Grup Abelian

În matematică și în special în algebra abstractă , un grup abelian sau grup comutativ este un grup a cărui operație binară se bucură de proprietatea comutativă , adică grupul $(G,*)$ ${\ displaystyle (G, *)}$ $(G, *)$ este abelian dacă

a*b=b*a,\quad \forall a,b\in G.

{\ displaystyle a * b = b * a, \ quad \ forall a, b \ în G.}

{\ displaystyle a * b = b * a, \ quad \ forall a, b \ în G.}

Numele provine de la matematicianul norvegian Niels Henrik Abel . Dacă într-un grup vrem să subliniem că operația este necomutativă, ne referim la aceasta ca un grup non-abelian sau un grup necomutativ . Teoria grupurilor abeliene este în general mai simplă decât cea a grupurilor non-abeliene. În special, grupurile abeliene finite sunt bine cunoscute și complet clasificate .

Exemple

Numerele întregi cu adunarea obișnuită sunt un grup abelian.
Mai general, toate grupurile ciclice sunt abeliene, de fapt, dacă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este un generator de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $x,y\in G,$ ${\ displaystyle x, y \ în G,}$ ${\ displaystyle x, y \ în G,}$ asa de

xy=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m+n}=g^{m}g^{n}=yx.

{\ displaystyle xy = g ^ {n} g ^ {m} = g ^ {n + m} = g ^ {m + n} = g ^ {m} g ^ {n} = yx.}

{\ displaystyle xy = g ^ {n} g ^ {m} = g ^ {n + m} = g ^ {m + n} = g ^ {m} g ^ {n} = yx.}

Numerele raționale și numerele reale cu adunarea obișnuită sunt un grup abelian. Numerele raționale fără zero și numerele reale fără zero cu multiplicarea obișnuită sunt un grup abelian.
Mai general, fiecare domeniu $(F,+,\cdot )$ ${\ displaystyle (F, +, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (F, +, \ cdot)}$ în mod natural dă naștere la două grupuri abeliene: grupul aditiv $(F,+)$ ${\ displaystyle (F, +)}$ ${\ displaystyle (F, +)}$ dacă luăm în considerare doar adunarea și grupul multiplicativ $(F\setminus \{0\},\cdot )$ ${\ displaystyle (F \ setminus \ {0 \}, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (F \ setminus \ {0 \}, \ cdot)}$ dat de elementele de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ altul decât zero și luând în considerare doar operația de multiplicare.
Un exemplu de grup necomutativ este dat de setul de matrice pătrate inversabile cuînmulțirea obișnuităîntre matrice rânduri cu coloane.

Proprietate

Fiecare grup abelian $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ poate fi echipat cu o structură de modul pe inel $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ numere întregi după cum urmează: date $x\in G$ ${\ displaystyle x \ în G}$ ${\ displaystyle x \ în G}$ Și $n\in \mathbb {Z} ,$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z},}$ elementul $n X$ ${\ displaystyle nx}$ $nx$ este definit ca multiplu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -simo de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în ceea ce privește tranzacția de grup, adică: $nx:=x+x+\ldots +x$ ${\ displaystyle nx: = x + x + \ ldots + x}$ ${\ displaystyle nx: = x + x + \ ldots + x}$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ addendi, e $(-n)x:=-(nx)$ ${\ displaystyle (-n) x: = - (nx)}$ ${\ displaystyle (-n) x: = - (nx)}$ . De fapt, modulele sunt activate $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ pot fi identificate cu grupurile abeliene.

Fiecare subgrup al unui grup abelian este normal , deci putem construi grupul de coeficient pornind de la fiecare subgrup. Subgrupurile, grupurile de coeficienți, produsele și sumele directe ale grupurilor abeliene sunt încă grupuri abeliene.

Ansamblul homomorfismelor $\mathrm {Hom} (G,H)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ între două grupuri abeliene $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ la rândul său, constituie un grup abelian cu operația $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ ${\ displaystyle (f + g) (x): = f (x) + g (x)}$ ${\ displaystyle (f + g) (x): = f (x) + g (x)}$ , unde este $f,g\colon G\to H$ ${\ displaystyle f, g \ colon G \ to H}$ ${\ displaystyle f, g \ colon G \ to H}$ Și $x\in H.$ ${\ displaystyle x \ in H.}$ ${\ displaystyle x \ în H.}$

Această definiție particulară poate fi aplicată numai grupurilor abeliene, de fapt, dacă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ dacă nu eram abelieni, am avea:

(f*g)(x*y):=f(x*y)*g(x*y)=f(x)*f(y)*g(x)*g(y)

{\ displaystyle (f * g) (x * y): = f (x * y) * g (x * y) = f (x) * f (y) * g (x) * g (y)}

{\ displaystyle (f * g) (x * y): = f (x * y) * g (x * y) = f (x) * f (y) * g (x) * g (y)}

care diferă de

(f*g)(x)*(f*g)(y)=f(x)*g(x)*f(y)*g(y)

{\ displaystyle (f * g) (x) * (f * g) (y) = f (x) * g (x) * f (y) * g (y)}

{\ displaystyle (f * g) (x) * (f * g) (y) = f (x) * g (x) * f (y) * g (y)}

pentru ordinea factorilor, arătând că $f*g$ ${\ displaystyle f * g}$ ${\ displaystyle f * g}$ nu este un homomorfism.

Grupurile abeliene, împreună cu omomorfismele de grup, constituie o categorie care este o subcategorie a categoriei grupurilor.

