5!} - \ cdots \ right) ^ {4} + \ cdots}

\ left (x - {x ^ 3 \ over 3!} + {x ^ 5 \ over 5!} - \ cdots \ right) - {1 \ over 2} \ left (x - {x ^ 3 \ over 3! } + {x ^ 5 \ over 5!} - \ cdots \ right) ^ 2 + {1 \ over 3} \ left (x - {x ^ 3 \ over 3!} + {x ^ 5 \ over 5!} - \ cdots \ right) ^ 3 - {1 \ over 4} \ left (x - {x ^ 3 \ over 3!} + {x ^ 5 \ over 5!} - \ cdots \ right) ^ 4 + \ cdots

Dezvoltând un număr adecvat de puteri prin intermediul coeficienților multinomiali obținem primii termeni din seria Taylor necesară:

f(x)=x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+\ldots

{\ displaystyle f (x) = x - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {6}} x ^ {3} + \ ldots}

f (x) = x - \ frac 1 2 x ^ 2 + \ frac 1 6 x ^ 3 + \ ldots

Ca al doilea exemplu, considerăm funcția

g(x)={xe^{x} \over \sin {x}},

{\ displaystyle g (x) = {xe ^ {x} \ over \ sin {x}},}

{\ displaystyle g (x) = {xe ^ {x} \ over \ sin {x}},}

pe care o extinde la o funcție continuă și diferențiată la origine.

Noi stim aia

e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

{\ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots}

{\ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots}

\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots

{\ displaystyle \ sin {x} = x- {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {5} \ over 5!} - \ cdots}

\ sin {x} = x - {x ^ 3 \ peste 3!} + {x ^ 5 \ peste 5!} - \ cdots

În consecință

{x\,e^{x} \over \sin {x}}={1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots  \over 1-{x^{2} \over 3!}+{x^{4} \over 5!}-\cdots }.

{\ displaystyle {x \, e ^ {x} \ over \ sin {x}} = {1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots \ over 1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots}.}

{\ displaystyle {x \, e ^ {x} \ over \ sin {x}} = {1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots \ over 1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots}.}

Scriem seria de putere necesară în formular

c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots ={1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots  \over 1-{x^{2} \over 3!}+{x^{4} \over 5!}-\cdots }.

{\ displaystyle c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + \ cdots = {1+ x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots \ over 1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots}.}

{\ displaystyle c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + \ cdots = {1+ x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots \ over 1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots}.}

Pentru acești coeficienți se găsește

1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots =

{\ displaystyle 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots =}

1 + x + {x ^ 2 \ peste 2!} + {X ^ 3 \ peste 3!} + {X ^ 4 \ peste 4!} + \ Cdots =

=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{x^{2} \over 3!}+{x^{4} \over 5!}-\cdots \right)

{\ displaystyle = \ left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + \ cdots \ right) \ left (1- {x ^ {2} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 5!} - \ cdots \ right)}

= \ left (c_0 + c_1 x + c_2 x ^ 2 + c_3 x ^ 3 + c_4 x ^ 4 + \ cdots \ right) \ left (1 - {x ^ 2 \ over 3!} + {x ^ 4 \ over 5!} - \ cdots \ right)

=c_{0}-{c_{0} \over 3!}x^{2}+{c_{0} \over 5!}x^{4}+c_{1}x-{c_{1} \over 3!}x^{3}+{c_{1} \over 5!}x^{5}+c_{2}x^{2}-{c_{2} \over 3!}x^{4}+{c_{2} \over 5!}x^{6}+c_{3}x^{3}-{c_{3} \over 3!}x^{5}+c_{4}x^{4}+\cdots

{\ displaystyle = c_ {0} - {c_ {0} \ over 3!} x ^ {2} + {c_ {0} \ over 5!} x ^ {4} + c_ {1} x- {c_ { 1} \ over 3!} X ^ {3} + {c_ {1} \ over 5!} X ^ {5} + c_ {2} x ^ {2} - {c_ {2} \ over 3!} X ^ {4} + {c_ {2} \ peste 5!} X ^ {6} + c_ {3} x ^ {3} - {c_ {3} \ peste 3!} X ^ {5} + c_ {4 } x ^ {4} + \ cdots}

= c_0 - {c_0 \ peste 3!} x ^ 2 + {c_0 \ peste 5!} x ^ 4 + c_1x - {c_1 \ peste 3!} x ^ 3 + {c_1 \ peste 5!} x ^ 5 + c_2 x ^ 2 - {c_2 \ over 3!} x ^ 4 + {c_2 \ over 5!} x ^ 6 + c_3x ^ 3- {c_3 \ over 3!} x ^ 5 + c_4 x ^ 4 + \ cdots

=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}-{c_{0} \over 3!}x^{2}+c_{3}x^{3}-{c_{1} \over 3!}x^{3}+c_{4}x^{4}-{c_{2} \over 3!}x^{4}+{c_{0} \over 5!}x^{4}+\cdots

{\ displaystyle = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} - {c_ {0} \ over 3!} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} - {c_ {1} \ over 3!} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} - {c_ {2} \ over 3!} x ^ {4} + {c_ {0} \ over 5!} X ^ {4} + \ cdots}

= c_0 + c_1x + c_2 x ^ 2 - {c_0 \ over 3!} x ^ 2 + c_3x ^ 3- {c_1 \ over 3!} x ^ 3 + c_4 x ^ 4 - {c_2 \ over 3!} x ^ 4 + {c_0 \ peste 5!} X ^ 4 + \ cdots

In concluzie

1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots =

{\ displaystyle 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots =}

1 + x + {x ^ 2 \ peste 2!} + {X ^ 3 \ peste 3!} + {X ^ 4 \ peste 4!} + \ Cdots =

=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{c_{0} \over 3!}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{c_{1} \over 3!}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{c_{2} \over 3!}+{c_{0} \over 5!}\right)x^{4}+\cdots

{\ displaystyle = c_ {0} + c_ {1} x + \ left (c_ {2} - {c_ {0} \ over 3!} \ right) x ^ {2} + \ left (c_ {3} - {c_ {1} \ over 3!} \ right) x ^ {3} + \ left (c_ {4} - {c_ {2} \ over 3!} + {c_ {0} \ over 5!} \ right ) x ^ {4} + \ cdots}

= c_0 + c_1x + \ left (c_2 - {c_0 \ over 3!} \ right) x ^ 2 + \ left (c_3- {c_1 \ over 3!} \ right) x ^ 3 + \ left (c_4- {c_2 \ over 3!} + {c_0 \ over 5!} \ right) x ^ 4 + \ cdots

iar din comparația coeficienților puterilor succesive obținem un sistem infinit de extensibil de ecuații liniare care evident permite identificarea seriei funcției propuse.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikibooks conține texte sau manuale despre seria Taylor
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din seria Taylor

linkuri externe

( EN ) seria Taylor , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Taylor Series în MathWorld
(EN) Biografia Madhava of Sangamagramma în MacTutor
Teorema lui Bernstein ( PDF ) ^{[ link rupt ]} , pe www3.webng.com .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 38236 · LCCN ( EN ) sh85120247 · GND ( DE ) 4184548-1

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy