Complex celular

În topologie, un complex celular este un tip de spațiu topologic construit prin contopirea unor blocuri de bază numite celule .

Noțiunea de complex celular a fost introdusă de JHC Whitehead pentru a satisface unele nevoi ale teoriei homotopiei . Această clasă de spații este mai extinsă și are proprietăți categorice mai bune decât complexele simpliciale , dar păstrează totuși o natură combinatorie care o face ușor de gestionat.

Definiție

O celulă n-dimensională închisă este un spațiu topologic care este homeomorf pentru o bilă închisă n-dimensională. De exemplu, un simplex este o celulă închisă și, mai general, un politop convex este o celulă închisă. O celulă n-dimensională deschisă este un spațiu topologic homeomorf al mingii deschise n-dimensionale . O celulă 0-deschisă (și închisă) este un punct.

În mod informal, un complex celular este un spațiu topologic obținut prin lipirea împreună a unui anumit număr de celule închise. În mod formal, un complex celular este un spațiu Hausdorff $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ echipat cu o partiție cu celule deschise (de dimensiuni variabile) care îndeplinește două proprietăți:

Pentru fiecare celulă n-dimensională deschisă C din partiția lui X , există o hartă continuă f a bilei n-dimensionale închise pe X astfel încât
- restricția lui f în interiorul mingii închise este un homeomorfism pe celula C , e
- imaginea limitei mingii închise este conținută în uniunea unui număr finit de celule toate având o dimensiune mai mică decât n.
Un subset de X este închis dacă și numai dacă întâlnește închiderea fiecărei celule într-un set închis.

Termenul complex CW , împrumutat din engleză, este uneori folosit ca sinonim pentru complex celular . Literele C și W indică termenii englezi închidere-finit și slab-topologie și se referă la cele două proprietăți enumerate (a doua proprietate indică de fapt că topologia de pe X este într-un anumit sens o topologie slabă ).

Scheletul n

Scheletul n al unui complex celular este uniunea celulelor a căror dimensiune nu depășește n.

Definiție inductivă

Un complex celular poate fi obținut prin definirea n-scheletului inductiv. Acesta este modul în care complexele celulare sunt de obicei derivate în practică.

Începem prin a lua scheletul 0, care este un spațiu discret . apoi celulele 1 sunt unite la scheletul 0. Prin definiție, este nevoie de o colecție de celule 1-închise (abstract) și hărți LAY DOWN ale marginii fiecărei 1-celule din scheletul 0. 1-scheletul este definit ca spațiul identităților obținut din uniunea scheletului 0 și a 1-celule închise prin identificarea fiecărui punct al marginii unei 1-celule cu imaginea sa. Mai general, având în vedere scheletul n-1 al unei colecții de celule n închise (abstracte), sunt definite hărțile de contur ale fiecărei celule n din scheletul n-1. se definește că n-scheletul este spațiul identităților obținute din unirea scheletului n-1 și celulelor n închise prin identificarea fiecărui punct de la marginea unei celule n cu imaginea sa.

Rețineți că proiectul nu trebuie să se oprească după un număr finit de pași. În general, complexul de celule X este limita directă a n-scheletelor care respectă secvența naturală a incluziunilor. Un set este închis în X dacă și numai dacă întâlnește fiecare n-schelet dintr-un set închis.

Exemple

Multe soiuri algebrice și proiective pot fi ușor identificate ca complexe celulare. Fiecare varietate topologică poate fi reprezentată ca un complex celular prin aproximări ale complexelor celulare .

Sfera n-dimensională este poate cel mai simplu exemplu. Fie x un punct al sferei. complementara este o celulă n deschisă pentru $k<n$ ${\ displaystyle k <n}$ ${\ displaystyle k <n}$ scheletul k este { x }. Sfera este construită prin cartografierea întregii limite a nulei închise în scheletul n-1 { x }.

Un alt exemplu este spațiul proiectiv real n-dimensional. k-scheletul este homeomorf pentru spațiul proiectiv k-dimensional real. în special, spațiul proiectiv n-dimensional real este o uniune de celule, fiecare dintre ele având o dimensiune mai mică sau egală cu n.