Într-un grup abelian $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ putem inversa teorema lui Lagrange , adică dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ împarte $n=|G|,$ ${\ displaystyle n = | G |,}$ ${\ displaystyle n = | G |,}$ atunci există (cel puțin) un subgrup de ordine $m .$ ${\ displaystyle m.}$ ${\ displaystyle m.}$

Grupuri abeliene finite

Grupurile ciclice $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ Z / n \ Z$ a întregului modulo $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt printre primele exemple de grupuri abeliene finite. De fapt, fiecare grup abelian finit este izomorf la o sumă directă de grupuri ciclice finite de ordinul unei puteri de prim și aceste ordine sunt determinate în mod unic prin determinarea unui sistem complet de invarianți. Grupul de automorfisme ale unui grup abelian finit poate fi descris direct în termenii acestor invarianți. Teoria a fost elaborată într-un articol din 1879 de Georg Frobenius și Ludwig Stickelberger . Ulterior a fost simplificat și generalizat în module generate finit pe principalele domenii ideale , formând un capitol important al algebrei liniare .

Fiecare grup de prim ordin este izomorf pentru un grup ciclic și, prin urmare, este abelian. Orice grup a cărui ordine este un pătrat de prim este Abelian. ^[1] Într-adevăr, pentru orice număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ există, cu excepția izomorfismului, exact două grupuri de ordine $p^{2},$ ${\ displaystyle p ^ {2},}$ ${\ displaystyle p ^ {2},}$ adică grupul $\mathbb {Z} _{p^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {2}}}$ și grupul $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}.$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \ times \ mathbb {Z} _ {p}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \ times \ mathbb {Z} _ {p}.}$

Clasificare

Teorema fundamentală a grupurilor abeliene finite afirmă că fiecare grup abelian este finit $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ poate fi exprimată ca suma directă a subgrupurilor ciclice de ordine o putere a unui prim; această teoremă este cunoscută și ca teorema de bază pentru grupurile abeliene finite . ^[2] Este generată de teorema fundamentală a grupurilor abeliene finit generate , dintre care grupurile finite sunt un caz particular, care admite numeroase generalizări suplimentare.

Teorema clasificării a fost dovedită de Leopold Kronecker în 1870, deși nu a fost formulată în termenii teoriei moderne a grupurilor decât după ceva timp.

Grupul ciclic $\mathbb {Z} _{mn}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {mn}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {mn}}$ de ordine $m n$ ${\ displaystyle mn}$ $mn$ este izomorfă la suma directă a $\mathbb {Z} _{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$ Și $\mathbb {Z} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$ $\ mathbb {Z} _ {n}$ dacă și numai dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt coprimă. Rezultă că fiecare grup abelian este terminat $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este izomorfă la o sumă directă a formei

\bigoplus _{i=1}^{u}\mathbb {Z} _{k_{i}}

{\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {u} \ mathbb {Z} _ {k_ {i}}}

{\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {u} \ mathbb {Z} _ {k_ {i}}}

într-unul din următoarele moduri canonice:

numerele $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{u}$ ${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {u}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {u}}$ ele sunt puteri ale primilor (nu neapărat distincte);
sau $k_{1}$ ${\ displaystyle k_ {1}}$ $k_1$ împarte $k_{2}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ $k_2$ care împarte $k_{3}$ ${\ displaystyle k_ {3}}$ $k_3$ și așa mai departe până la $k_{u}.$ ${\ displaystyle k_ {u}.}$ ${\ displaystyle k_ {u}.}$

De exemplu $\mathbb {Z} _{15}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15}}$ poate fi exprimat, folosind prima formulare, ca suma directă a două subgrupuri de ordinul 3 și 5: $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}\cong \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}.$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15} \ cong \ {0,5,10 \} \ oplus \ {0,3,6,9,12 \} \ cong \ mathbb {Z} _ {3} \ oplus \ mathbb {Z} _ {5}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15} \ cong \ {0,5,10 \} \ oplus \ {0,3,6,9,12 \} \ cong \ mathbb {Z} _ {3} \ oplus \ mathbb {Z} _ {5}.}$ Același lucru este valabil pentru orice grup abelian de ordinul 15, deci toate grupurile abeliene de ordinul 15 sunt izomorfe.

Un alt exemplu: fiecare grup abelian de ordinul 8 este izomorf oa $\mathbb {Z} _{8}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {8}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {8}}$ oa $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$ oa $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}.}$

Numărul de grupuri abeliene finite

Deși nu există o formulă care să exprime, pentru fiecare $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ numărul grupurilor de comenzi $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ cu toate acestea există în cazul unui grup abelian: de fapt, dacă

n=\prod _{i}p_{i}^{q_{i}},

{\ displaystyle n = \ prod _ {i} p_ {i} ^ {q_ {i}},}

{\ displaystyle n = \ prod _ {i} p_ {i} ^ {q_ {i}},}

unde $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ sunt prime distincte, apoi numărul grupurilor de ordine (neizomorfe) $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și

\prod _{i}P(q_{i}),

{\ displaystyle \ prod _ {i} P (q_ {i}),}

{\ displaystyle \ prod _ {i} P (q_ {i}),}

unde este $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este funcția de partiție a unui număr întreg ; adică numărul grupurilor nu depinde de factorii primi ai $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ci numai de exponenții lor.

Notă

^ Trandafir 2012, p. 79 .
^ Kurzweil, H. și Stellmacher, B., Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag , 2004), pp. 43-54 .

Elemente conexe

linkuri externe

Grupul Abelian , pe Sapienza.it , De Agostini .
( EN ) grup Abelian , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 5494 · LCCN (EN) sh85000128 · BNF (FR) cb11979859b (dată) · NDL (EN, JA) 00.56004 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Trandafir 2012, p. 79 .

[2] Kurzweil, H. și Stellmacher, B., Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag , 2004), pp. 43-54 .

[1]

[2]