Funcția monotonă

În matematică , o funcție monotonă este o funcție care menține ordonarea între mulțimi ordonate . Aceste funcții au fost definite mai întâi în analiză și ulterior generalizate în domeniul mai abstract al teoriei ordinii . Conceptele de monotonie din cele două discipline sunt de fapt aceleași, chiar dacă terminologia este puțin diferită. În analiză vorbim adesea despre funcții monotone crescătoare și descrescătoare monotone, teoria ordinelor preferă în schimb termenii monotonă și antitonă sau care păstrează ordinea (conservarea ordinii) și care inversează ordinea (inversarea ordinii).

Definiție generală

Este $f\colon P\to Q$ ${\ displaystyle f \ colon P \ to Q}$ ${\ displaystyle f \ colon P \ to Q}$ o funcție între două seturi $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , ambele cu ordonare parțială , notate cu simbolul $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ pentru ambele seturi. De obicei, în analiză, accentul este pus pe funcțiile dintre subseturi de numere reale și relația de ordine $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ este relația obișnuită de ordine a numerelor reale, dar această poziție nu este necesară în sensul acestei definiții.

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se spune monoton dacă, pentru fiecare $x_{1}\leq x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ leq x_ {2}}$ $x_1 \ leq x_2$ , asa de $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) \ leq f (x_ {2})}$ $f (x_1) \ leq f (x_2)$ . Cu alte cuvinte, o funcție monotonă păstrează ordonarea .

Monotonia în analiză

Graficul unei funcții monotone care nu descrește

În analiza matematică nu este de obicei necesară utilizarea metodelor abstracte ale teoriei ordinii. După cum sa menționat deja, funcțiile operează de obicei între subseturi de numere reale , ordonate în funcție de ordonarea naturală.

Luând reperul său din forma pe care o are graficul unei funcții monotone pe reali, o funcție care posedă proprietatea menționată mai sus se numește și monotonă crescătoare (sau monotonă non-descrescătoare ).

În mod similar, o funcție este numită monotonă descrescătoare (sau monotonă non-crescătoare ) dacă, pentru fiecare $x_{1}\leq x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ leq x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ leq x_ {2}}$ avem asta $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) \ geq f (x_ {2})}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) \ geq f (x_ {2})}$ , adică dacă inversează ordinea .

Dacă relația de comandă $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ în definiția monotoniei este înlocuită de relația unei ordine stricte $<$ ${\ displaystyle <}$ $<$ , atunci este necesară o proprietate mai puternică. O funcție care se bucură de această proprietate se numește strict crescătoare . De asemenea, în acest caz, prin inversarea simbolului de sortare, se poate obține conceptul unei funcții strict descrescătoare . Funcțiile strict crescătoare sau descrescătoare sunt numite strict monotone și sunt injective (deoarece $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ implica $a\neq b$ ${\ displaystyle a \ neq b}$ $a \ neq b$ ) și, prin urmare, inversabilă prin restrângerea intervalului la imagine .

Termenii non-scădere și non creștere evita orice confuzie posibilă cu strict crescătoare și strict descrescătoare, respectiv.

Câteva aplicații și rezultate fundamentale

În analiză, fiecare dintre următoarele proprietăți ale unei funcții $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ implică următoarele:

$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este monoton;
$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are limite la stânga și la dreapta în fiecare punct al domeniului său;
$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate avea doar discontinuități de salt ;
$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate avea doar o cantitate finită sau, cel mult, numărabilă de discontinuități în domeniul său.

Dovadă parțială

Dovedim că a doua afirmație implică a treia.

Să fie intervalul $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ setul de definiție a funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și fie $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un punct de discontinuitate al funcției. Demonstrăm prin excludere că acest lucru trebuie să fie de primul fel .

Considera $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de exemplu, monoton nedescrescător (un discurs analog este valabil pentru o funcție non-crescătoare). Având în vedere proprietatea anterioară, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ admite limita la stânga și la dreapta în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ :

\exists \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=:f(x_{0}^{-})\land \exists \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=:f(x_{0}^{+}).

{\ displaystyle \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {-}) \ land \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {+}).}

{\ displaystyle \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {-}) \ land \ există \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x) =: f (x_ {0} ^ {+}).}

Și trebuie să fie, pentru monotonie, $f(a)\leq f(x_{0}^{-})\leq f(x_{0})\leq f(x_{0}^{+})\leq f(b)$ ${\ displaystyle f (a) \ leq f (x_ {0} ^ {-}) \ leq f (x_ {0}) \ leq f (x_ {0} ^ {+}) \ leq f (b)}$ $f (a) \ le f (x_0 ^ {-}) \ le f (x_0) \ le f (x_0 ^ {+}) \ le f (b)$ , prin urmare, limitele trebuie să existe finite. Aceasta înseamnă că discontinuitatea nu poate fi de al doilea fel .