Cohomologie computațională

Există o teorie a cohomologiei asociată cu spațiile celulare, cohomologia celulei, dualitatea omologiei celulare . Proprietatea principală este aceea că coincide cu cohomologia singulară a spațiilor celulare, dar cu surplusul care este adesea mai ușor de calculat.

Pentru sfere pornim de la următoarea descompunere în celule:

H^{k}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ,\quad {\text{per }}k=0{\text{ o }}n\\0,\quad {\text{altrimenti}}.\end{cases}}

{\ displaystyle H ^ {k} (\ mathbb {S} ^ {n}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z}, \ quad {\ text {per}} k = 0 {\ text {o} } n \\ 0, \ quad {\ text {altfel}}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle H ^ {k} (\ mathbb {S} ^ {n}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z}, \ quad {\ text {per}} k = 0 {\ text {o} } n \\ 0, \ quad {\ text {altfel}}. \ end {cases}}}

Generatorii înlănțuirii $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ sunt (hărțile de identitate ale) celulelor. nu există nicio relație între acești generatori, deoarece harta atașată este simplă.

Pentru $\mathbb {P} ^{n}\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ mathbb {C}}$ o luăm în mod similar

H^{k}(\mathbb {P} ^{n}\mathbb {C} )={\begin{cases}\mathbb {Z} \quad {\text{per }}0\leq k\leq 2n,{\text{pari}}\\0\quad {\text{altrimenti}}.\end{cases}}

{\ displaystyle H ^ {k} (\ mathbb {P} ^ {n} \ mathbb {C}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} \ quad {\ text {per}} 0 \ leq k \ leq 2n, {\ text {even}} \\ 0 \ quad {\ text {else}}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle H ^ {k} (\ mathbb {P} ^ {n} \ mathbb {C}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} \ quad {\ text {per}} 0 \ leq k \ leq 2n, {\ text {even}} \\ 0 \ quad {\ text {else}}. \ end {cases}}}

Acest caz este mai simplu decât analogul real, deoarece relațiile dintre generatoare ar proveni din diferențial $\mathrm {d} :C^{k}(\ldots )\to C^{k+1}(\ldots )$ ${\ displaystyle \ mathrm {d}: C ^ {k} (\ ldots) \ to C ^ {k + 1} (\ ldots)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d}: C ^ {k} (\ ldots) \ to C ^ {k + 1} (\ ldots)}$ , dar pentru cazul complex unul dintre aceste 2 spații dispare întotdeauna, deci diferențialul este încă simplu.

Categoria homotopie

Categoria omotopie unui complex de celule este, în opinia unor experți, cel mai bun , dacă nu singurul candidat să fie Categoria omotopie. Construcțiile auxiliare care duc la spații care nu sunt complexe de celule trebuie utilizate pentru ocazie, dar garantează destul de bine cei șaptezeci de ani de când Whitehead a stabilit această definiție a acestei categorii de homotopie. Un rezultat de bază este că ciupercile reprezentative din categoria omologiei au o caracterizare simplă ( teorema reprezentabilității lui Brown ).

Proprietate

Produsul a două complexe celulare este un complex celular. topologia slabă a acestui produs X × Y este aceeași cu topologia produsului mai familiară în majoritatea spațiilor de interes. dar poate exista o comparație a topologiilor dacă X × Y are o infinitate infinită de celule și nici X, nici Y nu sunt un spațiu compact local .

Spațiile funcționale Hom (X, Y) nu sunt complexe celulare în general, dar sunt echivalente din punct de vedere homotopic cu complexele celulare de teorema lui John Milnor (1958). Spațiile funcționale reale apar în categoria ceva mai mare a spațiilor Hausdorff generate compact .

Referințe

JHC Whitehead , homotopie combinatorie. I. , Bull. Amer. Matematica. Soc. 55 (1949), 213-245
JHC Whitehead, homotopie combinatorie. II. , Taur. Amer. Matematica. Soc. 55 (1949), 453–496
Hatcher, Allen , Topologie algebrică , Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0 . Acest manual definește complexele celulare în primul capitol și le folosește în rest; include un apendice privind topologia complexelor celulare. Versiunea electronică gratuită poate fi vizitată pe pagina principală a autorului .

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85035023