Topologie discretă

Un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are topologia discretă atunci când toate subseturile de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt deschise. Următoarele sunt alte definiții echivalente:

toate subseturile de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt închise;
toate punctele de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt deschise.

Topologia discretă este cea mai bună dintre topologiile unui set. La cealaltă extremă găsim topologia banală care este cea mai puțin fină. Topologia discretă poate fi considerată ca „topologia naturală” a unei mulțimi, în care punctele sunt toate „detașate” unele de altele.

Proprietate

Prin atribuirea următoarei distanțe fiecărei perechi de puncte dintr-un set:

d(x,y)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=y,\\1,&{\mbox{se }}x\neq y,\end{cases}}

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0, & {\ mbox {se}} x = y, \\ 1, & {\ mbox {se}} x \ neq y, \ end { cazuri}}}

d (x, y) = {\ begin {cases} 0, & {\ mbox {se}} x = y, \\ 1, & {\ mbox {se}} x \ neq y, \ end {cases}}

obținem astfel un spațiu metric cu o topologie discretă (această metrică se numește metrică discretă ). Deci topologia discretă este metrizabilă , adică indusă de o metrică.

Topologia discretă satisface toate axiomele de separare .
Orice funcție definită pe un spațiu discret (cu valori în orice spațiu topologic) este continuă .
Un spațiu discret este complet deconectat . Observăm că există spații total deconectate cu topologie nediscretă, de exemplu numere raționale sau setul Cantor .
Un spațiu discret este compact dacă și numai dacă este terminat.
Un spațiu discret este omogen : punctele nu se pot distinge.
Spațiile discrete până la homeomorfism sunt clasificate după cardinalitatea lor. De exemplu, fiecare spațiu discret numărabil este homeomorf pentru setul de numere întregi .

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .

Elemente conexe

V · D · M

Topologie

Concepte de topologie generală

Spațiu topologic · Bază · Prebază · Acoperire ·Axiome de închidere a lui Kuratowski · topologic invariant · raport de finețe · Partiție de unitate · proprietate de intersecție peste
Subseturi	Interval · Deschis · Aproximativ · Închis · Împreună închis local · închis-deschis Împreună · În interior · Închidere · Frontieră · Împreună derivat · Limită Împreună · Perfect Împreună · dens Împreună · Împreună tot mai dens
Puncte	Punct izolat · Punct de acumulare · Punct de adeziune
Funcții	Funcția continuă · homeomorphism · Funcția deschisă · Funcție închis · funcția proprie · Contracția · Retractare · Funcția Germeni · Funcția de suport compact
Succesiuni	Limită · Limita unei secvențe · Succesiune · Rețea · Convergență · Succesiunea lui Cauchy
Teoreme	Weierstrass teorema · Heine-Borel · Tichonov · tub Lema · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punct fix · Borsuk Teorema · Borsuk-Ulam teorema · Teorema lui Jordan · Riemann Mapping Teorema
Aplicații	Topologia de spațiu-timp · Teoria cuantică a câmpurilor topologice · Topologie de rețea · topologiei de control · topologie moleculara

Proprietate

Numerabilitate	Axioma numărabilității · Primul spațiu numărabil · Spațiul separabil · Spațiul secvențial
Separare	Separarea axiomelor · Spațiul T0 · Spațiul T1 · Spațiul Hausdorff · Spațiul regulat · Spațiul Tikhonov · spațiul normal
Compacitate	Compact Space · spațiu paracompact · spațiu local compact · de Lindelof Space · Subspatiul relativ compact · Diving compact
Conexiune	Spațiu conectat · Spațiu conectat simplu
Metrizabilitate	Metric spațiu · spațiu metric complet · spațiu metrizabil · spațiu ultrametric · spațiu pseudometrico · polonez spațiu · normata spațiu · spațiu total limitat
Alte	Spațiul Baire · Spațiul noetherian spațial · spațiul omogen