Atâta timp cât $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este de discontinuitate nu poate fi $f(x_{0}^{-})=f(x_{0})=f(x_{0}^{+})$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-}) = f (x_ {0}) = f (x_ {0} ^ {+})}$ $f (x_0 ^ {-}) = f (x_0) = f (x_0 ^ {+})$ , prin urmare $f(x_{0}^{-})$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-})}$ $f (x_0 ^ {-})$ Și $f(x_{0}^{+})$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {+})}$ $f (x_0 ^ {+})$ nu sunt egale, ceea ce exclude și discontinuitatea „eliminabilă” .

Prin excludere, atunci, în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ există o discontinuitate de primul fel .

Acum arătăm că a treia afirmație implică a patra.

Se aplică aceleași ipoteze ca și în proba anterioară, și așa să fie $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ un alt punct de discontinuitate, astfel încât, de exemplu, $x_{1}>x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {1}> x_ {0}}$ $x_1> x_0$ . Pentru monotonie și pentru rezultatul de mai sus avem $f(x_{0}^{-})<f(x_{0}^{+})\leq f(x_{1}^{-})<f(x_{1}^{+}),$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-}) <f (x_ {0} ^ {+}) \ leq f (x_ {1} ^ {-}) <f (x_ {1} ^ {+} ),}$ ${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-}) <f (x_ {0} ^ {+}) \ leq f (x_ {1} ^ {-}) <f (x_ {1} ^ {+} ),}$ unde cuvinte precum $f(x_{1}^{-})$ ${\ displaystyle f (x_ {1} ^ {-})}$ $f (x_1 ^ {-})$ au fost definite ca în dovada anterioară. Intervalele ne-goale $\left(f(x_{0}^{-}),f(x_{0}^{+})\right)$ ${\ displaystyle \ left (f (x_ {0} ^ {-}), f (x_ {0} ^ {+}) \ right)}$ $\ left (f (x_0 ^ {-}), f (x_0 ^ {+}) \ right)$ Și $\left(f(x_{1}^{-}),f(x_{1}^{+})\right)$ ${\ displaystyle \ left (f (x_ {1} ^ {-}), f (x_ {1} ^ {+}) \ right)}$ $\ left (f (x_1 ^ {-}), f (x_1 ^ {+}) \ right)$ sunt evident disjuncte ; deoarece raționalele sunt dense în reali , fiecare dintre aceste intervale conține cel puțin unul, care nu este conținut în celălalt. Pot construi o funcție care asociază bi-unic un număr rațional $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ la fiecare interval de tip $\left(f(x_{i}^{-}),f(x_{i}^{+})\right)$ ${\ displaystyle \ left (f (x_ {i} ^ {-}), f (x_ {i} ^ {+}) \ right)}$ $\ left (f (x_i ^ {-}), f (x_i ^ {+}) \ right)$ care îl conține, care interval reprezintă saltul funcției în punctul de discontinuitate $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ :

g:x_{i}\longmapsto \left(f(x_{i}^{-}),f(x_{i}^{+})\right)\quad {\text{biunivoca}}

{\ displaystyle g: x_ {i} \ longmapsto \ left (f (x_ {i} ^ {-}), f (x_ {i} ^ {+}) \ right) \ quad {\ text {one-to- unu}}}

g: x_i \ longmapsto \ left (f (x_i ^ {-}), f (x_i ^ {+}) \ right) \ quad \ text {one-to-one}

h:\left(f(x_{i}^{-}),f(x_{i}^{+})\right)\longmapsto q_{i}\quad {\text{biunivoca}}

{\ displaystyle h: \ left (f (x_ {i} ^ {-}), f (x_ {i} ^ {+}) \ right) \ longmapsto q_ {i} \ quad {\ text {biunivoca}}}

h: \ left (f (x_i ^ {-}), f (x_i ^ {+}) \ right) \ longmapsto q_i \ quad \ text {biunivoca}

Deoarece numerele raționale sunt numărabile , numărul de puncte de discontinuitate în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ este cel mult de numărat.

QED

Aceste proprietăți sunt motivul pentru care funcțiile monotonice sunt utile în activitatea tehnică de analiză matematică . Două proprietăți referitoare la aceste funcții sunt:

de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție monotonă definită pe un interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este diferențiat aproape peste tot pe $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , adică setul de valori $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ pentru care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este diferențiat în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ are măsura zero și derivata lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este negativ dacă este în creștere (pozitiv dacă este strict în creștere), nu este pozitiv dacă este în scădere (negativ dacă este strict în scădere); această ultimă afirmație este un corolar al teoremei lui Lagrange .
de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție monotonă definită pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat conform lui Riemann .

