Retragere
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , mai exact în topologie , retragerea este o funcție continuă specială care „proiectează” un spațiu topologic pe un subset .
Când retragerea este realizată printr-o deformare continuă, subsetul este o retractare de deformare a și își păstrează multe dintre proprietățile sale topologice.
Definiție
Retragere
Este un spațiu topologic e un subset de . O funcție continuă
este o retragere a pe dacă restrângerea sa la punctele de este funcția de identitate , adică dacă
Un subset este o retractare a dacă există o retragere a pe .
Retras prin deformare
O funcție continuă
este o retragere de deformare a pe dacă următoarele relații sunt satisfăcute
pentru fiecare în și fiecare în . Cu alte cuvinte, o retragere de deformare este o omotopie între o retragere și funcția de identitate activată .
Un subset este o retractare de deformare a dacă există o retragere de deformare a pe .
În cele din urmă, o retragere de deformare spune tare dacă
pentru fiecare în . Cu alte cuvinte, deformarea nu mișcă punctele . În acest caz este o retragere puternică a deformării.
Exemple
Retrageri
Este orice spațiu e un punct. Funcția constantă
este o retragere. Mai general, puteți alege un punct din fiecare componentă conectată a și trimiteți toate componentele conectate în același punct: rezultatul este întotdeauna o retragere. Pe de altă parte, nu este posibil să se construiască o retragere a unui spațiu conectat pe două dintre punctele sale, deoarece imaginea unui conectat printr-o funcție continuă este întotdeauna conectată.
Deformări
Este un subset convex de care conține originea, cum ar fi mingea unitară sau toate . Functia
este o retragere de deformare a asupra originii .
Proprietate
Retrageri
O retragere
trimite fiecare componentă conectată din într-un subgrup conectat de .
De sine este conectat și prin șiruri este și a indus homomorfism
printre grupurile lor fundamentale este surjectiv . Plus includerea
induce o funcție injectivă
Ambele proprietăți derivă din faptul că compoziția
este funcția identitară și, prin urmare, induce omomorfismul identitar
Întrucât aceasta este compoziția homomorfismelor Și , primul trebuie să fie injectiv și al doilea surjectiv. Aceleași rezultate sunt valabile și pentru grupurile cu homotopie superioară.
Deformări
Dacă retragerea este indus de o deformare, este identitate omotopa și, prin urmare, induce o echivalență homotopică între Și . În special, hărțile Și ambele sunt izomorfisme .
Aplicații
Teorema punctului fix al lui Brower
Nu există retractări
a discului unității pe sfera sa de margine. De fapt homomorfismul indus
pe -al grupul de homotopie nu poate fi surjectiv, deoarece primul grup este banal, iar al doilea nu:
Din acest fapt, urmează cu ușurință teorema punctului fix al lui Brouwer , care afirmă că fiecare funcție continuă
de pe discul propriu-zis are un punct fix .