Graficul unei funcții non-monotone, dar unimodale ( clopotul Gaussian )

O aplicație importantă a funcțiilor monotonice se găsește în teoria probabilităților . De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă aleatorie , funcția sa de distribuție cumulativă

F_{X}(x)=P(X\leq x)

{\ displaystyle F_ {X} (x) = P (X \ leq x)}

{\ displaystyle F_ {X} (x) = P (X \ leq x)}

este o funcție monotonă în creștere.

O funcție este unimodală dacă este monotonă crescând până la un anumit punct ( modul ) și apoi este monotonă descrescătoare.

Exemple

O transformare liniară $ax+b$ ${\ displaystyle ax + b}$ $topor + b$ crește dacă și numai dacă $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ .
Funcțiile exponențiale , sinus hiperbolice și tangente hiperbolice sunt în creștere pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ real.
Funcțiile sinus și cosinus nu sunt monotone în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , deoarece oscilează continuu între $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Pentru a le putea inversa, luăm în considerare restricția lor într-un interval adecvat de amplitudine $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ : prin convenție, se adoptă intervalul pentru sân $[-\pi /2,\pi /2]$ ${\ displaystyle [- \ pi / 2, \ pi / 2]}$ ${\ displaystyle [- \ pi / 2, \ pi / 2]}$ (în care sânul crește strict din $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ la $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ) și pentru cosinus intervalul $[0,\pi ]$ ${\ displaystyle [0, \ pi]}$ $[0, \ pi]$ (de unde cosinusul scade strict $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ ).
Funcția pătratică $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ crește pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pozitive și descrescătoare pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ negativ.
$f(x)=\sup _{y\leq x}\{g(y)\}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sup _ {y \ leq x} \ {g (y) \}}$ $f (x) = \ sup_ {y \ leq x} \ {g (y) \}$ , cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ orice funcție reală nu este descrescătoare.
Funcția integrală $F(x)=\int _{a}^{x}f(y)dy$ ${\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (y) dy}$ $F (x) = \ int_a ^ x f (y) dy$ , cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ orice funcție non-negativă, este non-descrescătoare.

Monotonia în teoria ordinelor

În teoria ordinii nu suntem limitați la numere reale, ci avem de-a face cu mulțimi arbitrare parțial ordonate sau chiar cu mulțimi preordonate . În aceste cazuri, definițiile de mai sus ale monotoniei rămân valabile, chiar dacă termenii „ascendent” și „descendent” sunt evitați, deoarece își pierd sensul grafic de îndată ce se ocupă de ordine care nu sunt totale . Plus relațiile strânse $<$ ${\ displaystyle <}$ $<$ Și $>$ ${\ displaystyle>}$ $>$ sunt puțin utilizate în multe sisteme non-totale și, prin urmare, nu este introdusă o terminologie suplimentară pentru acestea.

Conceptul dual este adesea numit antiton, anti-monotonie sau inversare a ordinii. Prin urmare, o funcție antitonală $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ îndeplinește următoarea proprietate:

x\leq y\implies f(x)\geq f(y)

{\ displaystyle x \ leq y \ implică f (x) \ geq f (y)}

{\ displaystyle x \ leq y \ implică f (x) \ geq f (y)}

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în domeniul său. Este ușor de văzut că compoziția a două funcții monotone este ea însăși monotonă.

O funcție constantă este atât monotonă, cât și antitonală; invers, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este atât monotonă, cât și antitonală, iar dacă domeniul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ atunci este o rețea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ trebuie să fie constant.

Funcțiile monotonice sunt de primă importanță în teoria ordinii. Unele funcții monotone demne de remarcat sunt ordinea scufundare (încorporarea comenzilor) (funcții pentru care $x\leq y\iff f(x)\leq f(y)$ ${\ displaystyle x \ leq y \ if f (x) \ leq f (y)}$ ${\ displaystyle x \ leq y \ if f (x) \ leq f (y)}$ și izomorfisme de ordine (imersiuni surjective ).

Logică monotonă

Monotonia implicației este o proprietate a multor sisteme logice care afirmă că ipotezele oricărui fapt derivat pot fi extinse în mod liber cu ipoteze suplimentare. Orice afirmație care a fost adevărată într-o logică cu această proprietate va fi încă adevărată după adăugarea oricărei axiome noi (consistente). Logicele cu această proprietate pot fi numite monotone pentru a fi distinse de logicele non-monotone .

Alte proiecte

Wikiversitatea conține note despre funcțiile monotone

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy